计算方法复习题
第一章 误差
1 问3.142，3.141，7
22分别作为π的近似值各具有几位有效数字？
分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π=3.141 592 65…
记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=7
22.
由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知
34111
10||1022
x π--?<-≤? 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知
223102
1||1021--?≤-
因而x 2具有3位有效数字。
由π-7
22=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知
23102
1|722|1021--?≤-
因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。 分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101
2110
21|*||*||)(|1211*=??≤?≤-=+-+-n r
a x x x x ε 3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？
分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。 解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)
1(2110)19(21102110003%3.0)(--?+≤?+?=?<
=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。 分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411
*10%01.01021|*||
*||)(-+-=≤?≤-=
n r a x x x x ε
解不等式411
101021-+-≤?n a 知取n=4即可满足要求。
5 为了使计算
3
2)1(6)1(41310---+-+
=x x x y
的乘除法运算次数尽量地少，应将表达式改写为怎样的形式？
解 设.))64(3(10,1
1t t t y x t -++=-=
在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能小。
第二章 插值法与数值微分
1 已知12144,11121,10100===，试利用插值法近似计算115。 分析 由题中已知条件本题可利用三点二次Lagrange 插值，也可利用三点二次Newton 插值，它们所得结果相同。
解 利用三点二次Lagrange 插值。 记12,11,10,144,121,100,)(210210=======
y y y x x x x x f ，则)(x f 的二次
Lagrange 插值多项式为
))(()
)(())(())(()(2101201
2010210
2x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----= )
)(()
)((1202102x x x x x x x x y ----+
)
144121)(100121()
144)(100(11)144100)(121100()144)(121(10----?
+----?=x x x x )121144)(100144()
121)(100(12----?+x x
)115(115)115(2L f ≈=
)
144121)(100121()
144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10----?
+----?
= 756722.10)
121144)(100144()
121115)(100115(12≈----?
+
因为25
23
21
8
3)(,41)(,21)(-
--='''-=''='x x f x x f x x f ，
)()()(22x L x f x R -=
)144,100(),)()()((!
31210∈---'
''=ξξx x x x x x f
所以
|)115()115(||)115
(|22L f R -= |)144115)(121115)(100115(8361|25
---??=-
ξ
≤22510125163.029*******
361--
?=?????
2 已知)(x f y =的函数表
求函数)(x f 在[0,2]之间的零点的近似值。
分析 一般情况下，先求出)(x f 在[0，2]上的插值函数)(x P ，然后求)(x P 的零点，把此零点作为)(x f 的近似零点。特别地，若)(x f 的反函数存在，记为)(y x ?=，那么求)(x f 的零点问题就变成求函数值)0(?的问题了，利用插值法构造出)(y ?的插值函数，从而求出
)(x f 的零点)0(?的近似值，这类问题称为反插值问题，利用反插值时，必须注意反插值条件，即函数)(x f y =必须有反函数，也即要求)(x f y =单调。本题i y 是严格单调下降排列，
可利用反插值法。
利用三点二次Lagrange 插值，由上反函数表构造)(x f y =的反函数)(y x ?=的二次Lagrange
插值多项式。
令2,1,0,18,5.7,8210210===-=-==x x x y y y ，则)(y x ?=的二次Lagrange 插值多项式为
))(()
)(())(())(()(2101201
1210210
2y y y y y y y y x y y y y y y y y x y L ----+----= )
)(()
)((1202102
y y y y y y y y x ----+
函数)(x f y =的近似零点为
)185.7)(85.7()
180)(80(1)188)(5.78()180(50.70(0)0(2+---+-?
+++++?
=L )
5.718)(818()
5.70)(80(2+---+-?
