清华大学数理方程复习提纲及作业

随机过程作业题及参考答案(第一章)

第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ?? ?? ? ，；， 。

00 11101222 11

数理方程(调和方程)

第四章 调和方程 §1.调和方程的定解问题 1.方程的几个例子 例1. 稳定的温度分布 温度分布满足),(2t x f u a u t =?- 稳定热源:),,,)((321x x x x x f f ==与t 无关 边界绝热(即边界条件也与t 无关) 则长时间后,温度分布必然趋于稳定状态(与t 无关),即)(x u u = 此时有)(1x f u =?, (2 1a f f - =)称为Poission 方程 当01=f 时,0=?u ,称为Laplace 方程或调和方程. 例2.弹性膜的平衡状态: u 为膜在垂直方向的位移,外力),(21x x f f =,则有 f x u x u =??+ ??2 2 22 1 2 例3.静电场的电势u Maxwell 方程组??? ? ? ? ??? ==??-=??+=ρdivD divB t B rotE t D J rotH 0 E :电场强度, H :磁场强度, D :电感应强度, B :磁感应强度 J :传导电流的面密度, ρ:电荷的体密度 物质方程?? ? ??===E J H B E D σμε :μ导磁率, σ:导电率, ε: 介质的介电常数 divE divD ερ== ∵静电场是有势场:u grad E -= ερ-=?u grad div , 即ε ρ -=u ? 若静电场是无源的,即0=ρ,则0=?u 例4.解析函数 )(),,(),()(iy x z y x iv y x u z f +=+= 则v u ,满足Cauchy-Riemann 条件:y x y x u v v u -==, 例5.布朗运动(见图) 设质点运动到边界上即终止， ?????===?0,10 `),,(),,(21 1C C u u u C z y x z y x u 概率，则上的为起点，终止在：以 易知,0,0=?=?v u 2.定解问题 (1)内问题:n R ?Ω,有界,Γ=Ω?,u 在Ω内满足f u =? 边界条件: 第一类(Dirichlet):g u =Γ| 第二类(Neumann): g n u =??Γ| 第三类(Robin):)0(|)(>=+??Γσσg u n u n 为Γ的单位外法线方向. (2) 外问题:u 在Ω外部满足f u =? 同样有三类边界条件(此时n 为Ω的内法线方向). 但解在无穷远处是否可以不加限制?要加何种限制? 先看两个例子: 例1.2=n ?????=>+=?=+0|) 1(,01 2 222y x u y x u 221 ln 1ln ,0y x r u u +===均为解, 例 2. 3=n ?????=++=>==1),1(01222r u z y x r r u ? r u u 1 ,1==均为解. 因此,解在无穷远点一定要加限制,以确定解的唯一性. 通常, :2=n 解在无穷远处有界:),(lim y x u r ∞ →有界 :3≥n 解在无穷远处趋于0:0),,(lim =∞ →z y x u r (3) 无界区域的边值问题:与外问题类似 (4) 等值面边值问题:0=?u 边界条件:?? ? ??=??=?ΓΓ)()(|已知待定A dS n u C u 这个问题可约化为 Dirichlet 问题: 设???==?Γ1|0U U 的解为)(x U U =,选取常数C , s.t.:A dS n U C =???Γ 则CU u = §2.分离变量法 1. 圆的Dirichlet 内问题与外问题 内问题?????=<+=?=+)(|)(02 222 22θf u a y x u a y x 引入极坐标θθsin ,cos r y r x == 2 22 222 221)(111θ θ??+????=??+??+??≡u r r u r r r u r r u r r u u ? 则原问题化为:

