数学建模论文-2004年饮酒驾车

108

第九篇饮酒驾车者三思

2004年 C题饮酒驾车

据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为

10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验

检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血

液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，

车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／

百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：

1.对大李碰到的情况做出解释；

2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

⑴酒是在很短时间内喝的；

⑵酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高；

4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。参考数据

1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如表9-1。

表9-1 喝两瓶啤酒后的时间的血液中酒精含量（毫克／百毫升）

109

饮酒驾车者三思*

摘要：本文讨论了不同饮酒方式、饮酒数量情况下血液中酒精含量的变化规律。我们假设喝完酒后血液中的酒精含量达到峰值的时间相同，任意时刻血液中的酒精含量与饮酒量成正比，通过散点图作曲线拟合得到血液中酒精浓度与时间的函数关系：2/199.71)(t e t t x -=；根据酒精在人体内变化的弹性系数成线性下降的趋势建立了微分方程模型：

t

t x bt a dt t dx )

()()(-=。我们用a mathematic 软件，并利用表9-1中的数据，求出该微分方程的解：t e t t x 264028.0464667.01141.44)(-=，该解为血液中酒精浓度与时间的函数关系。利用上述两种函数关系对题目中提出的所有问题进行解答，结果如下：

问题1：大李碰到的情况是：第一次测量的酒精含量低于20毫克/百毫升，第二次测量的酒精含量超过20毫克/百毫升。

问题2：3瓶啤酒在短时间内喝完后，在0.038小时至9.7731小时内开车违反标准，3瓶酒在2小时内喝完，喝完酒后的14.49个小时内开车违反标准。.

问题3：血液中的酒精含量何时达到峰值与饮酒方式有关，与饮酒量无关。

问题4：一天喝一次酒，当55.00<≤N 时，不影响开车；当57.855.0<

对于一天喝n 次酒还能否开车的问题我们也进行了讨论。 本文对所建模型进行了评价，最后对饮酒驾车者提出了忠告。 关键词：饮酒驾车；微分方程模型；a mathematic

9.1 问题的重述

9.1.1 背景知识

据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。 9.1.2 参考数据

⑴人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

⑵体重约70kg 的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克

本文获2004年全国二等奖。队员：苏警，胡晓娟，高玉娜；指导教师：裴崇峻，吴礼斌。

110

／百毫升），得到数据如表9-1。 9.1.3 具体案例

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

请你参考前面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：

9.1.4 要解决的具体问题

1．问题一：对大李碰到的情况做出解释；

2．问题二：在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

⑴酒是在很短时间内喝的；

⑵酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3．问题三：怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高； 4．问题四：根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

5．问题五：根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

9.2 模型的假设

1．不同年龄段，不同性别，不同种族的人的酒精代谢功能大致相同； 2．喝的都是同一种酒，酒精含量相同；

3．血液中的酒精含量与在短时间内喝下的啤酒中的实际酒精含量成正比； 4．大李的体重大约为70kg ； 5．假设血液的密度为1g/ml ；

6．酒精在血液中的含量与在体液中的含量大体相同。

9.3 符号的说明

111

9.4 问题的分析

众所周知，司机酒后驾车的危险性非常大，我国道路交通事故中因饮酒驾车造成的占有相当比例，如何抑制？找出饮酒后酒精在血液中的变化规律至关重要。我们可以根据题目所给的参考数据做出散点图，找出血液中酒精含量与时间的函数关系；我们也可以由相应的医学、化学，以及数学知识，建立微分方程，找出血液中酒精含量与时间的函数关系。由这些函数关系分析解决如何控制饮酒、安全驾车的问题。

9.5 模型的建立与求解

9.5.1 模型的建立

从某人喝下2瓶啤酒后血液中的酒精含量表9-1中所给的数据可分析出，并不是喝下2瓶啤酒后血液中的酒精含量立即达到2瓶啤酒中实际的酒精含量。通过查阅医学资料可知，自饮酒后2-5分钟酒精开始入血液，随着身体对酒精的吸收，血液中酒精含量逐渐上升，在某一时刻达到了峰值，由于人体内时刻进行着代谢，所以在达到某一峰值之后血液中的酒精含量将会衰减并逐渐趋向于0。某体重70kg 的人喝下2瓶啤酒，通过查阅资料知1瓶啤酒的酒精含量为3.5%-4%，容量为640ml ，酒精的密度为0.8kg/L 。在喝下2瓶啤酒后血液中的实际酒精含量代入数据得203毫克/百毫升，所给数据的酒精含量都小于203毫克/百毫升，因此所给数据符合由于体内酒精代谢而导致酒精含量变化的规律，所以给出的血液中的酒精含量的数据可信性较高。

