初中数学反比例函数的图像与性质教案

9.2反比例函数的图象与性质(1)

一、设计思路

本节课是在上学期探索研究一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的基础上，探索反比例函数的图象，感受反比例函数图象的特点，初步体验其性质，通过引导学生回顾一次函数图象的形状及其画图步骤，激发学生动手实践、探索发现反比例函数图象特点的热情，充分发挥学生的主体意识，让他们在自主探索、合作交流的氛围中“做数学”，亲自动手操作，运用画函数图象的一般步骤，感知反比例函数图象的作法及特点，得知：反比例函数的图象是双曲线，并进一步渗透数形结合的数学思想，在探索活动中，让学生富有充分的时间进行小组合作、交流，大胆猜想，以提高学生分析问题，解决问题的能力和数学语言的口头表达能力．

二、目标设计

1．能用列表、描点的方法探究反比例函数的图象，并会画出反比例函数的图象．

2．进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法．

3．通过画图，增强学生对形数结合的数学思想的体验．

三、活动设计

四、例题设计

五、拓展练习

建湖县近湖中学八年级数学备课组

9.2反比例函数的图象与性质（2）

一、设计思路

本节课是在学习上节课初步感知反比例函数的图象特点基础上，进一步探索反比例函数的性质，形成数学能力．

本节课通过学生对一次函数的图象与性质复习，教者展示上节课学生所做书中练习的6个反比例函数图象，引导学生进行分类并说明分类的依据，从而使学生在对照正比例函数的性质的基础上，总结、归纳、揭示反比例函数的性质，并了解反比例函数的图象不可能与坐标轴相交的原因．运用类比的方法，使学生感受到学习反比例函数图象和性质与学习其它函数一样，要善于形数结合，由函数关系式联想到图象的位置及其性质，由图象和性质联想到比例系数K的符号，通过探究加深对反比例函数图象及性质的理解与领悟，提高了学生分析问题、解决问题的能力．

二、目标设计

1．认识反比例函数的图象与性质，并能简单运用．

2．结合反比例函数的图象，揭示与其对应的函数关系式之间的内在联系及其几何意义．3．能根据图象分析并掌握反比例函数的性质，进一步感受形数结合的思想方法．

三、活动设计

四、例题设计

五、拓展练习

建湖县近湖中学八年级数学备课组

9.2反比例函数的图象与性质（3）

一、设计思路

本节课内容是在学生掌握反比例函数图象的特点及其性质的基础上，进一步根据反比例的函数具有的特征探索其具有的图象性质．本节课通过对上节课的课本P85练习1进行复习巩固反比例函数的图象与性质，例题的教学，意在先引导学生会根据反比例函数图象的某些特征，进一步分析反比例函数的图象与性质，并运用其对应的函数关系式之间的内在联系及其几何意义解决相关的问题．在例1的教学时，可以引导学生从以下两个方面进行探索．（1）引导学生根据条件确定函数的类型，明确函数图象所在象限及其有关性质．（2）引导学生根据已知三点横坐标确定三点所在象限，从而在它们各自所在象限内比较大小．例2的教学是根据反比例函数和一次函数的图象解决一些简单的问题，以达到提高学生的分析问题和解决问题的综合能力，近年来中考中，这类题目很多，结合形数结合的思想实现函数解析式中的

系数符号与函数图象位置或变化趋势的熟练转化，以达到对反比例函数图象与性质的熟练掌握，提高创造性解决问题的能力.

