二次函数抛物线与直线交点个数问题
二次函数之抛物线与直线交点个数
1．（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
代入得：
，
坐标代入得：
k=
y=x
，
．
2．（2011?石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）．
（1）求抛物线顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？
，
x
）
y=x+4
x
，得﹣x x
﹣
，
∴向下最多可平移
x
个单位，向下最多可平移
3．（2013?丰台区一模）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，﹣4）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．
n=
，
或﹣
4．（2009?北京）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
y=x+b
．
，方程
y=b=
y=﹣．
）的取值范围为．
y=
x+b﹣
x+b b=．而在此中间即为两个交点，此时﹣＜＜．x+b y=x+b
x+b y=x+3
综上，﹣．
5．（2012?东城区二模）已知关于x的方程（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若正整数m满足8﹣2m＞2，设二次函数y=（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）．
6．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+mx+m2﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（4，n）
在这条抛物线上．
（1）求B点的坐标；
（2）将此抛物线的图象向上平移个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
时，﹣==0
x
×
）∵抛物线的图象向上平移个单位，
x；
）联立
得，﹣x+3x+x+b
，
，则﹣x=0
y=）时，×
，
y=x+b或＜
7．关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象与x轴有交点，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1与x轴的交点的横坐标均是负整数时，将关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象向下平移4个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=（b＜3）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
y=x+b
y=b=
y=﹣．
）的取值范围为：﹣．
8．（2014?东城区一模）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
x=
=3
=1+，
＜
＜
=1+，
1+）
，
（
（
﹣
﹣
，﹣）
﹣
﹣
＜﹣
9．（2013?门头沟区一模）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取任何实数，方程都有两个实数根；
（2）当m＜3时，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B 两点（点A在点B的
左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线与图象G只有一个公共点时，b的取值范围．
××
时，则
x y=
y=x
x
﹣．
＜﹣．
抛物线与直线交点问题
课题:抛物线与直线的交点问题 教学目标： 1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。 2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进 一步培养学生数形结合思想。 3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。 教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。 2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。 教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。 讲授方法： 讲授与讨论相结合 教学过程： 一、抛物线与x 轴的交点问题 例1：已知：抛物线322 --=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。 练习： 1、已知：抛物线)1(3)2(2 ++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。 （2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。 2、（2013房山一模23前两问） 已知，抛物线2 y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式. （2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （3 2 ，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. 方法总结： 1、 抛物线与x 轴相交： 抛物线c bx ax y ++=2 的图象与x 轴相交）（002 ≠=++a c bx ax 2.抛物线与x 轴的交点的个数 （1△抛物线与x 轴相交 （2△抛物线与x 轴相切 （3△抛物线与x 轴相离 二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点
例2：求抛物线322 --=x x y 与y=1的交点坐标 练习： 已知：抛物线c x x y ++=22 （1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值范围。 （2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值范围 方法总结： 1、抛物线与平行于x 轴的直线相交 抛物线c bx ax y ++=2 的图象与平行于x 轴的直线相交 ?? ?=++=m y c bx ax y 2新的一元二次方程m c bx ax =++2 2.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数 （1△抛物线与直线相交 （2△抛物线与直线相切 （3△抛物线与直线相离 三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线2 2 1x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值 练习： 已知:抛物线），（和点0,1-3-2 A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式 方法总结：
二次函数的特殊形式专题(交点式)
《二次函数的特殊形式》专题 班级 姓名 人的心灵在不同的时期有着不同的内容。 2.用十字相乘法分解因式： ①322 --x x ②342 ++x x ③6822 ++x x 3.若一元二次方程02 =++c bx ax 有两实数根21x x 、，则抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是 . 【自主探究】 1.根据上面第3题的结果，改写下列二次函数： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y = = = 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y 归纳： ⑴若二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以表 示为 的形式； ⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与 x 轴的交点坐标 是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件.
【练习】把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标. ⑴232+-=x x y ⑵232-+-=x x y ⑶4622+-=x x y 与x 轴的交点坐标是： 与y 轴的交点坐标是： 例1.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. ⑶求出该二次函数的关系式. ⑷若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 .