1．模型一：基于假设3，体重约70kg 的某人在短时间内喝下1瓶啤酒后，隔一定时间血液中的酒精含量如表9-2。

基于表

根据散点图猜测血液中酒精含量)(t x 与时间t 的关系为

2/)(t e t B t x -=

（9-1）

其中B 为常数。

为了确定模型（9-1）中的常数B ，对（9-1）式两边取对数，得：

112

t

t

B

t

x

2

1

ln

2

1

ln

)(

ln-

+

=

我们用表9-2中的数据通过a

mathematic计算出199

.

71

=

B，这样得到

2/

199

.

71

)(t e t

t x-

=（9-2）我们分别将不同的时刻带入模型（9-2），可以求得不同时间间隔内血液中的酒精含量，见表9-3。

从表9-3中看出拟合的数据并不理想，运用此模型也不能够合理解释问题1，所以此模型不够合理，我们将进一步改进。

2．模型二：受模型一的启发，并注意到模型一中的)(t x满足)

1(

2

)(

)(

t

t

t

x

dt

t

dx

-

=，而

t

t

x

dt

t

dx)(

/

)(

是表示血液中酒精含量关于时间的弹性，这一弹性并非像模型一给出的)

1(

2

1

t-。事实上，酒精在血液中含量的变化的规律是这样的：刚开始喝酒的时候时间变化1%，血液中酒精含量变化的百分数较大，但喝下酒后较长时间的时候血液中酒精含量变化的百分数较小。也就是酒精在人体内变化的弹性系数是线性下降的变化趋势，所以假设

bt

a

t

t x

t

x

-

=

'

)(

)(

从而可得模型

t

t

x

bt

a

dt

t

dx)(

)

(

)(

-

=（9-3）

其中a,b为大于0的常数。

（9-3）是一阶微分方程，其通解为：

bt

a e

Ct

t

x-

=

)(（9-4）

其中C为积分常数。

为了确定（9-4）式中的常数a,b,C，对等式两边取对数，得：bt

t

a

C

t

x-

+

=ln

ln

)

(

ln

利用表9-2中数据，用最小二乘法拟合出常数b

a

C,

,

ln；可决系数2R达到了0.9789，b

a,两参数的t统计量的值分别为：8.5056和-20.7408，是高度显著的。

得：C=44.1141,a=0.464667,b=0.264028

代入（9-4）得：

t

e

t

t

x264028

.0

464667

.0

1141

.

44

)(-

=（9-5）我们将拟合的图形与实际的散点图相比较如图9-2所示。

3．模型三

我们认为由模型二确定的常数a,b对于饮酒量来说是不变的，为了表示喝n瓶酒后血液中酒精变化的规律，我们让模型二中的积分常数C随着饮酒量的变化而变化，记为)

(n

A，又假设在短时间内喝下n瓶酒，这样得

113

????

?==-n x e t

n A t x n

t 15)25.0()()(264028.0464667.02 （9-6）

其中)(t x n 表示在短时间内喝下n 瓶酒时血液中的酒精含量。

（9-6）式是一个方程组，其中n x n 15)25.0(=表示在喝完n 瓶酒后0.25小时时血液的酒精含量，从而得)(n A 应满足方程

25.0264028.0464667.025.0)(15?-=e n A n

（9-7）

图图9-3 在

4．模型四

模型三中没有考虑酒是在一段时间内喝下的，这与实际情况不符，我们在模型三的基础上，建立在[0,T ]时间内连续喝下n 瓶酒后血液中的酒精变化规律模型，其中假设在[0,T ]时间内分M 次喝完

n 瓶啤酒，每次间隔的时间为M T /，每次喝下后进入到血液中的酒精含量为M n M T x /)/(，第k 次

喝下酒后血液中的酒精含量满足下列方程：

),,3,2,1()/()1,,/2(),,/(),,(),,(264028.0464667.0M k M n M T x k T M T x k T M T x e t k T n A k T t x n n t n =??

