(完整版)初中数学思想方法大全

初中数学思想方法大全

教学的本质到底是什么？很显然，教学最本质的东西就是传授知识，提高素质，培养能力。那么，数学教学的本质又是什么呢？众所周知：“数学是思维的体操。”数学思想方法是数学的精髓，它是数学中最本质最有价值的东西。它是知识转化为能力的桥梁。所以从某种意义上说，数学教学的本质就是数学思想方法的教学，在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，更应重视数学思想方法的参透，注意对学生进行数学思想方法的培养。

一、数学思想方法是什么？

数学思想方法是什么呢？其实它包换两个方面，即思想和方法。

所谓数学思想，是指人们对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是用数学解决问题的指导思想，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，则是在数学提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们合称为数学思想方法。

因此，在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响,使学生终生受益。正如波利亚强调：在数学教学中“有益的思考方式、应有的思维习惯”应放在教学的首位。加强数学思想方法教学，必然对提高数学教学的质量起到至关重要的作用。

二、初中阶段主要的数学思想方法有哪些？

纵观初中新课标教材，涉及到的数学思想方法大体可分为三种类型。第一类是技巧型思想方法（也称低层次数学思想方法），包括消元、降次、换元、配方、待定系数法等，这类方法具有一定的操作步骤。比较容易为学生所接受。第二类是逻辑型的思想方法（也称较高层次数学思想方法），包括类比、抽象、概括、归纳、分析、综合、演绎、特殊化方法、反证法等，这类方法都具有确定的逻辑结构，是普通适用的逻辑推理论证模型。第三类是宏观型思想方法（也称高层次数学思想方法），主要包括用字母表示数、数形结合、分类讨论、归纳猜想、化归转换、数学模型等，这类方法较多地带有思想观点的属性，揭示数学发展中极其普遍的方法，对数学发展起导向功能。学生较难领悟，需要教师在平时的教学中反复渗透。

用图框表示是：

（一）、宏观型思想方法

1.化归转化思想方法

不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露

出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。化归转化思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、熟知问题的数学思想方法，它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法。其核心就是将有待解决的问题转化为已有明确解决程序的问题，以便利用已有的理论、技术来加以处理，从而培养学生用联系的、发展的、运动变化的观点观察事物、认识问题、解决问题。

（1）、转化与化归的原则：

熟悉化原则：即陌生问题--熟悉问题，就是常说的通过旧知解决新知

简单化原则：即复杂问题--简单问题

具体化原则：即抽象问题--具体问题或直观问题

极端化原则：即运用极端化位置或状态的特性引出一般位置上或状态下的特性，从而获得解决问题的思路。

和谐化原则：即对问题进行转化时要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、式和形内部固有和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决问题的方法。

（2）转化与化归的主要途径有：

①正与反、一般与特殊的转化；②常量与变量的转化；③数与形的转化。有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，实现转化；④数学各分支之间的转化；⑤相等与不相等之间的转化；⑥实际问题与数学模型的转化.⑦利用“换元”、“画辅助线”、“消元法”、“配方法”，进行构造变形实现转化。

（3）转化与化归的应用举例：

减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形等。

例1 如图，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了 .

思路和解答假设拖把的宽度是1米，某服务员拿着拖把沿着小路向前推，那人走遍小路相当于把整块场地拖完了，而拖1㎡的场地相当于那人向前走了1米，整块场地面积是7×8=56（㎡），所以那人从A走到B共走了56米，这样我们就把求线段长度问题化归成求面积问题了。

下面是一个化几何问题为代数问题的例题

例2 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为 .

思路和解答设次小正方形边长为x，则其余正方形的边长依次1+x,2+x,3+x,根据题意得：（2+x+3+x）（3+x+x）-【（3+x）2+（2+x）2+（1+x）2+2x2】=1，解得x=4. 所以矩形色块图的面积为13×11=143.

注：如果对待这个问题时只考虑几何的面积求法，很容易陷入分别求边长的死胡同，从而一筹莫展，这里采用代数考虑，将问题用一个方程表达出来，进而求出次小正方形的边长，进而求得解。这里又包含了整体思想、方程思想.

