直线与抛物线的交点问题复习过程
直线与抛物线的交点
问题
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谢谢2 专题：直线与抛物线的交点问题
1、抛物线322--=x x y 与x 轴交点是____________，与y 轴交点坐标是________________；
2、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是_______；
3、若关于x 的函数12y
2-+=x kx 与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为__________．
例1：求直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点坐标。
例2：已知抛物线132
12-+=x x y 和直线k x y -= （1）当k 为何值时，抛物线与直线有两个公共点？
（2）当k 为何值时，抛物线与直线有一个公共点？
（3）当k 为何值时，抛物线与直线没有公共点？
练习：已知抛物线
22+-=x x y 与直线b x y +=-2只有一个交点，求直线与抛物线的交点坐标。
例3：二次函数y=x 2+bx+c 的图象如图所示，其顶点坐标为M （1，﹣4）． （1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．
抛物线与直线交点问题
课题:抛物线与直线的交点问题 教学目标： 1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。 2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进 一步培养学生数形结合思想。 3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。 教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。 2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。 教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。 讲授方法： 讲授与讨论相结合 教学过程： 一、抛物线与x 轴的交点问题 例1：已知：抛物线322 --=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。 练习： 1、已知：抛物线)1(3)2(2 ++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。 （2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。 2、（2013房山一模23前两问） 已知，抛物线2 y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式. （2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （3 2 ，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. 方法总结： 1、 抛物线与x 轴相交： 抛物线c bx ax y ++=2 的图象与x 轴相交）（002 ≠=++a c bx ax 2.抛物线与x 轴的交点的个数 （1△抛物线与x 轴相交 （2△抛物线与x 轴相切 （3△抛物线与x 轴相离 二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点
例2：求抛物线322 --=x x y 与y=1的交点坐标 练习： 已知：抛物线c x x y ++=22 （1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值范围。 （2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值范围 方法总结： 1、抛物线与平行于x 轴的直线相交 抛物线c bx ax y ++=2 的图象与平行于x 轴的直线相交 ?? ?=++=m y c bx ax y 2新的一元二次方程m c bx ax =++2 2.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数 （1△抛物线与直线相交 （2△抛物线与直线相切 （3△抛物线与直线相离 三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线2 2 1x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值 练习： 已知:抛物线），（和点0,1-3-2 A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式 方法总结：
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数 1．（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围． 考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值． 专题：计算题． 分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可； （2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围． 解答： 解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）， 代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1； （2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4， 由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4， 设直线BC解析式为y=kx+b， 将B与C坐标代入得：， 解得：k=，b=0， ∴直线BC解析式为y=x，
当x=1时，y=， 则t的范围为﹣4≤t≤． 点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 2．（2011?石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求抛物线顶点D的坐标； （2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式． 专题：探究型． 分析：（1）先设出过A（﹣2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解析式； （2）先用待定系数法求出直线CD解析式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平移m各单位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线CD的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出m的取值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）， ∵C点坐标为（0，4）， ∴a=﹣，（1分） ∴解析式为y=﹣x2+x+4， 顶点D坐标为（1，）；（2分） （2）直线CD解析式为y=kx+b． 则，，
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数 2 1. (2014?北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x+mx+ n经过点A (0, - 2), B (3, 4). (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A, B之间的部分为图象G(包含A, B两点).若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围. 5 4 ? (1) 将A与B坐标代入抛物线解析 式求出m与n的值，确定出抛物线 解析式，求出对称轴即可； (2) 由题意确定出C 坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围. 2 解答：解：(1 )???抛物线y=2x +mx+ n经过点 A (0,- 2), B (3, 4), f n=-2 L 18+3nr^n=4 ???抛物线解析式为y=2x2- 4x - 2，对称轴为直线x=1; 2 (2)由题意得：C (- 3,- 4),二次函数y=2x - 4x- 2的最小值为-4, 由函数图象得出D纵坐标最小值为-4, 设直线BC解析式为y=kx+b , 考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值. 专题：计算题. 分析： 解得：* :-4 n= - 2 代入得： 将B与C坐标代入得: 3k+b=4 -3k+b二- 解得: k= , b=0, 3 ?直线BC解析式为y=-x, 当x=1 时,y=J