?

?

?+-==- （9-8）

其中),,(k T t x n 表示在T 时间内第k 次喝下酒后到 t 时刻血液中的酒精含量。 根据题目中的具体情况，假设T =2小时，M =8，15)/(=M T x ，代入（9-8）得：

),,3,2,1(845)1,2,5.0(),2,25.0(),2,(),2,(264028.0464667.0M k k x k x e t k n A k t x n n t n =??

?

?

?+-==-

（9-9）

在2小时内喝完酒后t 时刻血液中的酒精含量走势图见图9-3。 9.5.2 模型的求解

1．问题1的求解

由模型二的解（9-5）式，我们求出喝一瓶啤酒后血液中酒精含量的拟合值见表9-4。

从表9-4中可得出：大李在中午12点喝了一瓶啤酒，到下午6点时血液中的酒精含量为19.91毫克/百毫升，血液中的酒精含量小于20毫克/百毫升，所以在检查时符合新的驾车标准。

114

当在6点钟又喝一瓶啤酒，此时血液里不仅含有第2瓶啤酒的酒精，同时第1瓶的酒精仍然存在，并且同时进行着酒精代谢。这时大李从喝第2瓶酒后的t 时刻，血液中的酒精含量)(2t x 应满足：

????

?+==-15)25.6()25.0()(2

264028.0464667.02x x e At

t x t 其中由（9-5）式算出847.19)25.6(=x ，从而解出常数3625.66=A 。因此大李从喝第2瓶酒后的t 时刻，血液中的酒精含量

t e t t x 264028.0066007.0464667.023625.66)(-=

（9-10）

大李在凌晨2点接受检查时，从喝第2瓶酒后已经过了8小时，将t=8带入（9-10）式，得

5371.22)8(2=x

结果表明：此时血液中的酒精含量为22.5371毫克/百毫升，超过了20毫克/百毫升，所以检查出他是饮酒驾车。

2．问题2的求解

当3瓶啤酒是在较短的时间内喝下时，此时n =3，代入（9-7）式，得：25.0264028.0464667.025.0)3(45?-=e A 。解得6978.85)3(=A ，所以在短时间内喝完3瓶酒后血液中的酒精

含量)(3t x 为：464667.0264028.0066007.036978.85)(t e t x t -=

当20)(3=t x ，即206978.85464667.0264028.0066007.0=-t e t 时，解得：7731.9,0387.021==t t （小时） 结果表明：如果在短时间内喝下3瓶啤酒，那么在酒后0.0387小时至9.7731小时血液中的酒精含量超过了20%，即在这一段时间内驾车就会违反标准。

讨论3瓶啤酒是在较长的时间内喝下的情况：

如果在较短的时间内喝下3瓶啤酒就不需考虑喝酒的过程中酒精在体内的代谢，但此问题要求在较长的时间内喝下3瓶啤酒，所以在喝酒的过程中就需考虑酒精在体内的代谢。解决此问题时。我们将2小时以0.25小时为单位分成8个时间段，假设每次喝酒的量为8/3瓶，每隔0.25小时喝一次，喝8次。

由（9-9）式求解得：当 k =8时，即在2小时内喝完酒后t 时刻血液中的酒精含量为

464667.0264028.0066007.0301.248)8,2,(t e t x t -=

计算结果表明：当4911.14≤t 时血液中的酒精含量超过了20%，也即说明，在2小时内喝完3瓶酒后在14.4911小时内血液中的酒精含量超过了20%，即在这一段时间内驾车就会违反标准。

注：此模型只给出了大概的时间范围，如果给出一个比0.25更小的单位来划分不同时刻，那么得出的时间范围会更为精确。

⑶问题3的求解：

血液中的酒精含量何时达到峰值与饮酒方式有关，与饮酒量无关，因此不同的饮酒方式使得血液中的酒精含量达到峰值的时间不同。

针对本问题我们只考虑喝一次酒后血液中的酒精含量达到峰值的时间。此时，问题可转化为求)(t x 的最大值，根据模型一，)(t x 的导数为：

t

t x bt a dt t dx )

()

()(-=。 令

0)

