河北省衡水中学2020学年度高二数学上学期期末考试试题(理科)
河北省衡水中学2020学年度高二数学上学期期末考试试题
(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分。考试时间120分钟。 注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。
3.答卷Ⅱ前,考生务必将自己的姓名、班级、考号填在试卷密封线内规定的地方。
4.答卷Ⅱ时,用蓝、黑色钢笔或圆珠笔填写在试卷规定的地方。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题
意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)
1.已知a,b,c 表示三条不同的直线,αβ,表示两个不同的平面,则下列命题正确的是
A .,,a b a b αβαβ,若则∥⊥⊥∥
B .a b a b αβαβ,,,若则∥∥∥∥
C .,,a b a b αβαβ?,?若则∥∥
D .a b,b c,a c 若则⊥⊥⊥ 2.如图,直角三角形ABC 与正三角形ACD 所在的两个平面互相垂直,
AC BC ⊥,如果公共边AC a =,则异面直线AD 和BC 间的距离为
A.
2
a
B.a
3.已知点(,)P x y 所在的平面区域为图中所示的三角形, 且8442
2
+--+=y x y x u ,则u 的取值范围是 A. ??????25,29 B. []25,5 C. ??
????9,29 D. []9,5
4.以下四个命题:
①若平面外两点到平面的距离相等,则过这两点的直线
1
1y =-
A B
C
D
必平行于该平面; ②若一条直线与一个平面的一条斜线的射影垂直,则这条直线与这条斜线垂直; ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线;
④若两个平面垂直,则其中一个平面内的任一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线.
其中错误命题....的个数为 A .1个 B .2个
C .3个
D .4个
5.圆22
4450x y x y +--+=上的点到直线32180x y +-=的最大距离与最小距离的差为
A .
B .
C
. D .6
6.如图,三棱锥A BCD -中,AB ⊥面BCD , DC BC ⊥,
AB BC CD ==,设AD 与面ABC 所成角为α,AB 与面ACD 所成的角为β,则下列结论正确的是 A .αβ> B . αβ<
C .αβ=
D .大小关系无法确定
7.已知椭圆的长轴是短轴的三倍,长轴和短轴都在坐标轴上,且过点(3,0)A ,则椭圆方程为
A .2219x y +=
B .22
19x y += 或2219y x += C .
221981x y += D .22
19x y +=或221981
x y += 8.抛物线px y 22
=与直线40ax y +-=交于,A B 两点,且A 点坐标为(1,2),设抛物线的焦点为F ,那么FB FA +等于
A.5
B.6
C. 53
D.7
9.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有
A. 20种
B. 30种
C. 40种
D. 60种
10. 已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三点,且它们之间的球面距离都是3
π
,则球心O 到平面ABC 的距离为
A
C
B
D
A
.
2 B
.3 C .12
D
.7 11.如图,在ABC ?中,tanA=3,
3,0,()0tanA AH HC AB CA CB →
→
→
→
→
=?=?+=,点H 在BC
边上,则过点C ,以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为 A .1 B .2 C .3 D .4
12. 设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴
交于A 、B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称,O 为坐标原点,若2BP PA =u u u r u u u r
,且1OQ AB ?=u u u r u u u r ,
则P 点的轨迹方程是
A. 2
2331(0,0)2x y x y +
=>> B. 223
31(0,0)2x y x y -=>> C. 22331(0,0)2x y x y -=>> D. 22
331(0,0)2
x y x y +=>>
二、填空题(本答题共4小题,每小题5分,共20分,把答案写在答题纸上)
13.若双曲线22
14x y m
-=
的渐近线方程为2y x =± ,则双曲线的焦点坐标为___________. 14.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为11A B 和AB 的中点,则异面直线
1A F 和CE 所成角的正切值为 .
15.已知动圆M 与2222
12:(2)1,:(2)4C x y C x y ++=+-=都外切,则动圆圆心M 的轨迹
方程为 .
16.①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥;②底面是
等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;③有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱;④有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.
其中,假.命题..的编号..
是__ ____. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请将解答过程写在答题纸上) 17.(本小题满分10分)已知一个圆与y 轴相切,圆心在直线30x y -=上,且在直线y x
=A
H
B C
上截得弦长为72,求此圆的方程.
18.(本小题满分12分)如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中,
3,4AC BC ==,15,4AB AA ==,点D 是AB 的中点.
(1)求证:1AC BC ⊥;
(2)求异面直线 1AC 与1B C 所成角的余弦值; (3)求11AC B DC 到平面的距离.