二、目标设计

1．巩固反比例函数的图象与性质并能运用其与对应的函数关系或之间的内在联系及其几何意义解决有关问题．

2．根据所给反比例函数与一次函数的图象解决一些简单的综合问题．

四、例题设计

建湖县近湖中学八年级数学备课组

反比例函数的图象与性质（1）

教学目标：

使学生会作反比例函数的图象，并能理解反比例函数的性质。培养提高学生的计算能力和作图能力。

教学重点、难点：

重点：作反比例函数的图象

难点：理解反比例函数的性质。

教学过程：

一、复习引入：

1、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是。

当k>0时，y随x的增大而；

当k<0时，y随x的增大而。

二、新授课：

1、作反比例函数y=6

x

的图象：

列表：

X …－6 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 6 …

y=6

x

连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数y=

6

x

的图象。

2、你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？

列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可简

化计算，又便于描点。

3、作反比例函数y=

6

x

-

的图象。

4、观察函数y=6

x

和y=

6

x

-的图象，它们有什么相同点和不同点？

图象分别都是由两支曲线组成的（一般把这两个分支组成的曲线称为双曲线），它们都不与坐标轴相交，两个函数图象都是轴对称图形，它们各自都有两条对称轴。

5、归纳得出反比例函数图象特征：

反比例函数y=k

x的图象是由两支曲线组成的，当k>0时，两支曲线分别位于一、三象

限内，当k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。

三、随堂练习

1、见练习纸

2、反比例函数

k

y

x

=的图象经过点（-2，4），求它的解析式，并画出函数图象，图象

分布在哪几个象限？与坐标轴的交点是什么？

四、小结

五、思考

已知变量y与x成反比例,并且当x=2时,y=-3.(1)求y与x的函数关系式;(2)求当y=2时x的值;(3)在直角坐标系内画出(1)小题中函数图象的草图.

六、作业：P86 1、2

练习纸

1、在直角坐标系中，分别画出下列函数的图象：

（1）y=1

x

(2)y= -

1

x

2、在下列函数中任选两个函数，分别画出它们的图象：

(1) y=4

x

(2) y= -

4

x

(3) y=3

x

(4) y= -

3

x

反比例函数的图象和性质第二课时

教学目标：1、进一步理解函数的三种表示方法；

2、能根据图象分析和掌握反比例函数的性质，感受数形结合的数学思想方法；

3、会用待定系数法求反比例函数的关系式

教学重点：会用待定系数法求反比例函数的关系式

教学难点：分析并掌握反比例函数的性质

教学过程：

一、情境创设

展示学生作业中（P82第1题）的6个反比例函数图象，引导学生进行分类并说明分类的依据

二、探索活动（一）

1、探索图象的特征；

（1）每个函数的图象分别在哪几个象限？

（2）在每一个象限内，随着x的增大，y是怎样变化的？

（3）反比例函数的图象与x轴有交点吗？与y有交点吗？为什么？

由此得到反比例函数图象的性质：

反比例函数y=k

x

(k为常数，k≠0)的图象是双曲线

当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x 的增大而减小；

当k〈0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x 的增大而增大；

2、 再用函数的观点分析反比例函数的特征

三、 例题教学

例1、 已知反比例函数y =k

x

的图象经过A （2，—4）。

（1）k 的值

（2）这个函数的图象在哪几个象限？y 随x 的增大怎样变化？ （3）画出函数的图象

（4）点B （1

2，—16）、C （—3，5）在这个函数的图象上吗？

例2、若反比例函数y=24

212-+m x

m 的图象经过第二、四象限，求函数的解析式。

四、探索活动（二）

如果将反比例函数的图象绕原点旋转0180，你有什么发现？ 将反比例函数的图象绕原点旋转0180后，能与原来的图象重合。

因此我们可以得出一个结论：

反比例函数y =k

x

的图象是中心对称图形，它的对称中心是坐标系的原点

五、练习

1、反比例函数①y =2x ；②y =13x ；③7y = —10x ；④y =3

100x

的图象中：

（1）在第一、萨那象限的是 ，在第二、四象限的是 （2）在其所在的象限内，y 随x 的增大而增大的是 2、已知反比例函数的图象经过点A （—6，—3）。 （1）写出函数关系式

（2）这个函数的图象在哪几个象限？y 随x 的增大怎样变化？

（3）点B （4，9

2），C （2，—5）在这个函数的图象上吗？

3、已知反比例函数y=k x

(k ≠0)与一次函数y=x 的图象有交点, 则k 的范围是______ . 六、小结 七、作业 P86 3、4

反比例函数的图象与性质（3）

教学目标：使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解。 教学重点：反比例函数的图象 教学难点：利用反比例函数的图象解题 教学过程：