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数 1．（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围． 考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值． 专题：计算题． 分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可； （2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围． 解答： 解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）， 代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1； （2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4， 由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4， 设直线BC解析式为y=kx+b， 将B与C坐标代入得：， 解得：k=，b=0， ∴直线BC解析式为y=x，
当x=1时，y=， 则t的范围为﹣4≤t≤． 点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 2．（2011?石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求抛物线顶点D的坐标； （2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式． 专题：探究型． 分析：（1）先设出过A（﹣2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解析式； （2）先用待定系数法求出直线CD解析式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平移m各单位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线CD的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出m的取值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）， ∵C点坐标为（0，4）， ∴a=﹣，（1分） ∴解析式为y=﹣x2+x+4， 顶点D坐标为（1，）；（2分） （2）直线CD解析式为y=kx+b． 则，，
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数 2 1. (2014?北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x+mx+ n经过点A (0, - 2), B (3, 4). (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A, B之间的部分为图象G(包含A, B两点).若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围. 5 4 ? (1) 将A与B坐标代入抛物线解析 式求出m与n的值，确定出抛物线 解析式，求出对称轴即可； (2) 由题意确定出C 坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围. 2 解答：解：(1 )???抛物线y=2x +mx+ n经过点 A (0,- 2), B (3, 4), f n=-2 L 18+3nr^n=4 ???抛物线解析式为y=2x2- 4x - 2，对称轴为直线x=1; 2 (2)由题意得：C (- 3,- 4),二次函数y=2x - 4x- 2的最小值为-4, 由函数图象得出D纵坐标最小值为-4, 设直线BC解析式为y=kx+b , 考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值. 专题：计算题. 分析： 解得：* :-4 n= - 2 代入得： 将B与C坐标代入得: 3k+b=4 -3k+b二- 解得: k= , b=0, 3 ?直线BC解析式为y=-x, 当x=1 时,y=J
点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待 定系数法是解 本题的关键. 2. (2011?石景山区二模)已知：抛物线与 x 轴交于A (- 2, 0)、B (4, 0),与y 轴交于C ( 0, 4). (1) 求抛物线顶点 D 的坐标； (2) 设直线CD 交x 轴于点E ,过点B 作x 轴的垂线，交直线 CD 于点F ,将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线 与线段EF 总有公共点?试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？ (1) 先设出过A (- 2, 0)、B (4, 0)两点的抛物线的解析式为 y=a (x+2) (x - 4),再根据抛物线与 y 轴 的交点坐标即可求出 a 的值，进而得出此抛物线的解析式； (2) 先用待定系数法求出直线 CD 解析式，再根据抛物线平移的法则得到 ( 1)中抛物线向下平移 m 各单位 所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线 CD 的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出 m 的取值范 围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位. 考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式. 专题：探究型. 分析：
二次函数的交点式
二次函数之交点式 【课前自习】 2.用十字相乘法分解因式： ①322 --x x ②342 ++x x ③6822 ++x x 3.若一元二次方程02 =++c bx ax 有两实数根21x x 、，则抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴 交点坐标是 . 【课堂学习】 一、探索归纳： 1.根据《课前自习》第3题的结果，改写下列二次函数： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y = = = 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y 坐标： 3.你发现什么？ 4.归纳： ⑴若二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以 表示为 的形式； ⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与x 轴的交点坐标是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件.
练习.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标. ⑴232 +-=x x y ⑵232 -+-=x x y ⑶4622 +-=x x y 与x 轴的交点坐标是： 与y 轴的交点坐标是： 二、典型例题： 例1.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑶求出该二次函数的关系式. ⑷若二次函数的图象与x ，则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 . 归纳：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴的交点坐标是（01，x ）、（02， x ）则，对称轴是 ，顶点 坐标是【拓展提升】 已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（⑴求对称轴和顶点坐标. ⑶求出该二次函数的关系式.