2.数形结合的思想和方法

数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。著名数学家华罗庚先生说：“数形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合千般好，隔离分家万事休。”

这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。

（1）数形结合的主要途径：

①形转化为数：用代数方法研究几何问题，这是解析几何的基本特点.

②数转化为形：即根据给出的“数式”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题.

③数形结合：即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷、思路易寻.

（2）数形结合的应用举例：

应用：A利用数轴确定实数的范围；B几何图形与代数恒等式（或不等式）；C数与形相结合在平面直角坐标系中的应用；D利用函数图像解决方程、不等式问题；E数与形相结合在函数中的应用；F构造几何图形解决代数问题例如：在数轴上表示数；用数轴描述有理数的有关概念和运算（相反数、绝对值等概念，比较有理数的大小，利用数轴探究有理数的加法法则、乘法法则等）；在数轴上表示不等式的解集；代数的不等式（组）、方程和方程组，几何的几乎所有内容；函数方面（建立直角坐标系使点与有序实数对之间建立了一一对应关系，从而具备了数形转化的重要工具；从解析式和图像两个方面来研究函数，能更清晰地把握函数的性质；用图像解决代数问题〈如解不等式、解方程〉和用代数解决几何问题〈如通过解析式确定抛物线的对称轴、开口方向等〉）；运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。

①数轴上的点与实数的一一对应的关系。②平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。③函数式与图像之间的关系。④线段（角）的和、差、倍、分等问

题，充分利用数来反映形。⑤解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决几何问题。⑥“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。⑦统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。

例1、二元一次方程组的解的意义：

二元一次方程组11122200

a x

b y

c a x b y c ++=??++=?的解有三种情况：

① 无解；②无数个解；③ 只有一个解。

这三种情况可以转化为两条直线a 1x+b 1y+c 1=0、a 2x+b 2y+c 2=0的三种位置关系：

①平行；②重合；③ 相交。方程组的解转化为两条直线的交点。当a 1：a 2=b 1：b 2≠c 1：c 2时，两条直线的斜率相同，y 轴上的截距不同。此时两条直线平行，无

交点，因而方程组无解。当a 1：a 2=b 1：b 2=c 1：c 2时，两条直线的斜率相同，y 轴

上的截距相同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解。当a 1：a 2≠b 1：b 2时，两条直线的斜率不相同，两条直线相交，只有一个交点，

因而方程组只有一个解。

，方程组无解。直线2x+y+3=0、4x+2y+1=0的位置关系：平行

4x+2y+1=0

②21020x y x y ++=??

+=?，方程组只有一个解。直线2x+y+1=0、x+2y=0的位置关系：相交。 ③24020

x y x y +=??+=?，方程组有无数个解。两直线2x+4y=0、x+2y=0的位置关系：重合。

例2、图形隐含条件：

例：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。

解：∵b <0,c <0,b >c ,a >b ,|c |>|a |∴a -b >0,b -c >0,a +c <0。|a -b |-|b -c |+2|a +c |=(a -b )-(b -c )-2(a +c ) =-a-2b-c 。

例3、如图，是连接在一起的两个正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。问：若只许剪两刀应如何裁剪，使之能拼成一个新的大正方形？

对于这一问题学生往往采取实验的方法，这里裁一刀，那里试一剪，但却极少有人能在短时间内拼凑好。如果对题目认真加以分析，我们不难发现，从已知到结论，图形虽然变了，但其中却还有没变的东西——面积，若设小正方形的面积为1，则其边长就是1，大正方形的变长是2，新大正方形的边长为 5 ， 这样一来，我们仅需沿着图4中边长为5的线段去考虑裁剪即可，而图中这样的线段没有几条，于是很快就能找到答案。

3.分类讨论的思想和方法

由于数学研究对象的属性不同,或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是把问题“分而治之，各个击破”。是一种逻辑划分的思想。从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题

（1） （2） （1）

（2） c b 0 a x

转化为“小”问题,便于求解。

（1）分类的要点方法：

①分类是按一定的标准进行的，分类的标准不同，分类的结果也不相同；

②要注意分类的结果既无遗漏，也不能交叉重复；

③分类要逐级逐次地进行，不能越级化分。

（2）分类讨论的步骤

同一性、互斥性、层次性三原则仅仅保证合理分类,是分类讨论中的核心步骤,解题中,分类讨论一般分为四步：

第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；

第二，正确选择分类标准,合理分类；

第三，逐类、逐段分类讨论；

第四，归纳并做出结论.

