抛物线平移旋转和翻折
巧用顶点式解决抛物线图形的变换问题例析
通过抛物线图形的平移、旋转、翻折来确定新得抛物线的解析式是二次函数问题中较热门的题目类型，为方便大家理解并掌握此类题型的正确解法，现将有关解题方法小结如下，供同学们参考。
一、抛物线的平移
例1、将抛物线2
=+-向右平移3个单位，再向上平移5个单位，求平移后所
y x x
243
得抛物线的解析式。
分析：抛物线的平移变换只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向与开口大小。
解：将2
y x
2(1)5
=+-，故平移前抛物线的顶点坐标为=+-配方成顶点式，得2
243
y x x
--。由题意知平移后所得新抛物线的顶点坐标为(2,0)，而抛物线的开口方向与开口大(1,5)
小均不变，所以平移后所得新抛物线的解析式为2
288
=-+。
y x x
2(2)
y x
=-，即2
〖方法总结〗求抛物线2
a≠）沿坐标轴平移后的解析式，一般可先将
=++（0
y ax bx c
其配方成顶点式()2
a≠），然后利用抛物线平移变换的有关规律将原顶点坐y a x h k
=-+（0
标改变成平移后的新顶点坐标即可。抛物线平移变换的规律是：左加右减（在括号），上加下减（在末梢）。
二、抛物线的旋转
例2、将抛物线2
=+-绕其顶点旋转180°，求旋转后所得抛物线的解析式。
243
y x x
分析：抛物线绕其顶点旋转180°只改变抛物线的开口方向，而不改变抛物线的开口大小及顶点位置。
解：将2
y x
2(1)5
=+-。因旋转前后抛物线的开口方向y x x
243
=+-配方成顶点式，得2
恰好相反，而开口大小及顶点位置均不变，所以旋转后所得新抛物线的解析式为2
247
=---。
y x x
2(1)5
y x
=-+-，即2
〖方法总结〗求抛物线2
a≠）绕其顶点旋转180°后的解析式，同样
=++（0
y ax bx c
可先将其配方成顶点式()2
a≠），然后将二次项系数直接改变成其相反数即
y a x h k
=-+（0
可。
三、抛物线的翻折
例3、将抛物线2
=+-按下列要求进行翻折变换，求翻折后所得抛物线的解析
243
y x x
式：⑴沿y轴翻折；⑵沿x轴翻折。
分析：⑴抛物线沿y轴翻折只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向及开口大小。⑵抛物线沿x轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置，但抛物线的开口大小不变。
解：将2
y x
=+-，故翻折前抛物线的顶点坐标为
2(1)5
=+-配方成顶点式，得2
243
y x x
--。
(1,5)
⑴、由题意知抛物线沿y轴翻折后所得新抛物线的顶点坐标为(1,5)
-。因翻折后抛物线的开口方向及开口大小均不变，所以翻折后所得新抛物线的解析式为2
=--，即
y x
2(1)5 2
=--。
y x x
243
⑵、由题意知抛物线沿x轴翻折后所得新抛物线的顶点坐标为(1,5)
-。因翻折前后抛物线的开口大小不变而开口方向恰好相反，所以翻折后所得新抛物线的解析式为2
y x x
243
=--+。
2(1)5
=-++，即2
y x
〖方法总结〗求抛物线2
a≠）沿某条坐标轴翻折后的解析式，首先仍
=++（0
y ax bx c
应将其配方成顶点式()2
a≠），然后再根据翻折的方向来确定新抛物线的解
=-+（0
y a x h k
析式——若是沿y轴翻折，则只需将其顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标即可；若是沿x 轴翻折，则除了要将顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标外，还需将二次系数改变成其相反数。
※.同步检测：
将抛物线2
=-+-按下列要求进行变换，求变换后所得新抛物线的解析式：
y x x
241
⑴、先向下平移4个单位，再向左平移3个单位；
⑵、绕其顶点旋转180°；
⑶、沿x轴翻折；
⑷、沿y轴翻折。
（答案参考：⑴、2
241
=-+；⑷、
y x x
y x x
=-+；⑶、2
243
y x x
2811
=---；⑵、2
2
=---。）
241
y x x
平移旋转翻折对称
图形的平移： 要素：方向和距离。 某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（） A.甲种方案所用的铁丝最长 B. 乙种方案所用的铁丝最长 C. 丙种方案所用的铁丝最长 D. 三种方案所用的铁丝一样长（2016济南）如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M、N，①中的图形M平移后位置如②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（） A．向右平移2个单位，向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，向下平移3个单位 C．向右平移1个单位，向下平移4个单位 D．向右平移2个单位，向下平移4个单位 （2015咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），将△OAB 沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线y=﹣x上，则点B与其对应点B′间的距离为．
（13泰安）在如图所示的单位正方形网格中，ABC ?经过平移后得到111A B C ?， 已知在AC 上一点P （2.4，2）平移后的对应点为1P ，点1P 绕点O 逆时针旋转 180?，得到对应点2P ，则2P 点的坐标为（ ） A 、（1.4，1-） B 、（1.5，2） C 、（1.6，1） D 、（2.4，1） 如图，将周长为10的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ ） A.8 B.10 C.12 D.14 如图，将△ABC 向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A ′B ′ C ′，请画出平移后的图形，并写出△A ′B ′C ′各顶点的坐标．
（13鄂州）如图，已知直线//a b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距 离为2，点B 到直线b 的距离为3，230 AB =．试在直线a 上找一点M ，在直 线b 上找一点N ，满足MN a ⊥且AM MN NB ++的长度和最短，则此时 AM NB += 如图，已知四边形ABCD 的四个顶点坐标为A （1,3）、B （m ，0）、C （m+2， 0）、 D （5,1），当四边形ABCD 的周长最小时，m 的值为 ，最小值是 A B b a
中考常考的旋转、折叠、翻转等几种经典类型