数理方程版课后习题答案

第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念

1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则

随机过程

《随机过程》课程教学大纲 课程编号：02200021 课程名称：随机过程 英文名称：Stochastic Processes 课程类别：选修课 总学时：72 讲课学时：68 习题课学时：4 学分: 4 适用对象：数学与应用数学、信息与计算科学专业 先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计 一、课程简介 随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，它的基本知识和方法不仅为数学、概率统计专业所必需，也为工程技术、生物信息及经济领域的应用和研究所需要。本课程介绍随 机过程研究领域的一些基础而重要的知识和技能。 二、课程性质、目的和任务 随机过程是概率论的后续课程，具有比概率理论更加实用的应用方面，处理问题也更加贴近实际情况。通过这门课程的学习，使学生了解随机过程的基本概念，掌握最常见而又有重要应用 价值的诸如Poisson过程、更新过程、Markov过程、Brown运动的基本性质，能够处理基本的随 机算法。提高学生利用概率理论数学模型解决随机问题的能力。通过本课程的学习，可以让数学 专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。 三、课程基本要求 通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的一般概念，知道常见的几类随机过程的定义、背景和性质；掌握泊松过程的定义与基本性质，了解它的实际背景，熟悉它的若干推广；掌握更 新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，了解更新定理及其应用，知道更新过程的若干 推广；掌握离散时间的马尔可夫链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，熟悉极限 分布、平稳分布与状态空间的分解，了解分枝过程；掌握连续时间的马尔可夫链的定义、柯尔莫 哥洛夫方程；掌握布朗运动的定义与基本性质，熟悉随机积分的定义与基本性质，了解扩散过程 与伊藤公式，会求解一些简单的随机微分方程。 四、教学内容及要求 第一章预备知识 §1.概率空间；§2.随机变量和分布函数；§3.数字特征、矩母函数和特征函数；§4. 条件概率、条件期望和独立性；§5.收敛性 教学要求：本章主要是对概率论课程的复习和巩固，为后续学习做准备。 第二章随机过程的基本概念和类型

随机过程习题答案A

随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为：

利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有：

P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2）

随机过程作业(全部)

作业1（随机过程的基本概念） 1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程 1,()()0,()X t x Y t X t x ≤?=? >?，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。 2、设(),Z t X Yt t R =+?∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2(0,)N σ，证明 {(),}Z t t R ?∈是正态过程，并求其相关函数。 3、设{(),0}W t t ≥是参数为2 σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数： （1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数； （2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立； （3）2{(),0}t aW t a ≥，其中a 为正常数； （4）1 {(),0}tW t t ≥ 作业2（泊松过程） 1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。 2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<， (()|())()(1),0,1,,k k n k n s s P N s k N t n C k n t t -===-= 作业3 （更新过程） 1 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 服从参数为λ的指数分布，则 (t),0N t ≥是服从参数为λ的Poisson 分布。 2 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？ 若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。

数理方程总结完整终极版

00 |()()t t u x u x t ?ψ===????=?? ?k z j y i x ?????+??+??= ?u u ?=grad 拉普拉斯算子：2222222 z y x ??+??+??=???=?2 2 22 2y u x u u ??+??=? 四种方法: 分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题： 初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条

波动方程的边界条件:

(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 定解问题的分类和检验：(1) 初始 问题：只有初始条件，没有边界条 件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只 有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也 有边界条件的定解问题。 ?解的存在性：定解问题是 否有解； ?解的唯一性：是否只有一 解； ?解的稳定性：定解条件有 微小变动时，解是否有相应的微小变动。 分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等

分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题 常用本征方程齐次边界条件 2''0 (0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X x λλββπβ+=?? ==? ====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ

非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。解出齐次问题。求出任意非齐次特解。叠加成非齐次解。 行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。3.适用范围：无界域内波动方程，等…

随机过程作业

南昌航空大学硕士研究生2009 / 2010学年第一学期考试卷 1. 求随机相位正弦波()cos()X t a t ωθ=+，(,)t ∈-∞+∞，的均值函数，方差函数和自相关函数。其中θ是在（-л，л）内均匀分布的随机变量 2.()X t 是泊松过程，求出泊松过程的均值函数(),X m t 方差函数()X D t ，相关函数(,)X R s t 协方差函数(,)X B s t . 3.设顾客到达商场的速率为2人/分钟，求: (i)在10分钟内顾客达到数的均值； (ii) 在10分钟内顾客达到数的方差； (iii)在10分钟内至少一个顾客达到的概率； (iv)在10分钟内到达顾客不超过3人的概率。(12分)

4.利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程cos ,(){ 2,, t X t t π=出现正面，出现正面， (,)t ∈-∞+∞ 求:(i)()X t 的一维分布函数1(,),(,1);2F x F x (ii)()X t 的二维分布函数121(,,1);2F x x (iii)()X t 的均值函数(),(1),X X m t m 方差函数(),(1)X X D t D .(16分) 5.设移民到某地区的居民户数是一泊松过程，平均每周有2户定居，如果每户的人口数是随机变量，一户4口人的概率是1/6,一户3口人的概率是1/3,一户2口人的概率是1/3,一户1口人的概率是1/6,并且

