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一、简答题
1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： ων ==h E
k n
h
p ==?λ
其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒
子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。
2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？
答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。
3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。
答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。
4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211??ψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1?和2?为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。试说明式子2211??ψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。
答：2211??ψc c +=的含义是：当粒子处于1?和2?的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1?态，
又处于2?态。或者说，当1?和2?是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1?、2?中。
在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为2
1c 和2
2c 。 5 什么是定态？定态有什么性质？
答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。
6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。 两者的关系是由全同性原理出发，推论出全同粒子体系的波函数有确定的交换对称性，将这一性质应用到费米子组成的全同粒子体系，必然推出费米不相容原理。 7 试简述波函数ψ的标准条件。
答：波函数在变量变化的全部区域应满足三个条件：有限性、连续性和单值性。 8 为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？ 答：因为所有力学量的数值都是实数。而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，
所以表示力学量的算符的本征值必须是实数。厄米算符的本征值必定是实数。所以表示力学量的算符必须是厄米算符。
9 请写出微扰理论适用条件的表达式。
答：1)
0()0('<<-m
n mn E E H ， ())
0()0(m n E E ≠ 10 试简述微扰论的基本思想。
答：复杂的体系的哈密顿量 分成 与 两部分。 是可求出精确解的，而 可看成对 的微扰。只需将
精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。
11 简述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点，这种粒子所遵循的统计规律是什么？
答：由电子、质子、中子这些自旋为
2 的粒子以及自旋为2
的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi) －狄拉克 (Dirac) 统计，称为费米子。
12 通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？一般情况下，这种态所属的能级有什么特点？ 答：束缚态，能级是分立的。
13 简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明（要求写出本征函数系）。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？
答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。例如，0]?,?[2=z L L ，
这两个算符有共同的完备本征函数系{}),(?θm Y 。
14 若两个力学量的算符不对易，对这两个力学量同时进行测量时，一般地它们是否可以同时具有确定值？它们的均方偏差之间有什么样的关系？
答：不可能同时具有确定值。它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。 15 请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 答：1'
±=-=?l l l 1,0'
±=-=?m m m
16 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
① 2
2
2
4dx d x ； ②
[]2
； ③
∑
=n
K 1
解：①2
2
2
4dx d x 是线性算符
2
22
22122212222
2112222211222
44 )(4)(4)(4 u dx
d
x c u dx d x c u c dx
d x u c dx d x u c u c dx d x ?+?=+=+ ②[]2 不是线性算符
2
222112
2
222121212122211]
[][ 2][ u c u c u c u u c c u c u c u c +≠++=+
③∑=n
K 1
是线性算符
∑∑∑∑∑=====+=+=+N
K N K N K N K n
K u c u c u c u c u c u
c 1
221
111
221
111
221
1
17 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
224 dx
d dx d i dx d ，， 不是厄米算符，，当解：dx
d
dx
dx d
dx dx d
dx dx d dx dx d x dx
dx d dx dx
d *)( *)( * * 0
0 * * * -∴≠-=-=∴→→±∞→-=??????∞∞-∞∞-∞∞-∞
∞-∞∞-∞
∞∞
∞-φψφψφψφψφψφψφψφψ
是厄米算符dx
d
i dx dx
d
i dx dx d i dx
dx d i i dx dx
d i ∴=-=-=????∞∞-∞∞-∞∞-∞
∞∞
∞- *)( *)(
* * * -φψφψφψφψφψ 18 下列函数哪些是算符22
dx
d 的本征函数，其本征值是什么？
①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +
解：①2)(2
22=x dx
d
∴ 2
x 不是22
dx
d 的本征函数。
② x x
e e dx
d =22
∴ x
e 不是22
dx
d 的本征函数，其对应的本征值为1。
③x x dx
d
x dx d sin )(cos )(sin 22-==
∴ 可见，x sin 是22
dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
④)cos 3(cos 3)sin 3()cos 3(22x x x dx
d
x dx d --=-= ∴ x cos 3 是22
dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤)
cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x
x x x dx
d x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22
dx
d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
是厄米算符
22
22
2222
-224 *)4( *4 * 4*
4 *4 *4 *4 4* dx
d dx dx d
dx dx d dx
dx d dx
d dx dx d dx d dx dx
d dx d dx d dx dx d ∴=-=+=-=-=??