+
232445.0≈
3 已知5,3,2,0=x 对应的函数值为5,2,3,1=y ，作三次Newton 插值多项式，如再增加6=x 时的函数值6，作四次Newton 插值多项式。
分析 本题是一道常规计算题 解 首先构造差商表
三次Newton 插值多项式为
)3)(2(10
3)2(321)(3--+--+=x x x x x x x N
增加6)(,644==x f x 作差商表
四次Newton 插值多项式为
)3)(2(10
3)2(321)(4--+--+=x x x x x x x N
)5)(3)(2(120
11----x x x x 4 已知sin30°=0.5，sin45°=0.7071，sin ˊ(30°)=cos30°=0.8660，sin ˊ(45°)=cos45°=0.7071，求sin40°。
分析 本题不仅给出两点上的函数值，而且还给出了导出数值，因此应利用两点三次Hermite 插值。
解 利用两点三次Hermite 插值 )9
2()40(40sin 33πH H =≈
5.0)4
/6/4/9/2)(6/4/6/9/221(2?----?+=ππππππππ
7071.0)6
/4/6/9/2)(4/6/4/9/221(2?----++ππππππππ
8660.0)4/6/4/9/2)(692(2?---+ππππππ
7071.0)6
/4/6/9/2)(49
2(2?---+ππππππ
=0.6428
|)4
92()692(!4)(sin |)92(|2
2)4(ππππξπ--=R ≤01001.0)36
()18(24122≤-ππ
5 对于给定插值条件
试分别求出满足下列边界条件的三次样条函数)(x S ：
（1）2)3(.1)0(='='S S （2）2)3(.1)0(=''=''S S
分析 这是三次样条插值问题，给出了两种边界条件，我们按样条插值的求解方法即能求得问题的解。
解 记
,0,1,1,0,3,2,1,032103210========y y y y x x x x
1231201==-=-=-h x x x x x x
2,1,2
1===j j j λμ
三次样条插值函数的表达式为
3131)(6
1)(61)(j j j j x x M x x M x S -+-=++
))(6
1())(61(111j j j j j i x x M y x x M y --+--++++
2,1,0],,[1=∈+j x x x j j （1）
（1）0)11(6}1],[{6100=-?=-?=x x f d
18)12(6]},[2{6323=+?=-?=x x f d
3)2
1(6],,[62101-=-?==x x x f d
3)2
1(6],,[63212-=-?==x x x f d
关于3210,,,M M M M 的方程组为
解得
)2(7
066.11,3133.4,3533.0,7266.03210=-=-==M M M M
将数据（2）代入（1）得所求三次样条插值函数为：当]1,0[∈x 时，
33)0)(3533.0(6
1)1(7266.061)(--?+-?=x x x S
)0))(3533.0(6
11()1)(7266.0610(--?-+-?-+x x
x x x x 88088.1)1(0445.088088.0)1(5444.033+----= 当]2,1[∈x 时，
33)1)(3133.4(6
1)2)(3533.0(61)(--?+--?=x x x S
)1))(3133.4(611()2))(3533.0(611(--?-+--?-+x x )2(88088.1)1(88688.0)2(88088.033x x x -+----=
)1(88688.1-+x
当]3,2[∈x 时，
33)2)(7066.11(61)3)(3133.4(61)(--?+--?=x x x S )2))(7066.11(6
10()3))(3133.4(6
11(--?-+--?-+x
x )3(88688.1)2(45844.1)3(88688.033x x x -+----= )2(45844.1--x
（2）2,130==M M （3） 关于21M M 和的方程组为
01232100011213221
130222180
1
2M M M M ??
????????????-??????=??????-????????????????
??
????--=?????????
???
??427
22
1212
21M M
解得
7666.1,3333.121-=-=M M （4）
将（3）和（4）代入（1）得所求三次样条插值函数为：当]1,0[∈x 时，
33)0)(33333.1(6
1)1(61)(--?+-=x x x S
)1))(7666.1(6
11()1)(610(--?-+--+x
x x x x x 22222.1)1(67166.022222.0)1(67166.033+----= 当]2,1[∈x 时，
33)1)(7666.1(6
1)2)(3333.1(61)(--?+--=x x x S )1))(7666.1(6
11()2
))(3333.1(611(--?-+--?-+x x )2(22222.1)1(78277.0)2(22222.033x x x -+----= )1(78277.1-+x 当]3,2[∈x 时，
33)2(26
1)3)(7666.1(61)(-?+--=x x x S
)2)(26
10()3))(7666.1(611(-?-+--?-+x x
)3(78277.1)2(33333.0)3(78277.033x x x -+----= )2(33333.0--x
第三章 数 值 积 分
1 指出下列数值积分公式的代数精度，并问哪些是插值型求积公式？
（1）
?
-+-≈1
1)31()31()(f f dx x f （2）?-++-≈1
1)515(95)0(98)515(95)(f f f dx x f （3）?-≈1
1)0(2)(f dx x f
（4）?
-++-≈11
)]1()0(4)1([3
1)(f f f dx x f
分析 本题利用求积公式代数精度和插值型求积公式的定义便可得出结论。
解 （1）??--=---=1
11
1
013
13131
)(dx x dx x l .
?
?
--=++=1
1
1
1
113
13131
)(dx x dx x l 故（1）是插值型求积公式，公式对32,,,1)(x x x x f =准确成立，而对4)(x x f =不能准确成立，故其代数精度为3。
（2）类似于（1）的推导是插值型求积公式，代数精度为5。
（3）公式用)0(f 近似代替)(x f 得到的，)0(f 近似代替)(x f 是零次插值，故是插值型的，对x x f ,1)(=准确成立，而对2)(x x f =不准确成立，故代替精度为1。
（4）??--=----=1
11103
1)11)(1()
1()(dx x x dx x l
?