每户的人口数是相互独立的，求2周内移民到该地区的人口数的期望和方 6.设{,1}n X n ≥为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和概率转移矩阵为 01 {},1,2,3,4.4 i p P X i i ==== 11114444111144441111444411114444?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? , 求(i)201{4|1,14}P X X X ==<<,(ii) 21{4|14}P X X =<<(12分) 7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨明天也下雨的概率为0.7,今天无雨明天有雨的概率为0.4，规定有雨的天气状态为0，无雨的天气状态为1.求周一下雨周四也下雨的概率。 8.设{1,2,3,4}I =，其一步转移概率矩阵为:

第三章随机过程作业

第三章随机过程作业 1.设A、B是独立同分布的随机变量，求随机过程的 均值函数、自相关函数和协方差函数。 2.设是独立增量过程，且，方差函数为。记随机过程 ，、为常数，。 （1）证明是独立增量随机过程； （2）求的方差函数和协方差函数。 3.设随机过程，其中是相互独立的随机变量且均值为 0、方差为1，求的协方差函数。 4.设U是随机变量，随机过程. (1) 是严平稳过程吗为什么 (2) 如果，证明：的自相关函数是常数。 5.设随机过程,其中U与V独立同分布 。 (1) 是平稳过程吗为什么 (2) 是严平稳过程吗为什么 6.设随机变量的分布密度为, 令, 试求的一维概率分布密度及。

7.若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令 试求：的一维分布函数 8.设随机过程, 其中是相互独立的随 机变量 , 且, 试求的均值与协方差函数 . 9.设其中为常数 , 随机变量 , 令 , 试求 :和 。 10.设有随机过程，并设x是一实数，定义另一个随机过程 试证的均值和自相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。11.设有随机过程,，其中为均匀分布 于间的随机变量，即试证： （1）自相关函数 （2）协相关函数 12.质点在直线上作随机游动，即在时质点可以在轴上往右或往左作 一个单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为，往左移动一个单位距离的概率为，即

，且各次游动是相互统计独立的。经过n 次游动，质点所处的位置为。 （1）的均值； （2）求的相关函数和自协方差函数和。 13.设，其中服从上的均匀分布。试证 : 是宽平稳序列。 14.设其中服从上的均匀分布. 试 证 :既不是宽平稳也不是严平稳过程 . 15.设随机过程和都不是平稳的，且 其中和是均值为零的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证 是平稳过程。 16.设是均值为零的平稳随机过程。试 证 : 仍是一平稳随机过程 , 其中为复常数，为整数。 17.若平稳过程满足条件，则称是周 期为的平稳过程。试证是周期为的平稳过程的充分必要条件是其自相关函数必为周期等于的周期函数。

随机过程第一次大作业(THU)

基于主成分分析的人脸识别 目录 基于主成分分析的人脸识别 (1) 1 引言 (2) 1.1 PCA简介 (2) 一、主成分的一般定义 (3) 二、主成分的性质 (3) 三、主成分的数目的选取 (4) 1.2 人脸识别概述 (4) 2 基本理论及方法 (5) 3 人脸识别的具体实现 (6) 3.1 读入图像数据库 (6) 3.2 计算特征空间 (7) 3.3 人脸识别 (9) 4 对实验算法的综合评价 (11) 5 结论 (11) 6、参考文献 (11) 7、附录 (12) 1、代码说明： (12) 2、实验感想 (12) 摘要：本文利用基于主成分分析(Principal ComponentAnalysis，PCA)进行人脸识别。该过程主要分为三个阶段，第一个阶段利用训练样本集构建特征脸空间；第二个阶段是训练阶段，主要是将训练图像投影到特征脸子空间上；第三个阶段是识别阶段，将测试样本集投影到特征脸子空间，然后与投影后的训练图像相比较，距离最小的为识别结果。本方法具有简单、快速和易行等特点,能从整体上反映人脸图像的灰度相关性具有一定的实用价值。 关键词：人脸识别；PCA；识别方式

