实数指数幂及其运算
课堂设计
本节课重点是分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质。学习难点是根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化
主要让学生理解1、n次方根及n次根式的概念；掌握n次根式的性质,并能运用它进行化简，求值。2、分数指数幂的概念；掌握指数幂的运算性质；掌握根式与分数指数幂的互化；
新课中通过对整数指数幂的运算性质进行类比，归纳分数指数幂的运算性质.培养学生观察、类比的能力，渗透“转化”的数学思想，培养学生的应用意识。
主要是通过自主预习由学过的二次方根和三次方根类比推得n 次方根的定义及性质，性质一般会在预习中混淆，所以在新课教授中再予以强调。
新课教授中通过学生合作探究进一步强化n次方根的定义与性质及指数幂的推广，师生共同探究指数幂性质应用时的限制条件。
通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯。
附本课设计的主要内容：预习案、学案、自我测评
3、1、1指数及指数幂运算预习案（第一课时）
昌邑一中丁春梅
学习目标
知识与技能：
1.理解n次方根及n次根式的概念；掌握n次根式的性质,并能运用它进行化简，求值。
2. 理解分数指数幂的概念；掌握指数幂的运算性质；掌握根式与分数指数幂的互化；
过程与方法：通过对整数指数幂的运算性质进行类比，归纳分数指数幂的运算性质.
情感态度价值观：培养学生观察、类比的能力，渗透“转化”的数学思想，培养学生的应用意识。通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
学习重点
分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质
学习难点
根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化
学习过程 一、自主学习： 知识链接：
1、整数指数幂概念： n a
a a a =???
个 )(*∈N n ； ()00a a =≠；
n a -= ()0,a n N *≠∈.
2、指数幂由正整数指数幂扩充到整数指数幂的依据为： 。
3、整数指数幂的运算性质：（1）m n a a ?= (),m n Z ∈；
（2）()n
m a = (),m n Z ∈；（3）()n
ab = ()n Z ∈ 其中
m
n
a a ÷= ，n
a b ??
= ???
4、计算：（1）=?75x x ；（2）=-2
3)3(x ；
（3）=-
32)2
1(x ；（4）=-7
3)(x ； （5）=-?-3
2)()2(x x ；（6）=?-22)5()5
1(x x
自主探究：
1、求出下列四个根式的值
（1）4的平方根 ；（2）81的平方根 （3）27的三次方根 （4）-8的三次方根
思考1：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.
若类比平方根、立方根的概念，你能给出4次方根、5次方根…… n 次方
根的定义吗？ 2、填空:
(1)25的平方根等于________________(2) 16的四次方根等于_________________ (3)-32的五次方根等于______________(4) 27的立方根等于______________ (5)a 6
的三次方根等于_______________(6)0的七次方根等于___________ 思考2：观察上述各式，每组根式有什么特点？你能得出什么结论？
n
n
a =
3、化简下列各式
(1)3= (2)3=
(3)
3= (4)=
思考3：通过探究，你能得出什么结论？
n =
预习自测
例1、求下列各式的值
（1）（5）2 = （2）33)2(-= （3）44)2(-= （4）2)3(π-=
我的疑问
3、1、1指数及指数幂运算学案（第一课时）
昌邑一中 丁春梅
学习目标
知识与技能：
2. 理解n 次方根及n 次根式的概念；掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值。 2. 理解分数指数幂的概念；掌握指数幂的运算性质；掌握根式与分数指数幂的互化；
过程与方法：通过对整数指数幂的运算性质进行类比，归纳分数指数幂的运算性质. 情感态度价值观：培养学生观察、类比的能力，渗透“转化”的数学思想，培养学生的应用意识。通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
学习重点
分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质
学习难点
根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化
学习过程
自主升华：
1、整数指数幂概念： n a
a a a =???
个 )(*∈N n ； ()0
0a
a =
≠； n a -= ()0,a n N *
≠∈.
2、根式的定义：一般地，若 ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊, 式子
n
a 叫做____，n 叫做______，a 叫做_______.
3、根式的性质：
n
n
a =
n =
合作探究：
1、填空（1）33)2(-= （2）44
)
2(-=
2、观察以下式子，并总结出规律：
，
a ＞0
问题： 1、从以上两个例子你能发现什么结论？
2、
如何表示？
结论：1、
2、
小试身手
1. 分数指数幂
（1）正数的正分数指数幂的意义
2
12
= ，
3
12
= ，
2
32
= ；
n
m a
=
)1,,.,0(>N ∈>*n n m a .
（2）正数的负分数指数幂的意义
1
2-= ，
2
12
-
= ，
3
42
-
= ；n
m a
-
=
)1,,,0(>N ∈>*n n m a .
（3）0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 .
（4）分数指数幂的运算性质： ①=?s r
a a
Q).,0(∈>s r a ;②=s
r a )( Q).,0(∈>s r a ；
③r
b a )(?= Q).,0(∈>s r a . 典例深化
例1求值
23
8
；1
2
25-；51()2-；3
4
16()81
-.
例2用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）
3a ；2a ；
.
【基础练习】
1. 如果n m b a ,,0,0>>都是有理数，下列各式错误的是（ ）.
（A ）
mn n
m a a =)（ （B ）n
m n m a a a --=
例2计算下列各式（式中字母均为正数）： )3()6)(2(6
56
13
12
12
13
2b a b a b a -÷-；
例3已知22
12
1=+-
a
a ，求：（1）1
-+a
a ； （2）22
-+a a
.
