机考题库--微积分

多元函数微分学机考题

说明：

1． 考试时间为60分钟，满分为100分。

2． 每份试卷共有15题，其中容易题6道，中等题6道，难题3道。 3． 每份试卷中，1—10题每题7分，11—15题每题6分。 4． 试题范围：多元函数微分学。

一、容易题

1．二元函数???

??=≠+=)0,0(),(,

0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy

y x f 在点)0,0(处

(A) 连续，偏导数存在。(B) 连续，偏导数不存在。(C) 不连续，偏导数存在。(D) 不

连续，偏导数不存在。 答：C

2．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组???+=+=2

2v

u y v

u x 确定，则当v u ≠时，

=??x

u (A)

v u x -。 (B) v u v --。 (C) v u u --。 (D) v

u y - 答：B

3．设),(00y x 是二元函数),(y x f 定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是 (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 的偏导数都存在。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D

4．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是

(A) )32,31,

31(-。 (B) )32,31,31(2-。 (C) )92,91,91(-。 (D) )9

2

,91,91(2-。

答：A 5．

(,)(,)

f x y f x y x y

????和在00(,)x y 连续对于函数),(y x f 在点),(00y x 可微是[ ]

（A ）充分条件。 (B)必要条件。 (C)充分必要条件。 (D)无关条件。 答：A

6．下列结论中错误的是 (A) 0lim

0(1)x y kx

xy

k x y

→==≠-+。

(B) 0111

lim lim

000

0=+

=+→→→→x

y y x xy y x y x 。 (C) 1lim

20-=+-=→y

x xy

x

x y x 。

(D) y x xy

y x +→→0

0lim

不存在。

答：B

7．设函数??

?

??=≠+==)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x y

x y x f z ，又t y t x ==,，则下列结论中正确

的是

(A) 0)0,0(=df 。

(B) 00

==t dz 。

(C) 2

10

=

=t dz 。

(D) dt dz

t 210

==。

答：D

8．若二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数x z ??，y

z

??存在，则[ ] （A ）),(y x f 在0P 点可微。 （B ）(,)f x y 在0P 点连续。

（C ）),(y x f 在0p 点沿任何方向→

u 的方向导数存在。 （D ）一元函数0()(,)h x f x y =在0x 连续。 答：D

9．已知)ln(2

2

y x z +=，则=???y

x z

2[ ]

(A)

2

2222)

()(2y x x y +-。 (B)

2

2222)

()(2y x y x +-。

(C) 2

22

)

(4y x xy +-

。 (D) 2

22

)

(4y x xy +。

答：C

10．若),(y x f 在点),(00y x 不可微, 则一定有[ ] （A ）),(y x f 在点),(00y x 不连续。

（B ）),(y x f 在点),(00y x 沿某些方向v

的方向导数不存在。 （C ）),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数至少有一个不连续。 （D ）),(y x f 在点),(00y x 两个偏导数存在且连续。 答：C

11．曲面:S 2xyz x y z +-+=在点(1,1,1)的切平面[ ]

(A ) 包含y 轴。 (B ) 平行于y 轴。 (C ) 垂直于y 轴。 (D ) A ，B ，C 都不对。 答：B 12．设函数

)

,(y x f 有连续的偏导数,在点)2,1(-M 的两个偏导数分别为

1)

2,1(=?-?x f ,

1)2,1(-=?-?y f ，则),(y x f 在点)2,1(-M 增加最快的方向是[ ] .A i 。 .B j 。 .C i j +。 .D i j -。

答： D

13．函数)

ln(1)arccos(2

2

2

2

y x y x z ++

+=的定义域是[ ]

(A){

}

10),(2

2<+<=y x y x D 。

(B){

}

1),(2

2<+=y x y x D 。

(C){

}

10),(2

2≤+<=y x y x D 。

(D){

}

1),(2

2≤+=y x y x D 。

答：A

14．已知函数),(y x z z =由方程0),(=--z y z x F 确定，其中函数F 具有一阶连续偏导数，且021≠'+'F F ，则=??+??y

z

x z [ ] (A)1-。

(B)0。

(C)

2

1。

(D)1。

答：D

15．二元函数=),(y x f (

)

2

2

22x y x y +-- [ ]

A. 没有驻点。

B. 至多有一个极值点。 C 至少有两个极值点。

D 至少有三个极值点。

答：B

16．椭球面 222

236x y z ++=在点(1,1,1)的切平面方程是[ ] A 6x y z ++=。

B 231x y z ++=。

C 236x y z ++=。

D 233x y z ++=。

答：C 17．已知xy

e

z cos =，则=dz [ ]