?
--=-+-+=1
1
1
113
4)10)(10()
1)(1()(dx x x dx x l
?
?
--=-+?+=1
1
1
123
1)01)(11()1()(dx x
x dx x l ，故是插值型求积公式，公式对32,,,1)(x x x x f =准
确成立，而对4)(x x f =不准确成立，故公式具有3次代数精度。
2 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽最高，并指明求积公式所具有代数精度。
（1）
?
--++-≈h
h h f A f A h f A dx x f )()0()()(101
（2）)](3)(2)1([31)(211
1x f x f f dx x f ++-≈?- （3）)]()0(
[)]()0([2
)(20h f f ah h f f h dx x f h
'-'++≈?
分析 求解这类题目，一般都应按照求积公式代数精度的定去作，即先列出参数满足的代数方程组，解出这些待定参数，然后用所确定的求积公式判断所具有的代数精度。
解 （1）求积分公式中含有三个待定参数，即101,,A A A -。令求积公式对2,,1)(x x x f =准确成立，即
h A A A 2101=++- 0)(11=---A A h 31123
2)(h A A h =+-
解得h A h A A 3
4,31011===-.所求公式至少具有2次代数精度，又将43,)(x x x f =代入所确定
的求积公式，有
?-+-==h
h h h h h dx x )(3
)(303
3
3
?-+-≠=h
h h h h h h dx x 4
4
5
4
3
)(352
故所建立求积公式?-++-≈h h
h f h f h h f h dx x f )(3
)0(34)(3)(具有3次代数精度。
（2）求积公式中含两个特定参数21,x x ，当1)(=x f 时，易知有
?
-++-=1
121)](3)(2)1([3
1)(x f x f f dx x f 故令求积公式对2,)(x x x f =准确成立，即 13221=+x x
13222
21=+x x 由第一式解得2/)31(21x x -=，代入第二式，得
016152
22=--x x 最后解出
.01=x 689 90 .01-=x 289 90
=2x -0.126 60 =2x 0.526 60 将3)(x x f =代入已确定之求积公式，有
?
-++-≠=1
132313]321[3
10x x dx x
故所建立求积公式具有2次代数精度，所求节点为.01=x 689 90, =2x -0.126 60或
.01-=x 289 90，=2x 0.526 60两组。
（3）求积公式中只含有一个待定参数a ，当x x f ,1)(=时，有
?++=h
h dx 00]11[21 ?-++=h
ah h h xdx 02)11(]0[2
故令2)(x x f =时求积公式准确成立，即 ?
-?++=h
h ah h h dx x 0
222]202[]0[2
解得12
1=a .
将3)(x x f =代入上述确定的求积公式，有
?
-++=h
h h h h dx x 0
22
33
]30[12
]0[2 这说明求积公式至少具有3次代数精度，再令4)(x x f =，代入求积公式时有
?-++≠h
h h h h dx x 03244
]40[12]0[2
故所建立求积公式?'-'+-≈h h f f h h f f h dx x f 02
)]()0(
[2
)]()0([2)(具有3次代数精度。 3 若用复化梯形求积公式
?-1
x
e
的近似值，问要将积分分区间[0，1]分成
多少等份才能保证计算结果有四位有效数字？若用复化抛物线求积公式呢？
分析 这是一道关于求积公式余项的讨论题。结合复化梯形求积公式和复化抛物线求积公式的余项公式与有效数字的概念即可得出结论。
解 记x
e x
f -=)(，则?--=='
'1
)4(.)()(dx e e x f x f x x 的真值具有零位整数，所以 要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过4102
1-?。
复化梯形求积公式的误差)(12
);(2ηf h a b T f R n '
'--=，其中： n a b h a b -==-=-,101x e x f n -=''=)(,1.