点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待 定系数法是解 本题的关键. 2. (2011?石景山区二模)已知：抛物线与 x 轴交于A (- 2, 0)、B (4, 0),与y 轴交于C ( 0, 4). (1) 求抛物线顶点 D 的坐标； (2) 设直线CD 交x 轴于点E ,过点B 作x 轴的垂线，交直线 CD 于点F ,将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线 与线段EF 总有公共点?试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？ (1) 先设出过A (- 2, 0)、B (4, 0)两点的抛物线的解析式为 y=a (x+2) (x - 4),再根据抛物线与 y 轴 的交点坐标即可求出 a 的值，进而得出此抛物线的解析式； (2) 先用待定系数法求出直线 CD 解析式，再根据抛物线平移的法则得到 ( 1)中抛物线向下平移 m 各单位 所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线 CD 的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出 m 的取值范 围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位. 考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式. 专题：探究型. 分析：
抛物线与直线交点问题经典讲义教案
抛物线与直线交点问题 教学目标： 1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。 2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进 一步培养学生数形结合思想。 3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。 教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。 2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。 教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。 讲授方法： 讲授与讨论相结合 教学过程： 一、抛物线与x 轴的交点问题 例1：已知：抛物线322 --=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。 练习： 1、已知：抛物线)1(3)2(2 ++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。 （2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。 2、（2013房山一模23前两问） 已知，抛物线2 y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式. （2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （3 2 ，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. 方法总结： 1、 抛物线与x 轴相交： 抛物线c bx ax y ++=2 的图象与x 轴相交 ）（002 ≠=++a c bx ax 2.抛物线与x 轴的交点的个数 （1 △>0 抛物线与x 轴相交 （2 △=0 抛物线与x 轴相切 （3 △<0 抛物线与x 轴相离
二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点 例2：求抛物线322 --=x x y 与y=1的交点坐标 练习： 已知：抛物线c x x y ++=22 （1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值范围。 （2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值范围 方法总结： 1、抛物线与平行于x 轴的直线相交 抛物线c bx ax ++=2 的图象与平行于x 轴的直线相交 ?? ?=++=m y bx ax y 2 新的一元二次方程m c bx ax =++2 2.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数 （1 △>0 抛物线与直线相交 （2 △=0 抛物线与直线相切 （3 △<0 抛物线与直线相离 三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线2 2 1x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值 练习： 已知:抛物线），（和点0,1-3-2 A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式
点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用)
点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用) 一．点与抛物线的位置关系： 已知点p （x 0,y 0）和焦点为F 抛物线2y =2px （p>0） （1）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）? 2o y <2p 0x （p>0） （2）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）上? 2o y =2p 0x （p>0） （3）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）外? 2o y >2p 0x （p>0） 二．直线和抛物线线之间的关系： 已知抛物线C:2y =2px （p>0）直线l ：Ax+By+C=0 抛物线C 和直线l 相离： （1）抛物线C 和直线l 相离?抛物线C 和直线l 无交点?方程组22x y =0 y px A B C =++?? ?无解，消去y 得 关于x 的方程设为 A 2x 2 +2(AC-pB)x+C=0 （1）(或消去x 得关于y 的方程,Ay 2 +2pBy+C=0… ⑵)?方程（1）（或方程（2）无解）? 方程（1）中的 判别式?<0(方程（2） 中的 判别式00. 若抛物线C 和直线l 有两个交点A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2））.C ()00,y x 是AB 的中点，则直线AB 的斜率0 y p k AB = 则 当直线l 斜率是k 时12|AB y y = =- 直线l 倾斜角为α 时1212|||AB x x y y =-=-
抛物线与直线的交点问题
抛物线与直线的交点问题 1、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m （坐标系中的水平直线）的交点问题： ①把y=m 代入y=ax 2+bx+c 得ax 2+bx+c=m ，即ax 2+bx+（c-m ）=0 此时方程的判别式△=b 2-4a(c-m)。 △＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 ②特殊情形： 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点问题： 令y=0，则ax 2+bx+c=0 此时方程的判别式△=b 2-4ac △＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 2、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题： 令ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+（c-b ）=0 此时方程的判别式△=(b-k)2-4a （c-b ） △＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。 