(A))()sin(cos xdy ydx xy e xy +。

(B) )()sin(cos xdy ydx xy e xy +-。 (C) )()sin(cos ydy xdx xy e xy +-。

(D) )(cos xdy ydx e xy +。

答：B

18．设)(x

y

xyf z =，)(x f 可导，则[ ] (A) )(2x

y f z x z y y x ='+'。 (B) )(2x

y

f z y z x y x ='+'。 (C) z z x z y y x 2='+'。

(D) z z y z x y x 2='+'。

答：D

19．已知x z y z y x u =，则[ ]

(A)

)ln (),ln (11x y z x z y y u z x y x z y x u y x z y x z +=??+=??--。 (B)

x x z y y u

z x y x z y x u y x z y x z ln ),ln (111+--=??+=??。 (C)

)ln (,ln 111x y z x z y y u z x z y x u y x z y x z +=??=??--+。 (D)

,ln 11z x z y x

u

y x z -+=??x x z y y u y x z ln 11+-=??。 答：A

20．函数y

x xy y x y x y x f +++=3

223),(在)0,0(),(→y x 时[ ]

(A) 极限存在且等于零。

(B) 极限存在但不等于零。 (C) 极限不存在但是无穷大量。

(D) 极限不存在也不是无穷大量。

答：D 二、中等题 1．设有直线?

?

?=+--=+++031020

123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L

(A) 平行于π。 (B) 在上π。 (C) 垂直于π。

(D) 与π斜交。

答：C

2．直线z y x =-=+222

与 ?

?

?=++=++02012z y y x 之间的关系是 (A) 重合。 (B) 平行。 (C) 相交。 (D) 异面。

答：B

3．曲面21322

2

2

=++z y x 的与平面064=++z y x 平行的切平面方程是

(A) 2

21

64±

=++z y x 。 (B) 2164=++z y x 。 (C) 2164-=++z y x 。

(D) 2164±=++z y x

4．设函数),(y x f 在点)0,0(处的偏导数(0,0)4x f '=，1)0,0(='y f ，则下列命题中成立的是[ ]

（A ）函数),(y x f 在点(0,0)可微且(0,0)4df dx dy =+。 （B ）函数),(y x f 在点)0,0(的某邻域内必有定义。

（C ）空间曲线???==0

)

,(y y x f z 在点)0,0(处的一个切向量为 4i k +。

（D ）极限),(lim

)

0,0(),(y x f y x →必存在。

答：C

5．设 ,(,).

xy x y f x y ?=?

?和都是有理数;0,

其它 则 [ ]

(A)f 在 (0,0) 可微且(0,0)0df =。 (B)f 在 (0,0) 的两个偏导数存在但不可微。

(C)f 在 (0,0) 可微，但(0,0)0df ≠。 (D) A,B,C 都不对。 答：A

6

．设(,)sin

f x y =则(,)f x y 在)0,0(点[ ]

（A ）连续,但偏导数不存在。 （B ）可微。

（C ）连续且偏导数存在。 （D ）不连续但偏导数存在。 答：C

7．已知),(y x f 具有二阶连续偏导数，),(xy x f z =，记xy v =，则下列结论中正确的是

(A) v x f

y x f x z ???+??=??22

222。

(B) v x f

y x f x z ???+??=??22

2222。

(C)2222

2222v

f

y v x f y x f x z ??+???+??=??。 (D)

2

2

2222222v f y v x f y x f x z ??+???+??=??。

8．下列命题中正确的是

(A) 若二元函数),(y x f z =连续，则作为任一变量x 或y 的一元函数必连续。 (B) 若二元函数),(y x f z =作为任一变量x 或y 的一元函数都连续，则),(y x f z =必

连续。

(C) 若二元函数),(y x f z =可微，则其必存在连续的一阶偏导数。 (D) 若二元函数),(y x f z =不连续，则其必不可导。 答：A

9．已知f 有连续的二阶偏导数，

22,y ax y

f y x x f +=??+=??, 则=a [ ] 1.-A 。 0.B 。 1.C 。 .2.D 。

答：C

10．二元函数??