要使4222102
1121121)(12|);(|--?≤≤=''=
n e n f h T f R n ηη，只要421061-?≥n ， 开平方得8.40≥n ，取.41=n
因此，若用复化梯形公式求
?-1
dx e
x
的近似值，需将区间[0，1]分成41等份才
能保证计算结果有四位有效数字。
若用复化抛物线求积公式，则由其误差估计式（3.11）知，要使
444)4(4102
1288012880)(2880|);(|--?≤≤=--=n e h f h a b S f R n ηη 只要2≥n ，因此用复化抛物线求积公式计算，只需将区间[0，1]分成2等份。 以上计算结果表明，为达到相同的精度，用复化抛物线求积公式所需的计算量比复化梯形求积公式少。
4 用Gauss-Legendre 公式计算 dx e x I x ?=
1
2
分析 利用Gauss-Legendre 公式直接计算即可。 解 G auss-Legendre 公式的求积节点i x 与系数i A 如下表：
本题所给积分区间为[0,1]，所以，必须先作变量替换)1(21t x +=，则dt dx 2
1=,
于是
dt e t dx e x I t x ??-++==11)
1(21
21
02)]1(2
1[21
当2=n 时，用表中的Gauss 点和求积系数，可得
∑=≈1
)(21i i i x f A I
)
3350577.01(212)3350577.01(212)3350577.01()3350577.01[(81++-++=e e ≈0.711 941 8
当3=n 时，用表中的Gauss 点和求积系数，可得
∑=≈2
)(21i i i x f A I
)
7596774.01(212)7596774.01()6555555.0[(81++?=e
)0000000.01(2
12)0000000.01(9888888.0++?+e
)7596774.01(2
12)7596774.01(6555555.0+-?+e
≈0.718 251 9
第六章 解线性代数方程组的直接法
1 利用（顺序）Gauss 消去法求解方程组b AX =，其中
???
?
????-=????
??????-----=0174,
4221232223522121b A 解 （1）消元过程用矩阵表示为
?????---
--=0422
1
153227235
24212
1[)
0()0(b
A ???
?????---47146
12215110212
00
01 ----49146
32213110012
01???
?????----79147
32203110012
0001 ][)3()3(b A =
经三步消元后；原方程组化为同解的上三角形方程组)3()3(b X A =。
（2）回代过程
对方程组)3()3(b X A =自下而上按未知元i x 的下标逆序逐步回代得原方程组的解为
.)1,2,1,2(,2,1,2,11234T X x x x x --==-==-=即
2 用选列主元素的Gauss 法解下列方程组
（1）??????=????????????138141234
122
1321x x x （2）???
?????-=?????????
????
?-----26151511141
1131
1333
118124321x x x x
解（1）消元过程用矩阵表示为
???138141
234122
01
148133
212141
02
??
??
??
2158132
5210
14
002 得同解三角方程组
1342321=++x x x 8232=+x x 2
15253=x
回代求解得
()()
325/2153==x
23282832=?-=-=x x
12/)32413(2/)413(321=-?-=--=x x x 即T X )3,2,1(=.
（2）消元过程用矩阵表示为
?????----261515111411131
1????
?------261515114111311133311218
-18 3 -1 -1 -15
0 -1 37 310 5 0 67 1817 1817 631 0
67- 65 21-
-18 3 -1 -1 -15 0 23 67- 65 21-
0 6
7 1817 1817 6
31
0 -1 37 3
10 5
-18 3 -1 -1 -15
0 23 67- 65 21-
0 0 278 9
50
1
3)2
11
23
21
3181r r +1
46
1r r +2
42
3)97(r r -+2
0 0 914 935 3
14
-18 3 -1 -1 -15
0 2
3 67- 65 2
1- 0 0 2750 278 950 0 0 0 25
91 0
得同解上三角方程组
153184321-=--+-x x x x
21656
72343
2
-=+-x x x 9
5027827
5043
=+x x 027
504=x
回代求解得.1,2,3,01234====x x x x 即T X )0,3,2,1(=.
3 用直接三角分解法求解方程组 962424321=+++x x x x 23156944321=+++x x x x 22189624321=+++x x x x 4740181564321=+++x x x x 解 方程组的系数矩阵和右端项分别为
???
?????=???????
?=4722239,401815618
962156946
242
b A （1）分解LU A =. 由公式（6.5）得
????
?????
?????
?
?????=163
321
624
2
12
331
211
21A （2）求解b LY =，即
?
??
?
????=???????????
????
??
??
?472223912331
211
21
4321y y y y 34)25
21(r r -+
由公式（6.6）解得T Y )1,3,5,9(-=.
（3）求解Y UX =，即
???
?
????-=????????????
?????
?1359163
321
624
24321x x x x 由公式（6.7）解得T X )1,3,2,5.0(-=
4已知4316A -??
=?
?
-??
，求12,,.A A A ∞ 5求矩阵A 的条件数cond 1(A )，其中
1010010A -??
=?
?
??
第八章 解线性方程组的迭代法
1 对方程组
1231231
232212223
x x x x x x x x x +-=??