3、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点位置问题： 若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0） ① 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧 ② 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧 ③ 若x 1x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧 4、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的两个交点距离公式 若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点（x 1，0）、（x 2，0）的距离为 ︱x 1-x 2︱=a ac b 42 练习 1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________． 2．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为( ) A ．k >－47 B ．k <－47且k ≠0 C ．k ≥－47 D ．k ≥－47且k ≠0 3．若抛物线y ＝x 2－８x ＋c 顶点在x 轴上，则c 的值等于( )． A ．４ B ．８ C ．－４ D ．１６ 4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒为负值的条件是( )． A ．a ＞０, b 2－４ac ＜０ B ．a ＜０, b 2－４ac ＞０ C ．a ＞０, b 2－４ac ＞０ D ．a ＜０, b 2－４ac ＜０ 5.直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点的个数是______
动线与图形交点个数问题
动线与图形交点个数问题之直线与几何图形 例1：知识储备—动直线的讨论 1. y=-x+1由 平移得到的。 2. y=2x+b 由 平移得到的。 3. y=kx+b 由 平移得到的。 例2：已知平面直角坐标系中A （-2,4）B （4,2）C （0，-2）围成三角形ABC (1)直线y=2x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围 （2）直线y=x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围 （3）直线y=-3x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围 练习：（2+2011-25） 1.如图，在平面直角坐标系中，直线1 (0)2 y x b b =-+>分别交x 轴、y 轴于A B 、两点．点(40)C ， 、(80)D ，，以CD 为一边在x 轴上方作矩形CDEF ，且:1:2CF CD =．设矩形CDEF 与ABO △重 叠部分的面积为S ． （1）求点E 、F 的坐标； （2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式； （3）若在直线1 (0)2 y x b b =-+>上存在点Q ，使OQC ∠等于 90，请直接．． 写出b 的取值范围． 2.已知:关于x 的一元二次方程01-m x 2m 2-mx 2 =++）（ (1)若此方程有实根,求m 的取值范围; (2)在(1)的条件下,且m 取最小的整数,求此时方程的两个根; (3)在(2)的前提下,二次函数1-m x 2m 2-mx y 2++=）（与x 轴有两个交点,连接这两点间的线段,并以这条线段为直径在x 轴的上方作半圆P,设直线l 的解析式为y=x+b,若直线l 与半圆P 只有两个交点时,求出b 的取值范围. 动线与图形交点个数问题之抛物线与几何图形 例1：知识储备—动抛物线的讨论 1.y=x 2 -1由 平移得到的。 2. y=(x-2)2 -1由 平移得到的。 3. y=(x-m)2-1由 平移得到的。 4. y=x 2 -2bx+b 2-1由 平移得到的。 例2：已知点A （1,1）B （3,1）C （3，2）D(1,2)围成四边形ABCD （1）抛物线y=1/2(x-m)2 与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围 (2) 抛物线y=2(x-m)2 与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围 （3）抛物线y=(x-m)2与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围 例3：已知平面直角坐标系中A （-2,4）B （4,2）C （0，-2）围成三角形ABC ，抛物线y=(x-m)2与之交点 个数的讨论，求相应m 取值范围 练习： 1.（抛与直角梯形）已知抛物线y=x 2 -4x+3和直角梯形OBPC ，其中B(3,0) P(2,3) C(0,3)。若将抛物线沿水平方向平移，设顶点D （m,n ），当抛物线与直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时， 求出m 的取值范围。 2.（抛与菱形） 已知：将函数y 的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像． (1)求这个新的函数的解析式； (2)若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A 两点，与直线x =C 、B 两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的四边形形状，并说明理由； (3)若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数2 1 22 2 ++-=b bx x y 的图象的一部分，求满足条件的实数b 的取值范围．
二次函数专题：直线与抛物线的交点问题(无答案)
专题三：直线与抛物线的交点问题 【学习目标】1、经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。 2、理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。 【学习重点】1、体会方程与函数之间的联系。 2、理解抛物线与之间有两个交点、一个交点、没有交点的条件。 【学习难点】理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。 一、课前热身 1、抛物线322--=x x y 与x 轴交点是____________，与y 轴交点坐标是________________； 2、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是_______； 3、若关于x 的函数y ＝2 kx ＋2x －1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为__________． 二、新知探究 例1：求直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点坐标。 例2（1）当k 为何值时，抛物线与直线有两个公共点？ （2）当k 为何值时，抛物线与直线有一个公共点？ （3）当k 为何值时，抛物线与直线没有公共点？ 例3：如图，已知顶点为C （0，﹣6）的抛物线y=ax 2 +b （a ≠0）与x 轴交于A ， B 两点，直线y=x+m 过顶点 C 和点B ． （1）求m 的值； （2）求函数y=ax 2+b （a ≠0）的解析式； （3）抛物线上是否存在点M ，使得∠MCB=15°？若存在， 求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
三、当堂反馈 1、如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是（ ） 3、如图是抛物线y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2=mx +n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论： ①2a +b =0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c =3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1 ， 其中正确的是（ ） A ． ①②③ B ． ①③④ C ． ①③⑤ D ． ②④⑤ 3、二次函数y=x 2 +bx+c 的图象如图所示，其顶点坐标为M （1，﹣4）． （1）求二次函数的解析式； （2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围． A ． B ． C ． D ． 第1题图
直线与抛物线的位置关系(专题).
