球的表面积和体积

1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝4

πR3(R为球半径)

球的表面积和体积的计算

过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．

若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．

球的表面积及体积的应用

一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？

圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？

有关球的切、接问题

求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．

有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．

一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．

基础训练

1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于()

A.1

2B．1C．2 D．3

2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．

3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积．

4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为()

A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π

5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，

则这个球的表面积是( )

A ．25π

B ．50π

C ．125π

D ．都不对

4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R

6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

A ．πa 2 B.73πa 2C.11

3πa 2 D ．5πa 2

7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.

提高训练．

1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（） A ．3或8

B ．8或11

C ．5或8

D ．3或11

2.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60o ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )

A ． 24π B.32π C. 48π D.192π

3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（）

A ．4π

B ．π3

C ．π2

D ．π

4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 4326

5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）

A .5π

B .12π

C .20π

D .8π

6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（） A ． 18 B ．36

C ． 45

D ．

7.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（）

A ． 4π

B ．π3

C ．π2

D ．π

8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A.2a π B. 237a π C. 23

a π D. 25a π

9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( ) A .3π B .π4 C .π2 D .π2

10. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )

A 、500π3cm 3

B 、866π3

cm 3

C 、1372π3

cm 3

D 、2048π3

cm 3

11. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.

π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3

125

12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（）

A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3

13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .

14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ?是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .

15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是

16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，

则该球的体积为 _ ．

17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为?60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．

19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.

20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ?与BEC ?分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.

21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.

22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6

，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．

图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式

如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六）例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式S=1/4周长×周长） S =（3.14159÷4）×3.14159 = 2.4674㎡二、球体体积设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等

分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。

则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4 或：V = D（直径的三次方）×0.616849233 例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式） V =πR平方×周长的1/4 = 3.14159×0.25×0.7853975 = 0.616849233 三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误 1、球体面积如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。计算过程： S =（1.570795×0.7853975）= 1.2336㎡公知公式计算结果反贴复原后剩余有0.337㎡的面积。计算过程： S = 1×3.14159÷2 = 1.570795㎡

球的体积和表面积公式具体推导过程精编版

1..3.2球的体积和表面积（1）设球的半径为R ，将半径OAn 等分，过这些分点作平面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ，底面就是“小圆片”的下底面。由勾股定理可得第i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： 2 2)]1([--=i n R R r i ，（i ＝1,2,3，···，n ）第i 层“小圆片”的体积为： V ≈π2i r ·n R ＝??? ???????? ??--2311n i n R π，（i ＝1,2,3，···，n ）半球的体积：V 半径＝V 1＋V 2＋···＋Vn ≈n R 3π{1＋（1－221n ）＋（1－222n ）＋···＋［1－2 2)1(n n -］} ＝n R 3π［n －2222)1(21n n -+???++］（注：)12)(1(6 121222++=+???++n n n n ）＝n R 3π［n －6)12()1(12--?n n n n ＝236)12)(1(1(n n n R ---π）＝????????????---6)12)(11(13n n R π ① 当所分的层数不断增加，也就是说，当n 不断变大时，①式越来越接近于半球的体积，如果n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。事实上，n 增大， n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33 4R π

球的体积与表面积教案设计(参考)

球的体积和表面积一、教材分析本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第2课时球的体积和表面积，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征．从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用．二、教学目标知识与技能（1）通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识．（2）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题．（3）培养学生的空间思维能力和空间想象能力．过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式3 3 4 =R V π和面积公式24=R S π的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想．情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心．三、教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法．

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球有关的组合体的表面积和体积的计算．四、学法和教学用具学法：学生思考老师提出的问题，通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤．教学用具：投影仪，旨在通过动态图形使得学生对球这一立体图形有一个直观的认识．五、教学设计创设情景 ⑴教师提出问题：乌鸦喝水的问题我们都知道，只有一颗一颗的小圆石头往水瓶里投乌鸦才能喝到水，那么我们是不是可以用数学方法精确的计算出乌鸦具体需要投入几颗小圆石头呢？这里就涉及到了小石子的体积了，假设小石子都是均匀的球体，我们知道球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考． ⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式．探究新知 1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行．【设计意图】通过大家所熟知的寓言小故事引出教学内容，提高学生学习兴趣．

球的表面积和体积

球的表面积和体积 1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝4 3 πR3(R为球半径) 球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥取出后，圆锥水面的高是多少？圆柱形容器的壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题

求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，切球的体积．有三个球，第一个球切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练 1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于() A.1 2B．1C．2 D．3 2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍． 3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积． 4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为() A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π

5．(2013·高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ) A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R 6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm. 提高训练． 1.一只小球放入一长方体容器，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（） A ．3或8 B ．8或11 C ．5或8 D ．3或11 2.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60o ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( ) A ． 24π B.32π C. 48π D.192π 3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（） A ．4π B ．π3 C ．π2 D ．π 4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A. 3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263 +

球的体积和表面积(附答案)

球的体积和表面积 [学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题. 知识点一球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝4 3πR 3(其中R 为球的半径). 2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 思考球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？答球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二球体的截面的特点 1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆. 2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径. 题型一球的表面积和体积例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为500 3 π，求它的表面积. 解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝256 3 π.

