BP神经网络逼近非线性函数

应用BP神经网络逼近非线性函

一、实验要求

1、逼近的非线性函数选取为y=sin(x1)+cos(x2)，其中有两个自变量即x1,x2,一个因变量即y。

2、逼近误差<5%，即：应用测试数据对网络进行测试时，神经网络的输出与期望值的最大误差的绝对值小于期望值的5%。

3、学习方法为经典的BP算法或改进形式的BP算法，鼓励采用改进形式的BP算法。

4、不允许采用matlab中现有的关于神经网络建立、学习、仿真的任何函数及命令。

二、实验基本原理

2.1 神经网络概述

BP神经网络是一种多层前馈神经网络，该网络的主要特点是信号前向传播，误差反向传播。在前向传递中，输入信号从输入层经隐含层逐层处理，直至输出层。每一层的神经元状态只影响下一层神经元状态。如果输出层得不到期望输出，则转入反向传播，根据预判误差调整网络权值和阈值，从而使BP神经网络预测输出不断逼近期望输出。BP神经网络的拓扑结构如图所示。

2.2 BP神经网络训练步骤

BP神经网络预测前首先要训练网络，通过训练使网络具有联想记忆和预测能力。BP神经网络的训练过程包括以下几个步骤。

步骤1：网络初始化。根据系统输入输出序列(X,Y)确定网络输入层节点数n、隐含层节点数l、输出层节点数m，初始化输入层、隐含层和输出层神经元之间的连接权值ωij，ωjk，初始化隐含层阈值a，输出层阈值b，给定学习速率和神经元激励函数。

步骤2：隐含层输出计算。根据输入变量X，输入层和隐含层间连接权值ωij

以及隐含层阈值a，计算隐含层输出H。

j 1

(a )n

j ij i i H f x ω==-∑ j=1,2，…，l

式中，l 为隐含层节点数，f 为隐含层激励函数，该函数有多种形式，一般选取为1

(x)1x

f e

-=+

步骤3：输出层输出计算。根据隐含层输出H ，连接权值ωjk 和阈值b ，计算BP 神经

网络预测输出O 。

1

l

k j jk k j O H b ω==-∑ k=1,2，…，m

步骤4：误差计算。根据网络预测输出O 和期望输出Y ，计算网络预测误差e 。

k k k e Y O =- k=1,2，…，m

步骤5：权值更新。根据网络预测误差e 更新网络连接权值ωij ，ωjk

1

(1)x(i)m

ij ij j j jk k k H H e ωωηω==+-∑ i=1,2,…,n j=1,2,…,l

jk jk j k H e ωωη=+ j=1,2,…,l k=1,2,…,m

步骤6：阈值更新。根据网络预测误差e 更新网络节点阈值a ，b 。

1

(1)m

j j j j jk k k a a H H e ηω==+-∑ j=1,2,…,l

k k k b b e =+ k=1,2,…,m

步骤7：判断算法迭代是否结束，若没有结束，返回步骤2。

2.3 附加动量法

经典BP 神经网络采用梯度修正法作为权值和阈值的学习算法，从网络预测误差的负梯

度方向修正权值和阈值，没有考虑以前经验的积累，学习过程收敛缓慢。对于这个问题，可以采用附加动量法来解决，带附加动量的算法学习公式为

[](k)(k 1)(k)a (k 1)(k 2)ωωωωω=-+?+---

式中，ω(k)，ω(k-1)，ω(k-2)分别为k ，k-1，k-2时刻的权值；a 为动量学习率，一般取值为0.95。

2.4 程序流程图

三、程序简述

本次实验选择逼近的非线性函数为y=sin(x1)+cos(x2)。程序首先创建用于神将网路训练的样本数据，取在区间[-4.5,4.5]之间均匀分布的数值，由于有两个自变量，所以一共产生361组输入输出数据。其次确定神经网络的训练参数，比如隐含层节点数、学习速率、学习目标、隐含层和输出层的权值阈值等，其中隐含层节点数在参考相关资料后确定为9，这样不仅在训练结束后可以获得较小的误差，而且也不会使训练次数过大从而耗时较长；程序中隐含层和输出层的权值阈值是采取随机产生的方法获得的，并且之后的修改方法采用了附加动量法，减少训练次数加快网络收敛。由于matlab可以采用矩阵运算的形式，所以输入输出数据和网络权值阈值构建生成相应的矩阵，这样可以在全部数据遍历一次之后再进行

权值阈值修改，同样可以缩短网络训练时间。最后，根据修正后的权值阈值就输入数据预测网路输出，和期望输出数据进行比较，计算输出误差，直至训练结束根据训练结果画出相应图像。

最初程序中神经网络训练只有当最大预测误差小于5%之后才停止，实际情况中，当输出接近0时只要有微小的变化就会产生较大的误差，这样不仅导致网络训练次数增加耗时长，还会使网络收敛速度变慢；在经过查询相关资料之后，训练结束条件除了最大预测误差小于5%之外，还增加了目标函数，目标函数是取所有误差的平方和，当目标函数的计算值小于预期目标时同样也会停止训练，此时默认训练已达目标。在实际检验过程中发现，加入目标函数后不仅可以有效地改善收敛速度慢耗时长的问题，同时各个坐标点的预测误差也在期望值之内，达到了实验要求。