()()(=-=t t x bt a dt t dx ，得)(t x 的唯一驻点b

a t =0，又0)()(000<-=''t t x

b t x ，所以由求极值的

115

理论知，当b a

t t =

=0时)(t x 达到最大值。因此，在喝酒后血液中的酒精含量达到最大值的时刻为b

a 。 将数据带入a =0.464667,

b =0.264028，求得769.10=t （小时）即为血液中酒精含量达到最高的时刻。

计算结果表明：喝完酒后血液中的酒精含量基本上都在769.10=t 小时达到峰值，这与文献[1]中给出了大多数饮酒者在饮完酒后30—120分钟血液中的酒精浓度达到峰值结论是相符的。

⑷问题4的求解

问题4要求我们用以上建立的模型论证：天天喝酒，是否还能开车。并未作出具体要求，但此问题的解决需要考虑到一天喝酒的次数和每次饮酒量。对此我们做以下详细分析。

首先我们假设一天只喝一次酒并且在短时间内喝完，设喝下的量为N 瓶。

第一种情况：喝完酒后，一天中的每个时刻都能开车。也就是使)(t Nx 的峰值小于20。此时根据问题3所估算出的)(t x 达到峰值时的时刻0t ，将0t t =代入方程20)(≤t Nx 中，求得N 的最大值为0.55瓶（352毫升），即当55.00<≤N 时，一天中的每个时刻都能开车。

第二种情况：喝完酒后，一天中的各个时刻都不能开车。即在喝完酒后的24个小时内20)(≥t Nx ，将24=t 代入方程20)(≥t Nx ，求得N 的最小值8.57瓶（5484.8毫升）。即当57.8≥N （5484.8毫升）时，一天中的每个时刻都不能开车。

第三种情况：一天之内，有一段时间可以开车。此时57.855.0<

其次假设一天喝二次酒，每次的量相同为N ，且每次间隔时间也相同，为122/24=小时。此时也可分为三种情况。

第一种情况：喝完酒后，一天中的各个时刻都能开车。由假设可看出，每天血液中的酒精含量的峰值一定出现在第二次饮酒后，其时刻仍为上述的0t ，此时将0t t =代入方程20)()12(=++t Nx t Nx ，

求出5003.0=N 瓶（320.192毫升）。即一天饮两次，且每次的量5003.00<≤N 时，一天之内，各个时刻都能开车。

第二种情况：喝完酒后，一天中的各个时刻都不能开车。根据假设，可以看出每天血液中的酒精含量最低值应在第12个小时。即第二次喝酒之前。些时将12=t 代入方程20)(=t Nx ，求出4.3=N （2176毫升）。即当4.3≥N （2176毫升）时，一天之内每时刻都不能开车。

第三种情况：一天之内，有一段时间可以开车，此时4.35.0<

我们再讨论一天之内喝n 次酒、每次饮酒量相同为N 的情况，且每次饮酒间隔时间相同为n /24，此时也可分为三种情况。

第一种情况：喝完酒后，一天中的每个时刻都能开车。此时将上述的0t 代入方程： 20)())2(24())1(24(=++-++-+

t Nx n n t Nx n n t Nx (其中

n

n )

1(24-为最后一次饮酒时刻)。于是可从方程中解中1N N =。即当10N N <≤时，一天之内，每时刻都能开车。

第二种情况：喝完酒后，一天中的各个时刻都不能开车。可以看出每天酒精在血液中含量的最低值应在第二次饮酒之前的瞬时时刻，即n /24，此时将n t /24=代入方程20)(=t Nx 可求出2N N =。即当2N N ≥时，一天之内，每一时刻都不能开车。

116

第三种情况：一天之内，有一段时间可以开车。此时21N N N ≤≤。当N 增加时，可以开车的时间逐渐减少。但此问题中的第三种情况并未考虑天与天之间酒精残留量的积累。若考虑，则随着残留量的积累，终有一天各个时刻都将不能开车。

9.6 模型的评价

1．采用散点图方法拟合的模型一，简单、直观，易于接受和掌握；

2．根据酒精在人体内变化的弹性系数成线性下降的趋势建立的微分方程模型二，有较充分的理论依据，其结果精确度高；

3．此模型虽不能给出酒后血液中酒精含量的真值，但在不可能取得真值的情况下，给出了一个近似值，对于判断是否酒后驾驶具有一定意义。

4．模型一由数据拟合而来，所以结果存在一定误差。

5．模型二要求使用者有较强的数学知识，对于专科学生来说，要想很好掌握此模型需用一定的时间。

9.7 短文——对酒后驾车说不

酒的文化在中国源远流长，得意时喝酒洒脱，忧郁时喝酒解闷，日常时喝酒自在，然而对我们广大的司机朋友来说是：“生命诚可贵，酒后驾车不可取！”