++=??++=? 分别讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解的收敛性。
分析 一般要证明某一种迭代法是收敛的，可利用学过的多种充分条件，也可用充要条件，但若要证明某一种迭代法的发散的，则只能用充要条件，观察本题的系数阵的特点，它既不严格对角占优，也不正定对称，因此应首先分别写出Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵B ，可得用迭代法收敛的充要条件，即通过谱半径(B)是否小于1来判定收敛性。
解 由迭代法的基本收敛定理7.1知，迭代法是否收敛等价于迭代矩阵的谱半径（B ）是否小于1，为此，下面先发别求迭代矩阵。
U L D A ++=????
?
?????-+??????????=??????????=???
???????-=0102200220101111
221
11221 所以
??
??
?
?????-=??
???
?????=??
??
?
?????=010220,022010,111U L D
则Jacobi 迭代法的迭代矩阵为
?????????
?
-----=??
????????-??????????-??????????=-=-0
221012
201
221112
211111111A D I B j 其特征方程为
0221122
||3
==???
??????
?
--=-λλλ
λλj B I
因此有0321===λλλ，即10)(<=j B ρ，所以Jacobi 迭代法收敛。
而对于Gauss-Seidel 迭代法，由
??
??
?
?????=+122011001L D
容易求得
????
??????--=+-122011001
)(1
L D
则Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为
??
???????
?
--=??????????-??????????---=+-=-20
0300220000100220120011001
)(1U L D B G 其特征方程为
0)2(200
3
2022||2=-=???
??????
?
---=-λλλλλλg B I 因此有 01=λ，232==λλ，即12)(>=G B ρ，所以Gauss-Seidel 迭代法发散。
2 分别讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组AX=b 是收敛性，其中
??
??
??????---=??????????=111,210121112b A
分析 显然A 不可约且弱对角占优，利用[判别条件I]直接得出结论。
3 设有方程组AX=b ，其中
,201120223??
??
?
?????=A
用此例说明[判别条件I]对Jacobi 迭代法来说只是一个充分条件而不是必要条件。
4 分别讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组AX=b 是收敛性，如果是收敛，并比较哪种方法收敛较快，其中
,212120203??
??
?
?????--=A
分析 如果要证明一种方法发散，则一般应求迭代矩阵的谱半径，说明它大于1；如果
两种方法收敛，但要比较收敛速度一般也应求谱半径，总之，应该求迭代矩阵的谱半径。
解 （1）对Jacobi 方法，迭代矩阵
?
??
??????
?
--???????
?
??
?
???
?
?-??????????=-=-212120203212
1
3
11111A D I B j
,021*********???????
?
???
??
???
--= 112
11)(<=
j B ρ
（2）对Gauss-Seidel 方法，迭代矩阵
?????
??
?
??
??
?-=??????????-??????????-=+-=--2211002100320010200212203)(11U L D B G
112
11
)(<=G B ρ，方法收敛。
因为
12
11
1211<
，故Gauss-Seidel 方法较Jacobi 方法收敛快。 5 设线性方程组AX b =的系数矩阵为
131232a A a a ????=????-??
试求能使Jacobi 方法收敛的a 的取值范围
分析 本题实际上也是说a 在什么范围以外不收敛，只要涉及到发散，一般总要按收敛的充要条件去讨论，因此首先应求迭代矩阵的谱半径。
解 当0a ≠时，Jacobi 方法的迭代矩阵为
31012
0230a a B a a a a ?
?-??
-????=--??
??-??????
由||0I B λ-=得12,320,||
i
a λλ==±
，由()1B ρ>得||2a >，即||2a >时 ()1B ρ<，Jacobi 方法收敛。
第十章 非线性方程及非线性方程组解法
1 证明0sin 1=--x x 在[0,1]内仅有一个根，使用二分法求误差不大于4102
1
-?的根需要对分多少次？
解 设x x x f sin 1)(--=，则01)0(>=f ，0)1sin()1(<-=f ，且)(x f 在[0,1]上连续，故方程0)(=x f 在[0,1]内至于少有一个根，又因为0cos 1)(<--='x x f ，
]1,0[∈x ，故)(x f 在[0,1]上单调递减，因此)(x f 在[0,1]上有权有一个根。
使用二分法，使误差限为41
1
102
1
21)(2
1|*|-++?≤
=-≤
-k k a b x a ，解得 4102≥k ，2877.132ln /10ln 4=≥k
所以需对分14次即可。
2 使用二分法求0523
=--x x 在区间[2,3]上的根，要求误差不超过
3102
1
-?。 解 设52)(3
--=x x x f ,01)2(<-=f ，016)3(>=f ，且)(x f 在[2,3]上连续，
故方程0)(=x f 在[2,3]内至少有一个根，又23)(2
-='x x f ，当]3,2[∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在[2,3]上是单调递增函数，从而（2，3）内仅有方程的一个求根，（2,3）是0)(=x f 的有根区间，采用二分法，若使误差不超过