（3）11122
2a a a
a
--
+++
自我检测
1. 设a n n m ,1,,>N
∈*
是正实数，则下列各式中正确的有（ ）.
①n m
n
m
a a
=；②10
=a
；③n
m
n
m a
a
1
=
-
（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个
（C ）n n n b a b
a -?=)( （D ）n m n m a a a +=+ 2.对任意实数a ，下列关系式不正确的是（ ）.
（A ）a a =2
13
2)( （B ）3
13221
)(a
a = （C ）
5
1
3
1
53)(a
a =--
（D ）
5
1533
1
)(a
a =
3.用根式表示2134()m n -
， 其中,0m n >.
1. 计算
)(84)21
()2(2
1
221*-++N ∈n n n n 的结果为（ ）. （A ）4
6
1（B ）5
22
+n （C ）6
222
+-n n （D ）72)2
1(
-n 3.若410,310==y x
，则y
x -10= ，=+y
x 10 .
4.若0≠xy ，则xy y x 2422-=成立的条件可以是（ ）.
（A ）0,0>>y x （B ）0,0<>y x （C ）0,0≥ 5.=+-++--48 373)27102 (1.0)971(032 2 5.0π . 6.若410,310==y x ，则y x -10= ，=+y x 10 . 零指数幂与负整数指数幂练习题 一．解答题（共30小题） 1．计算：． 2．计算： 3．（1）计算：|﹣3|﹣+（π﹣3.14）0 （2）先化简，再求值：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣4）﹣7，其中m= 4．计算：． 5．计算： 6．计算：22﹣（﹣1）0+． 7．计算：． 8．计算：． 9．（1）计算|﹣2|+（﹣1）0﹣（）﹣1﹣（﹣1）2011 （2）化简． 10．计算： 11．（1）计算：． （2）化简：求值.3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]，其中x=﹣，y=﹣3．12．（1）计算：23+﹣﹣； （2）解方程组：． 13．计算：．14．（2009?重庆）计算：|﹣2|+（）﹣1×（π﹣）0﹣+（﹣1）2． 15．计算：﹣12+|﹣2|+（）﹣1﹣5×（2009﹣π）0 16．计算：（﹣2）2+2×（﹣3）+（）﹣1 17．（1）计算：（）﹣1﹣++（﹣1）2009 （2）解方程组： 18．计算：|﹣|+（3.14﹣π）0+（﹣）2×（）﹣2 19．计算﹣22+|4﹣7|+（﹣π）0 20．（1）计算：（）2﹣（﹣3）+20（2）因式分解：a3﹣ab2．21．计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（π+3）0﹣． 22．计算：+（﹣）0+（﹣1）3﹣|﹣1|． 23．计算：． 24．计算：22+（4﹣7）÷+（）0 25．计算： 26．计算：|﹣2|+﹣（）﹣1+（3﹣π）0 27．计算：﹣1+（﹣2）3+|﹣3|﹣ 28．计算：（﹣1）2006+|﹣|﹣（2﹣）0﹣3．29．计算：．30．计算： 零指数幂与负整数指数幂练习题及答案 参考答案与试题解析 一．解答题（共30小题） 1．计算：． 解 答： 解：原式=3﹣1+4=6．故答案为6． 2．计算： 解 答： 解：， =2+1+4﹣2， =5． 故答案为：5． 3．（1）计算：|﹣3|﹣+（π﹣3.14）0 （2）先化简，再求值：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣4）﹣7，其中m= 解答：解：（1）原式=3﹣4+1 =0； （2）原式=9﹣m2+m2﹣4m﹣7 =2﹣4m， 当m=时，原式=2﹣4×=1． 4．计算：． 解 答： 解：原式=（﹣2）+1+2=1，故答案为1．5．计算：． 解答：解：原式=2+3+1﹣1 =5． 6．计算：22﹣（﹣1）0+． 解 答： 解：原式=4﹣1+2=5． 7．计算：． 解答：解： =1+3﹣1﹣（﹣2）=5． 故答案为5． 8．计算：．解 答： 解：原式= =． 9．（1）计算|﹣2|+（﹣1）0﹣（）﹣1﹣（﹣1）2011 实数指数幂及运算 教学目标：掌握实数指数幂的拓展过程过程中的不变性质。 掌握根式和有理数指数幂的意义 注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件 教学重点：实数指数幂的运算和底数的限制条件 教学难点：实数指数幂的运算 教学过程： 一、正整数指数幂（复习）： 1．()n a n N +∈的意义： n n a a a a =? 2．()n a n N +∈的运算： （1）m n m n a a a +?= （2）()m n m n a a ?= （3）(,0)m m n n a a m n a a -=>≠ （4）()m m m a b a b ?=? 二、负整数指数幂（拓展）： 规定： 01(0)a a =≠ 1(0)n n a a a -=≠ 三、分数指数： 1．复习： 问题： 2x a = 3 x a = 则x 的取值是什么？ 2．拓展： 如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a R n n N +∈>∈，则x 叫做a 的n 次方根； 求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算， 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根。 n 叫做根指数。 3．根式性质： (1) (1,)n a n n N +=>∈ (2) a n a n ?=?-?，当为正奇数时，当为正偶数时 4．分数指数幂（有理指数幂）： （1）正分数指数幂： 1 0)n a a => 0,,,)m n m a a n m N n +=>∈且为既约分数 （2）负分数指数幂：1 (0,,,)m n m n m a a n m N n a -+=>∈且为既约分数 5、有理指数幂运算法则：0,0a b >>，,αβ是有理数 (1) a a a αβαβ+?= (2) ()a a αβαβ?= (3) ()a b a b ααα?=? 四、无理指数幂： 1、0,0a b >>，,αβ是无理数 (1) a a a αβαβ+?