中考常考题型 （一）正三角形类型 在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC 重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。 例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.
（二）正方形类型 在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向 旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC 三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。 例2. 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、 B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。
（三）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=Rt∠, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。
例3．如图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC的度数。 平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系．这类实体的特点是：结论开放， 注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多 变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力．在这一理念的引导下， 近几年中考加大了这方面的考察力度，特别是2006年中考，这一部分 的分值比前两年大幅度提高。
平移、旋转、翻折经典题
全等变换（平移、旋转、翻折） 1、（2013?天津）如图，在△ABC 中，AC=BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，将△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE，则四边形ADCF 一定是（ ） 2、(2013年黄石)把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ∠=∠=，45A ∠=， 30D ∠=，斜边6AB =，7DC =，把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15得到△ 11D CE （如图乙），此时AB 与1CD 交于点O ，则线段1AD 的长 度为 A.5 答案：B 解析：如图所示，∠3=15°，∠E 1=90°，∴∠1=∠2=75°，又∵∠B=45°， ∴∠OFE 1=∠B+∠1=45°+75°=120°。 D C A E B A D 1 O E 1 B C 图甲 图乙
∵∠OFE1=120°，∴∠D1FO=60°， ∵∠CD1E1=30°，∴∠4=90°， 又∵AC=BC，AB=6，∴OA=OB=3， ∵∠ACB=90°，∴， 又∵CD1=7，∴OD1=CD1-OC=7-3=4， 在Rt△AD1O中，。 3、（2013?攀枝花）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）
4、（10-3平移与旋转·2013东营中考）将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点 O 逆时针旋转90?至A OB ''?的位置，点B 的横坐标为2，则点A '的坐标为（ ） A ．(1,1) B ． C ．(-1,1) D ．( 5C.解析：在Rt AOB ?中，2OB =，45AOB ∠=?，OA AOB OB ∠= ，所以2 cos 2 2OA OB AOB =∠==，所以OA '=，过A '作A C y '⊥轴于点C ，在 Rt A OC '?， 45A OC '∠=?， OA '=， sin A C A OC A O ''∠= '， 2 sin 1A C A O A OC '''=∠==，又因为⊙O 1A C '==，且点A '在第二象限，所以点A '的坐标为（-1，1）. 5、（2012?青岛）如图，将四边形ABCD 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A 的对应点A′的坐标是（ ）
中考数学专题训练(附详细解析)：平移、旋转、翻折
中考数学专题训练（附详细解析） 全等变换（平移、旋转、翻折） 1、（专题?天津）如图，在△ABC 中，AC=BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，将△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE ，则四边形ADCF 一定是（ ） 2、(专题黄石)把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ∠=∠= ，45A ∠= ， 30D ∠= ，斜边6AB =， 7DC =，把三角板DCE 绕着点 C 顺时针旋转15 得到△11 D C E （如图乙），此时AB 与1CD 交于点O ，则线段1AD 的长度为 D C A E B A D 1 O E 1 B C 图甲 图乙
A. B.5 答案：B 解析：如图所示，∠3=15°，∠E1=90°，∴∠1=∠2=75°，又∵∠B=45°，∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°。 ∵∠OFE1=120°，∴∠D1FO=60°， ∵∠CD1E1=30°，∴∠4=90°， 又∵AC=BC，AB=6，∴OA=OB=3， ∵∠ACB=90°，∴， 又∵CD1=7，∴OD1=CD1-OC=7-3=4， 在Rt△AD1O中，。 3、（专题?攀枝花）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）
4、（10-3平移与旋转·专题东营中考）将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90?至A OB ''?的位置，点B 的横坐标为2，则点A '的坐标为（ ） A ．(1,1) B ． C ．(-1,1) D ．() 5C.解析：在Rt AOB ?中，2OB =，45AOB ∠=?，OA AOB OB ∠= ，所以 cos 2OA OB AOB =∠== ，所以OA '=，过A '作A C y '⊥轴于点C ，在 Rt A OC '?， 45A OC '∠=?， OA '=， sin A C A OC A O ''∠= '， sin 1A C A O A OC '''=∠==，又因为⊙O 1A C '==，且点A '在第二象限，所以点A '的坐标为（-1，1）. 5、（2012?青岛）如图，将四边形ABCD 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A 的对应点A ′的坐标是（ ）