抛物线的简单几何性质 ————叶双能 一．教学目标： 1. 掌握抛物线的简单几何性质 2. 能够熟练运用性质解题 3. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题 4. 进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想. 二．教学重难点： 重点：抛物线的几何性质 难点：抛物线几何性质的运用. 易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系数是否为零. 三．教学过程 （一）复习回顾： （1）抛物线2(0)y ax a =≠的焦点坐标是__________;准线方程__________. （2）顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点(1,4)M ，则抛物线的标准方程为 _______________________. (3)过点()2,0M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求||AB （二）典例分析： 例1.已知抛物线24,y x =直线l 过定点()2,1P -，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线 24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 设计意图：（1）类比直线与双曲线的位置关系的处理方法，解决直线与抛物线的位置关系. (2)掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法; (3)培养学生的运算推理能力和分类讨论的数学思想. 变式1：已知抛物线方程x y 42 =，当b 为何值时，直线b x y l +=:与抛物线（1）只有一 个交点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点；（4）当直线与抛物线有公共点时，b 的最大值是多少？ 例2：过点()4,1Q 作抛物线28y x =的弦AB ，恰好被点Q 所平分. (1)求AB 所在的直线方程； （2）求||AB 的长. 变式1：斜率为1的直线l 经过抛物线2 =4y x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，求 线段AB 的长.(教材69页例4) 方法（一）方程联立?? →求交点坐标??→根据两点间距离公式 方法（二））方程联立?? →根据韦达定理求12+x x ??→运用弦长公式
二次函数综合问题之抛物线和直线交点个数问题
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数2）．3，40，﹣2），B（y=2x1．（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线+mx+n经过点A （（1）求抛物线的表达式及对称轴；（包B之间的部分为图象GC，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，（2）设点B关于原点的对称点为纵坐标t的取值范围．CD 与图象G有 公共点，结合函数图象，求点D含A，B两点）．若直线 考点：待定系数法求二次函数解读式；待定系数法求一次函数解读式；二次函数的最值． 专题：计算题． 分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解读式求出m与n的值，确定出抛物线解读式，求出对称轴即可； （2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC 解读式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围． 2解答：+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，解：（1）∵抛物线y=2x4）， 代入得：， 解得，2∴抛物线解读式为y=2x﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1； 2（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x﹣4x﹣2的最小值为﹣4， 由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4， 设直线BC解读式为y=kx+b， 将B与C坐标代入得：，，解得：k=，b=0x，y=∴直线BC解读式为，当x=1时，y=
．≤t≤4的范围为﹣t 则． 此题考查了待定系数法求二次函数解读式，待定系数法求一次函数解读式，以及函数的最值，熟练掌握待点评： 定系数法是解本题的关键． 4）．（0，，0），与y轴交于C（．（2011?石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B42 的坐标；）求抛物线顶点（1D，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛F轴的垂线，交直线CD于点轴于点E，过点B作x（2）设直线CD交x总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长EF物线与线段度？ 考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解读式． 专题：探究型． 分析：（1）先设出过A（﹣2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解读式为y=a（x+2）（x﹣4），再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解读式； （2）先用待定系数法求出直线CD解读式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平
二次函数2交点问题
二次函数交点问题 (2016 中考)27在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 21(0)y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A ，B. （1）求抛物线的顶点坐标; （2）横、纵坐标都是整数的点叫整点. ① 当m=1时，求线段AB 上整点的个数； ② 若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围. （2012?北京）23．已知二次函数 23(1)2(2)2 y t x t x =++++ 在0x =和2x =时的函数值相等。 （1） 求二次函数的解析式； （2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点 (3)A m -，，求m 和k 的值； （3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B 在点C 的左侧）， 将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的 直线6y kx =+向上平移n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。 （2015）27. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =-交于点A ，点A 关于直线1x =的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B 。