= (2) ()a a αβαβ?= (3) ()a b a b ααα?=? 2、实数指数幂： 0,0a b >>，,αβ是实数 (1) a a a αβαβ+?= (2) ()a a αβαβ?= (3) ()a b a b ααα?=? 五、典型例题： 例1、（整数指数幂）化简下列各式： （1）()03.14π- （2）512-??- ??? （3）()42x - （4 ） ))109 22 （5）()32212339a b a b a b -----??- （6）()()()()33334411a a a a a a a a ----+-++- 练习： 一组： （1）57x x （2）232(2)a b --- （3）23(2)()x x -- （4）13 ()()a ab b - （5）2222(2)()a a a a ---+÷- （6）2222()()x y x y ---÷- 二组： （1）若,m n Z ∈，满足5m a =，15n b =，则25m n -= . （2 ）已知21n a =，* ()n N ∈，则33n n n n a a a a ---=- （3）已知11a a --=，则66a a -+的值为 例2、（根式）求下列各式的值： （1 （2 （3 2 （4 )a b < 一、解答题（共30小题） 1、（2010?漳州）计算：（﹣2）0+（﹣1）2010﹣（） ﹣ 考点：负整数指数幂；有理数的乘方；零指数幂。 专题：计算题。 分析：本题涉及零指数幂、乘方、负整数指数幂三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答：解：原式=1+1﹣2 =0． 故答案为0． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算． 2、（2010?西宁）计算：（）﹣ ﹣（﹣） 考点：负整数指数幂；有理数的乘方；零指数幂。 专题：计算题。 分析：此题涉及到负整数指数幂、零指数幂、乘方三个知识点，在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得结果． 解答：解：原式=2﹣1+（）（3分） =2﹣1+1（5分） =2．（7分） 点评：本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算． 3、（2010?邵阳）计算：（）﹣ ﹣ 考点：负整数指数幂。 专题：计算题。 分析：根据负整数指数幂、倒数、立方根的知识点进行解答，一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数；互为倒数的两个数的积为1；8的立方根是2． 解答：解：原式=3﹣1+2=4．故答案为4． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、立方根、倒数的知识点． 4、（2009?重庆）计算：|﹣2|+（）﹣1×（π﹣）0﹣+（﹣1）2． 考点：负整数指数幂；绝对值；有理数的乘方；算术平方根；零指数幂。 专题：计算题。 分析：根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、有理数的乘方等知识点进行解答． § 实数指数幂及其运算法则 导学案 目标要求：理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.通过复习和练习,理解分数指数幂的意义和学会根式与分数指数幂之间的相互转化及有理指数幂运算性质的应用，培养学生的思维能力，注重学生数学思想的渗透。 重点：实数指数幂的概念及分数指数的运算性质。 难点：对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解。 学习过程 一、自主学习： 1．整数指数幂概念： n a a a a =?? ?个 )(*∈N n ； ()00a a = ≠； n a -= ()0,a n N * ≠∈. 2．整数指数幂的运算性质：（1）m n a a ?= (),m n Z ∈； （2）() n m a = (),m n Z ∈；（3）()n ab = ()n Z ∈ 其中 m n a a ÷= ，n a b ?? = ??? 3．复习练习： 求（1）9的算术平方根，9的平方根； （2）8的立方根，-8的立方根. 问：什么叫a 的平方根？a 的立方根？ 二、合作探究： 1．有理指数幂 问题1：将下列根式写成分数指数幂的形式： 2，32，3)2(，35，325，23)5( 补充说明：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 2．有理指数幂的运算法则 问题2：计算（1）2 32 1x x ?； （2）2 34)(a ； （3）5 3)(xy 2 12， 2 32， 2 32， 3 15， 3 25， 3 25 公式：)0(1>= a a a n n ),,,0(为既约分数且 n m N n m a a a n m n m +∈>= 高中数学-实数指数幂及其运算练习课时过关·能力提升 1根式等于() A.B.C.D.- 解析原式=(a-2. 答案A 2化简的结果是() A. B. C.3 D.5 解析原式=. 答案B 3()4()4等于() A.a16 B.a8 C.a4 D.a2 解析原式==a2a2=a2+2=a4. 答案C 4若xy≠0,则等式=-2xy成立的条件是() A.x>0,y>0 B.x>0,y<0 C.x<0,y>0 D.x<0, y<0 解析因为=2=2|x|·|y|·=-2xy,所以y>0,且x<0.答案C 5若a b+a-b=2,则a b-a-b的值等于() A. B.±2 C.-2 D.2 解析∵(a b-a-b)2=(a b+a-b)2-4, ∴(a b-a-b)2=8-4=4,∴a b-a-b=±2. 答案B 6有下列结论: ①当a<0时,(a2=a3;②=|a|;③在代数式y=(x-2-(3x-7)0中x的取值范围为(2,+∞);④若 100a=5,10b=2,则 2a+b=1.其中正确的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 解析只有④正确,由100a=102a=5,10b=2,得102a+b=5×2=10,故2a+b=1. 而①中(a2应为-a3,②中③中x的取值范围由确定, 得x∈. 