1 引言 PCA 是一种对数据进行分析的技术，最重要的应用是对原有数据进行简化。正如它的名字：主元分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主要”的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。它的优点是简单，而且无参数限制，可以方便的应用与各个场合，根据矩阵的行数与列数的区别于差异，PCA 又可以划分为D —PCA （Distributed PCA [1]和C —PCA （Collective PCA ）[2]。 1.1 PCA 简介 PCA 方法，也被叫做特征脸方法(eigenfaces)，是一种基于整幅人脸图像的识别算法，被广泛用于降维，在人脸识别领域也表现突出。一个N ×N 的二维脸部图片可以看成是N 的一个一维向量，一张112×92的图片可以看成是一个10，304维的向量，同时也可以看成是一个10，304维空间中一点。图片映射到这个巨大的空间后，由于人脸的构造相对来说比较接近，因此，可以用一个相应的低维子空间来表示。我们把这个子空间叫做“脸空间”。PCA 的主要思想就是找到能够最好地说明图片在图片空间中的分布情况的那些向量。这些向量能够定义“脸空间”，每个向量的长度为N ，描述一张N ×N 的图片，并且是原始脸部图片的一个线性组合。对于一副M*N 的人脸图像，将其每列相连构成一个大小为D=M*N 维的列向量。D 就是人脸图像的维数，也即是图像空间的维数。设n 是训练样本的数目；X j 表示第j 幅人脸图像形成的人脸向量，则所需样本的协方差矩阵为： S r =1()()N T j i j x u x u =--∑ (1) 其中u 为训练样本的平均图像向量： u =1 1n j j x n =∑(2) 令A=[x 1-u x 2-u ……x n -u],则有S r =AA T ,其维数为D*D 。

清华大学流体力学期中复习试题

流体力学期中复习试题 机械61 一、填空题 1．物理量B 在拉格朗日方法中，质点导数用 表示；在欧拉方法中，质点导数用 表示，与其相关的质点导数公式为 。 2．试用文字描述举出流线与迹线重合的两种流场 和 。 3．质量力有势的正压流场为_____________流场。 4．连续介质模型假设成立的条件是 ，其中 (说明符号所表示的含义)。 5．物理量Q 的输运公式是 二、解答题 1． 如图所示，开口为正方形的容器放置在倾角为0 30的光滑斜面上，容器中装有水和油，一塑料小球悬浮于油和水的分解面，一半在水中，一半在油中。容器左侧壁高 1H ，容器右侧壁高2H ，油与空气液面高H （如图） 。求线间断后容器向下滑落的过程中： （1） 如果没有液体溢出，1H 、2H 和H 需要满足的关系式。（平均值） （2） 此时小球在水中的体积变大，变小还是不变？ 2． 已知流场的拉格朗日速度表达式为：cosh sinh u a t b t =+；sinh cosh v a t b t =+； 0w =；且t=0时，x=a, y=b 。 求：（1）此流场的欧拉表达式，并说明该流场是否为稳定流场？ （2）该流场是否为无旋流场？若无旋，求其速度势函数。 （3）该流场是否为不可压缩流场？若不可压缩，求其流函数。

3．水从一个很大的蓄水池中流出，经水力透平冲到一块090挡板上再流入大气，如图所示。现已知挡板受到的水平推力为890N ，求水力透平发出多少功率？假设流动定常，忽略摩擦力并不计弯管中流体的质量力。 4.直径为d 的直管道内放置一个物体。上游来流1-1截面处压力为p ∞，速度为V ∞，均匀分布。当p ∞比较低时在物体后面的水会汽化，形成一个很长的蒸气空腔，腔中蒸气压力为v p ，腔内无流动，如图所示。水的密度为ρ。若下游2-2处空腔边界与管壁间的水流速度均匀分布，求物体受到的阻力D 。（假定水流为理想定常流动，不计重力） 答案：一：1. ;;;B DB DB B V B t Dt Dt t ??=+??? 2.稳定流场，一维流场； 3.静止; 4. 310L λ-<, λ为分子平均自由程，L 为所考察的流体运动尺度； 000()5.()t A D Qd Qd n v QdA Dt t ττττ?=+?????????? 二、1．122H H H += ；不变 2.u=y;v=x;w=0; 无旋, xy ψ=; 不可压221()2y x Φ=- 3. 33.7kW 4. 22(4V D d p p V V π ρρ∞∞=-+-