(1)求点A ，B 的坐标； (2)求抛物线1C 的表达式及顶点坐标； (3)若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围。 (2013海淀 一模）23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 2y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-． （1）求B 点坐标； （2）直线 y = 1 2 x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式； ②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻 折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线 y = 1 2 x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ． （2013昌平一模）23. 已知抛物线2 2y x kx k =-+-+． （1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点； （2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP = 103 ，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为 45 ，求该抛
抛物线与直线交点问题演示教学
抛物线与直线交点问 题
课题:抛物线与直线的交点问题 教学目标： 1、经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。 2、理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。 3、通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。 教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。 2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。 教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。 讲授方法： 讲授与讨论相结合 教学过程： 一、 抛物线与x 轴的交点问题 例1：已知：抛物线322--=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。 练习： 1、已知：抛物线)1(3)2(2++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。 （2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。 2、（2013房山一模23前两问）
已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式. （2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （3 2 ，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. 方法总结： 1、抛物线与x 轴相交： 抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交 ）（002≠=++a c bx ax 2.抛物线与x 轴的交点的个数 （1）有两个交点 △>0 抛物线与x 轴相交 （2）有一个交点 △=0 抛物线与x 轴相切 （3）没有交点 △<0 抛物线与x 轴相离 二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点 例2：求抛物线322--=x x y 与y=1的交点坐标 练习： 已知：抛物线c x x y ++=22 （1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值范围。 （2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值范围
二次函数抛物线与直线交点个数问题
二次函数之抛物线与直线交点个数 1．（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围． 代入得： ， 坐标代入得： k= y=x ， ．
2．（2011?石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求抛物线顶点D的坐标； （2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？ ， x ） y=x+4
x ，得﹣x x ﹣ ， ∴向下最多可平移 x 个单位，向下最多可平移 3．（2013?丰台区一模）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，﹣4）． （1）求二次函数的解析式； （2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．
n= ， 或﹣ 4．（2009?北京）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数． （1）求k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
二次函数与直线问题常见模型
二次函数与直线问题常见模型 一、抛物线上三点组成的三角形成直角三角形 模型：如图，抛物线上有三点A 、B 、C ，AB ⊥AC ，若有如下三个条件：①抛物线已知②AB 过定点，③BC 过定点，三个条件中只要知道二个就可以求第三个 此题的方法主要是通过相似列出A,B,C 三点之间的横坐标与纵坐标的关系，然后结合直线BC 的解析式以及根与系数关系，来求解 已知抛物线解析式：2 y ax bx c =++， 请同学们完成以下化简： 例1（2014年武汉中考第25题第三问）如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4与抛物线y ＝2 1x 2 交于A 、B 两点．若在抛物线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离． 例2（2016年武汉四调第24题第2问）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ： 52 12 +-=x y 经过点C (2，3)，直线y ＝kx ＋b 与抛物线相交于A 、B 两点，∠ACB ＝90°， ②猜想：我们猜想直线AB 必经过一个定点Q ，其坐标为．请取点B 的横坐标为n ，验证你的猜想； 练习1：已知抛物线 2 12 y x = .点P (-2，4)关于y 轴的对称点'P ，过'P 作直线EF 交抛物线于E 、F ，点H 在抛物线上一定点，且∠EHF =90°，求'P HO S ?.. 2.已知抛物线y ＝x 2－1,抛物线交x 轴正半轴于A 点，M 、N 在抛物线上，MA ⊥NA ，试说明MN 恒过－定点，并求此定点的坐 标． 3.（2016三寄宿中考模拟）已知抛物线21y ax =+与x 轴交于点A 、B （点A 在B 点左侧），且与直线22y x =+仅有一个公共点． （1）求A 、B 两点的坐标 （2）如图，作∠MBN=90°,交抛物线于M.N 两点，则直线MN 必过定点Q,求点Q 的坐标． 二、抛物线上三点组成的三角形的内心在经过期中一点的并且平行于x 轴的水平直线上 模型：如图，抛物线上有三点A 、B 、C ，若有如下：①A 定点（坐标已知）②抛物线已知，③BC 直线k 已知，三个条件中只要知道二个就可以求第三个 抛物线解析式：2 y ax bx c =++直线BC ： y kx n =+ 例1（2014四调第25题第2问）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c 1：y ＝ax 2－4a ＋4(a ＜0)经过第一象限内的定点P ． （1）直接点P 的坐标； （2）（2）直线y ＝2x ＋b 与抛物线c 1在相交于A 、B 两点，如图1所示，直线PA 、PB 与x 轴分别交于D 、C 两点，当PD ＝PC 时，求a 的值； 例2.（2016洪山区中考模拟一第24题第2问）已知抛物线y ＝(m －1)x 2 ＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点,若m ＞1，且点A 在点B 的左侧，OA ∶OB ＝1∶3. （1）试确定抛物线的解析式（解析式： 13 2 312--= x x y ） （2）直线3y kx =-与抛物线交于M 、N 两点，若△AMN 的内心在轴上，求k 的 值。 x y
