函数的奇偶性

知识体系

一、函数奇偶性的定义

已知函数f(x)，对定义域中任意一个自变量x，若都有，则称

f(x)为奇函数；若都有，则称f(x)为偶函数。

变式：奇函数；

偶函数；

二、奇、偶函数的性质

1. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称；反之，若一个函数表示的曲线关于原点(y轴对称)，则此函数必为奇(偶)函数；

2. 奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇

3. 若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0

方法体系

例2. f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)=x+lgx，求f(x)在x＜0时的解析式

解：当x＜0时，

一般地，给出奇、偶函数在某区间上的解析式，求对称区间上的解析式常用f(x)=-f(-x)或f(x)=f(-x)

常见的偶函数:

二、奇偶性的应用

例3.

解：设

f(-2)=g(-2)+7=-g(2)+7=10

例4. 为奇函数，则a=____

解：∵f(0)=0，∴log22+a=0 ∴a=-1

例5. 为偶函数，则a=_____

解：∵f(x)为偶函数，，

若改成，则只能根据定义。

例6. 奇函数f(x)在定义域[-4,4]上单增且满足：f(a2-1)+f(a-4)＞0，求a的取值范围

解：∵f(a2-1)+f(a-4)＞0，

∴f(a2-1)＞-f(a-4)=f(4-a)

∴

例7. 证明：可导的偶函数其导函数为奇函数，可导的奇函数其导函数为偶函数。

证明：设偶函数为y=f(x)，则有f(-x)=f(x)

对上式两边求导，得

由奇函数定义知，为奇函数。

同理可证可导的奇函数其导函数为偶函数。

练习题：

1. 已知

2. 已知f(x)(x∈R，x≠1)，f(x+1)为奇函数，当x＜1时，f(x)=2x2-x+1，则当x＞1时，f(x)的递减区间

是_____

3. f(x)=ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b的图象关于原点对称，则f(x)在[-4,4]上的单调性____

4. 已知f(x)是奇函数，g(x)为偶函数，。

参考答案：

1、；

2、；

3、减函数；

4、

函数单调性知识体系

1. 定义：在某给定区间D(定义域的子集)上，任取x1,x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))，则称f(x)在区间D上是增函数(减函数)。

f(x)在某给定区间上是增函数或减函数，则称f(x)在该区间上是单调函数；该区间叫函数的单调区间

变式：是增函数

是减函数

2. 是增函数

是减函数

3. 复合函数单调性定理

函数单调性方法体系：

一、在给定区间上证明函数单调性

例1：上是减函数。

解：导数法

恒成立，

上是减函数。

例2. 已知f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(x)＞0，f(3)=1，判断

上的单调性并证明

解：任取

注：一般地，若给出函数解析式，则利用导数证明；对于抽象函数，则利用定义证明。

二、讨论函数单调性

方法：(1)图象；(2)导数；(3)复合函数

例3. 讨论下列函数的单调区间

(1)y=|x-1|(x+3)(图象)

(2)(能否画出该函数的图象)(导数、复合函数)

(3)(图象、复合函数)

(4)f(x)=x-ln(1+x)(导数)

解：定义域(-1，+∞)

令

∴增区间为(0，+∞)

减区间为(-1,0)

（5)

解：

①当

∴增区间为(0，+∞)，减区间为(-∞，0) ②当

令

(6)

解：当a＞0时，定义域为

若a＞1，，则

若

即

同理，令

若a=1，此时f(x)在(0,1)，(1，+∞)上增，且f(x)在x=1连续，

∴f(x)在(0，+∞)上增

三、已知单调性，研究字母参数的取值范围

例4. 已知y=log a(2-ax)在[0,1]上减，求a的取值范围。

解：

设

例5. 若函数单调递增，求a的取值范围。

解：设

当

，不合题意；

当

，且此时，当

例6. 设函数在区间(0,2)上减，在(4，+∞)上增，求a的取值范围。

解：

当

同理当

例7. 设函数

①若上是增函数，求a的取值范围；

②求上的最大值。

解：(1)

