量子力学试卷
西南科技大学2013-2014-2学期
《原子物理与量子力学》本科期末考试
参考答案及评分细则
(A 卷)一、判断题。判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（每题2分，共20分）
1、经典黑体辐射理论的困难是在短波波段理论与实验事实相悖。( ) 答案 ×应该是”紫外灾难” 。
2、玻尔的氢原子理论指出，原子结构不发生坍塌的原因是规定体系处在一些不连续的定态，不向外辐射能量。（ ） √
3、电子只有粒子性没有波动性。（ ） ×物质具有波粒二象性。
4、杨氏双缝干涉实验屏上出现条纹的原因是因为粒子入射过程中粒子间的干涉.( ) × 量子力学的干涉衍射是波内部的干涉衍射而非粒子间的干涉衍射，即使每次只有一个粒子入射也会出现明暗条纹。
5、粒子在全空间出现的机率是发散的. ( ) ×是归一化的
6、线性算符之和仍然是线性算符,满足加法的交换律和结合律. ( ) √
7. 有共同的本征函数. √其共同本征函数是球谐函数.
8、自旋是电子的一种内禀属性,与坐标动量无关. √
9、一个轨道里最多只能容纳2个电子，它们的自旋方向相同。( ) ×自旋方向相同 10、能量最低原理认为，基态原子核外电子的排布力求使整个原子的能量处于最低状态。( )√
课程代码
2
4
3
9
9
8
2
命题单位
国防学院：核工程与技术教研室
)?,?(2z l l
(B 卷)一、判断题。判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（每题2分，共20分）
1、经典黑体辐射理论存在困难的原因是平均能量与频率相关。( ) 答案 ×存在困难的原因是与温度相关。
2、波函数 和
描述的是同一粒子的相对概率密度相等。 （ ） √ 3、因为物质具有波粒二象性，所以电子既具有波的特点，又具有粒子性。√
4、杨氏双缝干涉实验过程中如果控制粒子入射,保证一次只有一个粒子入射,则屏上不会出现明暗条纹. ( ) × 量子力学的干涉衍射是波内部的干涉衍射而非粒子间的干涉衍射，即使每次只有一个粒子入射也会出现明暗条纹。
.5、量子力学中的算符运算适合于所有坐标系。( ) ×适用于直角坐标系,对于球坐标等微商不协变.
6、算符运算顺序可以随便互换.( ) ×不是所有的算符都可以相互对易,所以不能随便调换运算顺序.
7、把原子放入磁场中,其光谱线发生分裂,光谱线的分裂反映原子的简并能级发生分裂，即能级简并被解除或部分解除。 √
7、把原子放入磁场中,其光谱线发生分裂,谱线分裂成三种成分的叫做反常塞曼效应.×正常塞曼效应.
8、核外电子填充过程中, 5S 能级比4d 低。( ) √ E=n +0.7l
=5
9、:2(21)+l l 亚壳层最多能容纳电子数
7.05?+=
+λ7.0n 27.04?+=+λ7.0n 4
.5=),(t r ψ),(t C r ψ
10、如果?A
是厄米算符则：??(,)(,)A A ψψψψ=。√ (A 卷) 二、填空题（每空题2分，共18分）
1、普朗克量子论指出黑体辐射辐射能量取分立能量，能量值取 的整数倍。 答案h ν
2、玻尔氢原子理论三步曲是： ， ， 。轨道的定态假设，角动量量子化假设，量子跃迁选择定则。
3、写出定态薛定谔方程: 。 22
2i U t m
ψψψ?=-?+?h h
4\泡利矩阵x 分量 。0110x σ??=
???
5、力学量的平均值的积分形式为： 。*?A d ψψτ?
6、 表示粒子在时刻 t 、位置 r 出现的概率密度。
7、平均值公式的矩阵表式为:11
121**
1221
222...(,,)......
...
...L L a L a a L L a ????
????=??????????????????
。
(B 卷) 二、填空题（每空题2分，共18分）
1、爱因斯坦的光量子假说指出：能量E= ，动量P= 。（每空1分）
E ω=h ，p k =h
2、两体问题质心系运动可以分解为 ， 。 质心的平动,原子中电子的相对运动.
3、写与量子力学波函数的指数表式现式: 。 ()i p r Et Ae ψ?-=u
r r h
4、泡利矩阵y 分量 。0i i 0y σ-??
=
?
??
2
)
,(t r ψ
5、多电子角动量耦合的方式有: : 耦合和 耦合。 L-S 耦合和j-j 耦合
6、 。 (,)φψ
（A 卷）三、简答题（每题7分，共21分） 1. 简述量子力学波与经典平面波的区别.
答：1.量子的干涉是波内部的干涉, 经典平面波是波与波之间的干涉, 2.传播方式不一样,经典是粒子间的相互作用,而量子力学中波是概率波,与粒子间相互作用无关,没有确定的轨道.3.波峰波谷:经典平面波的振同与能量有关,量子力学中表示概率大小.4.可否归一(束缚态),量子力学平面波可以归一,经典平面波是发散的.5.量子力学：给出波函数可以得到物理量物理量的周期性(粒子的分布)看成波的振幅,6.量子力学中机率波(去掉干涉，衍射，保留叠加性),7.量子力学波是线叠加,满足态叠加原理.