抛物线与直线交点问题经典讲义教案
抛物线与直线交点问题 教学目标： 1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。 2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进 一步培养学生数形结合思想。 3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。 教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。 2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。 教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。 讲授方法： 讲授与讨论相结合 教学过程： 一、抛物线与x 轴的交点问题 例1：已知：抛物线322 --=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。 练习： 1、已知：抛物线)1(3)2(2 ++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。 （2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。 2、（2013房山一模23前两问） 已知，抛物线2 y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式. （2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （3 2 ，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. 方法总结： 1、 抛物线与x 轴相交： 抛物线c bx ax y ++=2 的图象与x 轴相交 ）（002 ≠=++a c bx ax 2.抛物线与x 轴的交点的个数 （1 △>0 抛物线与x 轴相交 （2 △=0 抛物线与x 轴相切 （3 △<0 抛物线与x 轴相离
二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点 例2：求抛物线322 --=x x y 与y=1的交点坐标 练习： 已知：抛物线c x x y ++=22 （1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值范围。 （2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值范围 方法总结： 1、抛物线与平行于x 轴的直线相交 抛物线c bx ax ++=2 的图象与平行于x 轴的直线相交 ?? ?=++=m y bx ax y 2 新的一元二次方程m c bx ax =++2 2.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数 （1 △>0 抛物线与直线相交 （2 △=0 抛物线与直线相切 （3 △<0 抛物线与直线相离 三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线2 2 1x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值 练习： 已知:抛物线），（和点0,1-3-2 A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式
【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式
二次函数一般式、顶点式、交点式 这节课我们学什么 1. 会用待定系数法求二次函数的解析式； 2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象； 了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 3. 根据交点求解解析式．
知识点梳理 1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质 2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质 1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可； 3、一般式2y ax bx c =++的性质 对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？ 将一般式配方成顶点式： 2y ax bx c =++=2 ()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a +++- =222424b b ac a x a a -??+= ?? ? 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；
点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用)
点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用) 一．点与抛物线的位置关系： 已知点p （x 0,y 0）和焦点为F 抛物线2y =2px （p>0） （1）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）? 2o y <2p 0x （p>0） （2）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）上? 2o y =2p 0x （p>0） （3）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）外? 2o y >2p 0x （p>0） 二．直线和抛物线线之间的关系： 已知抛物线C:2y =2px （p>0）直线l ：Ax+By+C=0 抛物线C 和直线l 相离： （1）抛物线C 和直线l 相离?抛物线C 和直线l 无交点?方程组22x y =0 y px A B C =++?? ?无解，消去y 得 关于x 的方程设为 A 2x 2 +2(AC-pB)x+C=0 （1）(或消去x 得关于y 的方程,Ay 2 +2pBy+C=0… ⑵)?方程（1）（或方程（2）无解）? 方程（1）中的 判别式?<0(方程（2） 中的 判别式00. 若抛物线C 和直线l 有两个交点A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2））.C ()00,y x 是AB 的中点，则直线AB 的斜率0 y p k AB = 则 当直线l 斜率是k 时12|AB y y = =- 直线l 倾斜角为α 时1212|||AB x x y y =-=-
二次函数小综合-二次函数与交点问题
二次函数小综合-二次函数与交点问题 例1(2018四调题改)抛物线y ＝x 2 －kx －k ，A (1，－2)，B (4，10)，抛物线与线段AB (包含A 、B 两点)有两个交点，那么k 的取值范围为_______． 解：线段AB 的解析式是_______(1≤x ≤4)，联立抛物线与直线解析式方程得x 2 －4x ＋6＝kx ＋k ，该方程在1≤x ≤4时有两根，此方程可以看作定抛物线_______(1≤x ≤4)，与过定点C (－1，0)的动直线_____．(填写解析式，上同)，有两个交点，画出图像如图． 根据图像回答问题： M 点的坐标为______，N 坐标为______； l 1的k 值为________；l 2的k 值为________． 所以，仅有两个交点时，k 的取值范围为_____________． y ＝4x －6,y ＝x 2 －4x ＋6,y ＝kx ＋k , (1,3),(4,6),k ＝±6, k ＝ 65,－6＋k ≤65 . 例2．直线y ＝2x ﹣5m 与抛物线y ＝x 2 ﹣mx ﹣3在0≤x ≤4范围内只有一个公共点，则m 的取值范围为 ﹣5＜m ≤或m ＝8﹣2 ． 解：联立可得：x 2 ﹣（m +2）x +5m ﹣3＝0， 令y ＝x 2 ﹣（m +2）x +5m ﹣3， ∴直线y ＝2x ﹣5m 与抛物线y ＝x 2 ﹣mx ﹣3在0≤x ≤4范围内只有一个公共点， 即y ＝x 2 ﹣（m +2）x +5m ﹣3的图象在0≤x ＜4上只有一个交点， 当△＝0时，即△＝（m +2）2 ﹣4（5m ﹣3）＝0解得：m ＝8±4， 当m ＝8+4 时，x ＝ ＝5+2 ＞4