抛物线平移、旋转、对称
已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式． （3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标． [解析] （1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得； （2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2， 可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1； （3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．
如图，在直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x轴，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B点的坐标是（-1，5）． （1）直接写出下列各点坐标．A（，）C（，）D（，）； （2）等腰梯形ABCD绕直线BC旋转一周形成的 几何体的表面积（保留π）； （3）直接写出抛物线y=x2左右平移后，经过点 A的函数关系式； （4）若抛物线y=x2可以上下左右平移后，能否 使得A，B，C，D四点都在抛物线上？若能，请 说理由；若不能，将“抛物线y=x2”改为“抛物 线y=mx2”，试确定m的值，使得抛物线y=mx2 经过上下左右平移后能同时经过A，B，C，D四 点． 【解析】（1）易得点C的纵坐标和点B的纵坐标相等，横坐标比点B的横坐标小8，过A 作AE⊥BC于点E，那么BE=3，利用勾股定理可得AE=4，那么点A的横坐标比点B的横坐标小3，纵坐标比点B纵坐标小4，点D的纵坐标和点A的纵坐标相等，横坐标比点A 的横坐标小2； （2）绕直线BC旋转一周形成的几何体的表面积为两个底面半径为4，母线长为5的圆锥的侧面积和一个半径长为4，母线长为2的圆柱的侧面的和，把相关数值代入即可求解；（3）设新函数解析式为y=（x-h）2，把（-4，1）代入即可求解； （4）可把等腰梯形以y轴为对称轴放在平面直角坐标系中，确定一点，看其余点是否在y=x2上；进而设函数的解析式为y=mx2，A，B中的2点代入即可求解．
平移、翻折与旋转
1 30 l C' B' A' B C A 50 x O y P (第5题图) B C O A B C C B A P P ' 平移、翻折与旋转 【学习目标】 1．熟悉轴对称图形和中心对称图形的基本性质2．掌握平移、旋转、轴对称等图形变换的重要形式【巩固练习】一、选择题： 1．（10宁波）下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．2．（10济南）如图，ΔABC 与ΔA ’B ’C ’关于直线l 对称，则∠B 的度数为 （） A ．50° B ．30° C ．100° D ．90° （第2题图） （第3题图） （第4题图） 3．（10台湾）将图(六)的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另 一条对角线对折，如图(七)所示。最后将图(七)的色纸剪下一纸片，如图(八)所示。若下列有一图形为图(八)的展开图，则此图为何 ( ) A ． B ． C ． D ． 4．（10毕节）正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方 向旋转90后，B 点的坐标为（）A ．(22) ，B ．(41) ，C ．(31)， D ．(40) ，5．(10深圳)如图2，点P （3a ，a ）是反比例函y ＝k x （k ＞0）与⊙O 的一个 交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为( ) A ．y ＝3x B ．y ＝5x C ．y ＝10x D ．y ＝ 12 x 二、填空题： 6．下列图形：①线段，②等边三角形，③平行四边形，④菱形，⑤正方形，⑥圆，其中既是 轴对称图形又是中心对称图形的概率为_________．7．（10江西）如图所示，半圆AB 平移到半圆CD 的位置时所扫过的面积为 ___ ． 8．如图，菱形 OABC 中，∠A ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转 90°，则图中由BB ，B A ，A C ，CB 围成的阴影部分的面积是 ． 图(六) 图(七) 图(八)
抛物线平移、对称变换
专题一：抛物线平移、对称变换 学习目标： 1.抛物线平移顶点，与坐标系交点关系 2. 利用对称性求点的坐标 知识框架： 【1】抛物线的平移变换只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向与开口大小。 【2】求抛物线2 a≠）沿坐标轴平移后的解析式，一般可先将其配方 =++（0 y ax bx c 成顶点式()2 a≠），然后利用抛物线平移变换的有关规律将原顶点坐标改变=-+（0 y a x h k 成平移后的新顶点坐标即可。抛物线平移变换的规律是：左加右减（在括号），上加下减（在末梢）。 【3】抛物线绕其顶点旋转180°只改变抛物线的开口方向，而不改变抛物线的开口大小及顶点位置。 【4】求抛物线2 a≠）绕其顶点旋转180°后的解析式，同样可先将其y ax bx c =++（0 配方成顶点式()2 a≠），然后将二次项系数直接改变成其相反数即可。 =-+（0 y a x h k 【5】⑴抛物线沿y轴翻折只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向及开口大小。⑵抛物线沿x轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置，但抛物线的开口大小不变。 【6】求抛物线2 a≠）沿某条坐标轴翻折后的解析式，首先仍应将其y ax bx c =++（0 配方成顶点式()2 a≠），然后再根据翻折的方向来确定新抛物线的解析式—y a x h k =-+（0 —若是沿y轴翻折，则只需将其顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标即可；若是沿x轴翻折，则除了要将顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标外，还需将二次系数改变成其相反数。