2、写出一维情形下坐标算符与动量算符的不确定度关系，并由这一关系简述经典轨道理论的适用范围。 答：这一不确定度关系是指
2
η
≥
???p x 即微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值。（分） 这一关系否定了经典轨道的概念， （分）
3、简述概率流守恒定律
在空间某体积V 内发现粒子的概率在单位时间内的增量，必定等于在同一时间内通过V 的边界面S 流入体积V 的概率。概率守恒的涵义实际上是相当广泛的，不仅表示了粒子数守恒，而且可以由此得出质量守恒和电荷守恒。其表达式为：0J t
ω
?+??=?
*(,)ψφ=
B 卷三、简答题（每题7分，共21分） 1、简述态叠加原理及其物理意义.
答：若Ψ1与Ψ2为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的线性叠加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，表示粒子既可能处于Ψ1态又可能处于Ψ2态，处于这两个态的概率分别为
2、简述量子力学中守恒量和定态的概念,说明他们的区别。 答：守恒量是物理系统一种特殊的物理量（力学量）， （分） 守恒量在系统一切可能的状态下， (分) 其平均值 （分）
和取各本征值的概率不随时间改变。（分）
3、简述题:微扰理论的基本思想是:
哈密顿拆分为:
然后逐级近似:以 的本征态和本征值为基础，
逐级近似考虑微扰项 的影响，求出 的本征值和本征函数的逐级近似解，得到微扰修正的结果，直至达到需要的精度为止。
（A 卷）证明计算题（共每小题6分，共12分）
1、（15
分）证明算符对易式。
证：
（分）
（分）
（分）
1．证明：B C A C B A C B A ?]?,?[]?,?[?]?,??[+=
（要求写出完整的证明过程）
（1）?????????[,]AB
C ABC CAB =-
H H H '+=???0
H ?
0?H H ?'
??????[,][,]??????????()()??????A
B C A C B A
BC CB AC CA B ABC
CAB +=-+-=- 所以?????????[,][,][,]AB
C A B C A C B =+ 2、证明：厄米算符的平均值为实数。 （要求写出完整的证明过程）
证明：（1）由厄米算符的定义，在任意状态ψ下，厄米算符A
?的平均值为 **),(),?()?,(A A A A
A ====ψψψψψψ， 即厄米算符的平均值必为实数，得证。
2、（10分）
已知，
利用基本对易式等证明：。
2、如果体系有两个彼此不对易的守恒量，则体系的能级一般是简并的。（16分） 证明：因为0]?,?[=H F
,F ?和H ?可有共同的本征态ψ。这样 ψψE H
=? ψψ'?F F =. 考虑到0]?,?[=H G
，从而有 ψψH G G H
????=ψG E ?=, 即也是ψG
?也是H ?的属于同一本征值的E 的本征态。 （8分） 但由于0]?,?[≠G F
，ψ与也是ψG ?一般不是同一本征态，这是因为，对于F ?的本征态ψ，即 ψψF G G F
????≠ψ'?F G =ψG F ?'= 即也是ψG
?不是F ?的本征态。但ψ是F ?的本征态，故ψ与ψG ?是不同的量子态。但它们是H ?的同一能级的态，故能级简并。 （8分）
3、假设微观粒子被关在一维无限深势阱中，4a 表示势阱的宽度，在阱内势能等于零，在阱外势能为无穷大。求能量本征值 运动粒子的归一化波函数。
解：在阱内： 221
1
2()2d E a x a m dx ψψ-=-≤≤h
在阱外：222
22
2
(,)2d E x a x a m dx
ψψψ-+∞=<->h
阱内：''
2
110k ψψ+= 其中2
2
2mE
k =
h 方程的通解为：1()cos sin x A kx B kx ψ=+ 波函数连续性的边界条件为：
1212(2)(2)0,(2)(2)0a a a a ψψψψ-=-=== 代入求解得：222
2
(1,2,3,......)8n n E n ma π=
=h
()()
2n n x a x a a πψ=
+<
()n x a ψ=>
3、假设微观粒子被关在一维无限深势阱中，a 表示势阱的宽度，在阱内势能等于零，在阱外势能为无穷大。求能量本征值 运动粒子的归一化波函数。
解：在阱内： 221
1
2(0)2d E a x m dx ψψ-=-≤≤h
在阱外：222
22
2
(,0)2d E x a x m dx
ψψψ-+∞=<->h
阱内：''
2
110k ψψ+= 其中2
22mE
k =
h
方程的通解为：1()cos sin x A kx B kx ψ=+ 波函数连续性的边界条件为：
1212()()0,(0)(0)0a a ψψψψ-=-=== 代入求解得：222
2
(1,2,3,......)2n n E n ma π=
=h
(/2)
(0)
n n x a a x a π
ψ=--<<
(,0)n x a x ψ=<->
4、（分）求自旋算符及的本征值和所对应的本征
函数。
解：设?x S 的本征值是x s ，本征函数是x y ?? ???
，则满足
01102x x x s y y ??????= ??? ???????
h （1分）
求解上式，可得22x y =， （1分）
利用波函数的归一化条件，可得?x
S 的本征函数是
22?? ? ? ? ???
，22?? ?
? ?- ???
， （1分） 利用本征函数可得本征值2
±h
。 （1分）
同理求得?y
S 的本征值是2±h
，对应的本征函数是22i ?? ? ? ?