????∞∞-∞
∞-∞∞-∞
∞-∞∞-∞
∞∞
∞-φψφψφψφψφψφψφψφψ
19 问下列算符是否是厄米算符：
①x p x
?? ②)????(2
1
x p p x x x + 解：①??=τψψτψψd p x d p x
x x )?(?)??(2*12*1 ??==τψψτψψd x p d p x
x x 2121*)??(?*)?（
因为 x x p x p
???χ≠ ∴ x p x
?? 不是厄米算符。 ②???+=+τψψτψψτψψd x p d p x d x p p x x x x x 2*12*12*1)??(21)??(21)]????(21[ ??+=τψψτψψd p x d x p x x 2*12*1)??(21
)??(21 ?+=τψψd x p p x x x 2*1]))????(21[ ?+=τψψd p x x p x x 2*1])????(2
1
[ ∴ )????(2
1x p p x x x +是厄米算符。 20 全同粒子体系的波函数应满足什么条件？ 答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。
二、证明题
1 已知粒子在中心力场中运动，试证明x
L ?（角动量在x 方向的分量）是守恒量。 证：因为粒子在势函数为)(r U 的中心力场中运动时，哈密顿算答是
)(2
222)(22?)(22??r r U r
L r r r r U p H ++????-=+=μμμ 因为x L ?与θ、?有关而与r 无关，且0]?,?[2=L L x
所以，0]?,?[=H L x
2 试证：对于一维运动，设有两个波函数1ψ及2ψ是对应于同一级量E 的解，则
=-'12'
21ψψψψ常数。其中，“’”是对x 的微商。
证：因为)()()(2
2
2]2[x x x E U dx d m ψψ=+-
，所以 21
'
'1/)(2 U E m --=ψψ 22
''2
/)(2 U E m --=ψψ 1
'
'11''1ψψψψ=
凑全微分得：0)('
'12'21=-ψψψψ 积分得： =-'
12'
21ψψψψ常数
3 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。
证明：设1ψ和2ψ是对应于同一能级E 的不同本征态，则=-'
12'
21ψψψψ常数。
在特例下，令=-'
12'
21ψψψψ0，即
2
'
2
1
'1ψψψψ=
??+=C dx dx 2'
2
1'1ψψψψ 由此得：2'
1ψψC = 所以1ψ和2ψ描述同一个态。
4 试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。 证明：考虑一维情况
为厄密算符, 为厄密算符, 为实数
为厄密算符 为厄密算符
5 已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 ,取 试证明: 也是 和 共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
证
。
是 的对应本征值为 的本征函数
是 的对应本征值为 的本征函数
6 .证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
)]()()()([2 ]
)()()()([2 )
(2 )( )
()()(******r r r r m
i e r e r e r e r m
i m i J e
r t f r t r Et i Et i Et i Et i Et i
ψψψψψψψψψψ?-?=?-?=ψ?ψ-ψ?ψ===ψ-----）（）（，
可见t J 与
无关。
7 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d ψψψμ=+- ① 将式中的)(x x -以代换，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d -=--+--ψψψμ ② 利用)()(x U x U =-，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d -=-+--
ψψψμ ③
比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -?而得其对方，由①经x x -→反演，可得③，
)()( x c x ψψ=-? ④ 由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 )()( x c x -=?ψψ ⑤ ④乘 ⑤，得
)x ()x (c )x ()x ( 2-=-ψψψψ 可见，12=c 1±=c
当1+=c 时，)x ()x ( ψψ=-，)(x ψ?具有偶宇称， 当1-=c 时，)()( x x ψψ-=-，)(x ψ?具有奇宇称，
当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 8 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0==θe er J J 2
sin m n e r m e J ψθ
μ?=
证：电子的电流密度为
)(2*
*m n m n m n m n e i e J e J ψψψψμ
?-?-=-= ?在球极坐标中为
?θθ?θ??
+??+??=?sin 11r e e r r e r 式中?θe e e r
、、为单位矢量
])sin 11( )sin 11([2*
*m n r m n m
n r m n e r e e r r e r e e r r e i e J e J ψ?