真 题 汇 编： 第一部分（选择题） （2013-2014海淀）二次函数2 2+1y x =-的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋转180 ，则旋转后的抛物线的解析式为( ) A ．221y x =-- B ．2 21y x =+ C ．22y x = D ． 2 21y x =- 【方法总结】 （2015-2016北师大实验二龙路中学） 将抛物线22y x =向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线解 析式是（ ）． A ．22(1)3y x =-- B ．22(1)3y x =++ C ．22(1)3y x =-+ D ．22(1)3y x =+- 【方法总结】 （2015-2016北京三中）将抛物线 224=+y x 绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）. A ． 224=--y x B ． 224=-+y x C ．224=-y x D ． 22=-y x 【方法总结】 （2015-2016北京市昌平第三中学）把抛物线y =2x 2-3沿x 轴翻折，所得的抛物线是（ ） A.y ＝－2x 2－3 B. y ＝2x 2-3 C. y ＝2x 2＋3 D. y ＝－2x 2+3 【方法总结】
平移、翻折、旋转经典题八年级用
平移、翻折与旋转 1、如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m 、n ，那么?AEG 的面积的值 （ ） A ．与m 、n 的大小都有关 B ．与m 、n 的大小都无关 C ．只与m 的大小有关 D ．只与n 的大小有关 2、如图，线段AB=CD ，AB 与CD 相交于点O ，且0 60AOC ∠=，CE 由AB 平移所得，则AC+BD 与AB 的大小关系是：（ ） A 、AC BD A B +< B 、A C B D AB += C 、AC BD AB +≥ D 、无法确定 O B C E D A 3、如图，在矩形ABCD 中 ，AB=10 , BC=5 ． 若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点 ，则BM+MN 的最小值为（ ） A ． 10 B ． 8 C ． 35 D ． 6 4、如图6，在△ABC 中，∠ACB=90o，AC=BC=1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF=45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①AB=2；②当点E 与点B 重合时，MH=12 ；③AF+BE=EF ；④MG?MH=1 2 ，其中正确结论为 A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③④ 5、如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB ′C ′的位置，连接C ′B ，则C ′B 的长为（ ） A B C D G E F
A.2-2 B. 2 3 C. 13- D.1 6、（2014?聊城，第7题）如图，点P 是∠AOB 外的一点，点M ，N 分别是∠AOB 两边上的点，点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上．若PM=2.5cm ，PN=3cm ，MN=4cm ，则线段QR 的长为（ ） A ． 4.5 B ． 5.5 C ． 6.5 D ． 7 7、如图，在△ABC ，AC=4，BC=3，点D 是点A 绕着B 顺时针旋转60度得到的，则线段CD 的最大值为 。 第7题 第8题 8、如图，将边长为12的正方形ABCD 是沿其对角线AC 剪开，再把ABC ?沿着AD 方向平移，得到C B A '''?，当两个三角形重叠的面积为32时，它移动的距离 A A '等于________。 9、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B ′重合，AE 为折痕，则EB ′= ． 10、如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A 落在BC 边的A ′处，折痕所在直线同时经过边AB 、AD （包括端点），设BA ′=x ，则x 的取值围是 ． 11、如图，把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D ．若∠A ′DC=90°，CB ′⊥AB ， 则∠ACB= 12、如图，在△ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将三角形ABC 沿着射线BC 的方向平移2个单位后，得到三角形△A ′B ′C ′，连接A ′C ，则△A ′B ′ A D C B A D B C ’
29、图形的平移、旋转和翻折[1]
一、知识点 1、在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 2、图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这个固定点叫做旋转中心，转动的角度称为旋转角。 3、平移、旋转、翻折都不改变图形的形状和大小． 4、平移的两个要素：方向、距离。 旋转的三要素：旋转中心、方向、旋转角。 二、精选例题： ． 落在边BC 上的A ′处，折痕为PQ ．当点A ′在BC 边上移动时，折痕端点P ，Q 也随之移动．若限定P ，Q 分别在AB 、AD 边上移动，求点A ′在BC 边上可移 动最大距离． 例3. 如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°， 将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，BE ，DC ，DE 三者之间存在着某种数量关系，请你用等式表示出来 。 图
