南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲
Chapter1 线性空间和内积空间
内容总结：
z 线性空间的定义、基和维数；
z 一个向量在一组基下的坐标；
z 线性子空间的定义与判断；
z 子空间的交
z 内积的定义；
z 内积空间的定义；
z 向量的长度、距离和正交的概念；
z Gram-Schmidt 标准正交化过程；
z 标准正交基。
习题选讲：
1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下
的坐标；
3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义
3]x [R ， ∫?=1
1)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；
3][x R （3）求与之间的距离；
221x x ++2x 2x 1+?（4）证明：是的子空间；
2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；
二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；
（2） 在(1)所取基下的坐标； ??
??????3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵
的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；
（4） 在W 中定义内积
， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈
求出W 的一组标准正交基；
（5）求与之间的距离； ??????0331??
?????1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩
阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；
（7）写出子空间的一组基和维数。
V W ∩
Chapter2 线性映射与线性变换
内容总结：
线性映射在基对下的矩阵表示；
矩阵的典型关系：相抵（等价）、相似与相合；
线性变换在基下的矩阵表示；
线性变换在不同基下的矩阵之间的关系——相似；
矩阵的特征值和特征向量的定义与计算；
矩阵可对角化的条件。
习题选讲：
一、 设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数，并写出的一组基；
3]x [R 3]x [R （2） 在(1)所取基下的坐标；
2x 2x 1++ （3）求与之间的距离；
23x 2x 1++2x 2x 1+? （4） 在中定义内积
3]x [R ， ∫?=1
1)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 求出的一组标准正交基;
3][x R (5) 在中定义线性变换3]x [R D ：D ()=)(x f )(x f ′,
n x R x f ][)(∈ 求D 在（1）中所取基下的矩阵表示.
二、设，
????
?????????=496375254A （1） 求A 的特征多项式和A 的全部特征值；
（2）求A 的全部特征向量；
（3）求每个特征值的代数重数和几何重数；
（4）判断A 是否可对角化。
Chapter3 λ矩阵与矩阵的Jordan 标准形 内容总结：
z λ矩阵的定义与运算；
z λ矩阵的smith 标准形、不变因子、行列式因子和初等因子； z 矩阵的相似的条件；
z 矩阵的Jordan 标准形；
z 最小多项式理论
习题选讲：
一、设，
????
?????????=496375254A （1） 求A 的特征多项式和A 的全部特征值；
（2） 求A 的行列式因子、不变因子、初等因子；
（3） 写出A 的Jordan 标准形；
（4） 写出A 的最小多项式
（5） 求24A A ?。
Chapter4 矩阵的因子分解
内容总结：
矩阵的满秩分解；
矩阵的三角分解；
了解矩阵的QR 分解；
了解矩阵的schur 定理和奇异值分解
习题选讲：
一、（1）已知 ，作出矩阵????
???????=621911432A A 的分解； LU （2）已知 ，作出矩阵????
???????=010*********A A 的满秩分解；
Chapter5 Hermite 矩阵与正定矩阵
Hermite 矩阵的定义和性质；
正定矩阵的定义、性质和判定定理；
矩阵不等式
习题选讲：
一、
（1） 设，其中????
?????????=2i i i 2i
i i 2A 1i ?=，证明: ； 0A >（2） 设，，问： ????????????=201021113A ????
??????=111112121B B A >吗？ 说明理由； （3） 设均为阶Hermite 矩阵，且，，且B ,A n 0A >0B ≥BA AB =，
证明：；
0AB ≥（4） 设均为阶Hermite 矩阵，且，即B ,A n 0A >A 正定，
证明：AB 相似于实对角矩阵；
（5） 设均为阶Hermite 矩阵，，且；
B ,A n 0A >0AB >证明：；
0B > (6) 证明：若则；
,0A >,0A 1>?
Chapter6 范数与极限
向量范数
矩阵范数—1、2、∞、F 范数的定义与计算；
范数等价性—范数不等式
习题选讲：
（1）设，求????
????????=230321012A F A A A A ,,,21∞； （2） 设是可逆矩阵，n n C A ×∈*是满足1I =的相容矩阵范数， 证明：11A A ??≥ ；
（3） 设，证明： n m C A ×∈22)(A A rank A
A F ≤≤；
Chapter8 广义逆矩阵
广义逆矩阵的定义
广义逆矩阵+A 的定义、性质、计算
利用广义逆矩阵+A 判断线性方程组的相容性，并表示通解形式
习题选讲：
（1）叙述广义逆矩阵+A 的定义；
（2）设; 作出A 的满秩分解，并计算????