θθψψ?
θθψμ?
θ?θ??+??+??-??+??+??-=-=
)]sin 1sin 1()1 1()([2*
****
*m n m
n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n r r r e r r e r r e ie ψ?
ψθψ?ψθψθψψθ
ψψψψψμ?θ??-??+??-??+??-??-
=
m n ψ中的r 和θ部分是实数。
∴ ?ψψθμe im im r ie J m n m n e
)(sin 222---
= ?ψθ
μe r m e m n
2sin -=
可见，0==θe er J J 2
sin m n e r m e J ψθ
μ?-
=
9 如果算符βα
??、满足关系式1????=-αββα，求证 ①βαββα?2????22=- ②233?3????βαββα
=- 证： ① αβαβαββα
??)??1(????2222-+=- αββαββ
??????22-+= αββαββ
??)??1(??22-++= β
?2= ②αββαββαββα
???)???2(????3233-+=- αββαββ
??????2322-+= αβαβββ
??)??1(??2322-++= 2?3β= 10 证明：i z y x =σσσ
??? 证：由对易关系z x y y x i σσσσσ
?2????=- 及对易关系0????=+x y y x σσσσ ， 得 z y x i σσσ
???= 上式两边乘z σ
?，得
2????z z y x i σσσσ= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ
??? 11 证明)
3()2()1(,,S S S χχχ和A χ组成的正交归一系。 证：)]()([)]()([22/112/122/112/1)
1()1(z z z z S S
S S S S χχχχχχ++= )()()()(22/112/112/122/1z z z z S S S S χχχχ++= )()(22/122/1z z S S χχ+= = 1
)]()([)]()([22/112/122/112/1)
2()1(z z z z S S S S S S --++=χχχχχχ
)()()()(22/112/112/122/1z z z z S S S S --++=χχχχ= 0
)]
()()()([)]()([2
1
22/112/122/112/122/112/1)3()1(z z z z z z S S S S S S S S χχχχχχχχ--+++??
=
)]
()()()( )()()()([2
1
22/112/112/122/122/112/112/122/1z z z z z z z z S S S S S S S S χχχχχχχχ-++-++++
=
]0)()([2
1
22/122/1+=
-+z z S S χχ= 0 同理可证其它的正交归一关系。
)]
()()()([)]()()()([2
1
22/112/122/112/122/112/122/112/1)3()3(z z z z z z z z S S S S S S S S S S χχχχχχχχχχ--+--++??
+= )]()([)]()([21
22/112/122/112/1z z z z S S S S -+-=χχχχ )]()([)]()([21
12/122/122/112/1z z z z S S S S -+-+χχχχ )]()([)]()([21
12/112/112/122/1z z z z S S S S -+-+χχχχ )]()([)]()([21
12/122/112/122/1z z z z S S S S -+-+χχχχ
12
10021=+++= 12 对于无限深势阱中运动的粒子（如图所示）证明
2
a
x = ）（）（22226112πn a x x -=- 并证明当∞→n 时上述结果与经典结论一致。
[解]写出归一化波函数：
()a
x n a x n πsin 2=
ψ （1） 先计算坐标平均值：
xdx a
x
n a xdx a x n a xdx x a a
a
）（??
?-==ψ=020
2
2cos 11sin 2ππ
利用公式：
2
sin cos sin p
px p px x pxdx x +-
=? （2） 得
2
cos sin cos p px
p px x pxdx x +-
=? （3） 22cos 22sin 2210
2
2
a
a x n n a a x n x n a x a x a
=?
?? ??-??? ??-=
ππππ 计算均方根值用()
x x x x x ，）（2
22
-=-以知，可计算2
x
dx a
x n x a dx a x n x a dx x x a a
）（???-==ψ=022222
02
2cos 11sin 2ππ
利用公式
px p
px x p px x p pxdx x sin 1
cos 2sin 1cos 3222
-+=
? （5） a
a x
n x n a a x n n a x n a x a x 0
2
2
222
2cos
222sin 22311πππππ???? ??-??????????? ??--= 222
223π
n a a -=
()
2
22222
22
223??
?
??--=-=-a n a a x
x x x π）（ 222
2212π
n a a -=
（6） 在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a ）围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度a
1=
ω。
2
10
a xdx a xdx x a
a ===?
