第一讲 有理数的定义

第一讲 有理数的定义

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有理数的定义与分类有理数的定义数轴与相反数绝对值

模块一：有理数的定义与分类

【引例】 1.

小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．

2. 向东行进-50m表示的意义是……………………………………………………〖 〗 A．向东行进50m B．向南行进50m C ．向北行进50m D．向西行进50m

3.

任意写出5个正数：____________________；任意写出5个负数：_____________________．

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1. 正、负数的概念

（1） 正数： 的数叫做正数。 小学算术中学过的数（除了0）都是正数。

如：3，0.78，611

，200％（也可写作+3，+0.78，61

1

+）等是正数。它们都比0大。

（2） 负数：在正数前面加上“－”（读作“负”）号的数，叫做负数。

如：－33，－3.141592，45

-

等是负数。它们都比0 。

2. 有理数的分类

正整数、零和负整数统称 ，正分数和负分数统称 。整数和分

数统称 。（数学上，有理数是两个整数的比，通常写作b a

，这里 b 不为零。

分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。）

（1）按整数分数关系分类 （2）按正数、负数与0的关系分类

3. 生活中的有理数

具有相反意义的两个量规定其中一个用正数表示，另一个量就用负数来表示，到底用正数，还是用负数来表示其中的一个量，只是我们的一种规定，但也常遵守人们的习惯。比如人们习惯用正数表示零上温度，用正数表示收入等。

1）如果汽车向西行驶150m ，记做+150m ，那么向东行驶55m ，就记做 m 。 2）零度以上的气温用 表示，零度以下的气温用 表示。 3）水面比警戒线高4m ，记做+4m ，比警戒线低4m ，记做 m 。河流沿岸人们关注水位的升降，当水位为一个很大的正数，就要防洪；水位为一个很小的负数，就要抗旱。

【典型例题】

例1.(1) 下列说法正确的是（ ）

A. 整数，分数和负数称为有理数

B. 有理数分为正有理数和负有理数

C. 正整数都是整数，整数都是正整数

D. 0是整数，也是自然数

(2)给出下列各数：-3，0，+5，213-，+3.1，2

1

-，2004，+2008．其中是负数

的有( ) A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

例2.下列说法是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”，并说明理由。 （1）前进2km 记作+2km ，那么－5km 就表示后退－5km 。（ ） （2）有理数中不是正数的数就是负数。（ ）

（3）有一种记法，80分以上如88分记为+8，某学生得分为74分，应记为－6分。（ ）

（4）负整数和非负整数统称为整数。（ ）

例3.下列结论中正确的是（ ）

A. 0既是正数，又是负数。

B. 0是最小的正数。

C. 0是最大的负数。

D. 0既不是正数，也不是负数。

例4.数学考试成绩85分以上为优秀，以85分为标准，老师将某一小组五名同学的成

绩简记为：+9，－4，+11，－7，0，则这五名同学的实际成绩分别为多少？

例5．（1）下列说法中正确的是（ ）

A ．非负有理数就是正有理数

B ．零表示没有，不是自然数

C ．正整数和负整数统称为整数

D ．整数和分数统称为有理数

（2）下列说法中不正确的是（ ）

A ．-3.14既是负数，分数，也是有理数

B ．0既不是正数，也不是负数，但是整数

C ．-2000既是负数，也是整数，但不是有理数

D ．O 是非正数

（3）下列说法正确的是（ ）

A 没有最大的正数，但有最大的负数；

B 没有最小的负数，但有最小的正数；

C 有最大的负整数，也有最小的正整数；

D 有最小的有理数是0。

例6．把下列各数分别填在相应集合中：

1，-0.20，5

1

3，325，-789，0，-23.13，0.618，-2004．

正数集合：{ …}；负数集合：{

…}；

非正数集合：{ …}；非负数集合：{

…}．

例7.一种零件的零件直径尺寸在图纸上的表示是30

03.002

.0+-（单位毫米）表示这种零件的

标准尺寸是30毫米，加工要求最大不超过标准尺寸的 毫米

例8.小李到银行共办理了四笔业务，第一笔存入120元，第二笔支取了85元，第三笔取出70元，第四笔存入130元．如果将这四笔业务合并为一笔，?请你替他策划一下这一笔业务该怎样做．