上恒成立

即恒成立

(2)当

当

四、综合应用

例8. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意的实数

，当x＞0时，

f(x)＞0

(1)求证f(x)为奇函数；

(2)判断f(x)在R上的单调性并证明；

(3)当均成立，求实数m的取值范围。

解析：

(1)证明：令

令

为奇函数；

(2)任取

又当x＞0时，f(x)＞0，

(3)

设

令

当且仅当

函数的周期性

1. 定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个x值时，都有，那么就称f(x)为周期函数，非零常数T 为函数的一个周期。

2. 性质

(1)若为周期函数，

(2)若T是f(x)的周期，则kT(k∈Z且与定义域有关)都是f(x)的周期

(3)并非所有的函数都存在最小正周期，如常函数

例1. f(x)为奇函数，则在(7,8)上

f(x)=______

解：

当

时，只需将(-1,0)上右移8个单位得

例2. f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数，且f(x)=f(4-x)，当x∈[0,2]时，f(x)=-x2+1，则当x∈[-6,-4]时，f(x)=_____

解：f(-x)=f(4+x)=f(x)，∴T=4

当x∈[-2,0]时，f(x)=f(-x)=-x2+1，

则当x∈[-6,-4]时，左移4个单位得

例3. f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数，且

，则

f(5.5)=_____

解：

当

(完整)函数的奇偶性

函数的奇偶性【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2。会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3。掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用。【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数:若对于定义域内的任意一个x ，都有f(—x)=f （x ），那么f （x)称为偶函数。奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f （-x)=—f(x ）,那么f(x)称为奇函数。要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x 在定义域中,那么—x 在定义域中吗?--—-具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的; （3）f （—x)=f （x)的等价形式为:() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x ）=—f(x ）的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠，; （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义,则必有f （0)=0； (5）若f （x ）既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0。 2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. (2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3。用定义判断函数奇偶性的步骤 (1)求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数,也不是偶函数，若关于原点对称,则进行下一步; （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式; （3)求()f x -,可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性。若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数；若()f x -=()f x ,则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±,则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=—()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函

函数奇偶性的归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结教学过程：一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

函数的奇偶性

函数的奇偶性第一部分知识梳理 1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数； 2.函数奇偶性的判定方法 ①定义法： ⅰ)若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数； ⅱ)若函数的定义域关于原点对称，在判断()f x -是否等于()f x ±-，或判断()()f x f x ±-是否等于零，或判断()() f x f x -是否等于1±；判断函数奇偶性一般步骤：ⅰ)求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称 ⅱ）用x -代替x ，验证()()f x f x -=-，奇函数；若()()f x f x -=，偶函数；否则，非奇非偶。 ②图像法 ③性质法：偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍奇函数；奇数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇函数；一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数 3.奇偶函数图像的性质 ①()()()()0f x f x f x f x ?-=-?+-=奇函数?函数的图像关于中心原点对称； ?偶函数()()()-()0f x f x f x f x -=?-=?函数的图像关于y 轴对称 ②若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． ③()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ?=-= ④奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. 第二部分精讲点拨考点1 奇偶函数的概念与性质 1、下列说法错误的个数（） ①图像关于坐标原点对称的函数奇函数 ②图象关于y 轴对称的函数是偶函数 ③奇函数的图像一定过坐标原点 ④偶函数的图像一定与y 轴相交 .1A 个 .2B 个 .3C 个 .4D 个 [].1EX (1)已知函数()y f x =是偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则方程()0f x =的所有实根之和是（） A ．4 B.2 C.1 D.0 （2）已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-?上的奇函数，当0x >时，()f x 的图像如图，那么()f x 的值域是___________