一、 复习：

反比例函数 解析式 y=k

x (k 为常数，k ≠0) 图象形状

双曲线（以原点为对称中心）

k>0

位置

一、三象限

增减性 每一象限内，y 随x 的增大而减小

k<0 位置

二、四象限

增减性

每一象限内，y 随x 的增大而增大

二、新授：

例2、如图是反比例函数2m

y x

-=

的图象的一支。 （1） 函数图象的另一支在第几象限？试求常数m 的取值范围；

（2） 点13(3,))(2,)A y C y -2、B(-1,y 和都在这个反比例函数的图象上，

比较

1y 、2y 、3y 的大小。

例3、如图，正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y=60

k

的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（ 3 ，2 3 ）

（1）分别写出这两个函数的表达式；

（2）你能求出点B 的坐标吗？你是怎样求的？与同伴进行交流； 三、随堂练习： P86~87 1、2、 补1、若反比例函数x

k y 3

-=

的图象位于一、三象限内，正比例函数x k y )92(-=过二、四象限，则k 的整数值是________。

2、在同一直角坐标系内，函数y=2x 与x

y 8

=

的交点坐标为____________。 3、如果反比例函数k

y x

=在每个象限内，y 随x 的增大而减小，那么它的图象分布在（ ）

A.第一、二象限

B. 第一、三象限

C. 第二、三象限

D. 第二、四象限 4.反比例函数y=3

k x

+ 的图象在每个象限内的函数值y 随自变量x 的增大而增大, 那么k 的取值范围是( )

A 、k ≤-3

B 、k ≥-3

C 、k>-3

D 、k<-3

o h

r

5.下列函数中,当x>0时,y 随x 的增大而增大的是 ( )

A 、y=2-3x

B 、y=2x

C 、y=-2x-1

D 、y=-

12x 6、已知一次函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数kb

y x

= 的图象

在（ ）

A.第一、二象限; B ．第三、四象限; C ．第一、三象限; D ．第二、四象限.

7．若0

b

y =在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） 四、小结 五、作业： P86 5

同步导学（随堂演练）第11题

关于反比例函数的图象与性质（1）的教学设计

江苏省姜堰市南苑学校 周雨龙 江苏省姜堰市教育局教研室 窦如强

一、 设计理念：

本节课学习的主要内容是画反比例函数的图象，让学生经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，初步认识具体的反比例函数图象的特征。反比例函数的图象是在学生已经知道了研究函数图象的一般方法，以及一次函数的图象是一条直线的基础之上进一步去研究的。同时，反比例函数的图象也与众不同。针对教材及学生的实际情况，我在设计本节课的教学环节时，围绕着增加学生学习的兴趣，降低思维难度，减少学生对函数学习的畏惧心理，强化主动的学习动机，为学生自信的心理品质的发展和学习的主动性培养提供良好的心理环境。 二、教学目标：

知识技能目标：会画出反比例函数的图象。

过程方法目标：经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合

的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征。

情感态度目标：让学生体会事物是有规律地变化着的观点。 三、 教学重点和难点：

教学重点：会画出反比例函数的图象。 教学难点：会出画反比例函数的图象。

（因为前面学习过的一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象有两个分支，并且是曲线。学生初次接触有一定的难度。） 四、教学过程： （一）、创设情境、提出问题：

我们已经知道一次函数的图象是一条直线，那么反比例函数x

k

y = (k 为常

数，k ≠0)的图象是什么呢？猜猜看，应该怎么画呢?

【设计意图】:开放式地提出问题，让学生根据已有的知识经验，回忆画函数图象的一般方法与步骤，类比一次函数的图象进行猜想。 揭示课题：反比例函数的图象与性质（1）（板书） （二）、科学验证、解决问题：

活动一：画图： 画出反比例函数 x

y 6

=的图象

【设计意图】: 在教师的引导下，让学生通过亲自动脑、动手实践去科学地验证自己的猜想，培养学生科学的态度与精神。 师：画函数图象的第一个步骤是什么？ 生：列表。 师：（大屏幕投影：表格）根据前面学习一次函数的经验，列表时应注意什么？ 生：应注意自变量x 的取值范围，本题当中x ≠0。 师：是不是把所有的x 不等于零的值全都列举出来？ 生：不是。

师：那怎么取值呢？ （学生讨论）

生：为了便于计算和描点，我们通常取x>0和x<0的一些整数值。 师：（大屏幕投影）那么，对应的y 值分别是多少呢？

(学生填表、口答答案。)