答案B 7计算的值等于() A.1+ B.1- C.2+ D.2- 解析∵ = = ==1-. ∴原式=×2=2-. 答案D 8+3的值等于. 解析+3=2+. 答案 9若x>0,则(2)(2)-4·(x-)=. 解析原式=4-33-4+4=-27+4=-23. 答案-23 10已知=0,则y x=. 解析∵=|x-1|+|y+3|=0, ∴|x-1|=|y+3|=0,∴x=1,y=-3. ∴y x=(-3)1=-3. 答案-3 11若m-=5,则m2+m-2=. 解析由m-=5可得=25,即m2+m-2-2=25,故m2+m-2=27. 答案27 零指数幂与负整数指数幂练习题及答案 一．解答题（共30小题） 1．计算：． 2．计算： 3．（1）计算：|﹣3|﹣+（π﹣）0 （2）先化简，再求值：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣4）﹣7，其中m= 4．计算：． 5．计算：6．计算：22﹣（﹣1）0+．7．计算：． 8．计算：． 9．（1）计算|﹣2|+（﹣1）0﹣（）﹣1﹣（﹣1）2011 （2）化简． 10．计算： 11．（1）计算：． （2）化简：求值.3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]，其中x=﹣，y=﹣3．12．（1）计算：23+﹣﹣； （2）解方程组：． 13．计算：．14．（2009重庆）计算：|﹣2|+（）﹣1×（π﹣）0﹣+（﹣1）2． 15．计算：﹣12+|﹣2|+（）﹣1﹣5×（2009﹣π）0 16．计算：（﹣2）2+2×（﹣3）+（）﹣1 17．（1）计算：（）﹣1﹣++（﹣1）2009 （2）解方程组： 18．计算：|﹣|+（﹣π）0+（﹣）2×（）﹣2 19．计算﹣22+|4﹣7|+（﹣π）0 20．（1）计算：（）2﹣（﹣3）+20（2）因式分解：a3﹣ab2． 21．计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（π+3）0﹣． 22．计算：+（﹣）0+（﹣1）3﹣|﹣1|． 23．计算：．24．计算：22+（4﹣7）÷+（）0 25．计算： 26．计算：|﹣2|+﹣（）﹣1+（3﹣π）0 27．计算：﹣1+（﹣2）3+|﹣3|﹣ 28．计算：（﹣1）2006+|﹣|﹣（2﹣）0﹣3．29．计算：．30．计算： 零指数幂与负整数指数幂练习题及答案 参考答案与试题解析 一．解答题（共30小题） 1．计算：． 解答：解：原式=3﹣1+4=6．故答案为6． 2．计算： 解答： 解：， =2+1+4﹣2， =5． 故答案为：5． 3．（1）计算：|﹣3|﹣+（π﹣）0 （2）先化简，再求值：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣4）﹣7，其中m= 解答：解：（1）原式=3﹣4+1 =0； （2）原式=9﹣m2+m2﹣4m﹣7 =2﹣4m， 当m=时，原式=2﹣4×=1． 4．计算：． 解答：解：原式=（﹣2）+1+2=1，故答案为1． 5．计算：． 解答：解：原式=2+3+1﹣1 =5． 6．计算：22﹣（﹣1）0+． 解答：解：原式=4﹣1+2=5． 7．计算：． 解答： 解： =1+3﹣1﹣（﹣2） =5． 故答案为5． 8．计算：． 解答： 解：原式= =． 实数指数幂及运算 课前预习案 【课前自学】 一 、 整数指数 1、正整指数幂的运算法则 （1）m n a a = ，（2）()m n a = ，（3）m n a a = ，（4）()m ab = 。 2、对于零指数幂和负整数指数幂，规定：0___(0)a a =≠， ____(0,)n a a n N -+=≠∈。 二、 分数指数幂 1．n 次方根的概念 . 2．n 次算术根的概念 . 3．根式的概念 . 4．正分数指数幂的定义 1n a = ； m n a = . 5．负分数指数幂运算法则： m n a -= . 6．有理指数幂运算法则：（设a>0,b>0，,αβ是任意有理数） a a αβ= ；()a αβ= ；()a b α= 自学检测(C 级) =-0)1(______ ; =-3)x 2(_______; 3)2 1(--=_______ ; =-223 )y x (_____ 课内探究案 例:化简下列各式 （1 （2； （3）)0(322>a a a a ； （4）232520432()()()a b a b a b --?÷； （5）12 2 31111362515()()46x y x y x y ----- （6）111222m m m m --+++. 当堂检测： 1. (C 级)化简44)a 1(a -+的结果是( ) A. 1 B. 2a-1 C. 1或2a-1 D. 0 2.(C 级) 用分数指数幂表示下列各式： 32x =_________；31a =_________；43)(b a +=_________； 322n m +=_________；32y x =_________. 3. (C 级) 计算： 21)4964(- =________ 3227=________；________= 41 10000； 课后拓展案 1.(C 级)计算： (1) 21 6531 -÷a a a (2) )32(431313132----÷ b a b a (3) (4). 643 3)1258(b a 2. (C 级)计算：（1）3163)278(--b a ； （2）632x x x x （3）22 121)(b a -； （4）302 32)()32()2(--?÷a b a b a b . 3.(B 级)k 2)1k 2()1k 2(222---+-+-等于（ ） 【典型例题】 例1. 若式子0 (21)x -有意义，求x 的取值范围。 分析：由零指数幂的意义可知.只要底数不等于零即可。 解：由2x －1≠0，得1 2x ≠ 即，当 1 2x ≠ 时，0 (21)x -有意义 例2. 计算：（1） 32 031110( )(5)(3)0.31230π--+?---?+-； （2） 42310 [()()](0)a a a a -?-÷≠。 分析：按照有关法则进行运算即可，注意运算顺序。 解：（1）32 031110( )(5)(3)0.31230π--+?---?+- =213 100030127()12 10-+?+?+ =10 10009002712 3++?+ =2002 （2）4 23 10 4 6 10 10 10 [()()][()]1a a a a a a a a -?