函数奇偶性

函数的奇偶性 1、定义偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 2、函数奇偶性的性质 (1)若函数f(x)是偶函数，那么： ①对任意定义域的x,都有f(-x)=f(x)； ②函数f(x)的图象关于y 轴对称； ③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的。 (2)若函数f(x)是奇函数，那么： ①对任意定义域内的x ，都有f(-x)=-f(x)； ②函数f(x)的图象关于坐标原点对称； ③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相同的。 3、函数奇偶性的判定方法 (1)定义法 f(x)是奇函数0)()()()(=+-?-=-?x f x f x f x f f(x)是偶函数()()()()0f x f x f x f x ?-=?--= (2)利用图象的对称性 f(x)是奇函数)(x f ?的图象关于原点对称。 f(x)是偶函数)(x f ?的图象关于y 轴对称。一、选择题 1．****给出如下3个等式：)()()(y f x f y x f +=+，)()()(y f x f xy f +=， )()()(y f x f xy f =，则函数①=)(x f 2x ②=)(x f x 3 ③=)(x f 1 x ④ ()0f x = 都满足上述3个等式的是（） A =)(x f 2x B =)(x f x 3 C = )(x f 1x D ()0f x = 2．函数432--=x x y 的定义域为4]425 [],,0[，－－值域为m ，则实数m 的取值范围是（） A ]4,0[ B.]3,23[ C.]4,23[ D.),23 [+∞ 3.***若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)0f =，则使得()0f x <的x 取值范围是（）A 、(,2)-∞ B 、(2,)+∞ C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、(2,2)-4.函数f(x)=|x+2|+|x-1|的单调递增区间是（）

函数的奇偶性

函数的奇偶性一、定义 1、如果对于 A x ∈,都有，称()y f x =是偶函数。 2、如果对于 A x ∈,都有，称()y f x =是奇函数。二、函数的奇偶性的几个性质 1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于对称； 2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内一个x 都必须成立； 3、可逆性： )()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 4、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f 5、奇函数的图像关于对称，偶函数的图像关于对称； 6、奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇 7、一次函数为奇函数? ；二次函数为奇函数? 8、奇偶性与单调性奇函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b)上增减性相同；偶函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b)上增减性相反应用一：奇偶性的理解例1、下面四个结论中，正确命题的个数是（） ①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数当且仅当(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数一定是0)(=x f )(R x ∈ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例2、对于定义在R 上的函数，下列说法正确的有。（1）f （x ）为偶函数，则)2()2(f f =-。（2）（2）)2()2(f f =-，则f （x ）为偶函数。（3）),2()2(f f ≠-则f （x ）不为偶函数。（4）)2()2(f f =-，则f （x ）不为奇函数。（5）既是奇函数又是偶函数的函数一定是R x y ∈=,0。（6）()y f x =在]83,[+a a 上是奇函数，则2-=a 。例3、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 1、若函数为奇函数或偶函数，则其定义域关于原点对称。（）

函数的奇偶性-知识点及习题

函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ,都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就称偶函数; 一般地,如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就称奇函数；二、函数的奇偶性的几个性质１、对称性:奇（偶）函数的定义域关于原点对称； 2、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x 都必须成立； 3、可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数;)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 4、等价性:)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f (||)()f x f x ?=()() 1=-? x f x f ;)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ()()1-=-?x f x f ； 5、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称; 6、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 7、设，的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上: 奇±奇＝奇(函数）偶±偶=偶（函数）奇×奇=偶(函数）偶×偶=偶(函数)奇×偶=奇(函数）８、多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项（即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零． 9、复合函数[])(x g f y =的奇偶性若函数[])(),(),(x g f x g x f 的定义域都是关于原点对称的,那么由 )(),(u f y x g u ==的奇偶性得到)(x g f y =的奇偶性的规律是：即当且仅当)(x g u =和)(u f y =都是奇函数时,复合函数是奇函数. 三、函数的奇偶性的判断函数奇偶性的因素有两个:定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。

函数的奇偶性

1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【知识拓展】 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝ 1 f(x) ，则T＝2a(a>0)．

(3)若f (x ＋a )＝－1 f (x )，则T ＝2a (a >0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × ) (2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (3)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ ) 1．(教材改编)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2－x D ．f (x )＝2x ＋2－ x 答案 D 解析 D 中，f (－x )＝2－ x ＋2x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数． 2．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1 x ，则f (－1)等于( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A 解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B 解析 ∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (8)＝f (0)＝0. 4．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x ) 解析当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．