???
，22i ??
?
?
?- ???
（1分）
。
4、
（分）设角动量算符（
，
）的共同本征态为
，计算的平均值。
解：本征态lm 满足本征方程
22(1)L lm l l lm =+r
h
z L lm m lm =h （1分）
利用基本对易式
L L i L ?=r r r
h （1分）
可得算符关系
22
()()x y z z y x y x z y z y z y y x z z y x i l l l l l l l l l i l l l l i l l l l l l l =-=+-=+-h h h （1分）
将上式在lm 态下求平均，可得
22
x y l l = （1分）
由于
22
2222[(1)]x y z l l l l l l m +=-=+-h
所以
22221[(1)]2
x y l l l l m ==+-h （1分）
?????????[,[,]][,[,]][,[,]]??????????????????[,][,][,][,][,][,]???????????????()()()???????????????()()()????????A
B C B C A C A B A B C B C A B C A C A B C A B A B C A BC CB BC CB A B CA AC CA
AC B C AB BA AB BA C ABC ACB B ++=-+-+-=---+---+---=--????????????????????????????0CA CBA BCA BAC CAB ACB
CAB CBA ABC BAC
++--++--+=
三、证明：（1）B C A C B A C B A ?]?,?[]?,?[?]?,??[+= （2）、0]]?,?[,?[]]?
,?[,?[]]?,?[,?[=++B A C A C B C B A （14
分）
（1）?????????[,]AB
C ABC CAB =- ??????[,][,]??????????()()??????A
B C A C B A
BC CB AC CA B ABC
CAB +=-+-=- 所以?????????[,][,][,]AB
C A B C A C B =+ （7分） （2）
（7分）
一、 简述黑体辐射问题中经典物理无法解释的现象，Planck 的光量子假设对紫外灾难问题的解决。（12分）
答：在黑体辐射问题中，低频段，实验与理论能量密度的曲线符合很好，但在高频段，理论上能量密度迅速增大，而实验存在极大值，随后减小，即实验与理论不一致的紫外灾难。（6分）
Planck 的光量子假设为，对于一定的频率为ν的辐射，物体吸收或发射的能量只能以hν为单位来进行，因此R-J 公式中的平均动能项由原来的与温度有关变为与频率有关，在高频段，由于随频率的增加能量密度速度减小而出现拐折。（6分） 二、守恒量具有什么重要的性质？守恒量是否处于本征态由什么决定？守恒量与定态的区别是什么？（12分） （每小问4分） 答：守恒量有两个重要性质：
(1)在任何态ψ(t)下，平均值不随时间变化。
(2)在任何态ψ(t)下，测量值的概率分布不随时间变化。
守恒量是否处于某本征态由初始条件确定：
(1) 若初始时刻体系处于守恒量A 的本征态，则体系将保持在该本征态；本征态对应的量子数称为好量子数。
(2) 若初始时刻没有处于守恒量A 的本征态，则以后任意时刻也不会处于本征态，但是A 的平均值和测值概率分布不随时间变化。 守恒量与定态的区别 a. 概念不一样
(1) 定态是能量取确定值的状态——能量本征态。 (2) 守恒量是特殊的力学量，要满足一定条件。
在量子力学中研究对象分为力学量和态函数，守恒量是针对力学量而言，而定态是针对态函数而言，是完全不同的两个概念。 b. 性质不一样
(1) 在定态下，一切不含t 的力学量，不管是否守恒量，其平均值、测值概率分布都不随t 改变。
(2 )守恒量对一切状态，不管是否定态，其平均值、测值概率分布都不随t 改变。可见，不管是定态问题还是力学量问题，都存在力学量的平均值和取值的几率分布不随时间变化问题。所以，只有当体系处于非定态，而所研究的力学量又不是守恒量时，才讨论力学量的平均值和取值概率分布随时间的变化问题。这在后面含时微扰论的辐射跃迁中有重要研究价值。
三、假设微观粒子被关在一维无限深势阱中，2a 表示势阱的宽度，在阱内势能等于零，在阱外势能为无穷大。求能量本征值 运动粒子的归一化波函数。
解：在阱内： 221
1
2()
2d E a x a m dx ψψ-=-≤≤h
（3分）
在阱外：222
22
2
(,)
2d E x a x a m dx
ψψψ-+∞=<->h
（3分）
阱内：''2110k ψψ+= 其中22
2mE
k =
h
（2分）
方程的通解为：1()cos sin x A kx B kx ψ=+
（2分）
波函数连续性的边界条件为：
1212()()0,()()0a a a a ψψψψ-=-=== （2分） 代入求解得：222
2
(1,2,3,......)