-÷=?-÷=-÷=- 例3. 计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式. （1）1 322 (3)m n ---- （2） 2 2 1 23 [2()()][()()]x y x y x y x y -----+?-?+?- 分析：正整数指数幂的相关运算对负整数指数幂和零指数幂同样适用.对于第（2）题，在运算过程中要把(x+y)、(x-y)看成一个整体进行运算。 解：（1） 4 1 322 12 32 22 2 6 4 6 9(3)(3)()()(3)n m n m n m n m ----------=-=-=； 或者：3224 1 322 23322326 2222 11(3)9(3)()()3()()3(3)m n n m n m m n m m n n -----=-==== （2） 22123 [2()()][()()]x y x y x y x y -----+?-?+?- =22221323 (2)[()]()[()][()]x y x y x y x y --------?+?-?+?- =42362 1()()()()(2)x y x y x y x y --?+?-?+?-- =4326 1 ()()4x y x y -+-+?+- =4()4()x y x y -+. 例4. 用科学记数法表示下列各数. 2.1.1指数与指数幂的运算练习题 1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂； （2）零指数幂； （3）负整数指数幂 （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1） （2） （3） 知能点2：无理数指数幂 若＞0，是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。 知能点3：根式 1、根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指数，叫被开方数。 2、对于根式记号，要注意以下几点： （1），且； （2）当是奇数，则；当是偶数，则； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定： （1）； （2） 一、填空 1、用根式的形式表示下列各式 （1）= （2）= （3）= （4）= 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）= （2） （3）= ；（4）= ； （5）（6）（7） （8） 3、求下列各式的值 （1）= ；（2）= ；（3）= ； （4）= ；（5）= ；（6）= ； （7）= ；（8）= ；（9）= ； （10） 4.化简 （1）（2） （3）（4）= （5）= （6）= （7）= （8）= 5.计算 （1）(2) （3）（4） 6.已知，求下列各式的值（1）= ；（2）= 7.若，则和用根式形式表示分别为和，和用分数指数幂形式表示分别为和。 8.使式子有意义的x的取值范围是_. 9.若，,则的值= . 10.已知，则的值为. 二.选择题. ，下列各式一定有意义的是（） A. B. C. D. ，下列各式一定有意义的是（） A. B. C. D. 下列各式计算正确的是（） A. B. C. D. 4、若，且为整数，则下列各式中正确的是（） A、B、C、D、 5、下列运算结果中，正确的是（） A．B．C．D． 6.下列各式中成立的是（） A．B．C．D． 7.下列各式成立的是（） A. B. C. D. 第三章 基本初等函数(Ⅰ) ? 零指数幂与负整数指数幂练习题 1、计算：-1-（-1）0的结果正确是（） A．0 B．1 C．2 D．-2 2、芝麻作为食品和药物，均广泛使用．经测算，一粒芝麻约有0．00000201千克，用科学记数法表示为（） A．×10-6千克 B．×10-5千克 C．×10-7千克 D．×10-7千克 3、已知空气的单位体积质量为1．24×10-3克/厘米3，1．24×10-3用小数表示为（） A．B．C．D． 4、如图，H7N9病毒直径为30纳米（1纳米=10-9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（） ： A．30×10-9米B．×10-8米C．×10-10米D．×10-9米 5、计算的结果是( ) A．4 B．-4 C． D． 6、若(x-2)0=1，则( ) A．x≠0 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2 7、若，则x=( ) A．10 B．1 C．0 D．以上结论都不对 > 8、下列运算正确的是( ) A．=0 B．(9-33)0=0 C．(-1)0=1 D．(-2)0=-2 9、化简(x≠-y)为（） A．1 B．0 C．x+y D．以上结论都不对 10、英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯目前是世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅000 000 34米，将这个数用科学记数法表示为（） A．×10-9B．×10-9%C．×10-10D．×10-11 11、花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为毫克，已知1克=1000毫克,那么毫克可用科学记数法表示为（） A．×10﹣5克B．×10﹣6克 C．37×10﹣7克D．×10﹣8克 12、计算：． ' 13、某种原子直径为×10-2纳米，把这个数化为小数是_______纳米． 14、钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为平方公里，最小的岛是飞濑屿，面积约为平方公里．请用科学记数法表示飞濑屿的面积约为_______平方公里． 15、若（a-2）a+1=1，则a=______． 16、若，则x=______． 17、如果无意义，则=______． 18、计算：4-2x5?（23x-2）2=________． 19、用小数表示：×10-5=______． 20、 ， 实数指数幂及其运算（Ⅰ）教学设计 首都师范大学附属中学 姚璐 课程名称： 教材分析： 1. 