三、基础训练 1、 下列说法正确的是( )A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置C.图形可以向某方向平移一定距离,也可以绕某方向旋转一定距离D.由一次平移得到的图形也一定可由一次旋转得到 2、如图⑴，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O 作0○～90o 的 旋转，那么旋转时露出的△ABC 的面积（S ）随着旋转角度（n ）的变化而变化，下面表示S 与n 的关系的图象大致是图⑵中的（ ） （图1） （图2） 3、如图4，将四边形ABCD 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A 的对应点A ′的坐标是 。 图4 图5 图6 4、如图5，矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(2,1)．如果将矩形OABC 绕点O 旋转180°，旋转后图形为矩形OA 1B 1C 1，那么点B 1坐标为 5、如图6，矩形ABCD 对角线AC ＝10，BC ＝8，则图中五个小矩形周长为 。 6．如图，OA ⊥OB ，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD=45°，将三角 形CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则 CD OC 。 四、能力过关 7．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y=x 于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）．（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；（3）设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论．
第六讲·直线与曲线的平移,翻折(对称),旋转
第六讲·直线与曲线的平移，翻折（对称），旋转 平移： 规律：上加下减，左加右减。 翻折：本质是轴对称。 解决方法：垂直平分。垂直，121-=k k ，平分，中点公式??? ??++2,2 2121y y x x 对称：轴对称和点对称 轴对称：设A ()11,y x 关于直线l:b kx y +=对称点为B ()22,y x 这AB 两点和直线的处理方式为垂直平分。 点对称：设A ()11,y x 关于点P ()00,y x 对称点为B ()22,y x 这AB 两点和P 点的处理方式为中点公式。 旋转：中考一般只会考90°或者180°旋转。处理方式一般为旋转坐标轴，改变坐标。 例1、
例2、 在平面直角坐标系x O y 中，抛物线 2 22--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 。 （1）求点A ，B 的坐标； （2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称 轴对称，求直线l 的解析式； （3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直 线l 的上方，并且在32< 式。 例3、 已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等． （1）求二次函数的解析式； （2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值； （3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围． 中考中的“ 旋转、平移和翻折” 平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换．所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系．这类实体的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力．在这一理念的引导下，近几年中考加大了这方面的考察力度，特别是2006年中考，这一部分的分值比前两年大幅度提高． 为帮助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特征，巧妙利用平移，旋转和翻折的知识来解决相关的问题，下面已近几年中考题为例说明其解法，供大家参考． 一．平移、旋转 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．“一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离． 平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等． 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角． 旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角． 例1．（2006年乐山市中考题）如图（1），直线l 经过点A （－3，1）、B （0，－2），将该直线向右平移2个单位得到直线'l ． （1）在图（1）中画出直线'l 的图象； （2）求直线' l 的解析式． 解：（1）'l 的图象如图． （2）点A 向右平移两个单位得A ′（－1，1），点B 向右平移两个单位B ′（2，－2），即直线' l 经过点A ′（－1，1）和B ′（2，－2） 设直线' l 的解析式为(0)y kx b k =+≠ 所以122k b k b =-+?? -=+?，解这个方程组，得10k b =-=， ∴直线' l 的解析式为y x =-． 点评：抓住A 、B 两点平移前后坐标的关系是解题的 例2．（2006年绵阳市中考试题）如图，将ΔABC 绕顶点A 顺时针旋转60o后得到ΔAB ′C ′，且C ′为BC 的中点，则C ′D :DB ′=（ ） A ．1:2 B ．1:22 C ．1: 3 D ．1:3 分析： 由于ΔAB ′C ′是ΔABC 绕顶点A 顺时针旋转60o后得到的，所以，旋转角∠CAC ′=60o，ΔAB ′C ′≌ΔABC ，∴AC ′=AC ，∠CAC ′=60o，∴ΔAC ′C 是等边三角形 ，∴AC ′=AC ′．又C ′为BC 的中点，∴BC ′=CC ′，易得ΔAB ′C 、ΔABC 是含30o角的直角三 角形，从而ΔAC ′D 也是含30o角的直角三角形，∴C ′D = 21AC ′，AC ′=21B ′C ′，∴C ′D =4 1 B ′ C ′， B C C ′ 例1、已知抛物线y＝－2x2＋8x－8，其顶点坐标为______，以其顶点为中心，旋转180°所得抛物线的表达式是______，若继续上下平移，使它与直线y＝2x－4相交于(0，a)，则a＝______，平移后，所得抛物线的表达式是______； 例2抛物线y＝ax2＋bx＋c如图8－5所示． 图8－5 ①它关于y轴对称的抛物线的表达式为____________； ②它关于x轴对称的抛物线的表达式为____________； ③它关于直线x＝4对称的抛物线的表达式为____________； ④它关于直线y＝－2对称的抛物线的表达式为____________． 1. 