最新离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案

第二章作业 1 评分要求：

2 1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48

3 分

4 2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由)

5 3. 总得分在采分点1处正确设置.

6 一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方

7 法每种方法至少使用一次):

8 说明

9 证

10 1. p ?(p ∧q)∨(p ∧?q) 11

解逻辑方程法

12 设 p ?((p ∧q)∨(p ∧?q)) =0, 分两种情况讨论:

13

??

?=?∧∨∧=0)()(1

)1(q p q p p 或者 14

??

?=?∧∨∧=1

)()(0

)2(q p q p p 15

(1)(2)两种情况均无解, 从而, p ?(p ∧q)∨(p ∧?q)无成假赋值, 为永真式. 16

等值演算法

17 (p ∧q)∨(p ∧?q)

18 ? p ∧(q ∨?q) ∧对∨的分配率

19

? p ∧1 排中律

20

? p 同一律

21

真值表法

22

即 p? ((p∧q)∨(p∧?q))为永真式, 得证23

2. (p→q)∧(p→r)?p→(q∧r)

24

等值演算法

25

(p→q)∧(p→r)

26

? (?p∨q)∧(?p∨r)蕴含等值式

27

??p∨(q∧r)析取对合取的分配律

28

? p→(q∧r)蕴含等值式

29

3. ?(p?q)?(p∨q)∧?(p∧q)

30

等值演算法

31

?(p?q)

32

??( (p→q)∧(q→p) )等价等值式

33

??( (?p∨q)∧(?q∨p) )蕴含等值式

34

??( (?p∧?q)∨(p∧q) )合取对析取分配律, 矛盾律, 同一律

35

? (p∨q)∧?(p∧q)德摩根律

36

4. (p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q)∧?(p∧q)

37

等值演算法

38

(p∧?q)∨(?p∧q)

39

? (p∨q)∧?(p∧q)析取对合取分配律, 排中律, 同一律

40

41

说明: 用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式.

42

等值演算法证明时每一步后面最好注明理由以加深印象, 熟练后可以不写.

43

由于等值演算法证明具有较强的技巧性, 平时应注意总结心得.

44

45

二. 求下列公式的主析取范式与主合取范式(等值演算法与用成真赋值或成

46

假赋值求解都至少使用一次):

47

1.

48

2.

49

3.

50

4.

51

52

53

54

1. (?p→q)→(?q∨p)

55

解

56

(?p→q)→(?q∨p)

57

? (p∨q)→(?q∨p)蕴含等值式

58

? (?p∧?q)∨(?q∨p)蕴含等值式, 德摩根律59

?(?p∧?q)∨?q ∨ p结合律

60

? p∨?q吸收律, 交换律

61

? M1

62

因此, 该式的主析取范式为m

0∨m

2

∨m

3

63

64

2. (?p→q)∧(q∧r)

65

解逻辑方程法

66

设 (?p→q)∧(q∧r) =1, 则?p→q=1且 q∧r=1, 67

解得q=1, r=1, p=0 或者 q=1, r=1, p=1, 从而所求主析取范式为 m

3∨m

7

, 主

68

合取范式为M

0∧M

1

∧M

2

∧M

4

∧M

5

∧M

6

69

70

等值演算法

71

(?p→q)∧(q∧r)

72

(p q)(q r) 蕴含等值式

73

(p q r)(q r) 对分配律, 幂等律

74

(p q r) (p q r)(p q r) 同一律, 矛盾律, 对分配75

律

76

m

7 m

3

77

主合取范式为M

0∧M

1

∧M

2

∧M

4

∧M

5

∧M

6

78

79

3. (p?q)→r

80

解逻辑方程法

81

设 (p?q)→r =0, 解得 p=q=1, r=0 或者 p=q=0, r=0, 从而所求主合取范式82

为M

0∧M

6

, 主析取范式为m

1

∨m

2

∨m

3

∨m

4

∨m

5

∨m

7

83

84

等值演算法

85

(p?q)→r

86

((p q)(q p))r 等价等值式

87

((p q)(q p))r 蕴含等值式

88

(p q)(q p)r 德摩根律, 蕴含等值式的否定(参见PPT) 89

(p q r)(q p r) 对分配律, 矛盾律, 同一律90

M

0 M

6

91

主析取范式为m

1∨m

2

∨m

3

∨m

4

∨m

5

∨m

7

92

93

4. (p→q)∧(q→r) 94

解

95

等值演算法

96

(p→q)∧(q→r)

97

(p q)(q r) 蕴含等值式

98

(p q)(p r)(q r) 对分配律, 矛盾律, 同一律

99

(p q r)(p q r) (p q r)(p q r) 100

(p q r)(p q r)

101

m

1 m

m

3

m

7

102

主合取范式为M

2 M

4

M

5

M

6

.

103

104

解逻辑方程法

105

设 (p q) (q r) = 1, 则p q =1 且 q r =1. 106

前者解得: p=0, q=0; 或者 p=0, q=1; 或者 p=1, q=1.

107

后者解得: q=0, r=0; 或者 q=0, r=1; 或者 q=1, r=1.

108

综上可得成真赋值为 000, 001, 011, 111, 从而主析取范式为m

0 m

1

m

3

109

m

7, 主合取范式为M

2

M

4

M

5

M

6

.

110

111

真值表法

112

公式 (p q) (q r) 真值表如下:

113

p q r(p q) (q

r) 0001 0011 0100 0111 1000 1010 1100 1111

从而主析取范式为m

0 m

1

m

3

m

7

, 主合取范式为M

2

M

4

M

5

M

6

.

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