?≠-==其他

且,

00

)1(,

1),(x x x y y x f 在点)0,0(处[ ]

(A) 连续且偏导数存在。

(B) 连续但偏导数不存在。 (C) 不连续但沿任何方向的方向导数都存在。 (D) 不连续且偏导数不存在。

答：C

11． 设),(y x f z

=0xyz =确定的函数. 则f 在(1,1)的梯

度=)1,1(gradf [ ]

A {-1, -1}。

B {-1, 3}。

C }3,3{。

D }2,2{。 答：A

12．已知yz x z y x u 2

3

2

-+=，}1,1,1{=v

，则[ ] (A)

2)

1,1,1(=??v

u 。

(B) 2)1,1,1(=du 。

(C )}1,0,0{)1,1,1(=u grad

(D)

3

2

)1,1,1(=??v u 。

答：D

13．已知函数),(y x f 在点(,)11处可微，且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x

f f f ，又设)),,(()(x x x f f x

g =，则

=dx

dg )

1([ ] (A)0。

(B)5。

(C)11。

(D)13。

答：D

14．曲线???

?

?

????

===222121t z t y t x 的平行于平面1=++z y x 的切线方程是[ ]

(A)

1

81181221

--=--=+

z y x 。

(B)

1

81181221

-+=-+=-

z y x 。 (C) 1

2112111-

=-=-z y x 。

(D) 1

2112111+

=+=+z y x 。 答：A

15．设(,)z h x y =由方程xyz

e

x y z =++确定，则(,)h x y 在点0(0,1)P 的两个偏导数

(0,1)(0,1)

h h x y

????和[ ] A. 分别等于0和-1。 B. 分别等于 1-和0。 C. 都等于0。

D. 都等于1-。

答：D

16．椭球面S :2

5

22

2

2

=

++z y x 的与平面 04:=++-z y x π平行的切平面是[ ] (A) 25

=+-z y x 。 (B) 25

-=+-z y x 。

(C) 2

5

±=+-z y x 。

(D) 4

5

±=+-z y x 。

答：C

17．设函数),(y x f 在点)0,0(附近有定义，且1)0,0(,3)0,0(='='y x

f f ，则[ ] (A) dy dx dz +=3)0,0(。

(B) 曲面),(y x f z =在点))0,0(,0,0(f 的法向量为)1,1,3(。

(C) 曲线??

?==0

)

,(y y x f z 在点))0,0(,0,0(f 的切向量为)3,0,1(。

(D) 曲线?

??==0)

,(y y x f z 在点))0,0(,0,0(f 的切向量为)1,0,3(。

答：C

18．已知?

=--2

2

2sin ),(y

x e e

dt t y x f ，则),(y x df 等于[ ]

(A)dy e

ye

dx e

xe y y x x 2

2

2

2

22sin 2sin 2----+。

(B) dy e ye dx e xe y y x x 2

2

2

2

22sin 2sin 2----+- 。 (C) dy e ye dx e xe y y x x 2

2

2

2

22sin 2sin 2-----。 (D) dy e

ye

dx e

xe y y x x 2

2

2

2

22sin 2sin 2----。

答：C

19．设??

???=+≠+++=0,00,1sin )(),(222

22222y x y x y x y x y x f ，则在)0,0(处),(y x f [ ] (A)偏导数不存在。

(B)不可微。 (C)偏导数存在且连续。

(D)可微。

答：D

20．已知曲面222y x z +=上点M 处的切平面平行于平面1=+-z y x ，则M 点的坐标是[ ] (A))1,1,1(-。 (B) )1,1,1(--。

(C) )1,1,1(- 。

(D) )1,1,1(

答：A

21．函数223333y x y x z --+=的极大值点是[ ] (A))0,0(。 (B))2,2(。

(C))2,0(。

(D))0,2(。

答：A

22．考虑二元函数的下面四条性质： （1）在点处连续，

（2）在点处的两个偏导数连续， （3）在点处可微，

（4）在点

处的两个偏导数存在。

若用“ ”表示可由性质

推出性质，则有[ ]

(A)。 (B) 。 (C) 。

(D)

。

答：A 三、难题

1．下列命题中错误的是

(A) 若)(x f 在],[b a 上可导，且存在唯一的极值点0M ，若)(0M f 是极小值，则)