已知抛物线2()y ax a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）. （1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示） （2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a c B c a +-， 求此抛物线的表达式式； （3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，若 1tan tan 4 POB POC ∠=∠，求点P 的坐标。 2．已知：抛物线 221)2)y a x a a =--- 与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），且x 1 < 1 < x 2 . （1）求A 、B 两点的坐标(用a 表示)； （2）设抛物线得顶点为C , 求△ABC 的面积； （3）若a 是整数, 求抛物线的表达式. 3．已知：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12． ②求二次函数的解析式； 抛物线平移、对称变换 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 专题一：抛物线平移、对称变换 学习目标： 1.抛物线平移顶点，与坐标系交点关系 2．利用对称性求点的坐标 知识框架: 【1】抛物线的平移变换只改变抛物线的顶点位置,而不改变抛物线的开口方向与开口大小。 【2】求抛物线2 a≠)沿坐标轴平移后的解析式,一般可先将其配方成 =++（0 y ax bx c 顶点式()2 y a x h k =-+（0 a≠），然后利用抛物线平移变换的有关规律将原顶点坐标改变成平移后的新顶点坐标即可。抛物线平移变换的规律是：左加右减(在括号），上加下减(在末梢)。 【3】抛物线绕其顶点旋转１８０°只改变抛物线的开口方向，而不改变抛物线的开口大小及顶点位置。 【4】求抛物线2 a≠）绕其顶点旋转180°后的解析式，同样可先将其=++(0 y ax bx c 配方成顶点式()2 =-+（0 y a x h k a≠），然后将二次项系数直接改变成其相反数即可。 【５】⑴抛物线沿y轴翻折只改变抛物线的顶点位置,而不改变抛物线的开口方向及开口大小。⑵抛物线沿x轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置,但抛物线的开口大小不变。 【６】求抛物线2y ax bx c =++（0a ≠)沿某条坐标轴翻折后的解析式,首先仍应将其配方成顶点式()2 y a x h k =-+（0a ≠),然后再根据翻折的方向来确定新抛物线的解析式——若是沿y 轴翻折,则只需将其顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标即可；若是沿x 轴翻折,则除了要将顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标外,还需将二次系数改变成其相反数。 真 题 汇 编： 第一部分(选择题) (2013-2014海淀）二次函数2 2+1y x =-的图象如图所示,将其绕坐标原点O 旋转180,则旋转后的抛物线的解析式为( ) A.221y x =-- B ．221y x =+ C.22y x = D ． 221y x =- 【方法总结】 （2015-2016北师大实验二龙路中学） 将抛物线2 2y x =向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线解 析式是( ). A.22(1)3y x =-- B.22(1)3y x =++ Ｃ．22(1)3y x =-+ D ．22(1)3y x =+- 图形的平移翻折与旋转 知识要点：这部分题目的主要特征是在图形的平移、翻折、旋转等运动变化中寻找不 变的量，把握规律，探求关系。另一个主要特征是把图形的对称性与分类讨论思想结合在一起，也就是平常所说的一题多解。这样的题目一般布局在中考试卷填空题或选择题的最后两道题，作为基础部分的选拔题 典型例题： 例1．如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交，交点分别为M 、N ．如果AB=4，AD=6，OM=x ,ON=y 则 y 与x 的关系是 A ．2 3 y x = B ．6y x = C ．y x = D ．32 y x = 类题训练： 已知∠AOB=900 ，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA 、OB(或它们的反向延长线)相交于点D 、E ．当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2OC ． 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD 、OE 、OC 之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明． 图1 图2 图3 N O A B D C M 例1题图 例2．如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2， AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0） （1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？ （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. ①当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； ②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由． 专题图形的平移翻折与旋转 4.1图形的平移 例1 2015年泰安市中考第15题 如图1，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2, 0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（）． A．（4，23）B．（3，33）C．（4，33）D．（3，23） 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“15泰安15”，拖动点A'运动的过程中，可以体验到，△A′OC 保持等边三角形的形状． 答案A．思路如下： 如图2，当点B的坐标为（2, 0），点A的横坐标为1． 当点A'的横坐标为3时，等边三角形A′OC的边长为6． 在Rt△B′CD中，B′C＝4，所以DC＝2，B′D＝23．此时B′(4,23)． 例2 2014年江西省中考第11题 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，联结A′C，则△A′B′C的周长为_______． 