?ω 3
12
20
2a dx x a x a
==?
()
2
22222
2
2
223??
?
??--=-=-a n a a x
x x x π）（ 故当∞→n 时二者相一致。
13 设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[
]
.2)(,2
hipf q f p q =
（证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q
[]qf p f qp fq p f qp
f p q 2222
2
,-=-=
f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-=
（2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +=
（证明）同前一论题
)(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-=
（3）ihfp p q f q 2])(,[2
=
[证明]同前一题论据：
fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2
hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)(
hifp hifp p pq qp f 2)(=+-=
（4）i
f p i
h q f p p 22
)](,[=
[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式
i
f i
h q f p =
)](,[ dq df f i ≡)( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-=
i
f p i
h f p p 22],[=
= （5）p pf i
h p q pf p i
=
])(,[ （证明）论据同（4）：
p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-=
p pf i
h i
=
（6）2
2
])(,[p f i
h p q f p i =
（证明）论据同（4）：
2
2222)(],[p f i
h p fp pf fp pfp fp p i =
-=-= 14 设算符A ，B 与它们的对易式[A ，B]都对易。证明
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
重复运算n-1次以后，得
15 证明 是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。 另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式： 前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
16 定义A B B A B A ????]?,?[+≡+
（反对易式）证明： B C A B A C A C B C B A C B A ?]?,?[]?,?[??]?,?[]?,?[?]??,?[+
+++-+-= +
++=]?,?][?,?[2
1]?,?[]?,?[21]??,??[B A b a B A b a B b A a
其中a
?，b ?与A ?，B ?对易。 （证明）第一式等号右方B A C B C A A B C B A C A B C A C B B C A C B A
????????????????????????--++--+= ]??,?[??????C B A A C B C B A
=-= ＝第一式等号左方 第二式等号右方)????)(????(2
1)????)(????(21A B B A a b b a A B B A a b b a +-+-+=
)????????????????????????????????(2
1A B a b B A a b A B b a B A b a A B a b B A a b A B b a B A b a
--++-+-=
A B a b B A b a
????????-= 因a
?，b ?与A ?，B ?对易，b A A b ????=，a B B a ????= 前式]??,??[????????B b A a A a B b B b A a
=-= 17 证明力学量A
?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2
2
2
H H A A dt
d -= （H ?是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A
? 不显含t ，有
]?
,?[1H A i dt A d
= （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量
]?
,?[1H A i
的平均值，则有：
]?
],?,?[[1]?],?,?[1[1222H H A H H A i i dt A d
-== （２） 此式遍乘2 即得待证式。
18 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。
证明：设1ψ和2ψ是对应于同一能级E 的不同本征态，则=-'12'
21ψψψψ常数。在特例下，令=-'12'
2
1ψψψψ0，即 2
'
2
1'1ψψψψ=
??+=C dx dx 2'
2
1'1ψψψψ
由此得：2'
1ψψC =
所以1ψ和2ψ描述同一个态。
19 证明泡利矩阵满足关系i z y x =σσσ。
【证】.
20 试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。
证明：考虑一维情况
为厄密算符, 为厄密算符, 为实数
为厄密算符 为厄密算符
21 已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 ,取
试证明: 也是 和 共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
证
。
是 的对应本征值为 的本征函数
是 的对应本征值为 的本征函数 22
22 证明：描写全同粒子体系的波函数的对称性不随时间改变 证明：设t 时刻波函数是对称的，用S Φ表示，
因为H ?是对称的，所以S
H Φ?在t 时刻也是对称的， 由
S
S
H t
i Φ=?Φ??
知，
t
S
?Φ?在t 时刻也是对称的，故在下一时刻的态函数： dt t
S
S ?Φ?+
Φ也是对称的
以此类推，波函数在以后任意时刻都是对称的。
同理可证，若某一时刻波函数反对称，则以后任一时刻的波函数都是反对称的。
三、 计算题
1 由下列定态波函数计算几率流密度：
ikr ikr e r
e r -==1
)2( 1)1(21ψψ
从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21
在球坐标中 ?
θθ?θ??