【精练精学】 1．在下列四组数

(1)-3，2.3，41； (2)43，0，212； (3)3

11

，0.3，7； (4) 21，51，

2

中，三个数都不是负数的组是（ ）

A ．(1)(2)

B ．(2)(4)

C ．(3)(4)

D ．(2)(3)(4)

2．给出下列说法：

①0是整数；②31

2 是负分数；③4.2不是正数；④自然数一定是正数；⑤负分数一

定是负有理数． 其中正确的有（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3．同学聚会，约定在中午12点到会，早到的记为正，迟到的记为负，结果最早到的同学记为＋3点，最迟到的同学记为-1.5点，?你知道他们分别是什么时候到的吗？最早到的同学比最迟到的同学早多少小时？

4．在下表适当的空格里画上“√”号

有理数

整数 分数 正整数 负分数 自然数 -9是 -2.35是 O 是 +5是

3

2是

5．1. 把下列各数分别填在相应的大括号内：25，

21

6

-，－0.91，π，3.14，－7，

0，－50，78

，9。

（1）整数集合：{ …… } （2）分数集合：{ …… } （3）正整数集合：{ …… } （4）负整数集合：{ …… } （5）正分数集合：{ …… } （6）负分数集合：{ …… } （7）正有理数集合：{ …… } （8）负有理数集合：{ …… } （9）有理数集合：{ …… }

6.下列说法正确的是（ ）

A. 记向东行为正，－20km 表示向西－20km

B. 正有理数和负有理数统称为有理数

C. 整数和分数统称有理数

D. 温度上升2度记作+2度，则－3度表示零下3度

7. 小于4的负整数有（ ）

A. 无数个

B. 3个

C. 2个

D. 4个

8. 某粮店出售的三种品牌面粉，分别标有（2.5+

-0.1）kg ，（2.5+

-0.2）kg ，（2.5+

-0.3）kg ，的字样，现从中任意拿出两个袋，它们的质量最多相差（ ）

A. 0.4kg

B. 0.5kg

C. 0.6kg

D. 0.8kg

模块二：数轴与相反数

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1.在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴(number axis),它满足以下要求:

（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点

（2）通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，从原点向左（或向下）为负方向

（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度去一个点，依次表示为

1,2,3……；从原点向左，用类似方法依次表示1,2,3---，…… （4）我们把这种规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴 2.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number)

（1）一般的，a a -和互为相反数。这里，a 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0

（2）特别的，0的相反数是0 （3）互为相反数的两数之和为0

（4）互为相反数的两数在数轴上的对应点离原点距离相等。 【典型例题】

例1.如下图所示，数轴中正确的是（ ）

例2.把下列各数在数轴上表示出来，并且从小到大用“＜”连接起来：

－2，132，0，1

4

-，1，142-，152。

例3.（1）大于－5而不大于2的所有的整数是_______。

（2）在数轴上表示数2的点与表示数－5的点之间的距离是_______。 （3） 把在数轴上表示－1的点移动3个单位长度后，所得到对应点的数是_______。

（4）数轴上的A 点与表示－3的点距离4个单位长度，则A

点表示的数

B

－1 0

1

A

－1 0

1

C

－1 0

1

D

为．

例4. 求下列各数的相反数：

（1）-5；（2）1

2；（3）0；（4）

a

3；

（5）-2b；（6）a b

-；（7）a+2例5. 化简下列各数中的符号：

（1）--

?

?

?

?

?

2

1

3（2）-+()5（3）[]

---()7（4）[]

{}

-+-+()3

例6．下列语句中，正确的是（）

A. 一个数的相反数比它本身小

B. 一个数的相反数肯定与这个数的符号不同

C. 一个数和它的相反数在数轴上对应的点，一个在原点左边，一个在原点右边

D. 互为相反数的两个数在数轴上表示它们的点到原点的距离相等

例7.下列各数中，互为相反数的是（）

A.

()

--5与--5 B. -3与+3

C.