动感体验 请打开几何画板文件名“14江西11”，拖动点B′运动，可以体验到，△A′B′C′向右移动2个单位后，△A′B′C是等边三角形． 答案12． 4.2图形的翻折 例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题如图1，在矩形ABCD中，AD＝15，点E在边DC上，联结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．如果AD＝3GD，那么DE＝_____． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“15宝山嘉定18”，拖动点E在DC上运动，可以体验到， △ADE与△AFE保持全等，△AMF与△FNE保持相似（如图2所示）． 答案35．思路如下： 如图2，过点F作AD的平行线交AB于M，交DC于N． 因为AD＝15，当AD＝3GD时，MF＝AG＝10，FN＝GD＝5． 在Rt△AMF中，AF＝AD＝15，MF＝10，所以AM＝55． 设DE＝m，那么NE＝55m -． 由△AMF∽△FNE，得AM FN MF NE =，即 55 55m = - ．解得m＝35． 图2 函数图象中的旋转，平移，翻折问题 1（2017 荆州）将直线y=x+b 沿y 轴向下平移3个单位长度，点A （-1,2）关于轴的对称点落在平移后．．． 的直线上，则的值为__________. 2（2017 广安）已知点P （1，2）关于x 轴的对称点为P ′，且P ′在直线y =kx +3上，把直线y =kx +3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 ． 3（2016湖州）已知点P 在一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，且k ＜0，b ＞0）的图象上，将点P 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q ，点Q 也在该函数y=kx+b 的图象上，k 的值是 ； 4 （2017 孝感）如图，将直线y x =- 沿y 轴向下平移后的直线恰好经过点()2,4A - ， 且与y 轴交于点B ，在x 轴上存在一点P 使得PA PB +的值最小，则点P 的坐标 为 ． 5（2017 随州）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O 沿x 轴向左平移2个单位 长度得到点A ，过点A 作y 轴的平行线交反比例函数k y x = 的图象于点B ，32 AB =. （1）求反比例函数的解析式； （2）若11(,)P x y 、22(,)Q x y 是该反比例函数图象上的两点，且12x x <时，12y y >， 指出点P 、Q 各位于哪个象限？并简要说明理由． 6（2016 聊城）如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x 与反比例函数y=的图象交于关于原点 对称的A ，B 两点，已知A 点的纵坐标是3． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线y=﹣x 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C ，如果△ABC 的面积为48， 求平移后的直线的函数表达式． 7（2017 连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0A -的直线交y 轴正半轴于点B ，将直线AB 绕着点O 顺时针旋转90°后，分别与x 轴y 轴交于点D 、C . 第25课时 图形的变换⑵平移、旋转、翻折 【基础知识梳理】 1.平移 在平面内，将一个图形沿着某个 移动一定的 ，这样的图形运动称作平移；平移不改变图形的 和 . 2.平移的特征 平移前后的两个图形对应点连线 且 ，对应线段 且 ，对应角 . 3.旋转 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向 一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.这个定点称为 ，转动的角称为 . 4.旋转的基本性质 ⑴旋转不改变图形的 和 ． ⑵图形上的每一点都绕 沿 转动了相同的角度. (3)任意一对对应点与 的连线所成的角度都是旋转角. (4)对应点到旋转中心的距离 . 【基础诊断】 1、如图，△DEF 经过怎样的平移得到△ABC（ ） A ．把△DEF 向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B ．把△DEF 向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C ．把△DEF 向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D ．把△DEF 向左平移4个单位，再向上平移2个单位 2、如图，△AOB 是正三角形，OC⊥OB，OC ＝OB ，将△AOB 绕点O 按逆时针方向 旋转，使得OA 与OC 重合，得到△OCD，则旋转角度是( ) A ．150o B．120o C．90o D．60o 3、如图：△ABC 的周长为30cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边与点E ，连接AD ，若AE=4cm ，则△ABD 的周长是（ ） A. 22cm B.20cm C. 18cm D.15cm 【精典例题】 例1、如图，将等腰直角△ABC 沿BC 方向平移得到△A 1B 1C 1．若BC ＝32，△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积 为 2，则BB 1＝ ． 第1题图 第2题图 第3题图 例1图 第四部分图形的平移翻折与旋转 4.1图形的平移 例1 2015年泰安市中考第15题 如图1，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2, 0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（）． A．（4，23）B．（3，33）C．（4，33）D．（3，23） 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“15泰安15”，拖动点A'运动的过程中，可以体验到，△A′OC保持等边三角形的形状． 答案A．思路如下： 如图2，当点B的坐标为（2, 0），点A的横坐标为1． 当点A'的横坐标为3时，等边三角形A′OC的边长为6． 在Rt△B′CD中，B′C＝4，所以DC＝2，B′D＝23．