+??+??=?sin r 1e r 1e r r 0
r mr
k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r
r e r e r r e r m i m
i J ikr ikr ikr ikr
3
020
220
1*
1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )
(2 )1(==+----=??-??=?-?=--ψψψψ r J 1
与同向。表示向外传播的球面波。
r
mr
k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )
(m
2i J )2(3020
220
ik r ik r ik r ik r *
2*222
-=-=---+-=??-??=?-?=--ψψψψ
可见，r J
与2反向。表示向(即向原点) 传播的球面波。
2 一粒子在一维势场
??
?
??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，
，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d m ψψψ=+-
在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2 01112
2
2x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 2222
2x E x dx d m a x ψψ=-
≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332
2
2x E x x U x dx
d m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须
0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
0)(2)(22222=+x mE
dx x d ψψ
令2
22 mE
k =
，得 0)()
(222
22=+x k dx
x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤
)()(32a a ψψ=⑥
⑤ 0=?B ⑥ 0sin =?ka A
)
,3 ,2 ,1( 0
sin 0 ==?=∴≠n n ka ka A π
∴x a
n A x π
ψsin )(2= 由归一化条件 1)(2
=?
dx x ψ
得 1sin 0
2
2
=?
a
xdx a
n A
π
由 mn a
b a
xdx a n x a m δππ?=*2
sin sin
x a
n a x a
A πψsin 2)(2
2=
∴=
?
222
mE k =
),3,2,1( 222
2
2 ==
?n n ma E n π可见E 是量子化的。
对应于n E 的归一化的定态波函数为
??
?
??><≤≤=-a x a x a x xe a
n a t x t
E i
n n , ,0 0 ,sin 2),( πψ 3 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：2
22
1
22)(x
xe x ααπ
α
ψ-?=
2
22
223
222
112 24)()(x
x
e x e x x x α
α
π
απ
α
αψω--?=
??
==
22]22[2 )(323
1x e x x dx x d ααπ
αω--=
令
0 )
(1=dx
x d ω，得 ±∞=±==x x x 1
0α
由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，
0)(1=x ω。显然不是最大几率的位置。 222
2)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223
322223212x
x e x x e
x x x x dx x d ααααπ
α
αααπ
αω----=---=而 0142 )(32
12
12<-=±
=e dx x d x παω 可见μω
α
±
=±
=1
x 是所求几率最大的位置。
4 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ
α
ψ2
2
22)(--
=
，求：
(1)势能的平均值222
1
x U μω=
； (2)动能的平均值μ22
p T =；
(3)动量的几率分布函数。 解：(1) ?
∞
∞
--==
dx e x x U x 2
2
22222121α
π
αμωμω
μωμωαμωα
παπαμω ?==?=
2
2
222241212121221 ω 4
1
=
(2) ?∞∞-==dx x p x p T )(?)(2122
*2ψψμ
μ
曾量子力学题库(网用).
曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
量子力学试题
量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n ma E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1） 首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???????????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12 =c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-=
能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为 ()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。 解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20= += α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 ' 2 32ψψψψ== 得到
量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义： t时刻粒子出现在r处的概率 密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量