函数的奇偶性

函数的奇偶性一、知识梳理＆方法总结 1. 函数奇偶性的定义偶函数的定义如果对于函数()f x 定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数。奇函数的定义如果对于函数()f x 定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数。 2. 判断函数奇偶性的方法首先看定义域是否是对称区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数）然后找()f x 与()f x -之间的关系，若()()f x f x -=,那么()f x 就叫做偶函数，若()()f x f x -=-,那么()f x 就叫做奇函数注意： ① 函数的定义域是关于原点的对称区间是奇（偶）函数的必要条件 ② 意味着不存在＂某个区间上的＂的奇（偶）函数――不研究 ③ 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. 3. 奇偶函数的图像奇函数?图象关于原点对称偶函数?图象关于y 轴对称注意：根据图像的对称性也可以判断函数的奇偶性。 4. 函数四则运算的奇偶性（乘除的时候可以类比正负数）偶+偶=偶，偶+奇=非奇非偶奇+奇=奇，偶×偶=偶奇×奇=偶，偶×奇=奇

5. 复合函数的奇偶性内偶择偶，内奇同外 6. 奇函数如果定义域中有零必过原点，即(0)0f = 7. 奇偶性与单调性的关系 ① 奇函数在原点两侧单调性相同； ② 偶函数在原点两侧单调性相反。二、典型例题分类解析经典题型一——奇偶函数的定义及判定【例一】已知23f x ax bx a b =+++（）是偶函数，且其定义域为 12a a -［，］，则a =___________， b =___________. 【例二】判断下列函数的奇偶性： 1. x x x x f -+-=11) 1()( 2. 2211)(x x x f --= 3. 11f x x x =+--（） 4. ???>-<+=) 0()0()(22x x x x x x x f

函数的奇偶性

专题4 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性定义:对于函数f (x )的定义域内任意一个x ： (1)f (－x )＝f (x )?f (x )是偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )?f (x )是奇函数． 2．函数的奇偶性的性质 (1)对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称； (2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 必须成立； (3)可逆性：f (－x )＝f (x )?f (x )是偶函数；f (－x )＝－f (x )?f (x )是奇函数； (4)等价性：偶函数：f (－x )－f (x )＝0；奇函数：f (－x )＋f (x )＝0； (5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． 3．分类:奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数． 4．函数的奇偶性判断方法与步骤利用定义判断：(1)定义域是否关于原点对称，(2)数量关系f (－x )＝±f (x )哪一个成立． 1．函数f (x )＝x ＋2x ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数 2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 3．奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 4．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 5．若奇函数f (x )的定义域为[p ，q ]，则p ＋q ＝________. 6．奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，若f (x )在[0,2]上单调递减，且f (1＋m )＋f (m )<0，则实数m 的取值范围是________． 7．函数f (x )＝x |x ＋a |＋b 是奇函数则( ) A ．a ·b ＝0 B ．a ＋b ＝0 C ．a 2＋b 2＝0 D ．a ＝b 8．定义在[－2,2]上的奇函数f (x )，当x ∈(0,2]时，f (x )＝－12 x ＋1，则不等式f (x )－f (－x )≥2x 的解集为________．

函数的奇偶性

函数的奇偶性基础知识扫描： 1、如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )=f (x )，那么f(x)就叫做偶函数．偶函数的图象关于对称, 反过来，如果一个函数的图象关于对称，那么这个函数为偶函数 2、如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )= － f (x )，那么f (x )就叫做奇函数．奇函数的图象关于对称；反过来，如果一个函数的图象关于对称，那么这个函数为奇函数. 3、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性. 4、函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。知识点一利用定义判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的步骤：（1）首先判断定义域. （2）计算()x f -与()x f 的关系,有时判定 f (-x )=±f (x ) 比较困难, 可考虑判定 f (-x ) ± f (x )=0 或判定f (-x ) /f (x )=±1. （3）结论. 注意：(1)函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，只有f (x )＝0 (x ∈R 或x ∈(－a ，a )，a >0)既是奇函数又是偶函数． (2)从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称，其次f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )必有一成立．例1、判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数知识点二利用定义判断分段函数的奇偶性例2、判断函数???<≥-=) 0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 判断奇偶性的第二种方法：利用已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。例3、已知y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示，则函数F (x )＝f (x )·g (x )的图象可以是( )