31021
-?，则 3111021
2
1)(21|*|-++?≤=-≤-k k a b x a
解得3
102≥k ，2ln /10ln 3≥k ，即10≥k ，从而对分10次时可达到要求，用二分法对分10次的计算结果如下表：
取50942382812.2)0947265625.209375.2(2*=+=
x ，
其误差限为3102
1|*|-?≤-x a 。 3 为求方程012
3
=--x x 在x 0=1.5附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
（1）2/11x x -=，迭代公式：2
1/11k k x x +=+。 （2）23/11x x +=，迭代公式：3/12
1)1(k k x x +=+。
（3）)1/(12
-=x x ，迭代公式：2/11)1/(1-=+k k x x
试分析每种迭代公式在x 0=1.5附近的收敛性，并估计收敛速度。
分析 这类题要利用判别收敛定理来分析敛散性。
解 令1)(2
3--=x x x f ，并取区间[1.4，1.6]，则]6.1,4.1[0∈x ，显然
0)6.1()4.1(
（1）2
1)(x
x +=?，3
/2)(x
x -='?，在[1.4,1.6]上连续，且
172886.04.1/2|)(|3<=≤'x ?故迭代公式（1）局部收敛。
又因为2
/11)(x x +=?，在[1.4，1.6]内有连续二阶导数，且0)(,1|)(|≠'<'a x ??，故迭代过程（1）线性收敛。
（2）2
/1)
1/(1)(-=x x ?，])
1(3/[2)(3
/22x x x +='?在[1.4，1.6]上连续，且有
151741.0)]4.11(3/[6.12)(3/22<=+?≤'a ?，故（2）也局部收敛，收敛速度是线性收敛。
（3）2
/1)
1/(1)(-=x x ?，])
1(2/[1)(3
/2--='x x ?在[1.4，1.6]上连续，且
1])16.1(2/1)(3/2>-≥'a ? ，故局部发散。
由于|)(|0x ?'越小，越快地收于a ，故取第（2）式来求根，计算结果如下：
由于389102
00003447.0||-?<
=-x x ，故可取4656.19≈≈x a 。 4 设)3()(2
-+=x c x x F ，应如何选取c 才能使迭代)(1k k x F x =+具有局部收敛性？c 取何值时，这个迭代收敛较快？
分析 本题应利用局部收敛条件来确定c 。
解 方程)(x F x =的根为3,321=
-=a a ，函数)(x F 在根附近具有连续一阶导
数，又cx x F 21)(+='，解|)3(|-'F =1)321<-c 得3
10<
|)3(|-'F =1|321|<+c 得03 1<<- c ，从而使迭代)(1k k x F x =+具有局部收敛性， 应3 1||< c ，且0≠c 。 令c F 321)3(-=-'得3 21= c ；令0321)3(=+='c F ，得3 21- =c ，这时 02)(≠='c x F 为平方收敛。故当c 取c 321± 时，这个迭代收敛较快。 5 设0,00>>x a ，证明：迭代公式 ) 3()3(2 2 1a x a x x x k k k k ++= + 是计算a 的三阶方法。 分析 本题应说明}{k x 的极限为a ，并且(0)k c =≠才行。 证 显然，当0,00>>x a 时，),2,1(0(0 =>>k k x k 。令22 (3) ()(3)x x a x x a ?+=+，则22222 2222 (33)(3)(3)63()()(3)(3)x a x a x x a x x a x x a x a ?++-+?-'==++ 故对0,|()|1x x ?'?><，即迭代收敛。设{x k }的极限为l ，则有 ) 3() 3(2 2a l a l l l ++= 解得a l l ±==,0。则题知取a l = ，即迭代序列收敛于a k k = )] 3()()(lim 2 33 a x x a x a k k k k +--=∞ → 041 31lim 2≠= +=∞ →a a x k k 故题中迭代式是a 的三阶方法。 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。 计算方法考试题（一） 满分70分 一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nn a a a diag D =，若对角阵D 非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 1 1)(--++=（1） 若记b D f U L D B 111 1),(--=+= （2） 则方程组（1）的迭代形式可写作 ) 2,1,0(1 )(1)1( =+=+k f x B x k k （3） 则（2）、（3）称 【 】 (A)、雅可比迭代。(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。 2、记*x x e k k -=，若0lim 1≠=+∞→c e e p k k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是 【 】 (A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。 3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】 (A)、 ) () (1k x f x f x x k k k '- =+ (B)、 )()())((111--+--- =k k k k k k k x f x f x x x f x x 1 )() ()1()()()(x x f x f x f k i k i k i ??+=+ (D)、 )() ()()1(k k k x f x x -=+ 二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分） 1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商 ，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿 插值多项式为 2、 用二分法求方程 01x x )x (f 3 =-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间 为 。 