数系的扩充 众所周知，人类对于数的认识经历了漫长的过程，从Z 到Q ，从Q 到R ，从R 到C ，乃至扩充到四元数等等。虽然每一次数的范围的扩大往往伴随着质疑，但随着时间的发展，人们逐渐能够接受越来越多的数，而且寻找到了许多新的数背后所蕴含的实际意义。 数系扩充的动力主要包括两个方面： （1）生产生活的推动 就本节课所涉及内容而言，指数模型是一种重要的数学模型，能较好的刻画许多自然现象（如放射性元素的衰变），在模型中变量t 显然是连续的，因此要求我们将指数推广到实数范围内。 （2）数学本身的推动 许多数的出现都与方程有关（如负数，分数，复数等），根式也不例外。当我们将数系扩充后，我们任然希望新的数系能较好的继承原有数系的一些性质。 事实上，如果我们假定指数运算拓展到实数范围内后，仍然继承下述性质： （1）m n m n a a a +=?（0a >，,m n ∈R ） （2）当1a >时，若m n >，则m n a a >（0a >，,m n ∈R ） 当1a =时，若m n >，则m n a a =（0a >，,m n ∈R ） 当1a <时，若m n >，则m n a a <（0a >，,m n ∈R ） 则指数n a 的定义是唯一的 2. Cauchy 法 从Z 到Q 是非常重要的一步，这一步将一个疏集上定义的函数延拓到了一个稠密集上的函数，依靠的是,,<+?>Q 是,,<+?>Z 的分式环；从Q 到R 也是非常重要的一步，这一步将一个稠密集上的函数延拓到了一个连续集上的函数，依靠的是逼近的想法。 这种方法即为Cauchy 法. 事实上，如果附加上连续性条件，我们可以得到许多函数的“特征性质”如： （1）()f x 是正比例函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ?+=??∈R （2）()f x 是指数函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ?+=??∈R （3）()f x 是对数函数或零函数()()(),,0f m n f m f n m n ??=+?> 零指数幂与负整数指数幂练习题 1、计算：-1-（-1）0的结果正确是（） A．0 B．1 C．2 D．-2 2、芝麻作为食品和药物，均广泛使用．经测算，一粒芝麻约有0．00000201千克，用科学记数法表示为（） A．2.01×10-6千克 B．0.201×10-5千克 C．20.1×10-7千克 D．2.01×10-7千克 3、已知空气的单位体积质量为1．24×10-3克/厘米3，1．24×10-3用小数表示为（） A．0.000124 B．0.0124 C．-0.00124 D．0.00124 4、如图，H7N9病毒直径为30纳米（1纳米=10-9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（） A．30×10-9米 B．3.0×10-8米 C．3.0×10-10米 D．0.3×10-9米 5、计算的结果是( ) A．4 B．-4 C． D． 6、若(x-2)0=1，则( ) A．x≠0 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2 7、若，则x=( ) A．10 B．1 C．0 D．以上结论都不对 8、下列运算正确的是( ) A．0.050=0 B．(9-33)0=0 C．(-1)0=1 D．(-2)0=-2 9、化简(x≠-y)为（） A．1 B．0 C．x+y D．以上结论都不对 10、英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯目前是世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 34米，将这个数用科学记数法表示为（） A．0.34×10-9B．3.4×10-9C．3.4×10-10D．3.4×10-11 11、花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，已知1克=1000毫克,那么0.000037毫克可用科学记数法表示为（） A．3.7×10﹣5克B．3.7×10﹣6克 C．37×10﹣7克D．3.7×10﹣8克 12、计算：． 13、某种原子直径为1.2×10-2纳米，把这个数化为小数是_______纳米． 14、钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公 里，最小的岛是飞濑屿，面积约为0.0008平方公里．请用科学记数法表示飞濑屿的面积约为_______平方公里． 15、若（a-2）a+1=1，则a=______． 16、若，则x=______． 17、如果无意义，则=______． 18、计算：4-2x5?（23x-2）2=________． 19、用小数表示：-2.18×10-5=______． 20、 21、计算：． 22、计算：． 23、化简：． 24、计算：． 25、计算：（1）100；（2）m0(m0)；（3）a5÷a0?a3(a0). 高中数学实数指数幂及其运算测试题（有答案）第三章基本初等函数（Ⅰ） 3.1指数与指数函数 3.1.1有理指数幂及其运算 【目标要求】 1．理解根式的概念。 2．理解分数指数的概念，掌握根式与分数指数幂的关系。3．掌握有理数幂的运算性质并注意灵活运用。 4．掌握用计算器计算有理指数幂的值。 【巩固教材稳扎马步】 1．下列说法中正确的是() A.-2是16的四次方根 B.正数的次方根有两个 C. 的次方根就是 D. 2．下列等式一定成立的是() A． =a B． =0C．（a3）2=a9D. 3. 的值是（） A. B. C. D. 4.将化为分数指数幂的形式为( )[ A． B． C． D. 【重难突破重拳出击】 5.下列各式中，正确的是（） A． B． C ． D． 6.设b 0,化简式子的结果是（） A.a B. C. D. 7.化简［3 ］的结果为 () A．5 B． C．－ D.－5 8.若，则等于 ( ) A．2 －1 B．2－2 C．2 +1 D. +1 9. 成立的充要条件是（） A. 1C.x＜1 D.x2 10.式子经过计算可得到() A. B. C. D. 11.化简 (a＞0，c＜0 的结果为() A. B．－ C．－ D. 12.设x0, 等于（） A． B．2或-2C．2D．-2 【巩固提高登峰揽月】 13.计算0．027 －（－）－2+256 －3－1+（－1）0=__________． 