分式方程培优提高定稿

分式方程

一、【基础知识精讲】

1.分式方程的定义：分母中含有的方程叫分式方程。

2.解分式方程的基本思想方法: 整式方程分式方程去分母

→? 3.解分式方程的一般方法和步骤:

(1)去分母,即在方程两边都乘以 ,把原方程化成。

(2)解这个整式方程;

(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母, 使最简公分母不等于零的根是原方程的根,

使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去.

4．分式方程的增根问题：

⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根即增根；增根是由分式方程化成的整式方程的根，也是使最简公分母为0的根

⑵ 验根：解分式方程必须验根．验根的简单方法是代入最简公分母，看最简公分母是否为0.

5.列分式方程解应用题的一般步骤:

(1)审:审清题意. (2)设:设未知数.

(3)找:找出相等关系. (4)列:列出分式方程.

(5)解: 解这个分式方程.

(6)验:检验,既要验证根是否是原分式方程的根,又要检验根是否符合题意.

(7)答:写出答案. 二、【例题精讲】

例1：分式通分六大技巧

1、逐步通分241

1241111x x x x 2、整体通分)225(423---÷--a a a a 3、分组通分：2

m 11-m 21m 22-m 1+--++ 4、分解简化通分：4x 2x 1x x 1x x x x 22223-+-+-+-- 5、裂项相消()()()()

()()10099132121111--+???+--+--+-a a a a a a a 6、活用乘法公式:1)x 1)(x x

1)(x x 1)(x x 1)(x x 1)(x x 1(x 21616884422≠-+++++（）例2：去分母法解分式方程

1、()()113116=---+x x x

2、2

2416222-+=--+-x x x x x 3、2

2412212362x x x x x x x -+++=++--- 4、64534275--+--=--+--x x x x x x x x 例3：整体换元与倒数型换元：

1、用换元法解分式方程：（1）

6151=+++x x x x （2）12221--=+--x x x x 变式练习：（11上海）用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方

程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（）

A ．230y y +-=

B ．2310y y -+=

C ．2310y y -+=

D ．2310y y --=

例4：分式方程的（增）根的意义

1、若分式方程：024

122=+-+-x x a 有增根，求a 的值。 2、（09 牡丹江）关于x 的分式方程131=---x

x a x 无解，则a=_________。变式练习：当m 为时，分式方程

()01163=-+--+x x m x x x 有根。例5：列方程解应用题

1、某客车从甲地到乙地走全长480Km 的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km 的普通公路。又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

2、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以

按批发价付

款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果再购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元。（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？

【能力提升】

1、（化积为差，裂项相消）解方程()()

()812x 12x 12x 1x 1)1x (x 1=-+???+++++ 变式练习：化简3

41651231222++++++++x x x x x x 【名校、名书、竞赛、中考在线】

一、填空题：

1、（09盐外）关于x 的方程

332=-+x a ax 的解为x=1, 则._____=a 2、（08成外）若关于x 的分式方程3

232

-=--x m x x 有增根，则m 的值为__________。 3、(07萧山) 若关于x 的分式方程3131+=-+x a x 在实数范围内无解，则实数=a 。

4、（08南宁）当x _____ 时，分式42-x x 有意义。当x= ____时，分式x

x --112的值为零。

5、（0吉林）若关于x 的分式方程3

232

-=--x m x x 无解，则m 的值为__________。

一元二次方程提高培优题

1 一元二次方程提高题一、选择题 1．已知a 是方程x 2 +x ﹣1=0的一个根，则的值为（） A ． B ． C ．﹣1 D ．1 2．一元二次方程(2)2x x x -=-的根是（） =1 =0 =1和x=2 =-1和x=2 3．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（） A ． 289（1﹣x ）2=256 B ． 256（1﹣x ）2 =289 C ． 289（1﹣2x ）=256 D ． 256（1﹣2x ）=289 4．岑溪市重点打造的天龙顶山地公园在20XX 年12月27日试业了．在此之前，公园派出小曾等人到某旅游景区考察，了解到该景区三月份共接待游客20万人次，五月份共接待游客50万人次．小曾想知道景区每月游客的平均增长率x 的值，应该用下列哪一个方程来求出（） A ．20（1+x ）2=50 B ．20（1﹣x ）2=50 C ．50（1+x ）2 =20 D ．50（1 ﹣x ）2 =20 5．某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了2070张相片,如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程为（） A ．(1)2070x x -= B ．(1)2070x x += C ．2(1)2070x x += D ． (1) 2070x x x -= 6．若关于x 的方程x 2 ﹣4x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是 A ．m ＜﹣4 B ．m ＞﹣4 C ．m ＜4 D ．m ＞4 7．已知实数a ，b 分别满足22a 6a 40b 6b 40-+=-+=，，且a≠b，则 b a a b +的值是【】 A ．7 B ．－7 C ．11 D ．－11 8．已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是 A.当k 0=时，方程无解 B.当k 1=时，方程有一个实数解 C.当k 1=-时，方程有两个相等的实数解 D.当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解 9．若22 4x Mxy y -+是一个完全平方式，那么M 的值是（） A. 2 B. ±2 C. 4 D.±4 二、填空题 10．已知方程x 2 +（1﹣ ）x ﹣=0的两个根x 1和x 2，则x 12+x 22 = 11．已知m 和n 是方程2x 2 －5x －3＝0的两个根，则 1m ＋1 n ＝________． 12．若将方程2 67x x +=，化为()2 16x m +=，则m ＝________. 13．已知（x 2 ＋y 2 ）（x 2 －1＋y 2 ）－12=0，则x 2 ＋y 2 的值是_________? 14．某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意，可列方程为． 15a 4+b 10--=，且一元二次方程2kx ax b 0++=有实数根，则k 的取值范围是 . 三、计算题 16．解方程：（x+3）2 ﹣x （x+3）=0．按要求解方程：