???????=120111200321A +A ；
（3）利用(2)中广义逆矩阵判断如下线性方程组
T ]3,3,6[Ax =
是否相容？若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。
南航矩阵论等价关系
Student’s Name: Student’s ID No.: College Name: The study of Equivalence Relations Abstract According to some relative definitions and properties, to proof that if B can be obtained from A by performing elementary row operations on A, ~ is an equivalence relation, and to find the properties that are shared by all the elements in the same equivalence class. To proof that if B is can be obtained from A by performing elementary operations, Matrix S A ∈ is said to be equivalent to matrix S B ∈, and ~A B means that matrix S A ∈ is similar to S B ∈, if let S be the set of m m ? real matrices. Introduction The equivalence relations are used in the matrix theory in a very wide field. An equivalence relation on a set S divides S into equivalence classes. Equivalence classes are pair-wise disjoint subsets of S . a ~ b if and only if a and b are in the same equivalence class.This paper will introduce some definitions and properties of equivalence relations and proof some discussions. Main Results Answers of Q1 (a) The process of the proof is as following,obviously IA=A,therefore ~ is reflexive;we know B can be obtained from A by performing elementary row operations on A,we assume P is a matrix which denote a series of elementary row operations on A.Then ,we have PA=B,(A~B),and P is inverse,obviously we have A=P -1B,(B~A).So ~ is symmetric.We have another matrix Q which denote a series of elementary row operations on B,and the result is C,so we have QB=C.And we can obtain QB=Q(PA)=QPA=C,so A~C.Therefore,~ is transitive. Hence, ~ is an equivalence relation on S . (b) The properties that are shared by all the elements in the same equivalence class are as followings: firstly,the rank is the same;secondly,the relation of column is not changed;thirdly,two random matrices are row equivalent;fourthly,all of the matrices
攻读硕士学位研究生入学考试试卷(doc 6页)
攻读硕士学位研究生入学考试试卷(doc 6页)
东南大学 二○○五年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 请考生注意：试题解答务请考生做在专用“答题纸”上！ 做在其它答题纸上或试卷上的解答将被视为无效答题，不予评分。 课程编号：442 课程名称：金属学 一、选择题（单项选择，每题2分，共40分） 1、两晶体的空间点阵相同，则 a、它们的晶体结构相同； b、它们的对称性相同； c、它们所属的晶系相同； d、它们所属的空间群相同。 2、配位数与致密度及间隙半径之间的关系是： a、配位数越高，致密度越低； b、配位数越高，致密度越高； c、配位数越高，间隙半径越大； d、配位数越高，间隙半径越小。
3、指出下列四个六方晶系的晶面指数中，哪一个是错误的： a、（1?3 22）； b、（0?1 1 2）； c、（0 3?1 2）； d、（3 ?1?2 2）。 4、间隙相和间隙固溶体的区别在于： a、间隙相的结构比间隙固溶体简单； b、间隙相中原子结合符合化合价规律，间隙固 溶体不符合化合价规律； c、间隙固溶体中间隙原子在溶剂晶格的间隙 中；间隙相中原子在正常原子位子上； d、间隙相中有点阵畸变；间隙固溶体中没有点 阵畸变。 5、A、B二组元形成共晶系，则： a、具有共晶成分的合金铸造工艺性能最好； b、具有亚共晶成分的合金铸造工艺性能最好； c、具有过共晶成分的合金铸造工艺性能最好； d、不发生共晶转变的合金铸造工艺性能最好。 6、Cu5Zn8，Cu9Al4，Cu31Sn8虽然化学成分不同， 但晶体结构相同，均属γ黄铜结构，这是因为：
a、Zn, Al, Sn三种元素的原子半径相近； b、这三种中间相的电子浓度相同； c、Zn, Al, Sn三种元素的电负性相近； d、Zn, Al, Sn三种元素的晶体结构相同。 7、与(021)和(121)同属一晶带的有： a、(121)； b、(221); c、(110); d、(221)。 8、几何密排和拓朴密排均属密排结构，两者的不同在于： a、几何密排的致密度比拓朴密排高； b、几何密排中的原子配位数比拓朴密排中的原 子配位数高 c、几何密排的晶体结构比拓朴密排复杂； d、几何密排是由同种原子组成的密排结构，而 拓朴密排是两种原子组成的密排结构。 9、晶粒尺寸和形核率N，线长大速度v g之间的关系是： a、N越大，晶粒尺寸越大； b、N/v g越大，晶粒尺寸越大； c、v g/N越大，晶粒尺寸越大；
2016矩阵论试题