二次函数的交点
孟老师初三12月7日学案 II二次函数图像于x轴有二个交点 ⑴利用交点确定不等关系 （2011?常州）已知二次函数，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变 A．y＞0、y＞0 B．y＜0、y＜0 C．y＜0、y＞0 D．y＞0、y＜0 12121 ⑵利用交点确定字母的值 （2010?乐山）设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下图中四个图象之一，则a的值为（） A．6或﹣1 B．﹣6或1 C．6D．﹣1 ．B．C．D． （2011?随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三A．0B．1C．2D．3 （2009?孝感）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣与x轴交于．B．C．D． （2011?大庆）二次函数：y=ax2﹣bx+b（a＞0，b＞0）图象顶点的纵坐标不大于．（1）求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
（2）若该二次函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的最小值． （2012?兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．把它称为一元二次方程根与系 数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|= ===； 参考以上定理和结论，解答下列问题： 设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形． （1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值； （2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值． （2012?南昌）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 左边），与y轴交于点C． （1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）． ①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质； ②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由． 二：二次函数于反比例函数的交点 利用了图象上的点的坐标特征来解
二次函数经典解题技巧
龙文教育学科教师辅导讲义
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． … 解：（1）根据题意，得 ?? ? ? ? + ? - ? = - + - ? - - ? = . 4 5 , )1 ( 4 )1 ( 2 2 c a c a …2分 解得 ? ? ? - = = .5 ,1 c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为5 4 2- - =x x y．……4分 （2）令y=0，得二次函数5 4 2- - =x x y的图象与x轴 的另一个交点坐标C（5, 0）.……………5分 由于P是对称轴2 = x上一点， 连结AB，由于26 2 2= + =OB OA AB， — 要使△ABP的周长最小，只要PB PA+最小.…………………………………6分 由于点A与点C关于对称轴2 = x对称，连结BC交对称轴于点P，则PB PA+= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得PB PA+ 的最小值为BC. 因而BC与对称轴2 = x的交点P就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC的解析式为b kx y+ =，根据题意，可得 ? ? ? + = - = . 5 ,5 b k b 解得 ? ? ? - = = .5 ,1 b k 所以直线BC的解析式为5 - =x y.…………………………………………………9分 因此直线BC与对称轴2 = x的交点坐标是方程组 ? ? ? - = = 5 ,2 x y x 的解，解得 ? ? ? - = = .3 ,2 y x 所求的点P的坐标为（2，-3）.……………………………10分 压轴题中求最值 , 此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。 典型例题： 1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）. ⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______； ⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
二次函数的交点式
二次函数的交点式 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax2;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。X1,X2是关于ax2+bx+c=0的两个根。 设baiy=ax2+bx+c此函数与x轴有两交点,, 即ax2+bx+c=0有两根分别du为 x1,x2, a(x2+bx/a+c/a)=0 根据韦达定理 a[x2-(x1+x2)x+x1*x2]=0 十字交叉相zhi乘： 1x -x1 1x -x2 a(x-x1)(x-x2) 就是这样推出的。 定义与表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，
开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.） 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 抛物线与x轴 交点个数 Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 系数表达的意义 a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口；当a<0时,抛物线向下开口。 b和a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右。 c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）。
二次函数交点式练习题