8n n E n ma π=
=h
（2分）
()()
2n n x a x a a πψ=
+<
（2分）
()
n x a ψ=>
（1分）
四、证明：（1）B C A C B A C B A ?]?,?[]?,?[?]?,??[+= （2）、B C A C B A C B A
?]?,?[]?,?[?]?,??[+= （14分）
（1）
?????????[,]??????[,][,]??????????????????A
BC ABC BCA A
B C B A C ABC
BAC BAC BCA ABC
BCA =-+=-++=- （7分）
（2）?????????[,]AB
C ABC CAB =- ??????[,][,]??????????()()??????A
B C A C B A
BC CB AC CA B ABC
CAB +=-+-=- （7分） 所以?????????[,][,][,]AB
C A B C A C B =+
五、证明：（1）厄米算符的平均值必为实数，（2）平均值为实数的算符必为厄米算符 （17分）
证明：（1）由厄米算符的定义，在任意状态ψ下，厄米算符A
?的平均值为 **),(),?()?,(A A A A
A ====ψψψψψψ， 则厄米算符的平均值必为实数。 （7分）
（2）在任意态ψ下，算符A
?的平均值为实数，即*A A =，或表示为 ),?()?,()?,(*ψψψψψψA A A
== 现在考虑21??ψc +=，其中1?与2?为任意的波函数，c 也是任意常数。代入上式，
),?(),?(),?(),?()?,()?,()?,()?,( 2
222112*112222112*11????????????????A c A c A c A A c A c A c A +++=+++
又按题设，在任意态下A 都是实数，则),?()?,(1111????A A =,),?()?,(2
222????A A =。于是，上
式简化为
)]?,(),?[()],?()?,[( 2
1211212*????????A A c A A c -=- 分别令1=c 和i =c ，得
)?,(),?(),?()?,(12122121????????A A A A -=-， )?,(),?(),?()?,(1
2
1
2
2
1
2
1
????????A A A A
+-=-， 以上两式分别相加、减，得
),?()?,(2121????A A =，),?()?,(1
212????A A = 两式中的算符A
?都符合厄米算符的定义。则平均值为实数的算符必为厄米算符 （10分）
六．证明：如果A ?与B ?是厄米算符，则 2/)????(A B B A +及)i 2/()(BA AB -也是厄米算符； （16
分）
证明：（1）因为A
?、B ?分别是厄米算符，则 ????()/2????()()2????()2????()/2AB
BA AB BA B
A A
B AB
BA +
++++++??+??
??=+??=+=+， 满足厄米算符的定义，所以是厄米算符。 （8分） 同理可证)i 2/()(BA AB -也是厄米算符。
????()/2????()()2????()2????()/2AB BA i AB BA i B A A B i AB
BA i +
++++++??-??
??=--??=--=-
（8分）
七、对非简并态的微扰，写出能级与波函数的一级近似值与能级的二级近似值。（12分） 答：对非简并态的微扰，能级与波函数的一级近似值分别为：
（4分）
其中
（4分）
能级的二级近似值为： （4分）
一、判断题。判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（每题2分，共20分） 1、（×）光电效应中光子产生的条件与频率有关，与光强无关。
2、（√）
3、（√）
4、（√）
5、（×）??[,]x
p i =h ，6、（×）体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。 7、（√），8、（√），9、（×） 10、（√）
二、填空题（每题3分，共24分）
1、单色平面波，2
3、 4、 5、
本征函数系
6、 面军
7、?0,1,nj
n nj
H E j ψψ==L L
8、(1)
(0)
(0)(0)
mn n m m n n m
H E E ψ≠'=
-∑ 三、简答题（每题8分，共16分） 1、简述原子核式结构行星模型遇到的困难。
1）、原子的稳定性：经典电动力学，加速的核外电子在原子核电场中运动会不断产生电磁辐射，其能量会减少，最终很快使电子掉到原子核中。到事实上，原子十分稳定，并没有坍缩。（3分）
2）、原子的同一性：任何哪种原子，只要核电荷数相同，无论它处在哪里或来自何方，它们就完全一样。但宇宙中未发现两颗完全相同的星体。行星模型不能解释原子的同一性。（3分）
3）、原子的再生性：原子与外来粒子发生作用，其作用一旦去除，原子将恢复其原貌。而行星受到外来星体的撞击，那将是灾难性的，不可能恢复。（2分）
2、简述态叠加原理
答：若Ψ1与Ψ2为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的线性叠加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，表示粒子既可能处于Ψ1态又可能处于Ψ2态，处于这两个态的概率分别为
（8分）
四、证明题（共20分，第一小题8分，第二小题12分）
**11221122(,,)(,)(,)c c c c ψψφψφψφ+=+2
),(t r ψ*?n m A A dr ψψ=?