（3）分类思想应用举例：

应用：A对问题的题设条件需分类讨论；B对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论；C从图像中获取信息进行分类讨论；D对图形的位置、类型的分类讨论；E对字母、未知数的取值范围分不同情况讨论。

例子:有理数的分类；绝对值的讨论；有理数的加法法则、乘法法则、有理数乘法的符号法则、乘方的符号法则；整式分类；研究平方根、立方根时，把数按正数、0、负数分类；按定义或按大小对实数进行分类；

例1绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要讲清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。学生自然而然的会得出绝对值的三种分类讨论情况，也就是:

a ( a>0)

|a| = 0 ( a = 0 )

-a ( a<0 )

例2 甲、乙两人分别从相距30km 的A 、B 两地同时相向而行，经过3h 后相距3km ，再经过2h ，甲到B 地所剩的路程是乙到A 地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度。(分析：题中“经过3h 后相距3km ”有两种情况，一种是没相遇距3km ；一种是相遇后距3km 。)

解：当3h 后甲、乙两人未相遇时，设甲的速度为xkm/h ，乙的速度为ykm/h ，则

（1）??

?-=--=+)530(253033033y x y x 解得 ???==54y x

（2）???-=-+=+)530(253033033y x y x 解得 ???

????==317316y x 答：甲的速度为4Km/h ，乙的速度为5Km/h 或甲的速度为16/3Km/h ，乙的速度为17/3Km/h 。

4、数学建模思想

数学模型指根据所研究的问题的一些属

性、关系，用形式化的数学语言（概念、符

号、语言等）表示的一种数学结构（如多项式、方程式、不等式、函数式以及图形等）。

把实际应用题中的等量关系构建在方程组的模式，或其他模式，找到一种解决问题的数学方法。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一种反映，它可

以是方程、函数或其他数学式子，也可以是一个几何基本图形。利用数学模型解决问题的一般数学方法就是数学模型方法。它的基本步骤如上图所示：数学中的建模思想是解决数学实际问题用得最多的思想方法之一，初中数学中常用的数学模型有：方程模型，函数模型，几何模型，三角模型，不等式模型和统计模型等等。

数学模型方法，指先根据研究的问题建立数学模型，再通过对数学模型的探索进而达到解题目的的方法。此法多用于解决一些实际问题或较繁琐的数学题。

应用：A建立几何模型（合理、正确地画出几何图形）；B建立方程、函数模型解决实际问题；C在解决实际问题（如物体运动规律、销售问题、利润问题、方案设计、几何图形变化问题等）时，先抽象出一次函数或二次函数关系式的数学模型（即建模），再用函数的知识来解决这些实际问题。

●函数与方程思想

方程思想（方程模型）就是从分析问题的数量关系入手，适当设定求知数，利用已知条件、公式、定理中的已知结论把所研究问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思维方式。

函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系建函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路要确定变化过程的某些量。

函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程f(x)＝0就是求函数y＝f(x)当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图象的交点或交点个数；正是这些联系，促成了函数与方

程思想在数学解题中的互化互换，所以将二者统称为函数方程思想。

方程与函数思想应用举例：

应用：求最大（小）值；解决有关方程、不等式、圆的问题；解决大量的实际问题；

例如：立方程（组）解应用题；利用判别式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数（字母系数）；二次三项式的因式分解；利用韦达定理解形如韦达定理的二元二次方程组；

5、抽象和概括思维方法

抽象：是人们在感性认识的基础上，通过比较、归纳、分析、综合等方法，透过现象，深入里层，从所研究的问题中排开那些与转化无关的表面因素，只抽取出与研究有关，直接作用于转化机制的本质属性、内部联系和规律，从而达到理性认识的思维方法，为解答问题提供某种科学依据或一般原理。