随机过程2016作业及答案3

1.Players A and B take turns in answering trivia questions, starting with player A answering the ?rst question. Each time A answers a question, she has probability p 1 of getting it right. Each time B plays, he has probability p 2 of getting it right. (a)If A answers m questions, what is the PMF of the number of questions she gets right? The r.v.is Bin(m,p 1),so the PMF is m k p k 1(1 p 1)m k for k 2{0,1,...,m }.(b)If A answers m times and B answers n times,what is the PMF of the total number of questions they get right (you can leave your answer as a sum)?Describe exactly when/whether this is a Binomial distribution. Let T be the total number of questions they get right.To get a total of k questions right,it must be that A got 0and B got k ,or A got 1and B got k 1,etc.These are disjoint events so the PMF is P (T =k )=k X j =0?m j ◆p j 1(1 p 1)m j ?n k j ◆p k j 2(1 p 2)n (k j )for k 2{0,1,...,m +n },with the usual convention that n k is 0for k >n . This is the Bin(m +n,p )distribution if p 1=p 2=p ,as shown in class (using the story for the Binomial,or using Vandermonde’s identity).For p 1=p 2,it’s not a Binomial distribution,since the trials have di ?erent probabilities of success;having some trials with one probability of success and other trials with another probability of success isn’t equivalent to having trials with some “e ?ective”probability of success.(c)Suppose that the ?rst player to answer correctly wins the game (with no prede-termined maximum number of questions that can be asked).Find the probability that A wins the game. Let r =P (A wins).Conditioning on the results of the ?rst question for each player,we have r =p 1+(1 p 1)p 2·0+(1 p 1)(1 p 2)r, which gives r =p 11 (1 p 1)(1 p 2)=p 1p 1+p 2 p 1p 2 .1 SI 241 Probability & Stochastic Processes, Fall 2016 Homework 3 Solutions 随机过程2016 作业及答案

随机过程及其应用-清华大学

4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？ 对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是 k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=) (0)()(t N k k t t t S 使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E == 对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下， n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。不过就他们的和n t t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以 2))((2)2)(())((2 2)())(|)((2 0t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E n k k λ= ===- =-==∑=从而有 4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。定义风险率)(t λ如下) (1) ()(t F t f t -= λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。定义随机过程 )(t N 如下}),,..,max(:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=- 这里A #表示集合A 中的元素个数。如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。

[考研类试卷]流体力学(流体静力学)历年真题试卷汇编4.doc

[考研类试卷]流体力学（流体静力学）历年真题试卷汇编4 一、多项选择题 下列各题的备选答案中，至少有一个是符合题意的，请选出所有符合题意的备选答案。 1 (西南交通大学2003—2004学年第1学期期末考试试题A卷)下列关于压力体的说法中，正确的有( )。 （A）当压力体和液体在曲面的同侧时，为实压力体，P z方向向下 （B）当压力体和液体在曲面的同侧时，为虚压力体，P z方向向上 （C）当压力体和液体在曲面的异侧时，为实压力体，P z方向向下 （D）当压力体和液体在曲面的异侧时，为虚压力体，P z方向向上 2 (中国农业大学2007一2008年度秋季学期期末考试试题)判断题：基准面可以任意选取。 （A）正确 （B）错误 3 (西南交通大学2003--2004学年第1学期期末考试试题A卷)判断题：在工程流体力学中，单位质量力是指作用在单位重量流体上的质量力。 （A）正确 （B）错误 4 (哈尔滨工业大学2007年秋季学期期末考试试题)推求流体静平衡微分方程。 5 (哈尔滨工业大学2007年秋季学期期末考试试题)说明静止流体对曲面壁总作用力的计算方法。

6 (南京大学2005—2006学年第2学期期末考试试题)质量力和面力的区别是什么? 四、单项选择题 下列各题的备选答案中，只有一个是符合题意的。 7 (西南交通大学2003—2004学年第1学期期末考试试题A卷)平衡流体的等压面方程为( )。 （A）f x一f y一f z=0 （B）f x+f y+f z=0 （C）f x dx一f y dy一f z dz=0 （D）f x dx+f y dy+f z dz=0 8 (西南交通大学2003—2004学年第1学期期末考试试题A卷)静止液体作用在曲面上的静水总压力的水平分力P x=p c A x=ρgh c A x，式中的( )。 （A）p c为受压面形心处的绝对压强 （B）p c为压力中心处的相对压强 （C）A x为受压曲面的面积 （D）A x为受压曲面在铅垂面上的投影面积 9 (中国石油大学<华东>2004--2005学年第2学期期末考试试题)作用在流体的力有两大类，一类是表面力，另一类是( )。 （A）质量力 （B）万有引力 （C）分子引力