?????????[,[,]][,[,]][,[,]]??????????????????[,][,][,][,][,][,]???????????????()()()???????????????()()()????????A
B C B C A C A B A
B C B C A B C A C A B C A B A B C A
BC CB BC CB A B CA AC CA
AC B C AB BA AB BA C ABC
ACB B ++=-+-+-=---+---+---=--????????????????????????????0
CA CBA BCA BAC CAB
ACB CAB CBA ABC BAC ++--++--+=1．0]]?,?[,?[]]?,?[,?[]]?,?[,?[=++B A C A C B C B A 证明：
2、证明：平均值为实数的算符必为厄米算符 （要求写出完整的证明过程，视过程给分）
证明：在任意态ψ下，算符A
?的平均值为实数，即*A A =，或表示为 ),?()?,()?,(*ψψψψψψA A A
== 现在考虑21??ψc +=，其中1?与2?为任意的波函数，c 也是任意常数。代入上式，
),?(),?(),?(),?()?,()?,()?,()?,( 2
222112*112222112*11????????????????A c A c A c A A c A c A c A +++=+++
又按题设，在任意态下A 都是实数，则),?()?,(1111????A A =,),?()?,(2
222????A A =。于是，上式简化为
)]?,(),?[()],?()?,[( 2
1211212*????????A A c A A c -=- 分别令1=c 和i =c ，得
)?,(),?(),?()?,(12122121????????A A A A -=-， )?,(),?(),?()?,(1
2
1
2
2
1
2
1
????????A A A A
+-=-， 以上两式分别相加、减，得
),?()?,(2121????A A =，),?()?,(1
212????A A = 两式中的算符A
?都符合厄米算符的定义。则平均值为实数的算符必为厄米算符 五、计算题（共20分）
1、微扰理论中，给出零级近似： ， 依据 请求出 （要求写出推导过程）。
答案提示： （6分）
(0)(0)(0)?()0n n H E ψ
-=(0)
n ψ(0)
(0)(1)(1)(1)(0)??()()n n n n
H E H E ψψ-=--(1)
n E (0)
(0)(1)
(1)
(1)(0)
??()()n n n n H E H E ψψ-=--(0)*
(0)(0)(0)(1)(0)*(0)(0)*(0)??()d d d n
n n n n n n n H E E H ψ
ψτψψτψψτ
'-=-???(0)*
n ψ左乘
（10分） （4分）
(0)*(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)*(0)??()d ()d
0n n n
n n n n
H E H E ψψτψψψτ-=-=?
?
(1)(0)*(0)
?d n n n E H ψψτ'=?
量子力学试题
量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n ma E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1） 首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???????????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12 =c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-=
能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为 ()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。 解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20= += α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 ' 2 32ψψψψ== 得到
量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义： t时刻粒子出现在r处的概率 密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量
子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，
清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读
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一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上， 测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波 长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金 属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现 有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷 的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金 属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频 率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电 子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光 波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+
5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱［］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV，当氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV，10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV，10.2 eV和 3.4 eV ［］ 9．4241：若 粒子(电荷为2e)在磁感应
量子力学期末考试试卷及答案集复习过程
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量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
清华大学《大学物理》习题库试题及答案____10_量子力学习题
一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2 + (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用 频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 13．5619：波长λ =5000 ?的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量?λ =10- 3 ?，则 利用不确定关系式h x p x ≥??可得光子的x 坐标的不确定量至少为： (A) 25 cm (B) 50 cm (C) 250 cm (D) 500 cm 14．8020：将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将 (A) 增大D 2倍 (B) 增大2D 倍 (C) 增大D 倍 (D) 不变 x (A) x (C) x (B) x (D)
量子力学试卷
量子力学试卷 1、考虑单粒子的薛定谔方程， ()()()()() 2 2 12,,,2i r t r t V r iV r r t t m ψψψ?=- ?++????? 1 V 与2 V 为实函数。 证明粒子的概率（粒子数）不守恒。 证明粒子在空间体积τ内的概率随时间的变化为 ()()3 3 22 ****2s d d r dS d rV r dt im τ τ ψψψ ψψψψψ =- ?-??+ ???????? 2、证明：量子力学的基本对易式 ,.x p i αβαβδ??=?? 其中,,,x y z αβ= 3、证明厄米算符的本征值必为实数，并属于不同本征值的本征函数彼此正交。 4、如果体系有一个守恒量F ，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值E 只有一个本征态E ψ），则E ψ必为F 的本征态。 5、在z s 本征态1210χ?? = ? ??下，求n σ? 的可能测值及相应的几率，其 中 () sin cos ,sin sin ,cos n θ?θ?θ= 。 6．（共25分）在坐标表象中本征态矢量x 完备正交归一化条件 为 1 =? dx x x 与 () ' ' x x x x -=δ 波函数为 ψ ψx x =)(。在动量表象中完备正交归一化条件
为 1 =? dp p p 与 ( )' ' p p p p -=δ 波函数为 ψ ?p p =)( （1）. 证明 dp e p x ipx /2 1)() 2(1)(?= ?πψ dx e x p ipx /2 1)() 2(1)(-?= ψπ? （2）. 在坐标表象中，能量本征方程为ψψE x V m p =??? ?? ?+)(22， 试建立动量表象中的能量本征方程。 7．Pauli 算符为 ?? ? ??=0110 x σ ，??? ? ??-=00i i y σ，??? ? ??-=1001 z σ， 给定()?θ方向单位矢量 ()()θ? θ?θcos sin sin cos sin ==z y x n n n n 求n n ?=σσ的本征值和本征函数 8.(1).证明λσλλσ sin cos n i i e n += (2).在0 =θ 时，λσ λσ λ sin c os z i i e z +=。利用该式证明 λ σλσσλσ λσ 2sin 2sin y x i x i z z e e -=- λ σλσσλσ λσ 2cos 2sin y x i y i z z e e +=-
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量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态.