概括：即把抽象出来的若干事物的共同属性归纳出来进行考察的思维方法。概括是人们追求普遍性的认识方式，是一种由个别到一般的思维方法。概括是以抽象为基础，抽象度愈高，则概括性愈强，高度的概括对事物的理解更具有一般性，则获得的理论或方法就有更普遍的指导性。抽象和概括是密不可分的。抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及一类对象。

从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，即不同的属性。而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同相通的性质。抽象思维侧重于分析、提练；概括思维则侧重于归纳、综合。数学中的每一个概念都是对一类事物的多个对象通过观察和分析，抽象出每个对象的各种属性，再通过归纳、概括出各个对象的共同属性而形成的。在解决数学问题方面，得出数学的模型、模式，总结出解题的

规律和方法，都是通过分析、比较、抽象、归纳等思维环节，最后进行理论概括的结果。几何图形都是由现实事物去其物理性质，而只考虑其形状、大小、位置抽象出来的，这也是解决现实生活中问题的一个途径。

6、整体思想

将问题中的某些元素或组合看成一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结构和结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向和策略，从而化繁为简，化难为易。

整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.

例1 解方程组???2002x+2003y=2001①2003x+2002y=2004②

分析：如果选用代入法解答，比如由①得，x= 2001- 2003y 2002

,再代入②，得 2003×（2001- 2003y 2002

）+2002y=2004 解答起来十分麻烦.

如果选用加减法，比如，①×2003- ②×2002，可以消去x ，得

2003×2003y-2002×2002y=2001×2003- 2004×2002

形式也很复杂，不易求解.

注意到两个方程的系数正好对调这一特征，先将两方程相加，①+②，得

4005x + 4005y = 4005

化简，得 x+y=1 ③

再将两方程相减，① - ②，得 -x + y = - 3 即x-y=3 ④

由③、④组成方程组，得

?

??x + y =1 ③x - y =3 ④ 解这个方程组得 ???x = 2y = -1

. 例2 如图，矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和为86cm ，一条对角线长是13cm ，那么矩形的面积是多少？

分析 本题要求矩形的面积，根据面积公式S=AB ·BC,只需求出AB ·BC 即可。 解 根据题意，有

AB+BC+CD+DA=86-2（AC+BD ）=86-4×13=34.

∴AB+BC=17.

两边平方，得AB 2+2AB ·BC+BC 2=289, 又AB 2+BC 2=AC 2

=169,

两式相减，得2AB ·BC=120, ∴AB ·BC=60（㎝2）.

7、系统化

系统化，就是将各种有关材料编成顺序，纳入一定体系之中进行研究的一种思维方法。它是与比较、分类、抽象、概括、具体化等思维方法紧密联系在一起的。运用系统化方法，有助于从整体上把握事物的内在联系，系统、深刻地掌握知识；有助于抓住核心，了解来龙去脉。例如，在学习了两角和与差的三角函数

的公式，倍角、半角的三角函数公式，万能公式以及三角函数的积化和差与和差化积公式之后，应及时指导学生把这许多公式的内在联系和推导的线索用绘制图表的方法进行系统的整理，这将大大有助于学生理解、记忆和掌握这些公式，这是学好三角函数公式的关键。

又如，在学习了椭圆、双曲线、抛物线的内容之后，也应指导学生把这三种圆锥曲线的几何条件（定义）、标准方程、图形、性质制成图表，进行比较，并形成系统化的知识。

（二）、逻辑型思想方法

1、演绎推理

演绎推理是从一般原理推出个别结论的思维方法。即一般到特殊的推理方法。其特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件下，运用演绎法从真实的前提一定能推出真实的结论。演绎推理是逻辑证明的工具，整个欧几里得几何就是一个演绎推理系统，19世纪数学家们由对欧几里得第五公设的独立性的试证导致发现非欧几何。三段论是演绎推理的主要形式，所谓“三段论”就是由大前提、小前提、结论三部分组成。