(0M f 必是)(x f 在],[b a 上的最小值。

(B) 若),(y x f 在有界闭域D 的内部存在唯一的极值点0M ，若)(0M f 是极小值，则

)(0M f 必是),(y x f 在D 上的最小值。

(C) 若),(y x f 在有界闭域D 的内部取到最小值，且0M 是),(y x f 在D 内的唯一极值

点，则)(0M f 必是),(y x f 在D 上的最小值。

(D) 连续函数),(y x f 在有界闭域D 上的最大、最小值可以都在D 的边界上取到。 答：B

2．下列命题中正确的是

(A) 设0M 为曲面∑外一点，1M 为曲面∑上的点，若}{min 010MM M M M ∑

∈=，则

10M M 是∑在1M 处的法向量。

(B) 设0M 为光滑曲面∑外一点，1M 为曲面∑上的点，若}{min 010MM M M M ∑

∈=，

则10M M 是∑在1M 处的法向量。

(C) 设0M 为光滑曲面∑外一点，1M 为曲面∑上的点，若10M M 是∑在1M 处的法

向量，则}{min 010MM M M M ∑

∈=。

(D) 设0M 为光滑曲面∑外一点，1M 为曲面∑上的点，若10M M 是∑在1M 处的法

向量，则}{max 010MM M M M ∑

∈<。

答：B

3．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是 (A) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 的梯度是

))

,(,),((

),(grad 000000y

y x f x y x f y x f ????=。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 沿方向

)sin ,(cos αα=v 方向导数是

ααsin )

,(cos ),(),(000000y

y x f x y x f v y x f ??+??=??。

(C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 的微分是

dy y

y x f dx x y x f y x f ??+??=

)

,(),(),(d 000000。

(D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 的微分是

dy y

y x f dx x y x f y x f ??+??=

)

,(),(),(d 000000。

答：D

4．已知函数),(y x f 在点)0,0(的某个邻域内连续，且1)

(),(lim

2

22

=+-→→y x xy y x f y x ，则[ ]

(A) 点)0,0(不是),(y x f 的极值点。 (B) 点)0,0(是),(y x f 的极大值点。 (C) 点)0,0(是),(y x f 的极小值点。

(D) 根据所给条件无法判断点)0,0(是否为),(y x f 的极值点。

答：A

5．设D 是一有界闭域, 函数),(y x f 在D 上连续，在D 内偏导数存在，且满足等式

),()

,(2),(y x f y

y x f x y x f -=??+??， 若),(y x f 在D 的边界上恒为零，则),(y x f 在D 上[ ] (A) 存在非零的最大值。 (B) 存在非零的最小值。

(C) 只在边界上取到最大值和最小值。 (D) 能在边界上取到最大值和最小值。 答：D

6．已知??

?≠==0

,10,0),(xy xy y x f ，v

是任意单位向量，则[ ]

(A)

0)

0,1(,0)0,1(=??=??y

f x f 。 (B)0)0,0(=df 。

(C)

0)

0,0(=??v

f 。 (D)

1),(lim lim ),(lim lim 0

11

0==→→→→y x f y x f y x x y 。

答：D

7．已知??

?

??==≠=0,0,

0,),(x y y x xy xy y x f ，则下列结论中错误的是[ ] (A))0,0(),(lim 0

0f y x f y x =→→。

(B) )0,0(),(lim lim 0

0f y x f x y =→→。

(C)

1)

0,0(,1)0,0(=??=??y

f x f 。

(D)}1,1{)0,0(=gradf 。

答：D

8．设二元函数(,)f x y 是有界函数, 则 [ ] （A

(,)f x y 一定在点 0P (0,0)可微。

（B

(,)f x y 一定在点 0P (0,0)可微。 （C ）函数(

)

3

22

2

x y

+(,)f x y 一定在点 0P (0,0)可微。

（D

(,)f x y

(,)f x y , ()

3

2

2

2

x y

+(,)f x y 都在点 0P (0,0)不可

微。 答：C

9．设0000(,,)P x y z 是条件极值问题

()222

22

min{23}

110

x y z z x y ?++??----=?? 的解, 且222

00023x y z R ++=。又设21

,ππ分别是曲面22223x y z R ++= 和曲面

()2

2110z x y ----=在点000(,,)P x y z 的切平面, 则[ ]

12.A 与ππ互相垂直。 12.B ππ与重合。 12.C o 与的法线的夹角是45ππ。 .

,,D A B C 都不正确。

答：B

10．下列哪一个条件成立时能够推出),(y x f 在),(00y x 点可微,且全微分0=df [ ] A ),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数0,0='='y x f f 。

B ),(y x f 在点),(00y x

的全增量0000(,)(,)f f x x y y f x y ?=+?+?-=

C ),(y x f 在点),(00y x 的全增量2

2

22)sin(y

x y x f ?+??+?=

?。

D ),(y x f 在点),(00y x 的全增量2

2

2

2

1sin )(y

x y x f ?+??+?=?。

答：D