14.化简 =__________． 【课外拓展超越自我】 15.已知求的值． 第三章基本初等函数（Ⅰ） 3.1指数与指数函数 3.1.1有理指数幂及其运算 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10[ 11 12 答案 D D A A D A B A D D B C 13.1914. 15.解：由可得x+x－1=7 =27 =18， 故原式=2 8.4 零次数幂和负整次数幂的教学设计 一、教学背景 （一）教材分析 在学习同底数幂的除法运算性质基础上，探究零指数幂和负指数幂的规定的意义。目的是对数学的后继学习奠定基础。 （二）学情分析 学生已经熟练地掌握的了同底数幂除法的性质，为学习本节内容奠定了基础。 从心理认知规律上看，学生在学习了几种指数幂的运算性质后，学习本节内容，已具备学习本节内容的能力。 二、教学目标 1.体会零指数幂和负指数幂的探索过程。 2. 掌握零指数幂的意义和计算结果。 3. 学会负指数幂的正确计算。 三、重点、难点 重点：学会利用零指数幂和负指数幂的意义进行简单的计算。 难点：负指数幂的计算。 四、教学方法分析及学习方法指导 教法指导： 先回顾正整数指数幂的运算性质，再慢慢引入零指数幂和负整数指数幂，从而一步一步指导学生根据已学的同底数幂的除法和除法的意义得出零指数幂和负整数指数幂的计算。 学法指导： 教学中利用间接求解法计算更加简单的得到结果。让学生学会用间接法求值。 五、教学过程 （一）回顾导入 考察下列算式： 32÷32；113÷113；x5÷x5; 设计意图：回顾同底数幂的除法性质，为本节课的学习奠定基础。 （二）探究新知 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 32÷32=32-2=30；113÷113=113-3=110； x 5 ÷x 5 =x 5-5 =x 0 (x≠0); 另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1。 由此启发，我们规定： 30=1;110=1；x 0 =1(x≠0); 这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1。 我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式： 32÷34；113÷117； 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 32÷34=32-4=3-2；113÷117=113-7=11-4 ； 另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为 由此启发，可以得到： 一般地，我们规定： 这就是说，任何不等于零的数的n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数。 = = ,(a ) 实数指数幂及其运算 日期： 姓名： 指导教师： 陈婷婷 知识点1：整数指数幂 1. 计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（a,b 均不为0）. （1） 4322-? ； （2） ()()4 3 22? - ； （3） ()()3 4 3 a a a -?-÷ ； （4） ()0 12+a ， ?? ? ??-≠21a ； (5) ( ) 3 13 32-ab b a ； (6) () 3 21 22393------b a b a b a ； (7) ()()()()3 0243? ? ????+--+--b a b a b a b a ，（0,0≠-≠+b a b a ） . 知识点2：根式 1. 计算： （1） ()33 2- ； （2） ()4 4 3π- ； （3） () 3 222 3 421032327622---?? ? ??-+- . 2. 下列说法中正确的有： . ① 3273=- ； ② 16的4次方根是2± ； ③ 3814±= ； ④ ()y x y x +=+2 . 3. 若 a a a 211442-=+-，则实数a 的取值范围是 . 4. 若2 实数指数幂及其运算法则ppt-中职数学基础模 块上册课件 篇一：中职数学基础模块上册《实数指数幂及其运算法则》word 教案 实数指数幂及运算 课前预习案 【课前自学】 一、整数指数 1、正整指数幂的运算法则 am （1）aa?，（2）(a)?，（3）n?（4）(ab)m? amnmn 2、对于零指数幂和负整数指数幂，规定：a?___(a?0)， a?n?____(a?0,n?N?)。 二、分数指数幂 1．n次方根的概念. 2．n次算术根的概念3．根式的概念4．正分数指数幂的定义 a?；a1 nmn0?m n5．负分数指数幂运算法则： a??. 6．有理指数幂运算法则：（设a>0,b>0，?,?是任意有理数）a?a??；(a?)??；(ab)?? 自学检测(C级) (?1)?______ ; (2x)0?3?_______; 1?3x3 ?2(?)=_______ ; (2)?_____ 2y 课内探究案 例:化简下列各式 （1 （2 （3） a2aa2(a?0)；（4）(a2b3)?2?(a5b?2)0?(a4b3)2； 5xy （5）1?231211?1253?6 （6）?1(?xy)(?xy)m2?m246m?m?1?211. 当堂检测： 1. (C级)化简a?1?a)4 的结果是( ) A. 1 B. 2a-1 C. 1或2a-1 D. 0 2.(C级) 用分数指数幂表示下列各式： x2=_________；1a3=_________；(a?b)=_________； m2?n2=_________；x y2=_________. 64?243. (C级) 计算： () =________ 273=________；________= 10000； 49 121 课后拓展案 1.(C级)计算： 1 356?1 2(1) aa?a 实数指数幂及运算 课前预习案 【课前自学】 一 、 整数指数 1、正整指数幂的运算法则 （1）m n a a = ，（2）()m n a = ，（3）m n a a = ，（4）()m ab = 。 2、对于零指数幂和负整数指数幂，规定：0 ___(0)a a =≠， ____(0,)n a a n N -+=≠∈。 二、 分数指数幂 1．