量子力学 第四版 卷一 习题答案
第一章 量子力学的诞生 1、1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? Λ )(x V 解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = , (2) a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = (3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω (4) 积分公式: c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1、2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 (a 2:一来一回为一个周期) a h n p x x 2/=∴, 同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量
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量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧z l
B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+2 3 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
量子力学试题及答案
2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A
量子力学试卷C
第 1 页 （共 3 页） 玉溪师范学院××至××学年上学期期末考试试卷 课程名称：《量子力学》 （试卷编号：C ） （本卷满分100分，考试时间120分钟） 考试方法： 考试 考查 闭卷 开卷 仅理论部分 其他 系（院）：物理与教育技术系 专业：物理 年级：××级 ×× 班 学号： 姓名： 考试时间: 月 日 时 分 一、填空题（本大题共4题，每空4分，共24分） 1、L X ，L Y 算符的，L - ，L +分解为 。 2、由于泡里原理，对氢原子的描述必须引入第 个量子数，它是 ，也可以是 。 3、光学定理是指 。 4、氢原子的基态波函数为 。 二、名词解释（本大题共3题，每题4分，共12分） 1、 表象： 2、 厄米算符 ： 3、内禀角动量： 三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号；本大题共20题，每小 题1分，共 20分） 1、 有关德不罗意物质波的关系为：（ ） A 、λ= p h B 、λ= p C 、λ=hk D 、p=hk 2、 当n=2时，氢原子波函数的简并度为：（ ） A 、3 B 、5 C 、9 D 、4 3、一维谐振子的真空态能量为：（ ） A 、（1/2 ） ω B 、（3/2 ） ω C 、 ω D 、 （1/3 ） ω 4、在球坐标表象中，角动量算符L 2z 为：（ ） A 、i 2 2 2φd d B 、-2 2 2φd d C 、i 2 2φd d D 、-i 2 2φ d d 5、在实验室里，描写原子体系的Schrodinger 方程为：（ ） A 、-ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ B 、-H φ=E φ C 、ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ D 、H φ=- E φ 6、角动量与动量的不确定关系为：（ ） A 、[L y ，p x ]=0 B 、[L y ，p x ]=-i L Z C 、[L y ，p x ]=-i L Z D 、[L y ，p x ]= 7、泡里矩阵的σ z 2分量为：（ ） A 、-1 B 、1 C 、)10 1( - D 、3 8、所谓的转动不变性是指：（ ） 请考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。
量子力学(第1-4章)考试试题
第一至四章 例题 一、单项选择题 1、普朗克在解决黑体辐射时提出了 【 】 A 、能量子假设 B 、光量子假设 C 、定态假设 D 、自旋假设 2、若n n n a A ψψ=?，则常数n a 称为算符A ?的 【 】 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量 3、证实电子具有波动性的实验是 【 】 A 、 戴维孙——革末实验 B 、 黑体辐射 C 、 光电效应 D 、 斯特恩—盖拉赫实验 4、波函数应满足的标准条件是 【 】 A 、 单值、正交、连续 B 、 归一、正交、完全性 C 、 连续、有限、完全性 D 、 单值、连续、有限 5、已知波函数 )exp()()exp()(1Et i r Et i r ??ψ+- =, )exp()()exp()(22112t E i r t E i r ??ψ+-=, )exp()()exp()(213Et i r Et i r -+-=??ψ, )exp()()exp()(22114t E i r t E i r -+-=??ψ 其中定态波函数是 【 】 A 、ψ2 B 、ψ1和ψ2 C 、ψ3 D 、3ψ和ψ4 6、在一维无限深势阱? ??≥∞<=a x a x x U ,,0)(中运动的质量为μ的粒子的能级为 【 】 A. πμ222 22 n a B. πμ22224 n a C. πμ22228 n a D. πμ2222 16 n a . 7、量子力学中用来表示力学量的算符是 【 】 A 、线性算符 B 、厄米算符 C 、幺正算符 D 、线性厄米算符 8、]? ,?[x p x = 【 】 A 、0 B 、 i C 、 i - D 、 2 9、守恒量是 【 】 A 、处于定态中的力学量 B 、处于本征态中的力学量 C 、与体系哈密顿量对易的力学量 D 、其几率分布不随时间变化的力学量
量子力学试卷C
玉溪师范学院××至××学年上学期期末考试试卷 课程名称：《量子力学》 （试卷编号：C ） （本卷满分100分，考试时间120分钟） 考试方法： 考试 考查 闭卷 开卷 仅理论部分 其他 系（院）：物理与教育技术系 专业：物理 年级：××级 ×× 班 学号： 姓名： 考试时间: 月 日 时 分 一、填空题（本大题共4题，每空4分，共24分） 1、L X ，L Y 算符的，L - ，L +分解为 。 2、由于泡里原理，对氢原子的描述必须引入第 个量子数，它是 ，也可以是 。 3、光学定理是指 。 4、氢原子的基态波函数为 。 二、名词解释（本大题共3题，每题4分，共12分） 1、 表象： 2、 厄米算符 ： 3、内禀角动量： 三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号；本大题共20题， 每小题1分，共20分） 1、 有关德不罗意物质波的关系为：（ ） A 、λ= p h B 、λ=p C 、λ=hk D 、p=hk 2、 当n=2时，氢原子波函数的简并度为：（ ） A 、3 B 、5 C 、9 D 、4 3、一维谐振子的真空态能量为：（ ） A 、（1/2 ） ω B 、（3/2 ） ω C 、 ω D 、 （1/3 ） ω 请 考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。