函数的奇偶性

奇偶性首先要判断定义域，要定义域关于原点对称才有奇偶性。若不关于原点对称就非奇非偶。然后算出 f（-x）等于什么，若f（-x）=f（x）则为偶函数，若f（-x）=-f（x）则为奇函数。单调性要假设x1和x2，假设x1>x2，比较f(x1)和f（x2）的大小，可以求差，也可以求商（最难的就是这一步要看你平时的功力了）。f（x1）大就是增函数，f（x2）大就是减函数。这些书上都有吧，步骤别忘了。可以多练一些熟悉基本方法。不懂也可以问老师。看图像，用解析几何方法函数奇偶性 1．定义一般地，对于函数f(x) （1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=0，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2．奇偶函数图像的特征：定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图像关于y轴或轴对称图形。 f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y） f(x)为偶函数《＝＝》f(x)的图像关于Y轴对称点（x,y）→（-x,y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。自己总结归纳的两个方面 1，是看f(x)与f(-x)的关系 2，是看函数定义域的对称性具体分析：如果函数满足f(x)=f(-x),且定义域对称，则是偶函数

函数的奇偶性的经典总结归纳

函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对) 之一()0 =x f 为是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。（6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为偶函数；若()x g 为奇函数，()x f 为奇函数,则()x F 为奇函数;若()x g 为奇函数，()x f 为偶函数,则()x F 为偶函数.

题型二三次函数奇偶性的判断已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，证明：（1）当0==c a 时，)(x f 是偶函数（2）当0==d b 时，)(x f 是奇函数提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如c bx ax x f ++=2)(，当0=b ， )(x f 是偶函数；当0==c a ，)(x f 是奇函数。题型三 1函数2设(f 3 已知4已知提示：（2（3题型四1A ．y =x 2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A A ．x e x y += B ．x x y 1+ = C ．x x y 2 12+= D ．21x y += 3下列函数中，为偶函数的是（ C ） A ．1y x =+ B ．1y x = C ．4y x = D ．y x = 4函数1 ()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 C ．坐标原点对称 D ．直线x y =对称

函数奇偶性

函数奇偶性一、主要知识： 1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数 ()y f x =为偶函数； 2.奇偶函数的性质： ()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； () 2()f x 是偶函数?()f x 的图象关于y 轴对称； ()f x 是奇函数?()f x 的图象关于原点对称； ()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. 3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ?=-=． 4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．二、主要方法： 1. 判断函数的奇偶性的方法：定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；图象法；性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12 D D D =上：

奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇?奇=偶，奇±偶＝非奇非偶；（同不变，异为非。）奇×÷奇＝偶，偶?÷偶=偶，奇?÷偶=奇；（奇为负，偶为正。）复合函数奇偶性；（一偶则偶，同奇则奇。） ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数； 2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=， () 1() f x f x =±-．例1.下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R) B ．y ＝3x (x ∈R) C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R) D ．y ＝－1 x (x ∈R ，x ≠0) [答案] A [解析]首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，若x ＝0在定义域内，则应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，故选A. 例2.下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1| C ．f (x )＝1 2(a x ＋a －x ) D ．f (x )＝ln 2－x 2＋x [答案] D [解析]y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a － x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D. 例3.(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( ) A ．－1 B ．1

函数的奇偶性的经典总结归纳

函数的奇偶性的经典总结归纳 1.奇函数：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。奇函数具有以下性质： -奇函数关于坐标原点对称； -在自变量为0的点上，奇函数的函数值为0； -若函数在定义域内两点x1和x2关于坐标原点对称，则这两点的函数值也对称。常见的奇函数有：正弦函数sin(x)、正切函数tan(x)、多项式函数f(x) = x^3等。 2.偶函数：若函数f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。偶函数具有以下性质： -偶函数关于y轴对称； -在自变量为0的点上，偶函数的函数值为常数； -若函数在定义域内两点x1和x2关于y轴对称，则这两点的函数值也对称。常见的偶函数有：余弦函数cos(x)、正切函数sec(x)、多项式函数f(x) = x^2等。 3.奇偶性的判断： -对于多项式函数：奇次幂项的系数为0，则函数是偶函数，偶次幂项的系数为0，则函数是奇函数；