()

--4与-4 D. a与-a

例8.如图所示

（1）点A到点B的距离是多少？

（2）点M到A，B的距离之和是多少？

（3）点M在A，B之间移动时，M到A，B的距离之和是多少？

【精练精学】

1．(1)下列图中为数轴是（）

（2）在数轴上表示－212和123，并根据数轴指出所有大于-212而小于12

3

的整数．

2. 数a 、b 在数轴上的位置如图，比较,,,a b a b --四个数的大小

3.（1）一个点从

数轴上表示—2的点开始，向右移动4个单位长

度，再向左移动5个单位长度，说明这时这个点表示的数．

（2）数轴上与原点相距3个单位长度的点有几个？它们表示的数各是什么？

4.(1)下列各对数中，互为相反数的有( )。

+(-3)与(-3)，+(+3)与-3，-(-3)与+(-3)，-(+3)与+(-3)，-(-3)与+(+3)，+3与(-3)

A.3对

B.4对

C.5对

D.6对 (2)下列说法正确的是( )。

A.-4

1

和0.25不是互为相反数。 B.-a 是负数。 C.任何一个数都有它的相反数。 D.正数与负数互为相反数。 （3）下列说法中正确的是（ ）

A. π的相反数是-314

. B. 符号不同的两个数一定是互为相反数 C. 若x 和y 互为相反数，则x y +=0 D. 一个数的相反数一定是负数

（4） 一个数大于它的相反数，那么这个数是（ ） A. 负数 B. 正数

C. 非负数

D. 非正数

5.(1)-3.85的相反数是 ,7.6是 的相反数,相反数是它本身的数的有 ；

(2)借助数轴填写，比5小的正整数有 ；比—5大的负整数有 ．

6.1 + 2 + 3 + … + 2013 + (－2)+ (－3) + … +(－2013)

7.已知m 、n 互为相反数，试求：3

222n

m n m +-++的值．

模块三：绝对值

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1.绝对值的定义：一般的，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值(absolu te value)，记作a

由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即：

??

???<-=>=0

a a 0a 0

0a a a

互为相反数的两数的绝对值相等。 2.有理数的大小比较：

（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数 （2）两个负数，绝对值大的反而小

（3）数轴上两个点表示的数，右边的数大于左边的数

【典型例题】

例1．（1）______7.3=-；______0=；______3.3=--；______75.0=+-．

（2）比较大小: 23- 3

4-, 0 (0.01)--, (4)-- 4-.

（3）______的相反数是它本身，_____的绝对值是它本身，_______的绝对值是它的相反数．

例2．画一条数轴，并在数轴上找出与原点距离为2、3、0的点。

例3．（1）5

23-的绝对值是______；绝对值等于52

3的数是______，它们互为________．

（2）当a a -=时，0______a ；当0>a 时，______=a ． 例4．（1）绝对值等于其相反数的数一定是( )

A ．负数

B ．正数

C ．负数或零

D ．正数或

零

（2）给出下列说法：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；

③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等． 其中正确的有（ ） A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

例5.(1) 已知0

(2)如图，在数轴上有A 、B 、C 三点对应的有理数是a 、b 、c ，且有c a =，下列不等式关系中

错误的 是( )

（A ）0b a <+ （B ）0c b a >-+ （C ）0c b >+- （D ）0c b a >-+-

例6.已知：x ，y 满足1

2102

x y +-=，求x 、y 的值．

例7. 有理数c b 、、a 在数轴上的位置如图所示，

求： c b a a c ----

【精练精学】

1．（1）______5=-；______3

1

2

=-；______31.2=-；______=+π． （2）绝对值等于4的数是_____；一个数的绝对值是

3

2

，那么这个数为______ （3）在数轴上，绝对值为4，且在原点左边的点表示的有理数为________． （4）如果3-=a ，则______=-a ，______=a ．