此时B′(4,23)． 例2 2014年江西省中考第11题 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，联结A′C，则△A′B′C的周长为_______． 动感体验 请打开几何画板文件名“14江西11”，拖动点B′运动，可以体验到，△A′B′C′向右移动2个单位后，△A′B′C是等边三角形． 答案12． 4.2图形的翻折 例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题 如图1，在矩形ABCD中，AD＝15，点E在边DC上，联结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．如果AD＝3GD，那么DE＝_____． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“15宝山嘉定18”，拖动点E在DC上运动，可以体验到，△ADE与△AFE保持全等，△AMF与△FNE保持相似（如图2所示）． 答案35．思路如下： 如图2，过点F作AD的平行线交AB于M，交DC于N． 因为AD＝15，当AD＝3GD时，MF＝AG＝10，FN＝GD＝5． 在Rt△AMF中，AF＝AD＝15，MF＝10，所以AM＝55． 设DE＝m，那么NE＝55m -． 由△AMF∽△FNE，得AM FN MF NE =，即 55 1055m = - ．解得m＝35． 图2 例2 2014年上海市中考第18题 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）． 二次函数图像平移、旋转总归纳 一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x 2+1的图象 ①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2+4； ②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2-3； ③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1； ④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1． 由此可以归纳二次函数y=ax 2+c 向上平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2+c+m ； 向下平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2+c-m ； 向左平移n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （x+n ）2+c ； 向右平移n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （x-n ）2+c ， 二、二次函数的图象的翻折 在一张纸上作出二次函数y=x 2-2x-3的图象， ⑤沿x 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x 2+2x-3． ⑥沿y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x 2+2x-3 由此可以归纳二次函数y=ax 2+bx+c 若沿x 轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax 2-bx-c ， 若沿y 轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax 2-bx+c 三、二次函数的图象的旋转， 将二次函数 y=- x 2+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y= x 2-x+1； 由此可以归纳二次函数y=ax 2+bx+c 的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax 2-bx-c ．（备用图如下） 2121 1、（2011?桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ） A ．y=-（x+1）2+2 B ．y=-（x －1）2+4 C ．y=-（x －1）2+2 D ．y=-（x+1）2+4 2、（2012浙江宁波中考）把二次函数y ＝（x －1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________． 3、飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间 t （单位：s ）的函数关系式是s=60t-1.5t 2，飞机着陆后滑行的最远距离是（ ） A ．600m B ．300m C ．1200m D ．400m 4、（2012?襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关系式是y=60x-1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行m 才能停下来 ． 5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y·轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________． 6、已知二次函数y ＝ax 2（a ≥1）的图像上两点A 、B 的横坐标分别是－1、2，点O 是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为 。 7、如图，已知抛物线234 y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线334y x t =-+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<． （1）确定b c ，的值： （2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）： （3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由． y C A O Q H B P x(完整版)中考中的“旋转、平移和翻折”
抛物线的翻折
抛物线平移、对称变换
7图形的平移翻折与旋转教学文案
专题图形的平移翻折与旋转讲解
函数图象的平移,旋转,翻折问题
图形的变换平移旋转翻折含复习资料
2016挑战中考数学压轴题图形的平移翻折与旋转
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题