子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，
量子力学导论习题答案(曾谨言)
第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。
清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读
清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读
一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上， 测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波 长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金 属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现 有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷 的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金 属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频 率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电 子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光 波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+
5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱［］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV，当氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV，10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV，10.2 eV和 3.4 eV ［］ 9．4241：若 粒子(电荷为2e)在磁感应
曾量子力学题库网用
曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
量子力学期末考试试卷及答案集复习过程
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(1)
第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时，
清华大学《大学物理》习题库试题及答案____10_量子力学习题
一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2 + (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用 频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 13．5619：波长λ =5000 ?的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量?λ =10- 3 ?，则 利用不确定关系式h x p x ≥??可得光子的x 坐标的不确定量至少为： (A) 25 cm (B) 50 cm (C) 250 cm (D) 500 cm 14．8020：将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将 (A) 增大D 2倍 (B) 增大2D 倍 (C) 增大D 倍 (D) 不变 x (A) x (C) x (B) x (D)
量子力学试卷
量子力学试卷 1、考虑单粒子的薛定谔方程， ()()()()() 2 2 12,,,2i r t r t V r iV r r t t m ψψψ?=- ?++????? 1 V 与2 V 为实函数。 证明粒子的概率（粒子数）不守恒。 证明粒子在空间体积τ内的概率随时间的变化为 ()()3 3 22 ****2s d d r dS d rV r dt im τ τ ψψψ ψψψψψ =- ?-??+ ???????? 2、证明：量子力学的基本对易式 ,.x p i αβαβδ??=?? 其中,,,x y z αβ= 3、证明厄米算符的本征值必为实数，并属于不同本征值的本征函数彼此正交。 4、如果体系有一个守恒量F ，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值E 只有一个本征态E ψ），则E ψ必为F 的本征态。 5、在z s 本征态1210χ?? = ? ??下，求n σ? 的可能测值及相应的几率，其 中 () sin cos ,sin sin ,cos n θ?θ?θ= 。 6．（共25分）在坐标表象中本征态矢量x 完备正交归一化条件 为 1 =? dx x x 与 () ' ' x x x x -=δ 波函数为 ψ ψx x =)(。在动量表象中完备正交归一化条件
为 1 =? dp p p 与 ( )' ' p p p p -=δ 波函数为 ψ ?p p =)( （1）. 证明 dp e p x ipx /2 1)() 2(1)(?= ?πψ dx e x p ipx /2 1)() 2(1)(-?= ψπ? （2）. 在坐标表象中，能量本征方程为ψψE x V m p =??? ?? ?+)(22， 试建立动量表象中的能量本征方程。 7．Pauli 算符为 ?? ? ??=0110 x σ ，??? ? ??-=00i i y σ，??? ? ??-=1001 z σ， 给定()?θ方向单位矢量 ()()θ? θ?θcos sin sin cos sin ==z y x n n n n 求n n ?=σσ的本征值和本征函数 8.(1).证明λσλλσ sin cos n i i e n += (2).在0 =θ 时，λσ λσ λ sin c os z i i e z +=。利用该式证明 λ σλσσλσ λσ 2sin 2sin y x i x i z z e e -=- λ σλσσλσ λσ 2cos 2sin y x i y i z z e e +=-
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态.