中考数学专题讲座抛物线与几何问题
中考数学专题讲座 抛物线与几何问题 【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y =a(x —h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】 【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。平移二次函数2 tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B 。 （1）是否存在这样的抛物线F ， OC OB OA ?=2 ？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO=2 3 ，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ?=2 来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论 t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【例2】(江苏常州)如图,抛物线2 4y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连
接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点. （1）求点A 的坐标; （2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标; （3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。 【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2 x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动． （1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m , ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短； （3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（2）构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。 y B O A P M x 2x =
二次函数抛物线与直线交点个数问题
二次函数之抛物线与直线交点个数 2 1．（2014?北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=2x +mx+n 经过点 A （0，﹣ 2），B （3，4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （ 2）设点 B 关于原点的对称点为 C ，点 D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 A ， B 之间的部分为图象 G （包 含 A ， B 两点）．若直线 CD 与图象 G 有公共点，结合函数图象，求点 D 纵坐标 t 的取值范围． 时， y= ， 则 t 的范围为﹣ 4 ≤t ≤ ． 考点 ： 待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值． 专题 ： 计算题． 分析： 代入得： 将 B 与 C 坐标代入得： 解得： k= ， b=0， ∴直线 BC 解析式为 y= x ， 当 x=1
菁优网 https://www.360docs.net/doc/8013219915.html, 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待 定系 数法是解本题的关键． 2．（2011?石景山区二模）已知：抛物线与 x 轴交于 A （﹣ 2， 0）、 B （ 4，0），与 y 轴交于 C （0，4）． （ 1）求抛物线顶点 D 的坐标； （ 2）设直线 CD 交 x 轴于点 E ，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F ，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物 线与线段 EF 总有公共点． 试探究： 抛物线向上最多可以平移多少个单位长度， 向下最多可以平移多少个单位长度？ 1）先设出过 A （﹣ 2，0）、B （4， 0）两点的抛物线的解析式为 y=a （ x+2 ）（x ﹣ 4），再根据抛物线与 y 轴的交点坐标即可求出 a 的值，进而得出此抛物线的解析式； （ 2）先用待定系数法求出直线 CD 解析式，再根据抛物线平移的法则得到（ 1）中抛物线向下平移 m 各单 位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线 CD 的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出 m 的取 值 范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位． 考点 ： 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解 析式． 专题 ： 探究型． 分析：
抛物线与线段交点问题 教案
二次函数与直线、线段交点问题 一、 直线与二次函数的交点问题 已知二次函数 c bx ax y ++=2 （1）y 轴与二次函数 c bx ax y ++=2 得交点为(0, c ). （2）与y 轴平行的直线h x =与二次函数c bx ax y ++=2 有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2 ). （3）二次函数与x 轴的交点 二次函数 c bx ax y ++=2 的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.二次函数与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根 的判别式判定： ①有两个交点?0>??二次函数与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??二次函数与x 轴相切 此时二次函数为； 2()y a x h =- 总结完全平方形式的二次函数与x 轴只有一个交点 ③没有交点?0
若方程2 ax bx c ++=k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ） 若方程2ax bx c ++c=k 无实数根，则k 的取值范围 （ ） 若方程2ax bx c ++=k 相等两实数根，则k 的取值范围（ ） 解： 2ax bx c ++c=k 解的情况可以看成 直线y k = 与c bx ax y ++=2 交点情况 由图像可知： 1) 方程有两个不相等的实数根,即y k = 与 c bx ax y ++=2 有两个交点，则k ＞-3 2) 方程无实数根，即y k = 与 c bx ax y ++=2 无交点，则k ＜-3 3）方程有相等实数根，即y k = 与 c bx ax y ++=2 有一个交点，则k =-3 （5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像 l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 ? l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时? l 与G 只有一个交点；③ 方程组无解时?l 与G 没有交点. 当直线与二次函数有两个交点时 c bx ax y n kx y ++=+=2 化简 为 2()0ax b k x c n +-+-= 两交点横坐标为1,x 2,x 则有 1212,b k c n x x x x a a --+=-= 两横坐标的距离=∣12x x - ∣() () 2 2 1212124x x x x x x -= +-