-对于周期函数：若函数的周期为T，则对于任意x，f(x+T)=f(x)。若f(x)是奇函数，则T必须为2nπ（n为整数）；若f(x)是偶函数，则T必须为nπ（n为整数）； -对于一般函数：可通过函数定义或函数的性质来判断奇偶性。 4.常见函数的奇偶性： -指数函数、对数函数：既不是奇函数也不是偶函数； -幂函数：偶次幂为偶函数，奇次幂为奇函数； -三角函数：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，正切函数为奇函数； -反三角函数：正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数； -双曲函数：正弦双曲函数为奇函数，余弦双曲函数为偶函数，正切双曲函数为奇函数。通过了解函数的奇偶性，可以方便地推导出函数的性质，进行函数的分析和计算。在求函数的积分、奇偶拆分和简化复杂表达式等问题中，奇偶性的运用会使得计算更加简便和直观。注意：当定义域存在上下对称时，函数的奇偶性不再成立，此时不能简单地根据函数表达式判断奇偶性。在这种情况下，应根据函数的性质和定义进行判断。总结起来，函数的奇偶性是函数在定义域内点的函数值关于坐标轴对称的性质。通过奇偶性的判断，可以方便地推导出函数的性质和进行函数的分析和计算。根据函数的定义和特点，可以准确判断函数的奇偶性，更好地理解和应用函数的性质。

函数的奇偶性

函数的奇偶性一、概念： 1、若)(x f y =对定义域内的任何一个x ，都有)()(x f x f =-，称)(x f y =是偶函数； 2、若)(x f y =对定义域内的任何一个x ，都有)()(x f x f -=-，称)(x f y =是奇函数； 3、若函数)(x f y =是定义域的偶函数(或奇函数)，称)(x f y =具有奇偶性。二、理解 1、必要条件：定义域关于原点成中心对称。 2、判定函数奇偶性的步骤一步：求定义域，并判定它是否关于原点对称；二步：判定)(),(x f x f -的关系三、函数的奇偶性与函数的图象的关系 1、若)(x f y =是偶函数⇔)(x f y =的图象关于y 轴成轴对称 2、若)(x f y =是奇函数⇔)(x f y =的图象关于原点成中心对称四、函数的奇偶性与单调性的关系 1、偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反；

2、奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性一致五、常用结论 1、若)(x f 是奇函数且0=x 在定义域内，则0)0(=f ； 2、若)(x f 是偶函数，则|)(|)(x f x f =； 3、已知)(x f 是整式函数，若奇次项系数为0，则)(x f 是偶函数；若偶次项(常数项为偶次项)系数为0，则)(x f 是奇函数； 4、奇±奇=奇、偶±偶=偶、奇·奇=偶、偶·偶=偶、奇·偶=奇六、题型归纳 1、判定奇偶性例1．判定下列函数的奇偶性 (1)11)(2+-=x x x f ；(2)2|2|1)(2---=x x x f (3)|)(|)(x g x f =(其中 1)(2+-=x x x g ) 2、关于奇偶性的应用 (1)求参数的值例2．已知函数 1)(2+-=ax x x f 是偶函数，则实数=a __ 例3．已知函数 x x x f +=3)(是定义域)1,(+a a 上的奇函数，则实数=a _____ (2)求函数值或解析式