量子力学 第四版 卷一 习题答案
第一章 量子力学的诞生 1、1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? Λ )(x V 解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = , (2) a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = (3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω (4) 积分公式: c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1、2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 (a 2:一来一回为一个周期) a h n p x x 2/=∴, 同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧z l
B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+2 3 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
量子力学试题及答案
2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A
量子力学试卷C
第 1 页 （共 3 页） 玉溪师范学院××至××学年上学期期末考试试卷 课程名称：《量子力学》 （试卷编号：C ） （本卷满分100分，考试时间120分钟） 考试方法： 考试 考查 闭卷 开卷 仅理论部分 其他 系（院）：物理与教育技术系 专业：物理 年级：××级 ×× 班 学号： 姓名： 考试时间: 月 日 时 分 一、填空题（本大题共4题，每空4分，共24分） 1、L X ，L Y 算符的，L - ，L +分解为 。 2、由于泡里原理，对氢原子的描述必须引入第 个量子数，它是 ，也可以是 。 3、光学定理是指 。 4、氢原子的基态波函数为 。 二、名词解释（本大题共3题，每题4分，共12分） 1、 表象： 2、 厄米算符 ： 3、内禀角动量： 三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号；本大题共20题，每小 题1分，共 20分） 1、 有关德不罗意物质波的关系为：（ ） A 、λ= p h B 、λ= p C 、λ=hk D 、p=hk 2、 当n=2时，氢原子波函数的简并度为：（ ） A 、3 B 、5 C 、9 D 、4 3、一维谐振子的真空态能量为：（ ） A 、（1/2 ） ω B 、（3/2 ） ω C 、 ω D 、 （1/3 ） ω 4、在球坐标表象中，角动量算符L 2z 为：（ ） A 、i 2 2 2φd d B 、-2 2 2φd d C 、i 2 2φd d D 、-i 2 2φ d d 5、在实验室里，描写原子体系的Schrodinger 方程为：（ ） A 、-ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ B 、-H φ=E φ C 、ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ D 、H φ=- E φ 6、角动量与动量的不确定关系为：（ ） A 、[L y ，p x ]=0 B 、[L y ，p x ]=-i L Z C 、[L y ，p x ]=-i L Z D 、[L y ，p x ]= 7、泡里矩阵的σ z 2分量为：（ ） A 、-1 B 、1 C 、)10 1( - D 、3 8、所谓的转动不变性是指：（ ） 请考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。
量子力学(第1-4章)考试试题
第一至四章 例题 一、单项选择题 1、普朗克在解决黑体辐射时提出了 【 】 A 、能量子假设 B 、光量子假设 C 、定态假设 D 、自旋假设 2、若n n n a A ψψ=?，则常数n a 称为算符A ?的 【 】 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量 3、证实电子具有波动性的实验是 【 】 A 、 戴维孙——革末实验 B 、 黑体辐射 C 、 光电效应 D 、 斯特恩—盖拉赫实验 4、波函数应满足的标准条件是 【 】 A 、 单值、正交、连续 B 、 归一、正交、完全性 C 、 连续、有限、完全性 D 、 单值、连续、有限 5、已知波函数 )exp()()exp()(1Et i r Et i r ??ψ+- =, )exp()()exp()(22112t E i r t E i r ??ψ+-=, )exp()()exp()(213Et i r Et i r -+-=??ψ, )exp()()exp()(22114t E i r t E i r -+-=??ψ 其中定态波函数是 【 】 A 、ψ2 B 、ψ1和ψ2 C 、ψ3 D 、3ψ和ψ4 6、在一维无限深势阱? ??≥∞<=a x a x x U ,,0)(中运动的质量为μ的粒子的能级为 【 】 A. πμ222 22 n a B. πμ22224 n a C. πμ22228 n a D. πμ2222 16 n a . 7、量子力学中用来表示力学量的算符是 【 】 A 、线性算符 B 、厄米算符 C 、幺正算符 D 、线性厄米算符 8、]? ,?[x p x = 【 】 A 、0 B 、 i C 、 i - D 、 2 9、守恒量是 【 】 A 、处于定态中的力学量 B 、处于本征态中的力学量 C 、与体系哈密顿量对易的力学量 D 、其几率分布不随时间变化的力学量
量子力学试卷C
玉溪师范学院××至××学年上学期期末考试试卷 课程名称：《量子力学》 （试卷编号：C ） （本卷满分100分，考试时间120分钟） 考试方法： 考试 考查 闭卷 开卷 仅理论部分 其他 系（院）：物理与教育技术系 专业：物理 年级：××级 ×× 班 学号： 姓名： 考试时间: 月 日 时 分 一、填空题（本大题共4题，每空4分，共24分） 1、L X ，L Y 算符的，L - ，L +分解为 。 2、由于泡里原理，对氢原子的描述必须引入第 个量子数，它是 ，也可以是 。 3、光学定理是指 。 4、氢原子的基态波函数为 。 二、名词解释（本大题共3题，每题4分，共12分） 1、 表象： 2、 厄米算符 ： 3、内禀角动量： 三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号；本大题共20题， 每小题1分，共20分） 1、 有关德不罗意物质波的关系为：（ ） A 、λ= p h B 、λ=p C 、λ=hk D 、p=hk 2、 当n=2时，氢原子波函数的简并度为：（ ） A 、3 B 、5 C 、9 D 、4 3、一维谐振子的真空态能量为：（ ） A 、（1/2 ） ω B 、（3/2 ） ω C 、 ω D 、 （1/3 ） ω 请 考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。