【设计意图】: 让学生回忆、类比，注意比较与画一次函数的图象时列表的相同点与不同点。

师：列表之后，我们得到了几组x 、y 的对应值，即几组

有序实数对，如何用直角坐标系中的点把它们表示出来呢？也就是如何描点？

生：以表中x 的值作为点的横坐标，y 的值作为点的纵

坐标依次描点。

（①学生描点、②教师利用多媒体课件演示描点的动画过程。友情提醒：描点可要细心哦﹗）

【设计意图】: 让学生独立描点，观察描出的点的位置。培养学生细心的良好品质。

师：如何把描出的点连接起来，从而画出它的图象呢？

（①学生连接、 ②教师利用实物投影仪展示学生成果。）

师：这里有同学们画的一些反比例函数x

y 6

=的图象，我从中选出了四幅图象，

请同学们仔细观察并进行讨论这四幅图象画得对还是不对？如果不对，它们分别错在哪里？为什么？

（学生讨论分析。学生的激情一下子被调动起来了，下面是一片讨论声，学生纷纷欲试，纷纷举手。）

生：第一幅图象是对的；第二、三、四幅图象都是错误的，错误的原因是：没有

注意到自变量x 的取值范围是x ≠0的全体实数。 （学生鼓掌喝彩）

师：一位同学有这样一种想法：“在相邻的两点之间用线

段来连接。”这种想法对吗？如果不对，错在哪里？

为什么？

（学生分组讨论。课堂气氛再一次达到高潮，学生 相互讨论、合作交流。） 生：除了线段两个端点的坐标满足函数解析式之外，线段上其余各点的坐标都不

满足函数解析式。所以用线段连接的方法是错误的。

师：除了已描好的点之外，你还能不能找到其它坐标满足函数解析式x

y 6

=的点，

比如横坐标在大于1小于2之间？ （学生纷纷找点，教师利用多媒体课件演示填充点的过程，验证用线段连接的方法是错误的。） 师：那么，应当用什么样的线来连接呢？ 生：应当用平滑的曲线顺次连接。 【设计意图】: 师生互动、生生互动，让学生充分参与、经历画图的过程，体会知识的形成过程；通过对学生画图个案的评析、多媒体课件填充点的过程演示、以及学生的认真观察、思考，探索得出重要的结论：应当用平滑的曲线顺次连接。学生自发的为自己发现的结论鼓掌，让学生品尝到成功的喜悦，增强学生的自信心。）

（教师利用多媒体课件演示连接的过程：用平滑的曲线先顺次连接第一象限内的各点，得到图象的一个分支；然后再顺次连接第三象限内的各点，得到图象的另

一个分支。把两个分支组合在一起就得到了反比例函数 x

y 6

=的图象。）

【设计意图】:①通过动画演示，让学生更直观的知道图象的形成过程，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生体会事物是有规律的变化的观点；②让学生明白只有通过自己动脑、动手亲自去实践，得到的答案才是最可靠的。培养学生科学的态度与精神。

解：x

y 6

=

x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 … y … -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 / 6 3 2 1.5 1.2 1 … 三、连接：

活动二：猜想：反比例函数x

y 6

-=的图象在什么象限？请你在下面的平面直角

坐标系内画出它的图象。

师：刚才，我们画出了k=6时，反比例函数 x

y 6

=的图象。请同学们猜想一下，

k=﹣6时，反比例函数x

y 6

-=的图象在什么象限？为什么？

生：图象分布在二、四象限。由k=﹣6 得x.y=﹣6 所以x 、y 异号 所以反比

例函数x

y 6

-=的图象分布在二、四象限。

师：请同学们画图验证自己的猜想。

（①学生画图验证、②相互交流成果检验自己的猜想是否正确。）

【设计意图】:让学生先类比k=6时，反比例函数 x

y 6

=的图象的位置，猜想k =

﹣6时，反比例函数x

y 6

-=的图象的位置；然后，再独立画图验证自己的猜想。

培养学生类比、猜想、说理、独立画图验证的能力。

师：（大屏幕投影：显示画图象的全过程）请同学们观察反比例函数x

y 6

-=的图

象，注意比较与一次函数图象有哪些不同？讨论反比例函数x

y 6

-=的图象具有

那些特征？ 二、 描点： 三、 连接： （学生分组讨论，课堂气氛第三次达到高潮，学生十分踊跃发言。）

直线，反比例函数x

y 6

-

=生：①一次函数的图象是一条的图象是由两个分支组成的，而且都是曲线；②一次函

反比例函数x

y 6

-=的图

数的图象与x 、y 轴有交点，象与x 、y 轴没有交点；③反比例函数x

y 6

-=的图象的两个分支关于原点成中心

对称。④反比例函数x

y 6

-=的图象的两个分支被坐标轴隔开，它们可以无限地

靠近x 、y 轴，但是永远不能与x 、y 轴有交点；⑤……

师：反比例函数x

y 6

-=的图象有许多的特征，在今后的学习当中，我们会逐步

地去认识它。

【设计意图】:通过观察图象并比较与一次函数图象的不同点，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征。激励学生继续努力，今后进一步学习反比例函数的特征。）