函数奇偶性的归纳总结

函数奇偶性的归纳总结函数的奇偶性是指函数图像关于一些点或一些线对称的性质。具体来说，对于函数f(x)，如果对于所有的x，都有f(x)=f(-x)，则称该函数为偶函数；如果对于所有的x，都有f(x)=-f(-x)，则称该函数为奇函数；如果既不满足偶函数的性质，也不满足奇函数的性质，则称该函数为非奇非偶函数。奇偶性是函数的一个重要特征，它可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。下面将对函数奇偶性的归纳总结进行详细介绍。 1.偶函数的特点：对于任意的x，都有f(x)=f(-x)。即关于y轴对称。具体来说，偶函数的图像关于y轴对称，即将y轴作为对称轴进行对称，对称后的图像与原图像完全重合。偶函数可以表达为f(x)=f(-x)的形式，其中x和-x的取值范围相同。 2.奇函数的特点：对于任意的x，都有f(x)=-f(-x)。即关于原点对称。具体来说，奇函数的图像关于原点对称，即将原点作为对称点进行对称，对称后的图像与原图像完全重合。奇函数可以表达为f(x)=-f(-x)的形式，其中x和-x 的取值范围相同。 3.非奇非偶函数的特点：即既不满足偶函数的性质，也不满足奇函数的性质。对于非奇非偶函数，其图像既不关于y轴对称，也不关于原点对称。它可能存在对称轴，

但不是y轴；也可能存在对称点，但不是原点。非奇非偶函数的图像可以是任意形状，没有特定的对称性。 4.奇偶函数的性质：（1）偶函数与偶函数之和、差仍然是偶函数；（2）奇函数与奇函数之和、差仍然是奇函数；（3）偶函数与奇函数之积仍然是奇函数；（4）奇函数与偶函数之积仍然是偶函数。以上是根据函数的定义对奇偶性进行的总结，接下来将从数学的角度对函数的奇偶性进行归纳推理。首先，我们知道任意一个函数f(x)可以表示为其奇部分和偶部分的和或差。偶函数可以表示为f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)是偶函数，h(x)也是偶函数；奇函数可以表示为f(x)=g(x)-h(x)，其中g(x)是奇函数，h(x)也是奇函数。然后，假设有函数f(x)和函数g(x)都是奇函数，那么它们的和 f(x)+g(x)可以表示为(f+g)(x)，我们有： (f+g)(x)=f(x)+g(x)=(-f(-x))+(-g(-x))=-(f(-x)+g(-x))=-(f+g)(-x) 即(f+g)(x)也是奇函数。同理，偶函数相加或奇函数相加的结果仍然是偶函数或奇函数。

函数的奇偶性

函数的奇偶性在数学中，函数奇偶性是指函数在其自变量发生翻转（或反转）时，其因变量会发生什么样变化的概念。函数奇偶性与变量的坐标轴翻转有关，即函数f（x）的图像与原点的对称性。其中，当函数的曲线与原点的对称线完全重合时，该函数为奇函数；当函数的曲线在原点处分割，其值间隔为偶函数。奇函数的定义：如果存在定义域内的某个点x0，使得f（x0）=f （-x0），则函数f（x）为奇函数。当x0=0时，即f（0）=f（-0）时，函数f（x）为奇函数。奇函数满足以下特性：1）若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x）；2）若f（x）是奇函数，则f（αx）=-f（x），α是任何非零常数；3）若f（x）是奇函数，则f（x+2y）=-f（x-2y），y是任意常数。偶函数的定义：如果存在定义域内的某个点x0，使得f（x0）=f （-x0），则函数f（x）为偶函数，而在x0=0的情况下，f（0）=f（-0），该函数则为偶函数。偶函数必须满足以下条件：1）若f（x）是偶函数，则f（-x）=f（x）；2）若f（x）是偶函数，则f（αx）=f（x），α是任何非零常数；3）若f（x）是偶函数，则f（x+2y）=f（x-2y），y是任意常数。随着函数的奇偶性在函数论和数学中的被广泛应用，越来越多的人开始研究函数的奇偶性，以及它对函数的影响。例如，在圆锥曲面上，函数f（x，y）只有在f（x，y）和f（-x，-y）相等的情况下，才能保持函数的奇偶性，因此，函数f（x，y）是一个偶函数。

此外，函数的奇偶性还可用于数值分析、概率论、统计学和机器学习中，从而提出有关函数的新思想。在统计学中，函数的奇偶性可用于处理和预测模式；在机器学习中，函数的奇偶性可用于建立有效模型，从而减少训练时间。总之，函数的奇偶性是一个涉及函数的重要性质，是函数论和数学中的基本概念之一，可用于帮助理解函数的变化，从而有助于提高数学分析和解决数学问题的能力。