初中数学待定系数法分解因式

初中数学待定系数法分解因式

待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

【内容综述】

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。

【要点讲解】

这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

★★例1 分解因式2x^2+3xy-y^2+x+14y-15.

? ? 思路1 因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以设原式的分解式是(x-y+m)(2x+3y+n),后展开，利用多项式的恒等,求出m、n的值。

? ?解法1因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以可设

2x^2+3xy-y^2+x+14y-15=(x-y+m)(2x+3y+n)=2x^2+3xy-y^2+(

2m+n)x+(3m-n)y+mn

? ?比较系数得2m+n=1...(1) 3m-n=14...(2) mn=-15...(3) ?由(1)(2)得m=3,n=-5,带入(3)成立。(想想，如果不成立说明什么?)所以

2x^2+3xy-y^2+x+14y-15=(x-y+3)(2x+3y-5).

? ?思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。

? ? 解法2 因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以设原式的分解式是(x-y+m)(2x+3y+n), 因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令x=0,y=0,

得mn=-15...(1),令x=0,y=1得mn+3m-n+1=0...(2)解①、②得

m=3,n=-5或m=5/3,n=-9,带入恒等式验证知m=3,n=-5.

? ?说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

? 思考：可下可就此题自学“双十字相乘法”。

★★例2 分解因式x^4-x^3+4x^2+3x+5.

? 思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

? 解设x^4-x^3+4x^2+3x+5=(x^2+ax+1)(x^2+bx+5)（为什么这样设？）=x^4+(a+b)x^3+(ab+b)x^2+(

5a+b)x+5, 由恒等式性质有：a+b=-1 (1)

ab+6=4...(2)5a+b=3 (3)

? 由1、3得a=1,b=-2带入2成立。所以

x^4-x^3+4x^2+3x+5=(x^2+x+1)(x^2-2x+5).

? 思考：为什么不设原式=(x^3+ax^2+bx+1)(x+5)或

(x^3+ax^2+bx+5)(x+1)？？

★★★例3 在关于x的二次三项式中，当x=1时，其值为0；当x=-3时，其值为0；当x=2时，其值为10，求这个二次三项式。

思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。

解法1 设关于x的二次三项式为ax^2+bx+c,把已知条件分别代入，得a+b+c=0,9a+3b+c=0,4a+2b+c=10,解得a=2,b=4,c=-6.故所求的二次三项为2x^2+4x-6.

思路2 根据已知x=1,3时其值为0，故设二次三项式为a(x-1)(x-3),然后再求出a的值。

解法2 根据已知x=1,3时其值为0，故设二次三项式为a(x-1)(x-3),把x=2代入上式，得5a=10,所以a=2.

说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。

★★★★例4 已知多项式x^3+bx^2+cx+d的系数都是整数。若bd+cd 是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。

思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。

证明：设x^3+bx^2+cx+d=(x+m)(x^2+nx+r)....(1) （这里与例2有什么联系？）x^3+bx^2+cx+d=x^3+(m+n)x^2+(mn+r)x+mr（m,n,r 都是整数）。

比较系数得mr=d,因为bd+cd=(b+c)d是奇数，所以b+c与d都是奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。

在（1）式中令x=1得1+b+c+d=(1+m)(1+n+r)...(2)由b+c,d是奇数得1+b+c+d是奇数，而m为奇数，故1+m是偶数，所以(1+m)(1+n+r)是偶数。这样②的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。

因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。

说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。

★★★例6若a是自然数，且a^4

-4a^3+15a^2-30a+27是一个质数，求这个质数。

思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。进而解决问题。

解：由待定系数法可解得

? ?a^4

-4a^3+15a^2-30a+27=(a^2-3a+3)(a^2-a+9),由于a是自然数，且a^4-4a^3+15a^2-30a+27是质数，(a^2-3a+3)<(a^2-a+9) 所以

a^2-3a+3=1 解得a1=1,a2=2

验证知a=2时，原式是质数。a^4-4a^3+15a^2-30a+27=11

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