根据2004年8月29日《泰州日报》[4]报道：“当驾驶人员血液中酒精含量达64毫克／百毫升水平时，发生交通事故的机会较零点水平高3.5倍；达80毫克／百毫升时，发生交通事故的机会较零点水平高7倍；达120毫克／百毫升时，发生交通事故的机会较零点水平高26倍。”国家质量监督检验检疫局在2004年5月31日发的<<车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验>>国家标准中规定车辆驾驶人员血液中的酒精含量应小于20毫克／百毫升。而即使是只喝一瓶啤酒，在酒后1小时血液中的酒精也达到40毫克／百毫升，违反了规定，但酒精消失的过程却是很缓慢的，因此酒后不能驾车。

当然又想喝酒又能开车的可能性还是有的，关键要看你每天喝几次，每次喝多少，我们建立的数学模型告诉司机朋友当酒精进入人体1个多小时后，血液内的酒精含量达到一个峰值，然后是缓慢的代谢。因此建议你分多次饮酒，每次啤酒饮用量不宜超过350毫升，一天不超过700毫升；若你喝白酒，每次饮用量不宜超过35毫升，一天不超过70毫升。

不过，我们还是提醒司机朋友：当你拿起酒杯准备觥筹交错、开怀畅饮时，当你酒足饭饱后打开车门预备启动时，但愿家人的期盼能让你感受到自己的责任，但愿已经发生的悲剧能让你放下手中的酒杯。为了您和他人的安全，为了您对家人的责任，让我们对酒后驾车说不！

参考文献

[1] 卓先义,吴建平等,血中酒精消除速度与浓度推算关系的研究[J],中国司法鉴定,2003年第2期：23-26. [2] 胡守信，李柏年，MATLAB 的数学实验[M]，北京：科学出版社，2004.6.

[3] 赖江华，胡炳蔚，酒精在人体内的代谢动力学研究[J]，中国法医学杂志，1996，11（1）：1-5. [4] 吴小新，酒后驾车危害多[J]，https://www.360docs.net/doc/802355354.html, ，访问时间(2004年9月19日)。

论文特色

◆标题定位：“饮酒驾车者三思”将“饮酒驾车”

问题结合生活和定量分析结果给出饮酒驾车

117

者忠告，隐含问题与研究，准确、贴切且具有警示含义。

◆方法鉴赏：用微分方程建模适合血液中酒精浓度变化的描述，模型的建立条理性很强，为解决各个问题起到了砥柱作用。该问题的解决具有重要的应用价值。

◆写作评析：问题的重述将原始杂乱无章的问题梳理分成背景知识、参考数据、具体案例和要解决的具体问题四个方面，将问题清晰地呈现出，有助于建模分析。论文摘要写作全面,按总分总顺序编排，逻辑性强、全面；关键词：饮酒驾车、微分方程模型、Mathmatican 三个，分别扣问题、方法和软件，简洁得当。模型的假设，按不同人酒精代谢功、喝酒精含量相同酒、血液中酒精含量变化、饮酒者的体重、血液密度和酒精在血液中的含量与在体液中的含量等六方面进行假设，全面合理，目标性强，且具有真实性。问题的分析，从要解决的问题出发，运用饮酒后酒精在血液中的变化规律散点图进行拟合，指出使用医学、化学，以及数学知识，建立微分方程，找出血液中酒精含量与时间的函数关系。由这些函数关系分析解决如何控制饮酒、安全驾车的问题。针对不同的问题分别建模，且针对不同的问题分别求解，思路清晰，条理性好。

◆其它解读：模型评价有五条，从内容可以看出：前三条是优点，后两条为不足，客观。论文中结果列表表示，图表使用较好，图文并茂。短文——“对酒后驾车说不”，能够将建模结果告之广大驾驶员，饮酒驾车两者不可兼顾。

不足之处

摘要中使用了公式，不利于网络检索，建模方法只有微分方程，相对单一，每个模型没有给出具体的名称，缺少具体的算法流程图，误差分析及灵敏度分析有所欠缺，同时也没有模型的推广等。