分式经典培优竞赛题[1]

1. 若，试判断是否有意义。 2. 计算： 3、解方程： 4. 已知与互为相反数，求代数式的值。 5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。 6. 已知，试用含x的代数式表示y，并证明。 6、中考原题：例1．已知，则M＝__________。例2．已知，那么代数式的值是_________。 1. 当x取何值时，分式有意义？

3. 计算： 4. 解方程： 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日期是多少天？ 6. 已知，求的值。 9、（6分）已知02 =-a a ，求1112421222-÷+--?+-a a a a a a 的值． 21、（6分）设23111 x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等？ 3、计算（1）?? ? ??--++-y x x y x y x x 2121 (2)4214121111x x x x ++++++- 6、若25452310 A B x x x x x -+=-+--,试求A 、B 的值. 16、已知c b a -=+，求?? ? ??++??? ??++??? ??+b a c c a b c b a 111111的值 17、已知12 --x x =0，则5412x x x ++= 18、设1=abc ，则=++++++++1 11c ca c b bc b a ab a 19、已知20032=+x a ，20042=+x b ，20052=+x c ，且6012=abc ，求 c b a ab c ac b bc a 111---++的值 20、已知31=+b a ab ，41=+c b bc ，51=+c a ac ，求ac bc ab abc ++的值

八年级数学分式培优练习题完整复习资料

分式培优练习题分式 (一) 一选择 1 下列运算正确的是（） A -40=1 B （-3）-1=3 1 C （-2）2=4 D （）-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是（） A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（） A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0，则x 的值为（） A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是（） A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程，正确的有（）个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（） A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（） A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是（） A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线2k 一定经过（） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限二填空 1 一组按规律排列的式子：()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是

培优专题7_分式的运算(含问题详解)

10、分式的运算【知识精读】 1. 分式的乘除法法则；当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则（n为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。下面我们一起来学习分式的四则运算。【分类解析】

例1：计算的结果是（） A. B. C. D. 分析：原式故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。例2：已知，求的值。分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。解：原式例3：已知：，求下式的值：分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。解：

一元二次方程专题能力培优含答案

第2章一元二次方程 2.1 一元二次方程专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（） A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；（2）m 取何值时，它是一元一次方程？专题二利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0，求m 的值． 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 . 专题三利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（） A.－1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 －2013x+1=0的解，求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点： 1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 温馨提示： 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧： 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领

分式培优训练题(到分式加减)

分式培优训练题（到分式加减）一、选择题 1、在下列各式m a m x x b a x x a ,),1()3(,43 ,2,322 2--÷++π中，是分式的有（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、要使分式733-x x 有意义，则x 的取值范围是（） A 、x=37 B 、x>37 C 、x<37 D 、x ≠37 3、若分式424 2--x x 的值为零，则x 等于（） A 、2 B 、-2 C 、2± D 、0 4、如果分式x +16 的值为正整数，则整数x 的值的个数是（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、有游客m 人，若果每n 个人住一个房间，结果还有一个人无房住，这客房的间数为（） A 、n m 1- B 、1-n m C 、n m 1+ D 、1+n m 6、把a 千克盐溶于b 千克水中，得到一种盐水，若有这种盐水x 千克，则其中含盐（） A 、b a ax +千克 B 、b a bx +千克 C 、b a x a ++千克 D 、b ax 千克 7、在下列各题中，结论正确的是（） A 、若a>0,b<0, 则0>a b B 、若a>b, 则a-b ＜0 C 、若 a<0,b<0, 则ab>0 D 、若a>b, a<0, 则0 <