三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分） 1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。试分别指出试用抛物插值计算115的近似值，并估计截断误差。 3、确定系数101,,A A A -，使求积公式 ) ()0()()(101h f A f A h f A dx x f h h ++-≈? -- （1） 具有尽可能高的代数精度，并指出所得求积公式的代数精度。 《计算方法》期末考试试题 一 选 择（每题3分，合计42分） 1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈（三位有效数字），则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤，减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x 及常向量g ，迭代过程g x B x k k +=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)( 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001- 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 关于地方时的计算 一．地方时计算的一般步骤： 1．找两地的经度差： (1)如果已知地和要求地同在东经或同在西经，则： 经度差=经度大的度数—经度小的度数 (2)如果已知地和要求地不同是东经或西经，则： 经度差=两经度和（和小于180°时） 或经度差=（180°—两经度和）。（在两经度和大于180°时） 2．把经度差转化为地方时差，即： 地方时差=经度差÷15°/H 3．根据要求地在已知地的东西位置关系，加减地方时差，即：要求点在已知点的东方，加地方时差；如要求点在已知点西方，则减地方时差。 二．东西位置关系的判断： （1）同是东经，度数越大越靠东。即：度数大的在东。 （2）是西经，度数越大越靠西。即：度数大的在西。 （3）一个东经一个西经，如果和小180°，东经在东西经在西；如果和大于180°，则经度差=（360°—和），东经在西，西经在东；如果和等于180，则亦东亦西。 三．应用举例： 1、固定点计算 【例1】两地同在东经或西经 已知：A点120°E,地方时为10：00，求B点60°E的地方时。 分析：因为A、B两点同是东经，所以，A、B两点的经度差=120°－60°=60° 地方时差=60°÷15°/H=4小时 因为A、B两点同是东经，度数越大越靠东，要求B点60°E比A点120°E小，所以，B点在A点的西方，应减地方时差。 所以，B点地方时为10：00—4小时=6：00 【例2】两地分属东西经 A、已知:A点110°E的地方时为10:00,求B点30°W的地方时. 分析:Ａ在东经，Ｂ在西经，110°+30°=140°＜180°，所以经度差=140°，且A点东经在东，B点西经在西，A、B两点的地方时差=140°÷15°/H=9小时20分，B点在西方， 所以，B点的地方时为10：00—9小时20分=00：40。 B、已知A点100°E的地方时为8：00，求B点90°W的地方时。 分析：A点为东经，B点为西经，100°+90°=190°＞180°， 则A、，B两点的经度差=360°—190°=170°，且A点东经在西，B点西经在东。 所以，A、B两点的地方时差=170°÷15°/H=11小时20分，B点在A点的东方， 所以B点的地方时为8：00+11小时20分=19：20。 C、已知A点100°E的地方 8：00，求B点80°W的地方时。 分析：A点为100°E，B点为80°W，则100°+80°=180°，亦东亦西，即：可以说B点在A点的东方，也可以说B点在A点的西方，A，B两点的地方时差为180÷15/H=12小时。所以B点的地方时为8：00+12小时=20：00或8：00—12小时，不够减，在日期中借一天24小时来，即24小时 +8：00—12小时=20：00。 2、变化点计算 【例1】一架飞机于10月1日17时从我国上海（东八区）飞往美国旧金山（西八区），需飞行14小时。到达目的地时，当地时间是（） A. 10月2日15时 B. 10月2日3时 C. 10月1日15时 D. 10月1日3时 考完试了，顺便把记得的题目背下来，应该都齐全了。我印象中也就只有这些题，题 目中的数字应该是对的，我也验证过，不过也不一定保证是对的，也有可能我也算错了。 还有就是试卷上面的题目可能没有我说的这么短，但是我也不能全把文字背下来，大概意 思就是这样吧。每个部分的题目的顺序可能不是这样，但总体就是这四大块。至于每道题 目的分值，我记得的就写出来了，有些题目没注意。我题目后面写的结果都是我考试时算 出来的，考完了也懒得验证了，可能不一定对，自己把握吧，仅供参考。 华南理工大学2016计算机计算方法（数值分析）考试试卷 一填空题（16分） 1.（6分）X* = 3.14，准确值x = 3.141592，求绝对误差e(x*) = ，相对误差e r(x*) = ，有效数位是。 2.（4分）当插值函数的n越大时，会出现龙格现象，为解决这个问题，分段函数不一个 不错的办法，请写出分段线性插值、分段三次Hermite插值和三次样条插值各自的特点。 3.（3分）已知x和y相近，将lgx – lgy变换成可以使其计算结果更准确。 4.（3分）已知2x3 – 3x2 +2 = 0，求牛顿迭代法的迭代式子。 解题思路：1. 这里的绝对误差和相对误差是没有加绝对值的，而且要注意是用哪个数减去哪个数得到的值，正负号会不一样；2. 可以从它们函数的连续性方面来说明；3. 只要满足课本所说的那几个要求就可以；这个记得迭代公式就可以直接写，记不住可以自己推导， 就是用泰勒展开式来近似求值得到的迭代公式。 我最终的结果是： 1.-0.001592 -0.000507 3 2.