四、实验结果

由于程序中权值阈值的取值是随机的，所以取其中一次的结果展示。最大训练次数为15329，训练结束后的最大误差为2.5331。

图1 非线性函数图像

图2 网络图

图3 误差曲线

程序：

clc

clear

%创建输入数据，产生361组输入输出数据

row = 1;

for i=-4.5:0.5:4.5

for j=-4.5:0.5:4.5

input(row,1) = i;

input(row,2) = j;

output(row,1) = sin(input(row,1)) + cos(input(row,2));

row = row+1;

end

end

%神经网络结构

inputnum = 2; %输入层节点数

hiddennum = 9; %隐含层节点数

outputnum = 1; %输出层节点数

%网络参数

learnSpeed = 0.0003; %学习率

learnGoal = 0.05; %目标

%隐含层及输出层的权值和阈值

w1 = 0.2*rand(hiddennum,inputnum)-0.1;

b1 = 0.2*rand(hiddennum,1)-0.1;

w2 = 0.2*rand(outputnum,hiddennum)-0.1;

b2 = 0.2*rand(outputnum,1)-0.1;

%取训练数据和预测数据

%采用全部样本遍历一次后再进行权值阈值调整

%调整采用附加动量法,加快收敛速度，减少遍历次数

input_train = [input ones(361,1)]';

output_train = output;

HH = [w1 b1];

OO = [w2 b2];

collectHH = [];

collectOO = [];

%用训练数据训练BP神经网络

aimJ = 0;

max_rate=100; %初始化最大样本误差

trainNum = 0; %初始化训练次数

while(max_rate>learnGoal)

collectHiddenOut = logsig(HH*input_train); %计算隐含层输出hiddenOut = [collectHiddenOut' ones(361,1)]';

networkOut = OO*hiddenOut; %计算网络输出

error = output_train-networkOut'; %计算误差

%利用目标函数，判断是否结束循环

aimJ = sumsqr(error)

if (aimJ

break;

end

%统计训练次数

trainNum = trainNum+1;

%权值阈值调整因子

factor2 = error';

factor1 = w2'*factor2.*collectHiddenOut.*(1-collectHiddenOut);

%调整权值和阈值调节量

dHH = factor1*input_train';

dOO = factor2*hiddenOut';

%权值阈值调整

if (trainNum<3)

HH = HH + learnSpeed*dHH;

OO = OO + learnSpeed*dOO;

collectHH = [collectHH HH];

collectOO = [collectOO OO];

w1 = HH(:,1:inputnum);

b1 = HH(:,1+inputnum);

w2 = OO(:,1:hiddennum);

b2 = OO(:,1+hiddennum);

else

%附加动量法

HH = HH + learnSpeed*dHH + 0.94*(collectHH(:,((trainNum-2)*3+1):((trainNum-2)*3+3))-collectHH(:,((trainNum-3

)*3+1):((trainNum-3)*3+3)));

OO = OO + learnSpeed*dOO + 0.94*(collectOO(1,((trainNum-2)*10+1):((trainNum-2)*10+10))-collectOO(1,((train Num-3)*10+1):((trainNum-3)*10+10)));

collectHH = [collectHH HH];

collectOO = [collectOO OO];

w1 = HH(:,1:inputnum);

b1 = HH(:,1+inputnum);

w2 = OO(:,1:hiddennum);

b2 = OO(:,1+hiddennum);

end

%训练数据测试，计算最大误差率

hiddenOut_test = logsig(HH*input_train); %参数修改后的隐含层输出

network_test = w2*hiddenOut_test+repmat(b2,1,361); %预测结果

rate = (output_train-network_test')./output_train; %误差率

max_rate = max(abs(rate)); %误差率最大值end

%显示测试结果

%标准函数图像y=sin(x1)+cos(x2)

[x,y] = meshgrid(-4.5:0.1:4.5,-4.5:0.1:4.5);

z = sin(x)+cos(y);

figure(1)

mesh(x,y,z)

xlabel('x1');

ylabel('x2');

zlabel('y');

%网络图

t1=linspace(min(input(:,1)),max(input(:,1)));

t2=linspace(min(input(:,2)),max(input(:,2)));

[X,Y]=meshgrid(t1,t2);

Z=griddata(input(:,1),input(:,2),network_test',X,Y); figure(2)

mesh(X,Y,Z)

xlabel('Input1');

ylabel('Input2');

zlabel('Output');

%绘制误差曲线

t3=linspace(min(input(:,1)),max(input(:,1)));

t4=linspace(min(input(:,2)),max(input(:,2)));

[X1,X2]=meshgrid(t3,t4);

E=griddata(input(:,1),input(:,2),error,X1,X2); figure(3)

mesh(X1,X2,E)

xlabel('Input1');

ylabel('Input2');

zlabel('error');