4、在球坐标表象中，角动量算符L 2z 为：（ ） A 、i 2 22φd d B 、-2 22φd d C 、i 22φd d D 、-i 2 2 φd d 5、在实验室里，描写原子体系的Schrodinger 方程为：（ ） A 、-ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ B 、-H φ=E φ C 、ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ D 、H φ=- E φ 6、角动量与动量的不确定关系为：（ ） A 、[L y ，p x ]=0 B 、[L y ，p x ]=-i L Z C 、[L y ，p x ]=-i L Z D 、[L y ，p x ]= 7、泡里矩阵的σz 2分量为：（ ） A 、-1 B 、1 C 、)1 00 1 ( - D 、3 8、所谓的转动不变性是指：（ ） A 、QND B 、SO （3） C 、QE D D 、su （2） 9、力学量算符A 随时间的变化规律为：（ ） A 、=)(t A dt d i -1[A ，H] B 、=)(t A dt d i 1[A ，H] C 、=)(t A dt d i 1[H ，A] D 、= )(t A dt d i -1[H ，A] 10、关于分波法，正确的描述是：（ ） A 、是一个近似方法，但通常要考虑多个相移 B 、是一个精确方法，但通常要考虑多个相移 C 、是一个近似方法，但通常要考虑2个相移 D 、是一个精确方法，但通常只要考虑2个相移 四、判断题（本大题共10题，正确的打“√”，错误的打“×”，每 题2分，共20分） 1、态叠加原理表明：任意态都可以用完备集合的本征态展开（ ） 2、由于波耳的对应原理，在经典物理中没有自旋，所以量子力学中的自旋没有确切的物理意义。（ ） 3、屏蔽的库仑场中，角动量的Z 分量是一个守衡量。（ ） 4、联系力学量A 在两个表象之间的变换为平移变换。（ ） 5、电子体系的波函数必定没有对称性。（ ） 6、描写的体系的量子数越多，描写就越精确。（ ） 7、磁通是一个经典概念，但在一定条件下仍然可以量子化。（ ） 8、两个光子只能分别占据两个量子态。（ ） 9、在量子力学中，转动不变性导致动量守衡。（ ） 10、分波法不可用于高能散射的研究。（ ） 五、计算题（本大题共3题，共24分） 1、用不确定关系估计一维无限深势阱中粒子基态时的能量，并求第一 激发态时X 与P X 的平均值。（8分）
量子力学第四版卷一习题答案
x a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件 e 2 nh 得a 2 ---- m 代入(2)，解出 设粒子限制在长、宽、高分别为 a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性 碰 撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 P x n x h/2a , n x ,n y ,n z 1,2,3, 粒子能量 第一章 1 设质量为m 的粒子在谐振子势 V(x) -m 2 量子力学的诞生 2x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 提示：利用 0 P dx nh, n 1,2, j2m[E V(x)] 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 其中a 由下式决定：E V (x) 1 -m 2 由此得 a j2E/m 2 口 p dx 2 j2m(E a ' 2 2 X . x ) 2m a _ __________ J a 2 x 2 dx a 2m a 2 nh E n n 1,2,3, (4) 积分公式： J a 2 u 2du arcs in^ c 2 a X, y, z 轴方向，把粒子沿 X, y, z 轴三个 方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于 X 方向，有 口 P x dx n x h n x 1,2,3, P x 2a n x h (2a :—来一回为一个周期) 同理可得, P y n y h/2b . P z n z h/2c ,
mh ， 因而平面转子的能量 1,2,3, 有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动 （解）带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动 条件是： ,垂直于平面方向磁场是 B,求粒子能量允许值 ,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制单位, E n x n y n 2m 2 2 2 2 、 P y P z ) 2m 2 n x ―2 a 2 n y b 2 2 n z c n x ,n y , n z 1,2,3, 设一个平面转子的转动惯量为I ， 求能量的可能取值。 2 提示：利用0 p d nh, n 1,2, ,p 是平面转子的角动量。转子的能量 P 2 /2I 。 解：平面转子的转角（角位移） 记为 它的角动量p I （广义动量） 是运动惯量。按量子化条件 p dx mh m 1,2,3, Bev 2 mv (1 ) 又利用量子化条件 P 电荷角动量 转角 2 口 pdq 0 mrvd 2 mrv nh ⑵ 即 mrv nh 由（1）（2）求得电荷动能 再求运动电荷 ⑶ =1 2 --mv 2 在磁场 Be n 2mc 中的 势能，按电磁学通电导体 在磁场中的势能 磁矩*场强 电流*线圈面积*场强 2 ev* r * B e r 一 , v 是电荷的旋转频率，v 六，代入前式得 运动电荷的磁势能--B^^ （符号是正的 2mc 点电荷的总能量-动能+磁势能-E-Be n 2mc (n 1,2,3 ) ，未找到答案 E m P 2 /2I m 2 2 /2I ， 洛伦兹与向心力平衡
量子力学试卷
量子力学试卷