例如，凡同边数的正多边形都是相似的，这两个正多边形的边数是相同的，所以这两个正多边形也是相似的。这里有三个判断，第一个判断提供了一般的原理原则，叫做三段论的大前提；第二个判断指出了一个特殊场合的情况，叫做小前提；联合这两个判断，说明一般原则和特殊情况间的联系，因而得出的第三个判断，叫做结论。

2、归纳与猜想

在解决数学问题时，从特殊的、简单的、局部的例子出发，通过观察类比联

想进而猜想结果的思想方法，是通过对一系列特殊问题的研究，概括出一类问题的一般性规律的思维方法。

●数学归纳法

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。

运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

3、比较的思维方法、

比较是一种判断性的思维活动，是确定所研究的对象的相同点和差异点的思维方法。它不遵循逻辑思维的规律，但是却能获得研究发现，是确定解题方法的线索。

应用：A概念的比较；B从不同图形中寻找相同进行比较；C将问题延伸，从中寻找规律进行比较。

例子：同类项；通过角的形态的比较，形成对对顶角、邻补角、“三线八角”的鲜明对照，在区别上明鉴，在联系上沟通；

（1）. 类比方法

据事物与事物之间在某些方面（如特征、属性、关系）的相似之处进行比较，通过联想和预测，推出它们在其他方面也可能相似，从而去建立猜想和发现真理的方法。所谓类比，就是两个对象都有某些相同的属性，并且其中一个对象还有另外的某些属性作为前提，进而判断出另一个对象也有这些属性的思维形式。一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识。例如：合并同类项与合并同类二次格式类比；二次根式的和相乘与多项式乘法类比；通过与分数的类比来研究分式的概念、基本性质、通分、约分、运算等；由假分数化成带分数继而化为整数部分和分数部分的和，联想到在分子的次数不低于分母次数的分式中可以用带余除法将分式转化为整式部分和分式部分的和；通过与等式基本性质的类比来学习不等式的基本性质；学习一元一次不等式的解法，应将其与一元一次方程的解法进行类比；

（2）.对比方法

把两个几何图形的特征加以对比，才能发现它们的区别和联系才能深刻地理解，才能识别。

例如：线段的中点和角平分线的区别和联系；

例1、已知：

3223222?=+，8338332?=+，154415442?=+，245524552?=+，……，若 a b a b ?=+21010 符合前面式子的规律， 则 a + b = ．

解析：观察已知的四个等式我们发现：等式的左边是一个整数与分数的和，且整数与分数的分子相同，分数的分母等于整数的平方减1，等式的右边是左边的整数的平方与左边的分数的积，从上述规律可以得到式子

a b a b ?=+21010中

10=b ，991102=-=a ，所以109=+b a .

4、举反例证明假命题的方法（反驳）

●反驳

是用已知为真的命题去揭露或证实另一个命题的虚假性的逻辑方法。反驳与证明不同，证明是确定某一判断的真实性，反驳是确定对方论题的虚假性或不能成立；证明的作用在于探求真理，阐明真理，反驳的作用则在于揭露谬误，捍卫真理。反驳与证明又是密切联系的，如果确定了一个判断的真实性，同时也就意味着确定了与之相矛盾的判断的虚假性。反之，如果确定了一个判断的虚假性，同时也就意味着确定了与之相矛盾判断的真实性。所以，证明与反驳是相辅相成的，它们都是人们探索真理、发展真理不可缺少的思维形式和逻辑方法。

常用的反驳法有以下三种：

⑴构造一反例。即举出一个例子，说明它具备命题的全部条件，但不具有命题的结论。

⑵假定命题成立，推出荒谬结果，从而证明了该命题是虚假的。

例如，证明“零可以作除数”是错误的。

证明：因为2-2=3-3即2(1-1)=3(1-1)，若零可以作除数，则推出2=3这一结果，显然荒谬。所以，“零可以作除数”是错误的。

⑶论证与该命题相矛盾的命题是真实的，根据矛盾律则推出原命题是虚假的数学中，要认定一个命题是真命题，必须就一般情况给出严格的推理证明，而要认定一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了。举反例是证明一个命题是假命题的一般方法。

●反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，

从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑

思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行