(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝500 3π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π. 跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π 3 答案 D 解析设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝4 3πR 3 ＝323 π. 题型二球的截面问题例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A.6π B.43π C.46π D.63π 答案 B 解析如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1. ∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. ∴V ＝4 3 π(3)3＝43π. 跟踪训练2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________.

图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式

图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式一、球体面积球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六）例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式 S=1/4周长×周长） S =（÷4）× = ㎡二、球体体积设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。

从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4 例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式）V =πR平方×周长的1/4 = ×× 三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误 1、球体面积如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。计算过程：？ S =（×） = ㎡公知公式计算结果反贴复原后剩余有㎡的面积。计算过程：？

球的体积和表面积附答案

球的体积和表面积 [学习目标］ 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题. 知识点一球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V＝错误!πＲ3(其中R为球的半径). 2.球的表面积公式S=4πR２. 思考球有底面吗?球面能展开成平面图形吗？答球没有底面，球的表面不能展开成平面．知识点二球体的截面的特点１．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆. 2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径. 题型一球的表面积和体积例1 （1）已知球的表面积为6４π，求它的体积; （2)已知球的体积为＼f(50０,3)π，求它的表面积. 解(１)设球的半径为R，则4πＲ2=64π，解得R＝４，所以球的体积V＝4 ３πＲ３= 4 3 π·4３＝错误!π. (２)设球的半径为R，则错误!πR3=错误!π，解得R=5,

所以球的表面积S =4πR 2 ＝4π×52 =100π．跟踪训练1 一个球的表面积是１６π，则它的体积是（ ) A ．64π B.＼f(６４π，3) C ．3２π D ．＼ｆ（３2π，3) 答案 D 解析设球的半径为R ,则由题意可知4πR ２＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2,体积V =错误!πＲ3 ＝错误!π. 题型二球的截面问题例２平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为错误!，则此球的体积为( ) A ．＼r(6）π B.４错误!π C.４错误!π D.6错误!π 答案 B 解析如图,设截面圆的圆心为Ｏ′, M 为截面圆上任一点，则ＯO ′＝错误!，Ｏ′M =１． ∴ＯM =错误!=错误!．即球的半径为＼r(3). ∴V =43 π(3）3 =4错误!π．跟踪训练２已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为＼r(3),＼ｒ(５）,＼r(１5)，则它的外接球表面积为_______＿．答案 9π 解析如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面,设长方体有公共顶

《球的体积和表面积》导学案

1.3.2球的体积与表面积学习目标 1. 了解球的表面积和体积计算公式； 2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题. 二、新课导学 ※探索新知新知：球的体积和表面积球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明：球的体积公式：___________________________ 球的表面积公式：_________________________ 其中，R为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径R有关. ※典型例题例1 木星的表面积约是地球的120倍，则体积约是地球的多少倍? 变式1：若三个球的表面积之比为1﹕2﹕3，则它们的体积之比为多少? 例2、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证（1）球的体积等于圆柱体积的2 3 ；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 变式2：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。体积是__________________. 变式3：半径为R的球内有一内接正方体，设正方体的内切球半径为r，则 R r 为多少? .三、当堂检测 1. ）. B.2倍倍 D.8倍 2. 有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为 1 , V 2 V，球直径为d，正方体的棱长为a，则（）. A. 12 , d a V V >> B. 12 , d a V V >< C. 12 , d a V V <> D. 12 , d a V V << 3. 记与正方体各个面相切的球为 1 O，与各条棱相切的球为 2 O，过正方体各顶点的球为 3 O 则这3个球的体积之比为（）. A.1:2:3 C.1: D.1:4:9 4. 已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为__________.