二次函数交点式练习题 一、选择 1.如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 2.二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 3.若00,△>0 B.a>0, △<0 C.a<0, △<0 D.a<0, △<0 5.若抛物线 22y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ） Ａ．1a > Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 二、填空 1、已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是 （-2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 . 2.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐 标是（1,0）、（4,0），则该抛物线的关系式是 . 3.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是 （1,0）、则另一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴 是 . 4.二次函数()()43---=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，对称轴 是 . 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值 是-3.则该抛物线开口向 ，当x 时，y 随的增大而增大. 6.请写出一个开口向下、与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式： . /7、把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析 式为（ ）． 8.已知二次函数)1(3)1(2-++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为 9.二次函数432--=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 关于X 轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为 10. 二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个，交点坐标为_______。 11.已知二次函数222--=x ax y 的图象与X 轴有两个交点，则a 的取值范围是 12.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为 _。 13.抛物线y=(k-1)x 2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线_________，它 必定经过________和____
抛物线与直线的交点问题
抛物线与直线的交点问题 1、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m （坐标系中的水平直线）的交点问题： ①把y=m 代入y=ax 2+bx+c 得ax 2+bx+c=m ，即ax 2+bx+（c-m ）=0 此时方程的判别式△=b 2-4a(c-m)。 △＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 ②特殊情形： 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点问题： 令y=0，则ax 2+bx+c=0 此时方程的判别式△=b 2-4ac △＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 2、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题： 令ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+（c-b ）=0 此时方程的判别式△=(b-k)2-4a （c-b ） △＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。 3、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点位置问题： 若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0） ① 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧 ② 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧 ③ 若x 1x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧 4、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的两个交点距离公式 若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点（x 1，0）、（x 2，0）的距离为 ︱x 1-x 2︱=a ac b 42 练习 1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________． 2．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为( ) A ．k >－47 B ．k <－47且k ≠0 C ．k ≥－47 D ．k ≥－47且k ≠0 3．若抛物线y ＝x 2－８x ＋c 顶点在x 轴上，则c 的值等于( )． A ．４ B ．８ C ．－４ D ．１６ 4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒为负值的条件是( )． A ．a ＞０, b 2－４ac ＜０ B ．a ＜０, b 2－４ac ＞０ C ．a ＞０, b 2－４ac ＞０ D ．a ＜０, b 2－４ac ＜０ 5.直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点的个数是______
二次函数与坐标轴交点专题
《二次函数与坐标轴交点》专题 班级 姓名 立志没有所谓过迟。 【自主学习】 1.直线42-=x y 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点 。 我们知道：①一次函数与x 轴的交点的求法 ②一次函数与y 轴的交点的求法 那么：③二次函数与x 轴的交点的求法 ④二次函数与y 轴的交点的求法 【归纳】(1)函数与x 轴y 轴交点的求法是：__________ ______________________ （2）反比例函数与坐标轴没有交点的原因是______________________________ 2.一元二次方程02 =++c bx ax ，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根； 3.解下列方程 （1）0322=--x x （2）0962=+-x x （3）0322 =+-x x 5.对比第1题各方程的解，你发现什么？ ⑴一元二次方程02 =++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴 交点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2 ）
1. 二次函数232 +-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 3.二次函数642+-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3． 4.如图，一元二次方程02=++c bx ax 的解为 。 5.如图，一元二次方程32 =++c bx ax 的解为 。 6. 已知抛物线922 +-=kx x y 的顶点在x 轴上，则k ＝____________． 7．已知抛物线122-+=x kx y 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_________． （4） （5）
动线与图形交点个数问题