第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 硕士研究生入学考试复试试题（自我介绍） Good evening, teachers and professions, I am glad to take part in this interview in this time in which spring is coming in Shanghai. Now let me interview myself. I am Wang Bingnan from Shanghai University of Sports. My major in the past four years is mass sports. Why I decide to learn this subject, because I know this is important. It is closely related to each of us. As the saying goes“Life is movement”, only we take part in the sports, we can have a good performance to meet the sunrise every day. Though I am succeed in the Undergraduate study, but I gradually find that only the people develop good exercise habits in the childhood, the whole nation can be stronger, so I decide to learn the Physical Education at the graduate level. I want to become a teacher, because I like this feeling which I can take my ideas, thoughts to my students, they are ignorant, but I can make them thoughtful and capable. Besides my hobby is reading and sporting. My favorite author is Wang Xiaobo, who is dead in 1997，of course it is a pity. I like him because he teaches me independent thinking, at the same time, his article is very interesting. My favorite football player is Mesut Ozil, who is born in Turkey and go to Germany with his parents in his childhood. He is a frontal in the Germany national football team and he is a very important 华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A 卷） 2013～2014学年第一学期 课程编号：50920021 课程名称：矩阵论 年 级：2013 开课单位：数理系 命题教师： 考核方式：闭卷 考试时间：120分钟 试卷页数： 2页 特别注意：所有答案必须写在答题册上，答在试题纸上一律无效 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n ，后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确，线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误，按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题（每小题3分，共27分） （6）210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. （7）301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页，将矩阵做变换即得 习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ； 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 d 21m 第 3 题 附 图 N χ χ =0 χ =N 上海交通大学 1997年硕士研究生入学考试试题 试题名称 传热学（含流体力学） 答案必须写在答题纸上 传热学（含流体力学） 1、输气管道内的空气温度t f =100℃，流速u=1/s, 用一支插入套管中的水银温度计测量空气温度 （见附图），温度计的读数是铁管底部的温度t h , 已知铁套管与输气管道连接处的温度t 0=50℃, 套管长度h=140mm,外径d=12mm ，材料的导热 系数λ=58.2w/(m 2·℃)，试问测温误差为多少度？ 已知温度计套管的过余温度分布式为 ) ()]([0 mh ch h x m ch -=θ θ式中，综合参数 第1f u m λα/= ，铁管与空气间的对流换热的准则式为参数为λ=3.21×10-2w/(m ·℃)，ν=23.13×10-6m 2/s. 2、 如附图所示，厚δ初始温度为t o 的大平板 一侧被突然置于 ∞ t 的流体中冷却，另一侧保持 绝热，已知大平板材料的导热系数，密度和比热 分别为 λρ、c ，试导出大平板内节点 n=1,2,…N-1及边界节点n=0,N 的显式差分方程。 这里，N 表示平板的等分刻度数。 3、一辐射换热系统的加热面布置于顶部，底部为受热表面，顶部表 面1和底部表面2间隔为1m ，面积均为1×1 m 2。已知顶面的黑度ε1=0.2，t 1=727℃底面ε2=0.2，t 2=227℃。其余四侧表面的温度及黑度均相同，为简化计算， 可将它看成整体看待，统称F3，F3是地面绝热 表面，试计算1，2面之间的辐射换热量及表面 3的温度t 3,已知1，2面之间的角系数X 1，2=0.2 4、凝结液膜的流动和换热符合边界层的薄层性质，若把坐标X 取为 重力方向（见附图），则竖壁膜状凝结换热时的边界层微分方程组可表示为： 2 2 )(y u g d dp y u u u l l l ??++-=??+??μ ρχνχρ 矩阵论 1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容 《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异： 线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容． 矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法 在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同： 线性代数：引入概念直观，着重计算． 矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将 来正确处理实际问题有很大的作用． 