清华大学2006年流体力学期末试卷

2006年流体力学期末考试 1．第一部分 共20分，每题5分 [1]. 一直径为10cm 长200m 的光滑圆管水平连接着两个20℃的水槽，其中一个的水位为800m ，另一为650m ，问其流量约为多少？若管子粗糙，实际流量为100m 3 /h ，问平均粗糙度是多少？ [2]. 一个直径2cm 光滑铝球（SG=2.7）在20℃的静止水中下沉，若其基于迎风面积的阻力系数为0.5，问该球下沉的终极速度是多少。 [3]. 一个500K 和200kPa 的空气源为一喷管提供等熵流动，若在某截面的压力为150kPa ，问该处的马赫数和温度各是多少？ [4]. 有一温度500K 、压力300kPa 的大空气容器连接一Laval 喷管，其喉部面积为0.06平方米。若由其作定常等熵流动，最大质量流量为多少？ 2．第二部分 共80分，每题20分 [1]. 一水池有20?C 的水1 m 3，其底部接一ε约为0.0012的粗糙圆管（见右图）。 求此时的出口流量Q （m 3/h ）。如果流体为SAE 10W30 号油，问圆管出口为 湍流还是层流？（提示：本题若需迭代，初始值D Re 100000=，迭代步数3≤） [2]. 一充满氦气的气球由一细线栓于地面，细线的重量、阻力皆可忽略，环境 空气为20?C 和一个大气压。气球不含氦气时的材料重量为0.2N 。气球内 的氦气压力为120kPa ，直径50cm 。求：若风速分别为（a ）4m/s 和（b ） 24m/s 时θ角是多少。 [3]. 考虑20?C 的水以5m/s 的速度流过直径1.2米的圆柱。请问需要多大强度的偶极子λ来模拟这一流动？如果远处来流静压为150kPa ，应用无粘理论，给出角度θ为(a) 180?、 (b) 135?、和(c) 90?时圆柱表面的压力。若该圆柱有环量Γ，求其为多少时θ= 35°和145°处有驻点。 [4]. 空气流过一连接两大气源的Laval 喷管，连接喉部和下 游气源的水银柱高为15h cm =（如右图）。估算下游气源 压力。喷管中有正激波吗？如果有，它是在喷管出口还 是上游一些？如果该喷管精确地运行于超音速的设计条 件，水银柱高应为多少？

生活中的流体力学

生活中的流体力学 姚** 北京科技大学数理学院，北京，100083 Email： Sunday, June 10, 2012 摘要：本文介绍了流体力学的基本定理，牛顿黏性定率，并给出了流体力学在生活中的几个利用的例子。 关键字：流体力学生活牛顿流体 1、牛顿粘性定理和非牛流体 英国科学家牛顿于1687年，发表了以水为工作介质的一维剪切流动的实验结果。实验是在两平行平板间充满水时进行的，下平板固定不动，上平板在其自身平面内以等速U向右运动。此时，附着于上、下平板的流体质点的速度，分别是U和0，如图1-1，两平板间的速度呈线性分布，斜率是黏度系数。由此得到了著名的牛顿黏性定律。[1] 图1-1 牛顿粘性定律 而斯托克斯1845年在牛顿粘性定律的基础上，作了应力张量是应变率张量的线性函数、流体各向同性及流体静止时应变率为零的三项假设，从而导出了广泛应用于流体力学研究的线性本构方程，以及被广泛应用的纳维-斯托克斯方程（简称：纳斯方程）。 后来人们在进一步的研究中知道，牛顿黏性实验定律（以及在此基础上建立的纳斯方程），对于描述像水和空气这样低分子量的简单流体是适合的，而对描述具有高分子量的流体就不合适了，那时剪应力与剪切应变率之间己不再满足线