05级2学分A 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？ 2 什么是束缚态？什么是定态？ 3 试述电子具有自旋的实验证据。 4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。 5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 6一维空间两粒子体系的归一化波函数为),(2 1 x x ψ，写出下列概率： 发现粒子1的位置介于x 和dx x +之间（不对粒子2进行观测） 二、本题满分10分 设单粒子定态波函数为 )(1)(ikr ikr k be e r r +=-ψ，试利用薛定谔方程确定其势场。 三、本题满分12分 利用厄米多项式的递推关系和求导公式： ()()()0221 1 =+--+x nH x xH x H n n n ，()()x nH x H n n 1 2-=' 证明：一维谐振子波函数满足下列关系： )](21 )(2[1)(1 1x n x n x x n n n +-++=ψψα ψ η/)],(2 1 )(2[)(11ωαψψαψm x n x n dx x d n n n =+-=+- 已知一维谐振子的波函数为：()()2 121 2 !2, 2 2 ??? ? ??==- n N x H e N x n n n x n n πααψα 四、本题满分12分 一粒子在一维无限深势阱?? ? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,, 0,0,0,)（ 中运动，求粒子的能 级和相应的归一化波函数。
五、本题满分12分 已知氢原 子的电子 波函数为 )(),()(4 1 ),,,(2/11131z z nlmm s Y r R s r s χ?θ?θψ= )(),()(4 3 2/12032z s Y r R -+χ?θ。 求在ψ态中测量氢原子能量E 、2L 、z L 、2s 、z s 的可能值和这些力学量的平均值。 六、本题满分14分 一维运动的粒子处于状态???? ?<≥=-0 , 00)(, x x Axe x x λψ 之中, 其中0>λ, A 为待求的归一化常数, 求： (1) 归一化常数; (2) 粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值; (3) 粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。 七、本题满分10分 附：氢原子能量本征值：222024 132n e E n ηεπμ-= 定积分：0! 1 0>= +-∞ ?αα αn x n n dx e x ，n 为正整数 球坐标系中：? θθθθθ2 2 2 22222 sin 1)(sin sin 1)(1??+????+????=?r r r r r r 05级2学分B 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？ 2 （1）德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子， 还是同样适用于具有内部结构的复合体系？ （2）粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度更大？二者之间是否有必然联系？ 3量子力学中角动量是如何定义的？地球自转是否与量子力学中的自旋概念相对应？
华中科大量子力学考试题及解答1
华中 一． 见华中98 T2 二． 见华中98 T3 三． 见华中98 T4 四．质量为μ的粒子沿X 方向以能量E 向x=0处势阶运动。势 ???>≤=0x ,E 0 x ,0)x (U 43 ，问在x=0处被反射的粒子几率有多大？ 解：写出分区薛定谔方程为： ???????>=ψ-μ+ψ≤=ψμ+ψ0 x ,0)E 43E (2dx d 0x ,0E 2dx d 22222 12 1212 ???????>=ψ+ψ≤=ψ+ψ?0x ,0)2k (dx d 0x ,0k dx d 2222212 1212 其解为?????>=ψ≤+=ψ-0x ,De 0x ,Re e x i 2ikx ikx 12 k 由x=0处的连续性条件，可得到： D i )R 1(ik )0()0(D R 1)0()0(2 k 2121=+?ψ'=ψ'=+?ψ=ψ 解得：D=3/4，R=1/3 从 而 几 率 流 密 度 为 x x 22k D x x 2R x e ?9k 8e ?|D |J ,e ?9k e ?|R |k J ,e ?k J μ=μ=μ-=μ-=μ= 所以，反射几率 91|J ||J |R R == 透射几率： 98|J ||J |D D = = 满足 R+D=1 五．两个质量为μ自旋为1/2的全同粒子处于一维无限深势阱(0 2．粒子间有相互作用势能V （x 1-x 2）,这可看成微扰，以一阶微扰理论计算第二、第三最低能态的能量，将你的结果保留在积分式。 解：1.（参见汪P274 T9.1.4） 求粒子体系的能量本征值和本征函数： 忽略两粒子间的相互作用时，体系总能量 )n n (a 2E E E 222 12 2221+μπ=+= 考虑到是全同费米子体系，体系的总波函数)s ,s ()x ,x (z 2z 121χψ=ψ必须是反对称的， 第一最低能态：n 1=1,n 2=1, 22 211a 22E μπ= ，则 )] s ()s ()s ()s ([a x sin a x sin a 2z 2z 1z 2z 1211121212121χχ-χχππ= ψ-- 由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且基态为非简并态。 第二最低能态：n 1,n 2分别取1和2，22212a 25E μπ= 可组成如下四个态： 三重态： )x ,x ()x ,x (21S 21A ) 3,2,1(12χψ=ψ ) s ()s (]a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1212112 2121) 2,1(±±χχππ-ππ=ψ )] s ()s ()s ()s (][a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1z 2z 12121) 3(12 21212121χχ+χχππ-ππ= ψ-- 单态： )x ,x ()x ,x (21A 21S ) 4(12 χψ=ψ 量子力学试题集 判断题 1、量子力学中力学量不能同时有确定值。（×） 2、量子力学中能量都是量子化的。（√） 3、在本征态中能量一定有确定值。（√） 4、波函数一定则所有力学量的取值完全确定。（×） 5、量子力学只适用于微观客体。（×） 6．对于定态而言，几率密度不随时间变化。( √ ) 7．若，则在其共同本征态上，力学量F和G必同时具有确定值。( √ ) 8．所有的波函数都可以按下列式子进行归一化： 。 ( × ) 9．在辏力场中运动的粒子，其角动量必守恒。( √ ) 10．在由全同粒子组成的体系中，两全同粒子不能处于同一状态。( × ) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； ψ*代表微观粒子出现的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A ψ一定也是该方程的一个解； A. * ψ一定不是该方程的解； B. * ψ一定等价； C. Ψ与* D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l ∧ x l ∧x l 7．如果算符∧ A 、∧ B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则： B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。量子力学试题集