第1讲 线性空间 内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换和坐标变换； 3.子空间和维数定理； 4.线性空间的同构 线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域 代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数． 代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算． 代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统． 1.1群 定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ； Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P (a) (())'()p x xp x σ= (b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+ Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=. (())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈ The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-. (())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈= (c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++. (())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by 10 ()(())(0)p x dx p x p σ?? ?= ??? ? Find a matrix A such that ()x A ασαββ?? += ??? . Solution 1(1)1σ?? = ??? 1/2()0x σ?? = ??? 11/211/2()1010x ασαβαββ???? ???? +=+= ? ? ??????????? Hence, 11/210A ?? = ??? #10. Let σ be the transformation on 3P defined by (())'()"()p x xp x p x σ=+ a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -= d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ. Solution (a) (1)0σ= 全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题 一、选择题:1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数10 (),0x f x ax b x ?->?=??≤? 在0x =处连续，则 （A ）1 2ab = （B ）12 ab =- （C ）0ab = （D ） 2ab = 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 4． 若级数211 sin ln(1)n k n n ∞ =?? --??? ?∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T E αα-不可逆 6．已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，100020002C ?? ? = ? ??? ，则 （A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似 7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B U 与 中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师 一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。 二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。 三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。 四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。 六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。 攻读硕士学位研究生入学考试试卷-----------------------作者： -----------------------日期： 东南大学 二○○五年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 请考生注意：试题解答务请考生做在专用“答题纸”上！ 做在其它答题纸上或试卷上的解答将被视为无效答题，不予评分。 课程编号：442 课程名称：金属学 一、选择题（单项选择，每题2分，共40分） 1、两晶体的空间点阵相同，则 a、它们的晶体结构相同； b、它们的对称性相同； c、它们所属的晶系相同； d、它们所属的空间群相同。 2、配位数与致密度及间隙半径之间的关系是： a、配位数越高，致密度越低； b、配位数越高，致密度越高； c、配位数越高，间隙半径越大； d、配位数越高，间隙半径越小。 3、指出下列四个六方晶系的晶面指数中，哪一个是错误的： a、（1 3 22）； b、（0 1 1 2）； c、（0 3 1 2）； d、（3 1 2 2）。 4、间隙相和间隙固溶体的区别在于： a、间隙相的结构比间隙固溶体简单； b、间隙相中原子结合符合化合价规律，间隙固溶体不符合化合价规律； c、间隙固溶体中间隙原子在溶剂晶格的间隙中；间隙相中原子在正常原子位子上； d、间隙相中有点阵畸变；间隙固溶体中没有点阵畸变。 5、A、B二组元形成共晶系，则： a、具有共晶成分的合金铸造工艺性能最好； b、具有亚共晶成分的合金铸造工艺性能最好； c、具有过共晶成分的合金铸造工艺性能最好； d、不发生共晶转变的合金铸造工艺性能最好。 6、Cu5Zn8，Cu9Al4，Cu31Sn8虽然化学成分不同，但晶体结构相同，均属黄铜结构， 这是因为： a、Zn, Al, Sn三种元素的原子半径相近； b、这三种中间相的电子浓度相同； c、Zn, Al, Sn三种元素的电负性相近； d、Zn, Al, Sn三种元素的晶体结构相同。 7、与(021)和(121)同属一晶带的有： a、 (121)； b、 (221); c、 (110); d、 (221)。 8、几何密排和拓朴密排均属密排结构，两者的不同在于： . . . .. .. 