分段线性插值保证了插值函数的连续性，但是插值函数的一次导数不一定连续； 分段三次Hermite既保证了插值函数的连续性，也保证了其一次导数的连续性； 三次样条插值保证了插值函数及其一次导数和二次导数的连续性 3.lg(x/y) 4.x k+1 = x k – (2x3 – 3x2 +2)/(6x2 -6x) 二计算题（64分） 1.已知f(x) = x3 –x -1，用对分法求其在[0 , 2]区间内的根，误差要满小于0.2，需要对分多 少次？请写出最后的根结果。 解题思路：每次求区间的中值并计算其对应的函数值，然后再计算下一个区间中值及函数值，一直到两次区间中值的绝对值小于0.2为止。 我最终算得的对分次数是4，根的结果为11/8. 2.根据以下数据回答相应问题： x-2045 y51-31 (1)请根据以上数据构造Lagrange三次插值函数； (2)请列出差商表并写出Newton三次插值函数。 解题思路：(1) 直接按照书本的定义把公式列出来就可以了，这个要把公式记住了才行，不然也写不了；(2)差商表就是计算Newton三次插值函数过程中计算到的中间值及结 《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ 2 10- ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ))((!2) (b x a x f --''ξ ） 。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5 2 ）。 4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题 1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。 A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2 )(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝?? ? ? ??3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ） ． Ａ． 2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6 π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）. A ．)(h o Ｂ．)(2 h o Ｃ．)(3 h o Ｄ．)(4 h o 三、计算题 1．求矛盾方程组：??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2 212 212 2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?， 由 0,021=??=??x x ? ?得：???=+=+9 629232121x x x x ， 解得14 9 ,71821== x x 。 计算方法试题 1．有效数字位数越多，相对误差越小。（） 2．若A是n×n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A=LU唯一成立。（） 3．当时，型求积公式会产生数值不稳定性。（） 4．不适合用牛顿-莱布尼兹公式求定积分的情况有的原函数不能用有限形式表示。（） 5．中矩形公式和左矩形公式具有1次代数精度。（） 1．数的六位有效数字的近似数的绝对误差限是（） 2．用二分法求方程在区间[0，1]内的根，进行一步后根的所在区间为（）。 3．求解线性代数方程组的高斯-赛德尔迭代格式为（ ） 4．已知函数在点=2和=5处的函数值分别是12和18，已知，则（）。 5．5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为（）。 1．不是判断算法优劣的标准是（）。 A、算法结构简单，易于实现 B、运算量小，占用内存少 C、稳定性好 D、计算误差大 2．计算（），取，采用下列算式计算，哪一个得到的结果最好？ （）。 A、 （）B、99-70C、D、 （） 3．计算的Newton迭代格式为（）。 A、B、C、D、4．雅可比迭代法解方程组的必要条件是（）。 A、A的各阶顺序主子式不为零 B、 C、，，，， D、 5．设求方程的根的切线法收敛，则它具有（）敛速度。 A、线性 B、超越性 C、平方 D、三次 6．解线性方程组的主元素消元法中选择主元的目的是（）。 A、控制舍入误差 B、减小方法误差 C、防止计算时溢出 D、简化计算 7．设和分别是满足同一插值条件的n次拉格朗日和牛顿插值多项式，它们的插值余项分别为和，则（）。 A、， B、， C、， D、， 8．求积公式至少具有0次代数精度的充要条件是：（） A、B、 C、D、 9．数值求积公式中Simpson公式的代数精度为（）。 A、0B、1 C、2D、3 10．在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 A、B、C、D、 1．简述误差的四个来源。（10分） 2．简述分析法对的根进行隔离的一般步骤。 1．已知方程有一个正根及一个负根。 a)估计出有根区间； b)分别讨论用迭代公式求这两个根时的收敛性； c)如果上述格式不迭代，请写出一个收敛的迭代格式。（不需要证明） 数值分析复习试题 第一章 绪论 一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误 差 。 3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得 到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、 递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误 差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。《数值计算方法》试题集及答案
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