19.(本小题满分12分)如图,在平行四边形ABCD 中,0
1,2,90AB BD ABD ==∠=,
将它们沿对角线BD 折起,折后的点C 变为1C ,且A 、1C 间的距离为2. (1)求点B 到平面1AC D 的距离;
(2)E 为线段1AC 上的一个动点,当线段1EC 的长为多少时,DE 与平面1BC D 所成的
角为0
30?
20.(本小题满分12分)已知过抛物线2
4x y =的对称轴上一点(0,)(0)P m m >作直线l ,l 与抛物线交于A B 、两点.
(1)若AOB ∠为钝角(O 为坐标原点),求实数m 的取值范围;
(2)若P 为抛物线的焦点,过点P 且与l 垂直的直线l '与抛物线交于C D 、两点, 设
AB CD 、的中点分别为M N 、.求证:直线MN 必过定点.
21.(本小题满分12分)已知:三棱柱111ABC A B C -中,各棱长均为2,平面ABC ⊥平面
11AAC C ,0
160A
AC ∠=. (1)求证:1B C ⊥平面11A BC ; (2)求二面角111B A B C --的大小;
(3)设O 是线段1A C 的中点,P 是ABC ?内部及边界上的一动点,使OP //平面11A BC ,试指出动点P 的轨迹图形是什么?请说明你的理由.
22. (本小题满分12分)已知直线1y x =-+与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于B A 、两点,
且OA OB ⊥(其中O 为坐标原点).
(1)若椭圆的离心率为
3
,求椭圆的标准方程; (2)求证:不论,a b 如何变化,椭圆恒过第一象限内的一个定点P ,并求点P 的坐标;
(3)若直线:l y ax m =+过(2)中的定点P ,且椭圆的离心率616,717e ??
∈?
???
,求原点到直线l 距离的取值范围.
答案及评分细则
一、选择题:1-5 ADACB 6-10 BDDAB 11-12 CD 二、填空题:13、(7,0)±;14、25;15、2
2441(0)15
y x y -=<;16、②③④. 三、解答题:
17.解:设圆心坐标为()3,m m ,则半径为3.m …………………………………2分 则圆的方程为()()2
2
2
39x m y m m -+-=…………………………………4分
又 2
2
2792m m ??+=
???
………………………………………………………..6分 解得 1m =±……………………………………………………………………8分 所以圆的方程为 ()()2
2
319x y -+-=
或()()22
319x y +++=……………………………………..10分
18.解:(1)ABC ?中,由3,4AC BC ==,5AB =得:2
2
2
AC BC AB += ∴AC BC ⊥,且1BC 在平面ABC 内的射影为BC ∴ 1AC BC ⊥. ………4分 (2)设11BC B C 与交点为E,连结DE ,则 DE //1AC , ∴ CED ∠为异面直线1AC 与1B C 所成的角,
在CED ?中,11522ED AC =
=,15
22
CD AB ==,11
222CE CB ==,∴ 822cos 552222
CED ∠=
=??, ∴ 异面直线 1AC 与1B C 所成角的余弦值为
22
5
.……8分 (3)由A 、B 关于点D 对称,则所求即为点B 到平面1B CD 的距离d
在1B CD ?中,1158942,,22
B C CD B D ==
=. 122
cos 5
B CD ∠=
∴134B CD S ?=, 又3BCD S ?= 由11B BCD B B CD V V --= ∴
11
433433
d ??=??
解得:17d =
∴111AC B DC 到平面的距离
为17…………………12分 19.解:(1)
22211112AC AC AB BC AB BC =?=+?⊥
又AB BD ⊥ 11AB BC D C D AB ∴⊥?⊥平面
11C D BD C D AB
⊥⊥1C D ABD ?⊥平面1ABD AC D ?⊥平面平面 (3)
分
过点B 做BF AD ⊥于F ,则BF 即为B 到平面1AC D 的距离,
则3BF =
=……………………………………………6分 (2)过E 作1EH BC ⊥于H ,则//EH AB ,故1EH BC D ⊥平面,连DH , 则EDH ∠就是DE 与平面1BC D 所成的角.…………………………………8分 设1||C E x =,∵1AB =,12AC =,故知0
130AC B ∠=,则12
EH x =
, 同理可知,0
160DC E ∠=,
在1DC E ?中,由余弦定理得2202
12cos601DE x x x x =+-=-+. 若030EDH ∠=,则2DE EH x ==,故有22
1x x x =-+,解得1x =, 即1||1C E =时,DE 与平面1BC D 所成的角为0
30.………………………12分 20.解:(1)设:l y kx m =+()k 存在,代入2
4x y =化简得: 2
440x kx m --=
2016160m k m >∴?=+>Q 恒成立
设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则12124,4x x k x x m +==-…………………………3分
Q AOB ∠为钝角,则0OA OB ?