高中数学《球的表面积和体积》导学案

7.3球的表面积和体积 [学习目标] 1.了解球的截面． 2.掌握球的表面积和体积公式． 3.会运用这些公式进行简单的有关计算. 【主干自填】 1．球的表面积公式：S球面＝□014πR2(R为球的半径)． 2．球的体积公式：V球＝□0243πR3(R为球的半径)．【即时小测】 1．思考下列问题 (1)用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d. 在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2. (2)球的半径为R，它的体积公式为________，它的表面积公式________，观察这两个公式，想想它们都有什么特点？提示：V＝4 3πR 3S＝4πR2这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径 R唯一确定．其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数，并且表面积为半径为R的圆面积的4倍． 2．球的表面积扩大2倍，球的体积扩大()

A ．2倍 B.2倍 C ．22倍 D ．32倍提示：C 球的表面积扩大2倍，半径扩大2倍，从而体积扩大(2)3＝22倍． 3．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶1 提示：A 设两球的半径为R 1，R 2，∵R 1∶R 2＝1∶3，∴两个球的表面积之比为S 1∶S 2＝4πR 21∶4πR 22＝R 21∶R 2 2＝1∶9. 例1 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球面面积与球的体积． [解] 如图所示，设球心为O ，截面圆圆心O 1，球半径为R ，连接OO 1，则OO 1是球心到截面的距离．由于OA ＝OB ＝OC ＝R ，则O 1是△ABC 的外心．设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ，则O 1在CM 上．设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22＋x 2， O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x . 又O 1A ＝O 1C ，∴ 22＋x 2＝ 62－22－x . 解得x ＝724.则O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝92 4.

1.3.2球体的体积和表面积教案

- 1 - / 3 张喜林制 [ 1. 3.2 球的体积和表面积【教学目标】（1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。（2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。【教学重难点】重点：球的体积和面积公式的实际应用难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。【教学过程】一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积 334R π=球Ｖ，表面积Ｓ＝４πR 2 二、典例例1．一种空心钢球的质量是732πg ，外径是5cm ，求它的内径. （钢密度9g/cm 3）求空心钢球的体积。解析：利用“体积=质量/密度”及球的体积公式334R π= 球Ｖ解：设球的内径为r,由已知得球的体积V=732π/9(cm 3) 由V=(4/3) π(53-r 3)得r=4(cm) 点评：初步应用球的体积公式变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________(π34) 例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。（答案：2500π）解析：利用轴截面解决解：设球的半径为R,球心到较大截面的距离为x 则R 2=x 2+202,R 2=(x+9)2+72 解得x=15,R=25所以球的表面积Ｓ＝2500π 点评：数形结合解决实际问题变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。（答案50π）【板书设计】一、球的面积和体积公式二、例题

《球的表面积与体积》教学设计(优质课)

球的表面积与体积（一）教学目标 1．知识与技能（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）. （2）培养学生空间想象能力和思维能力. 2．过程与方法通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系. 3．情感、态度与价值让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：球的表面积与体积的计算难点：简单组合体的体积计算（三）教学方法讲练结合

球的体积等于圆柱体积的

， ABCD. 设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由

备用例题例1．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积．【分析】可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面．【解析】如图，设球心为O ，球半径为R ，作OO 1⊥平面ABC 于O 1，由于OA = OB = OC = R ，则O 1是△ ABC 的外心．设M 是AB 的中点，由于AC = BC ，则O 1∈CM ．设O 1M = x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A O 1C = CM – O 1M – x 又O 1A = O 1C ∴ x ．解得x 则O 1A = O 1B = O 1C = ．在Rt △OO 1A 中，O 1O = 2 R ，∠OO 1A = 90°，OA = R ，由勾股定理得222()2 R R +=．解得R = 故234454,3 S R V R πππ ====球面球．例2．如图所示棱锥 P – ABCD 中，底面ABCD 是正方形，边长为a ，PD = a ，PA = PC ，且PD 是四棱锥的高．（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；

球的体积和表面积公式具体推导过程

事实上，n 增大， n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33 4R π 1..3.2球的体积和表面积（2）球的表面积推导方法（设球的半径为R ，利用球的体积公式推导类似方法）（1）分割。把球O 的表面分成n 个“小球面片”，设它们的表面积分别是S 1，S 2，…… Sn ，那么球的表面积为：S ＝S 1＋S 2＋……＋Sn 把球心O 和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n 个以“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i 个“小球面片”顶点相连后就得到一个以点O 为顶点，以第i 个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么 “小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近似于棱锥，它们的高近似于球的半径R 。（2）求近似和。设n 个“小锥体”的体积分别为V 1，V 2，…，Vn 那么球的体积为：V ＝V 1＋V 2＋…＋Vn 由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的近似值。第i 个“小锥体”对应的棱锥以点O 为顶点，以点O 与第i 个“小球面片” 顶点的连线为棱。设它的高为h i ，底面面积为S ’i ，于是，它的体积为： V ’i ＝3 1h i S ’i ，（i ＝1,2,…，n ）这样就有：V i ≈3 1h i S ’i ，（i ＝1,2,…，n ） V ≈31（h 1 S ’1＋h 2 S ’2 ＋…＋h n S ’n ） ①