2．（1）下列说法中正确的是……………………………………………………………〖 〗

A．a -一定是负数

B．只有两个数相等时它们的绝对值才相等

C．若b a =则a 与b 互为相反数

D．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数

（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必满足（ ）

A、相等

B、都是0

C、互为相反数

D、相等或互为相反数

3．若有理数a、b在数轴上对应点如右图所示，则下列错误的是( )。 A.│b│＞-a B.│a│＞-b C.b＞a D.│a│＜│b│

4．若│a│+│b│=0，则a与b大小关系一定是( )。 A.a=b=0 B.a与b不相等 C.a、b互为相反数 D.a、b异号

5．如果a a 22-=-，则a 的取值范围是 …………………………………………〖 〗

A．a ＞O

B．a ≥O

C．a ≤O

D．a ＜O

6.已知：3||=x ，2||=y ，且0

7.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负．?某天自Ａ地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，?+5． （1）问收工时距Ａ地多远？

（2）若每千米路程耗油0.2升，问从Ａ地出发到收工共耗油多少升？

附加讲义（难度较大，供学有余力的同学自己完成） 模块一：有理数的定义与分类

1．学校对初一男生进行立定跳远的测试，以能跳1.7m 及以上为达标，超过1.7m 的厘

米数用正数表示，不足l.7m 的厘米数用负数表示． 第一组10名男生成绩如下(单位cm)： +2 -4

+5

+8

-7

+2

+10

-3

问：（1）第一组有百分之几的学生达标?

（2）改组学生的平均成绩是多少？

2．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数，第200个数，第201个数是什么吗? (1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-l ，____，____，____，…； (2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，____，____，____，…；

(3)- 1，21，31-，41，51-，61，7

1

-，____，____，____，…．

3.把-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3这些数填入下图的圆圈中，?使得每条直线上数字之和都为0．

4．下列说法中正确的是……………………………………………………………〖〗A．有最小的负整数，有最大的正整数B．有最小的负数，没有最大的正数

C．有最大的负数，没有最小的正数D．没有最大的有理数和最小的有理数

5.某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为－39℃，求此处的高度是多少千米？

模块二：数轴与相反数

1.李华的家（记为A）与他上学的学校（记为B）、体育馆（记为C）一次坐落在一条东西走向的大街上，李华家位于学校西边60米处，体育馆位于学校东边50米处，李华从学校沿着这条大街向东走了30米，接着又向西走了90米到达D处试用数轴表示上述A、B 、C、D的位置。

2. 已知a 和 b互为相反数且b ≠0,求 a+b 与a

b

的值.

3. 如果a 和 b表示有理数,在什么条件下, a +b 和a －b互为相反数?

4.如图所示，数轴上有五个点A ，B ，P ，C ，D ，已知AP ＝PD ＝3，且AB ＝BC ＝CD ，点P 对

应有理数1，

则A ，B ，C ，D 对应的有理数分别是什么?(只需写出结果，不必写出详细的推理过程)

5.小李在做题时,画了一个数轴,在数轴上原有一点A,其表示的数是－3,由于粗心,把数轴的原点标错了位置,使点A正好落在－3的相反数的位置,想一想,要把数轴画正确,原点要向哪个方向移动几个单位长度?

6.将 ―4,―3,―2,―1, 0 , 1, 2,

3 ,4这9个数分别填入图中的方格中,使得横,竖,斜对角的3个数相加都得0.

7.如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A 表示－4，点B 表示8

（1）点B表示的有理数是 表示原点的是点

（2）图中的数轴上另有点M到点D距离为2，则这样的点M表示的有理数是 _________

（3）若将原点取在点D，则点C表示的有理数是 ，此时点B与点 表示的有理数互为相反数。

模块三：绝对值

1．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x ． 2．如果3>a ，则______3=-a ，______3=-a ． 3．绝对值小于3.1的所有非负整数为___________。

4.已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，且a b =

化简b c a b a a --+++

5.计算：

(1) 7.27.27.2---+ (2) 13616--++-

(3) 5327-?-÷- (4) ???

?

??-+÷+-

32922121

6．已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝4，若a ，b 同号，则｜a ＋b ｜＝______；若a ，b 异号，则｜

a ＋

b ｜＝______．

据此讨论｜a ＋b ｜与｜a ｜＋｜b ｜的大小关系．