性关系。为区别起见，人们将剪应力与剪切应变率之间满足线性关系的流体称为牛顿流体，而把不满足线性关系的流体称为非牛顿流体。人身上的血液、淋巴液、囊液等多种体液，以及像细胞质那样的“半流体”，都属于非牛顿流体。 2、几个生活中流体力学应用的例子 2.1、汽车设计上的流体力学 在我们身边来来往往飞驰的汽车，更是与流体力学的巧妙结合。 以汽车为例，影响和提升汽车的动力特性的装置主要的是它的导流罩。研究表明，在厢式货车上安装导流罩，可以大幅度的降低气动阻力、节省燃料消耗。安装导流罩使得气动阻力系数曲线上的临界雷诺数增大:设置薄壁式的导流罩底边和驾驶室顶面之间的间隙，可以增强导流罩的减阻效果。在厢式货车尾部安装涡流稳定器，可以降低尾涡区内气流能量的消耗，使静压回升，压差阻力减小。 图2-1-1 鱼型图2-1-2 楔型 前上部导流罩装在驾驶室顶上，能将迎面气流导向车顶和侧围，消除或向高出驾驶室顶部以及驾驶室与货箱之间空间的影响。他有三种形式：板罩式，立体式和涡流凹板式，三种形式分别可使气动阻力降低20%~30%，25%~35%，15%~20%，第一种已被大量采用，第二种用得比较广，第三种使用的有限。前下部导流罩和前侧阻翼板，俩者均装在保险杠上，下部导流罩使进入车下的导流不与车下部分突出的构建相互作用，从而可使汽车的气动阻力降低10%~15%。车身前侧导流罩和前侧翼板，这俩种装置都在车身前部分的流线形，可以改善车身部分的流线形，使汽车的气动阻力分别降低10%~15%和5%~10%。 导流罩对卡车的气动特性有很大的影响。卡车要采用辅助措施使其有平滑的过渡面，是其表面外形不易产生涡流。最重要的是导流罩的处理，应由到气流平顺的流过顶盖。厢式货车安装导流罩可使汽车表面的流谱发生重要变化，流谱的改变可大幅度的减小气动阻力，对减阻节能意义重大。[2]

随机过程作业

定理、引理及推论部分 定理 5.1（Champan-Kolmogorov 方程，简称C-K 方程） 对一切n,m ≥0,i,j ∈S 有 （1） p () n m ij +=()() ∑ ∈S k n kj m ik p p ; （2） () () () n n n n p p p p p p p ====-- 21.... 定理5.2 每个Markov 链}{ ,2,1,0:=n Y n 都具有强的Markov 性；即， 对每个停时τ，给定直到时刻τ的过去，之后过程Y } { ,1,0:==++n Y n t t 在}{∞ τ 上的分布是P Y . 定理5.3 互通是一种等价关系，即满足： （1） 自反性i ?i; （2） 对称性i ?j,则j ?i ； （3） 对称性i ?j ，j ?k,i ?k. 定理5.4 若状态i,j 同属一类，则d ()i =d ()j . 定理5.5 状态i 为常返状态当且仅当) (n ii n p ∑ ∞ =0=∞；状态i 为非常返态时 ) (n ii n p ∑ ∞ =0 = ii f -11，因而此时) (.0lim =∞ →n ii n p 引理5.1 对任意状态i,j 及1≤n +∞,有 p () ()() ∑ =-= n l l n jj l ij n ij p f 1 . 引理5.2 若i ?j 且i 为常返态，则f .1=ii 定理5.6 常返态是一个类性质. 定理5.7 任意Markov 链的状态空间S ，可惟一分解为有限个或可列个互不相交的子集D,C 1 ,C ,2 之和，使得

（1） 每一个C n 是常返状态组成的不可约闭集； （2） C n 中的状态同类，或者全是正常返态，或者全是零常返态。 它们有相同的周期且f . ,,1n ii C j i ∈= （3） D 由全体非常返态组成.自C n 中状态出发不能到D 达中状态. 定理5.8 周期为d 的不可约Markov 链，其状态空间S 可惟一地分解为d 个互不相交的子集之和，即 S=1 0-=d r S r , S ,φ=?s r S r ≠s, 且使得自S r 中任意状态出发，经1步转移必进入中（其中S = d S 0 ）. 定理5.9 若状态i 是周期为d 的常返状态，则 ∞ →n lim p ( ) ,j nd jj d μ = 当∞ =j μ 时， =j d μ . 推论5.1 设i 为常返状态，则i 为零常返状态? () .0lim =∞ →n ii n p 定理5.10 若j 为非常返状态或零常返状态，则对S i ∈?， () .0lim =∞ →n ii n p 推论5.2 有限状态Markov 链，不可能全为非常返状态，也不可能有零常返状态，从而不可约的有限Markov 链是正常返的. 推论5.3 若Markov 链有一个零常返状态，则必有无限个零常返状态. 定理5.11 若j 为正常返状态且周期为d ，则对i ?及0≤r ≤d-1,有 () () .lim j ii r nd ij n d r f p μ =+∞ → 推论5.4 设不可约的、正常返的、周期为d 的Markov 链，其状态空间为S,则对任何状态i →j,i,j ,S ∈有