n 次方根的概念 . 2．n 次算术根的概念 . 3．根式的概念 . 4．正分数指数幂的定义 1n a = ； m n a = . 5．负分数指数幂运算法则： m n a -= . 6．有理指数幂运算法则：（设a>0,b>0，,αβ是任意有理数） a a αβ= ；()a αβ= ；()a b α= 自学检测(C 级) =-0 )1(______ ; =-3 ) x 2(_______; 3 )2 1(--=_______ ; =-223)y x (_____ 课内探究案 例:化简下列各式 （12 ()a b - （224 3 819?； （3）)0(32 2>a a a a ； （4）232520432()()()a b a b a b --?÷； （5） 12 23 1 1 11362 515()()46 x y x y x y - ---- （6）11122 2 m m m m -- +++. 当堂检测： 1. (C 级)化简4 4)a 1(a -+的结果是( ) A. 1 B. 2a-1 C. 1或2a-1 D. 0 2.(C 级) 用分数指数幂表示下列各式： 3 2x =_________；3 1a =_________；43)(b a +=_________； 3 22n m +=_________； 3 2 y x =_________. 3. (C 级) 计算： 2 1)49 64(- =________ 3227=________；________= 41 10000； 课后拓展案 1. (C 级)计算： (1) 2 16 53 1-÷a a a (2) )3 2(431 313 13 2- -- -÷b a b a (3) 3 443327 (4). 6433)1258(b a 2. (C 级)计算：（1）31 63)278(--b a ； （2）632 x x x x （3）2 2 121 )(b a -； （4）30232)()32()2(--?÷a b a b a b . 3.(B 级)k 2)1k 2()1k 2(222---+-+-等于（ ）17.4零指数幂与负整数指数幂练习题及答案
实数指数幂及运算
知识点 ：负整数指数幂(解答题)
中职数学基础模块上册实数指数幂及其运算法则word学案
高中数学-实数指数幂及其运算练习
指数幂与负整数指数幂练习题及答案
中职数学基础模块上册实数指数幂及其运算法则word教案
零指数幂与负整数指数幂练习题
(完整版)指数与指数幂的运算练习题
实数指数幂及其运算教案
§3.1 指数与指数函数
3.1.1 实数指数幂及其运算(一) 【学习要求】 1.了解根式与方根的概念及关系; 2.理解分数指数幂的概念; 3.掌握有理数指数幂的运算性质,能运用性质进行化简计算. 【学法指导】 通过类比、归纳,感知根式概念的形成过程,进一步认清根式与绝对值的联系,提高归纳,概括的能力,了解由特殊到一般 的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. 填一填：知识要点、记下疑难点
1.相同因数相乘
记作 an,an 叫做 a 的 n 次幂 ,a 叫做幂的 底数 ,n 叫做幂的 指数
2.正整指数幂的性质:(1)am·an＝am＋n;
(2)(am)n＝am·n;(3)aamn ＝am－n (m>n,a≠0);
(4)(ab)m＝ambm.
3.如果存在实数 x,使得 xn＝a (a∈R,n>1,n∈N＋),则 x 叫做 a 的 n 次方根 求 a 的 n 次方根,叫做把 a 开 n 次方,称作
开方 运算.正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次 算术根 当n a有意义的时候,n a叫做 根式 ,n 叫做根指数.当 n 为
奇数时,正数的 n 次方根是一个 正数 ,负数的 n 次方根是一个 负数 ,此时 a 的 n 次实数方根只有一个,记为n a;当 n
为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为
相反数 ,它们可以合并写成
n ±a
(a>0)形式.
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根、…、n 次方根呢？答案是肯定的,
这就是本节我们要研究的问题:实数指数幂及其运算.
探究点一 整数指数及其运算
问题 1 整数指数幂 an (n∈N＋)的意义是什么？an、a、n 分别叫做什么？
答: an (n∈N＋)的意义为:an ＝,an 叫做 a 的 n 次幂,a 叫做幂的底数,n 叫做幂的指数.
问题 2 正整指数幂有哪些运算法则？ 答: (1)am·an＝am＋n;
(2)(am)n＝am·n;
(3)aamn＝am－n (m>n,a≠0);
(4)(a·b)m＝am·bm.
问题 3 零和负整指数幂是如何规定的？
答: 规定:a0＝1 (a≠0);00 无意义;a－n＝a1n (a≠0,n∈N＋).
例 1 计算下列各式,并把结果化为只含正整指数幂的形式(式子中的 a,b≠0).
a－3b－2 －3a2b－1
(1)
9a－2b－3
;
(2)
a＋b a－b
－3 －2
a－b a＋b
403(a＋b≠0,a－b≠0).
解
a－3b－2 －3a2b－1
(1)
9a－2b－3
＝－3a－39＋2b－2－1a2b3＝－13a－1＋2b－3＋3＝－13a;
(2)
a＋b a－b
－3 －2
a－b a＋b
403＝[(a＋b)－3(a－b)4(a－b)2]3＝(a＋b)－9(a－b)18.
小结: 当我们规定了 a0＝1 (a≠0);00 无意义;a－n＝a1n
(a≠0,n∈N＋)后,就把正整指数幂推广到整数指数幂,并且正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立.
跟踪训练 1 化简下列各式:
(1)80＝______;(－8)0＝______;(a－b)0＝____(a≠b);
(2)10－3＝______;－21－6＝______.
答案： (1)1 1 1
(2)0.001 64
探究点二 根式的概念与性质
问题 1 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？零指数幂与负整数指数幂练习题
实数指数幂及其运算教学设计姚璐
零指数幂与负整数指数幂练习题
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