22121212121212()()(1)()OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m =+=+++=++++u u u r u u u r g ,
即:2
2
(1)(4)40k m km k m +-+?+<,即2
40m m -<,
又因为0m >,解得04m << ……………………………………………6分 (1) 若P 为焦点,则(0,1)P , :1l y kx =+,
由(1)可知,2M x k =, 221M y k =+,点M 的坐标为2
(2,21)k k +
因为直线l '过点P 且与l 垂直,可得点N 的坐标为222
(,1)k k
-
+…………8分 直线MN 的斜率为
222
2122k k k k k k
-
=-+, 直线MN 的方程为2
1(21)()(2)y k k x k k
-+=--,
即222
122(21)k y x k k k -=-+++213k x k
-=+, 令0x =,得3y =,故直线MN 过定点(0,3).………………………………………12分 21. (1)证明:取11A C 的中点M ,连CM 、1B M
∵三棱柱111ABC A B C - 各棱长均相等,0
160A AC ∠=
∴11A CC ?与111A B C ?都是等边三角形 ∴11111,CM AC B M AC ⊥⊥ ∵平面ABC ⊥平面11AAC C , ∴平面111A B C ⊥平面11AAC C
∴1B M ⊥平面11AAC C ,由三垂线定理得:111B C AC ⊥ 又∵四边形11BCC B 是菱形,∴11B C BC ⊥
而1111BC AC C =I
∴111B C A BC ⊥平面……………………………………………4分
(2)连1AB 与1A B 交于G 点,设1B C 与1BC 交于H 点,连GH ,则GH
111
2
A C ,∴GH
1
2
AC 取AC 的中点N ,连BN ,1A N ,可证1AC A B ⊥ ∴1GH A B ⊥ 又∵四边形11AA B B 是菱形 ∴11AB A B ⊥
∴1B GH ∠就是所求二面角的平面角……………………………………………6分 由(1)知111AC B C ⊥ ∴1GH B C ⊥
112A C =,2211111
61,6,2GH B C CM B M B H B C ==+===
∴116
tan B H B GH GH ∠==即所求二面角的大小为6arctan 2………8分
(3)取AB 的中点F ,BC 的中点K ,连OF ,OK ,连1AC 必过O 点,且O 为1AC 的中点,则1OF //BC ∴11OF //A BC 平面 ∵OF FK F =I
∴平面OFK //平面11A BC
在线段FK 上(含端点)任取一点P ,连OP ,则11OP //A BC 平面 而过平面11A BC 外一点O 只能作出一个平面与其平行
因此,点P 的轨迹就是线段FK ………………………………………12分
22.解:(1)由22
222222221,()2(1)01.x y y a b x a x a b a b y x ?+
=?+-+-=??=-+?
消去得
22222222222112212122222
12121212121212122222222
(2)4()(1)0,12(1)
(,),(),,.
(1)(1)() 1.
,0,2()10,2(1)210,a a a b b a b a a b A x y B x y x x x x a b a b y y x x x x x x OA OB x x y y x x x x a b a a b a b ?=--+->+>-+==++∴=-+-+=-++⊥∴+=-++=-∴-+=++Q 由整理得设则即 整理22222222
22:20,155.,.
346
a b a b a b e a b a +-=-==∴==Q 得
2246
1.55
x y +=所以椭圆的标准方程为………………………………4分
(2
)由22
2222
222220,1,a b a b a b
+-=+=则不论a,b 如何变化,椭圆恒过第一象
限内的定点(
22,2
2
)……………………………………………6分 (3)将定点坐标代入直线方程得.0)1(2
2
),1(22=-+--=
a y ax l a m 的方程为直线
则原点到直线l
的距离为|
)|a d -=
, 又
22
11
21a a b +=∴>,
则|
)|1)a a d --=
=8分
,1,94,181118,17117,711171,171676],1716,76[).111(21,11
12:,2
222
22
2222
2222222>+≤≤∴≤-+≤∴≤-≤∴≤-≤∴≤≤∴∈-+=∴-+
=-=-=b a a e e e e e e a e a e a a c a b 适合条件代入上式得ΘΘ
由此得.32≤≤a ………………………………………………………10分
令()f a =
()f a ====Q , 令()1(),23,g a a a a =+
≤≤可证得[]510()23,()23g a g a ??
∴∈????
在,
上单调递增,
(),f a ∴∈??
1)105a d -∴== 在原点到直线l 距离的取值范围为].5
5
,1010[…………………………12分