4、在球坐标表象中，角动量算符L 2z 为：（ ） A 、i 2 22φd d B 、-2 22φd d C 、i 22φd d D 、-i 2 2 φd d 5、在实验室里，描写原子体系的Schrodinger 方程为：（ ） A 、-ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ B 、-H φ=E φ C 、ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ D 、H φ=- E φ 6、角动量与动量的不确定关系为：（ ） A 、[L y ，p x ]=0 B 、[L y ，p x ]=-i L Z C 、[L y ，p x ]=-i L Z D 、[L y ，p x ]= 7、泡里矩阵的σz 2分量为：（ ） A 、-1 B 、1 C 、)1 00 1 ( - D 、3 8、所谓的转动不变性是指：（ ） A 、QND B 、SO （3） C 、QE D D 、su （2） 9、力学量算符A 随时间的变化规律为：（ ） A 、=)(t A dt d i -1[A ，H] B 、=)(t A dt d i 1[A ，H] C 、=)(t A dt d i 1[H ，A] D 、= )(t A dt d i -1[H ，A] 10、关于分波法，正确的描述是：（ ） A 、是一个近似方法，但通常要考虑多个相移 B 、是一个精确方法，但通常要考虑多个相移 C 、是一个近似方法，但通常要考虑2个相移 D 、是一个精确方法，但通常只要考虑2个相移 四、判断题（本大题共10题，正确的打“√”，错误的打“×”，每 题2分，共20分） 1、态叠加原理表明：任意态都可以用完备集合的本征态展开（ ） 2、由于波耳的对应原理，在经典物理中没有自旋，所以量子力学中的自旋没有确切的物理意义。（ ） 3、屏蔽的库仑场中，角动量的Z 分量是一个守衡量。（ ） 4、联系力学量A 在两个表象之间的变换为平移变换。（ ） 5、电子体系的波函数必定没有对称性。（ ） 6、描写的体系的量子数越多，描写就越精确。（ ） 7、磁通是一个经典概念，但在一定条件下仍然可以量子化。（ ） 8、两个光子只能分别占据两个量子态。（ ） 9、在量子力学中，转动不变性导致动量守衡。（ ） 10、分波法不可用于高能散射的研究。（ ） 五、计算题（本大题共3题，共24分） 1、用不确定关系估计一维无限深势阱中粒子基态时的能量，并求第一 激发态时X 与P X 的平均值。（8分）
量子力学第四版卷一习题答案
x a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件 e 2 nh 得a 2 ---- m 代入(2)，解出 设粒子限制在长、宽、高分别为 a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性 碰 撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 P x n x h/2a , n x ,n y ,n z 1,2,3, 粒子能量 第一章 1 设质量为m 的粒子在谐振子势 V(x) -m 2 量子力学的诞生 2x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 提示：利用 0 P dx nh, n 1,2, j2m[E V(x)] 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 其中a 由下式决定：E V (x) 1 -m 2 由此得 a j2E/m 2 口 p dx 2 j2m(E a ' 2 2 X . x ) 2m a _ __________ J a 2 x 2 dx a 2m a 2 nh E n n 1,2,3, (4) 积分公式： J a 2 u 2du arcs in^ c 2 a X, y, z 轴方向，把粒子沿 X, y, z 轴三个 方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于 X 方向，有 口 P x dx n x h n x 1,2,3, P x 2a n x h (2a :—来一回为一个周期) 同理可得, P y n y h/2b . P z n z h/2c ,
mh ， 因而平面转子的能量 1,2,3, 有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动 （解）带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动 条件是： ,垂直于平面方向磁场是 B,求粒子能量允许值 ,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制单位, E n x n y n 2m 2 2 2 2 、 P y P z ) 2m 2 n x ―2 a 2 n y b 2 2 n z c n x ,n y , n z 1,2,3, 设一个平面转子的转动惯量为I ， 求能量的可能取值。 2 提示：利用0 p d nh, n 1,2, ,p 是平面转子的角动量。转子的能量 P 2 /2I 。 解：平面转子的转角（角位移） 记为 它的角动量p I （广义动量） 是运动惯量。按量子化条件 p dx mh m 1,2,3, Bev 2 mv (1 ) 又利用量子化条件 P 电荷角动量 转角 2 口 pdq 0 mrvd 2 mrv nh ⑵ 即 mrv nh 由（1）（2）求得电荷动能 再求运动电荷 ⑶ =1 2 --mv 2 在磁场 Be n 2mc 中的 势能，按电磁学通电导体 在磁场中的势能 磁矩*场强 电流*线圈面积*场强 2 ev* r * B e r 一 , v 是电荷的旋转频率，v 六，代入前式得 运动电荷的磁势能--B^^ （符号是正的 2mc 点电荷的总能量-动能+磁势能-E-Be n 2mc (n 1,2,3 ) ，未找到答案 E m P 2 /2I m 2 2 /2I ， 洛伦兹与向心力平衡