大学1985年研究生入学考试试题 考试科目：有机化学考试时间：1985年2月14日下午 招生专业：有机化学研究方向： 指导教师： 试题： （一）写出下列各反应的最主要的一个产物（注意：只写一个，多写扣分）（20分） （1）C CH3 CH2 + .H O 2 .NaOH ?? B2H6 （2）CH3CH2CH2C CH KOH,C H OH ? Δ （3） CH2NH2 OH HNO ? （4）CH2CH2CH2COOCH3CHCH2CH2OH CH3 CH3 C5H11ONa +? 回流，分馏 异－ （5）NH2 NaHSO3H2O Δ ? （6） ?顺，顺，顺－CH3CH CHCH CHCH CHCH3 （7）CH3COCH2COOC2H5+NHNH2 Δ ? （8）CH3CHCH2CH2CH3 +(CH 3 )3 OH-Δ ? （9） NH2 NH2 +CH3 Δ ? （10） （浓） CF3++? H2SO4 HNO3（浓） . . . .. .. （二）（1） 已知醛型D （＋）－葡萄糖的费歇尔（Fischer ）投影结构式为： H OH CHO H OH OH H H OH CH 2OH , 请你画出β－ L （－）－葡萄吡喃糖的优势构象式。（5分） （2）按IUPAC 命名法命名下列化合物。（9分） ①② C C CH 3 Br COOH H ③CH 3 Br COOH CH 2CH 3 （三）用分子含不多于五个碳原子的开链化合物或不含取代基的芳环化合物作为起始物，和必要的无机试剂，合成以下的化合物。（25分） （1） HOOCCH 2CHCH 2CH 2COOH COOH （2） CH 3 O O 3 （3） Cl Br （5） N NO 2 （4）(CH 3)2N N N （四）（1）下列反应是通过怎样的机理进行的？（用反应式表示）（10分） ① COCH 3 + CO 3H CH 3COO ②NH NH HCl Δ H 2N NH 2.HCl 2 第 1 页 共 4 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则______||||1=A 。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为_______=A 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 _______ 3332345=-++-A A A A A . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 1)(2A 的Smith 标准形为 _________ 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 西北工业大学 2012年硕士研究生入学考试试题 试题名称：材料科学基础（A卷）试题编号：832 说明：所有答题一律写在答题纸上第页共页 一、简答题（每题10分，共50分） 1.请简述滑移和孪生变形的特点？ 2.什么是上坡扩散？哪些情况下会发生上坡扩散？扩散的驱动力是什么？ 3.在室温下，多数金属材料的塑性比陶瓷材料好很多，为什么？纯铜与纯铁这两种金 属材料哪个塑性好？说明原因。 4.请总结并简要回答二元合金平衡结晶过程中，单相区、双相区和三相区中，相成分 的变化规律。 5.合金产品在进行冷塑性变形时会发生强度、硬度升高的现象，为什么？如果合金需 要进行较大的塑性变形才能完成变形成型，需要采用什么中间热处理的方法？而产品使用时又需要保持高的强度、硬度，又应如何热处理？ 二、作图计算题（每题15分，共60分） 1、在Fe-Fe3C相图中有几种类型的渗碳体？分别描述这些渗碳体的形成条件，并绘制 出平衡凝固条件下这些不同类型渗碳体的显微组织形貌。 2、在两个相互垂直的滑移面上各有一条刃型位错AB、XY，如图所示。假设以下两 种情况中，位错线XY在切应力作用下发生运动，运动方向如图中v所示，试问交割后两位错线的形状有何变化（画图表示）？在以下两种情况下分别会在每个位错上形成割阶还是扭折？新形成的割阶或扭折属于什么类型的位错？ 3、已知H原子半径r为0.0406nm，纯铝是fcc晶体，其原子半径R为0.143nm，请问H 原子溶入Al时处于何种间隙位置？ 4、柱状试样，当固溶体合金（k0＞1）从左向右定向凝固。凝固过程中假设，凝固速度快， 固相不扩散、液相基本不混合，α/L（固/液）界面前沿液体中的实际温度梯度为正温度梯度。由于α/L界面前沿液体存在成分过冷区，晶体易以树枝状结晶生长。当合金从左向右定向凝固，达到稳态凝固区时，请分析并画出：①k0＞1相图；②α/L界面处固体、液体的溶质浓度分布图；③液体中成分过冷区图 三、综合分析题（共40分） 1、试用位错理论解释低碳钢的应变时效现象。 2、如图所示，在立方单晶体中有一个位错环ABCDA，其柏氏矢量b平行于z轴 1）指出各段位错线是什么类型的位错。 2）各段位错线在外应力τ作用下将如何运动？请绘图表示 西北工业大学 2012年硕士研究生入学考试试题答案 试题名称：材料科学基础试题编号：832 说明：所有答题一律写在答题纸上第页共页 四、简答题（每题10分，共50分） 6.请简述滑移和孪生变形的特点？ 1) 一组基为q = .维数为3. 3) 南京航空航天大学双语矩阵论期中考试参考答案(有些答案可能有问题) Q1 1解矩阵A 的特征多项式为 A-2 3 -4 4I-A| =-4 2+6 -8 =A 2(/l-4) -6 7 A-8 所以矩阵A 的特征值为4 =0(二重)和/^=4. 人?2 3 由于(4-2,3)=1,所以D| (人)二1.又 彳 人+6=“2+4人=?(人) 4-2 3 、=7人+4=代(人)故(们3),代3))=1 ?其余的二阶子式(还有7个)都包含因子4, -6 7 所以 D? 3)=1 .最后 det (A (/L))=42(人.4),所以 D 3(A)=/l 2 (2-4). 因此矩阵A 的不变因子为d, (2) = d 2(2) = l, d 3 (2) = r (2-4). 矩阵A 的初等因子为人2, 2-4. 2解矩阵B 与矩阵C 是相似的.矩阵B 和矩阵C 的行列式因子相同且分别为9 3)=1 , D 2(/i)=A 2-/l-2 .根据定理：两矩阵相似的充分必要条件是他们有相同的行列式因子. 所以矩阵B 与矩阵c 相似. Q2 2)设k 是数域p 中任意数，a, 0, /是v 中任意元素.明显满足下而四项. (") = (",a) ； (a+月,/) = (",/) + (”,刃；(ka,/3) = k(a,/3) ； (a,a)>0, 当且仅当Q = 0时(a,a) = ().所以(。,/?)是线性空间V 上的内积. 利 用Gram-Schmidt 正交化方法，可以依次求出 ,p 2 =%-(％'5)与= 层=%-(％,弟与一(％,弓)役= 习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10. 若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，硕士研究生入学考试复试试题(自我介绍)
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