动线与图形交点个数问题之直线与几何图形 例1：知识储备—动直线的讨论 1. y=-x+1由 平移得到的。 2. y=2x+b 由 平移得到的。 3. y=kx+b 由 平移得到的。 例2：已知平面直角坐标系中A （-2,4）B （4,2）C （0，-2）围成三角形ABC (1)直线y=2x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围 （2）直线y=x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围 （3）直线y=-3x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围 练习：（2+2011-25） 1.如图，在平面直角坐标系中，直线1 (0)2 y x b b =-+>分别交x 轴、y 轴于A B 、两点．点(40)C ， 、(80)D ，，以CD 为一边在x 轴上方作矩形CDEF ，且:1:2CF CD =．设矩形CDEF 与ABO △重 叠部分的面积为S ． （1）求点E 、F 的坐标； （2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式； （3）若在直线1 (0)2 y x b b =-+>上存在点Q ，使OQC ∠等于 90，请直接．． 写出b 的取值范围． 2.已知:关于x 的一元二次方程01-m x 2m 2-mx 2 =++）（ (1)若此方程有实根,求m 的取值范围; (2)在(1)的条件下,且m 取最小的整数,求此时方程的两个根; (3)在(2)的前提下,二次函数1-m x 2m 2-mx y 2++=）（与x 轴有两个交点,连接这两点间的线段,并以这条线段为直径在x 轴的上方作半圆P,设直线l 的解析式为y=x+b,若直线l 与半圆P 只有两个交点时,求出b 的取值范围. 动线与图形交点个数问题之抛物线与几何图形 例1：知识储备—动抛物线的讨论 1.y=x 2 -1由 平移得到的。 2. y=(x-2)2 -1由 平移得到的。 3. y=(x-m)2-1由 平移得到的。 4. y=x 2 -2bx+b 2-1由 平移得到的。 例2：已知点A （1,1）B （3,1）C （3，2）D(1,2)围成四边形ABCD （1）抛物线y=1/2(x-m)2 与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围 (2) 抛物线y=2(x-m)2 与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围 （3）抛物线y=(x-m)2与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围 例3：已知平面直角坐标系中A （-2,4）B （4,2）C （0，-2）围成三角形ABC ，抛物线y=(x-m)2与之交点 个数的讨论，求相应m 取值范围 练习： 1.（抛与直角梯形）已知抛物线y=x 2 -4x+3和直角梯形OBPC ，其中B(3,0) P(2,3) C(0,3)。若将抛物线沿水平方向平移，设顶点D （m,n ），当抛物线与直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时， 求出m 的取值范围。 2.（抛与菱形） 已知：将函数y 的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像． (1)求这个新的函数的解析式； (2)若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A 两点，与直线x =C 、B 两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的四边形形状，并说明理由； (3)若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数2 1 22 2 ++-=b bx x y 的图象的一部分，求满足条件的实数b 的取值范围．
二次函数交点式公式
二次函数交点式公式 交点式： y=a(X-x1)(X-x2) ,仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时,使用交点式较为方便.y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点,分别记为x1和x2,代入公式,再有一个经过抛物线的点的坐标,即可求出a的值. 将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2),即可得到一个解析式,这是y=ax2;+bx+c因式分解得到的,将括号打开,即为一般式.X1,X2是关于ax2+bx+c=0的两个根. 如果(x1,0),(x2,0)是二次函数y=ax^2+bx+c的两个交点, 那么x1,x2必是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根, 从而ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). 我们把y=a(x-x1)(x-x2)称为二次函数的交点式. 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a
≠0). (3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2) (4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0. 说明： (1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k ＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点. (2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
二次函数专题：直线与抛物线的交点问题(无答案)
专题三：直线与抛物线的交点问题 【学习目标】1、经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。 2、理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。 【学习重点】1、体会方程与函数之间的联系。 2、理解抛物线与之间有两个交点、一个交点、没有交点的条件。 【学习难点】理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。 一、课前热身 1、抛物线322--=x x y 与x 轴交点是____________，与y 轴交点坐标是________________； 2、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是_______； 3、若关于x 的函数y ＝2 kx ＋2x －1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为__________． 二、新知探究 例1：求直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点坐标。 例2（1）当k 为何值时，抛物线与直线有两个公共点？ （2）当k 为何值时，抛物线与直线有一个公共点？ （3）当k 为何值时，抛物线与直线没有公共点？ 例3：如图，已知顶点为C （0，﹣6）的抛物线y=ax 2 +b （a ≠0）与x 轴交于A ， B 两点，直线y=x+m 过顶点 C 和点B ． （1）求m 的值； （2）求函数y=ax 2+b （a ≠0）的解析式； （3）抛物线上是否存在点M ，使得∠MCB=15°？若存在， 求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
三、当堂反馈 1、如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是（ ） 3、如图是抛物线y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2=mx +n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论： ①2a +b =0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c =3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1 ， 其中正确的是（ ） A ． ①②③ B ． ①③④ C ． ①③⑤ D ． ②④⑤ 3、二次函数y=x 2 +bx+c 的图象如图所示，其顶点坐标为M （1，﹣4）． （1）求二次函数的解析式； （2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围． A ． B ． C ． D ． 第1题图