活动三：思考：反比例函数x y 6=与x

y 6

-=的图象有什么共同特征？

师：（大屏幕投影：显示这两个反比例函数的图象）请同学们思考：反比例函数

x y 6=与x

y 6

-=的图象有什么共同特征？

（学生经过短暂的讨论交流后，很快得出了结论。）

生：①都是由两个分支组成的，而且都是曲线；②都与x 、y 轴没有交点；③都是中心对称图形；④都被坐标轴隔开，都无限地靠近x 、y 轴；⑤……

师：反比例函数x y 6=与x

y 6

-=的图象的共同特征很多，最主要的共同特征是：

它们都是由两个分支组成的，而且都是曲线。

教师小结：一般地，反比例函数x

k

y = (k 为常数，k ≠0)的图象是由两个分支组

成的。反比例函数的图象属于双曲线。（hyperbola ）（板书）

【设计意图】:培养学生的观察、比较、发现、总结的能力，用自主探索、合作讨论交流的方式，促进学生的积极参与，积极发现、思考、体会，让学生体会努力后成功的感觉。）

画一画：画出反比例函数x y 4=与x

y 4

-=的图象。（选做一题）

【设计意图】:让学生进一步体会画图的过程，培养学生“以图识性、以性画图”的能力。） （三）、交流体会、布置作业：

师：本节课你学到了什么？有哪些收获？

生：①画反比例函数的图象的方法；②知道了反比例函数的图象是双曲线；③反比例函数的图象不与坐标轴有交点；④反比例函数的图象是中心对称图形；⑤……

作业：课本练习1、2 五、教学反思：

《新课程标准》强调教学过程是师生交往、共同发展的互动过程。在教学过程中要处理好传授知识与培养能力的关系，注重培养学生的独立性，引导学生质疑、调查、探究，在实践中学习，使学习成为在教师指导下主动的、富有个性的过程。课堂应较多地出现师生互动、平等参与的生动局面，学习方式开始逐步多样化，乐于探究、主动参与、勤于动手成为教学过程中教师的共识。为此，本节课主要通过开放式的提出问题，让学生经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征，体会事物是有规律地变化着的观点。用科学的方法解决问题，培养学生科学的态度与精神。《新课程标准》要求，我们应该努力提高计算机技术应用于数学教学过程的水平，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具，改善学生的学习。为此，本节课大量运用了现代信息技术，如：学生画图个案的评析、多媒体课件填充点的过程演示、用平滑的曲线连接的过程等等。让学生更能直观的知道图象的形成过程，有助于学生对数学知识的理解和掌握。

基本的思维能力、科学态度、理性精神是未来公民生存与发展所需要的最基本也是最重要的责任。为此，本节课在猜想反比例函数的图象到底是什么时，鼓励学生用科学的态度、探索的方法来验证，而不是采用“告诉”的方式；当学生在连接各点遇到困难时，引导他们寻找解决的问题的思路，并在解决问题的过程中总结获得的经验，而不是直接给出解决问题的方案。《新课程标准》强调，在培养学生“克服困难的自信心、意志力”方面，我们应当关注两件事：①向学生提供具有挑战性的问题，使他们有机会经历克服困难的活动；②让他们在从事这些活动的过程中获得成功的体验，……为此，本节课从提出问题到解决问题的过程当中，提供了“阶梯”式的问题串，使每一个学生都能够在活动中既有成功的体验，也有面临挑战的机会和经历，锻炼了学生克服困难的意志，增强了学生的自信心。

不足与改进：在整个课堂教学过程中，教师围绕主题、围绕学生提问的多，给学生提问的时间和机会很少。我的改进设想是：留给时间让学生提出问题，师

生共同讨论、交流，让学生的学习更富有主动性；在活动一画出反比例函数的图象后，没有让学生趁热打铁“看图说话”，说出具体的图象的特征，为活动二猜想作很好的铺垫。我的改进设想是：在活动一画出反比例函数的图象后，追加这样一个问题：“请同学们仔细观察图象并进行讨论，这个反比例函数的图象区别于一次函数的图象有那些不同的特征呢？”留给时间让学生讨论、交流，这样改进之后，必将能更大的激发学生的探索热情，更能体现学生的创新能力，同时也为进一步学习反比例函数的图象的特征埋下伏笔，能增强学生学习的信心。