高等数学多元函数微分法

第 八 章 多元函数微分法及其应用

第 一 节 多元函数的基本概念

教学目的:学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概

念,掌握多元函数的连续性定理,能够判断多元函数的

连续性,能够求出连续函数在连续点的极限。

教学重点:多元函数概念与极限,多元函数的连续性定理。 教学难点:计算多元函数的极限。

教学内容:

一、 区域

1． 邻域

设),(000y x p 就是xoy 平面上的一个点,δ就是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体,称为点0P 的δ邻域,记为),(0δP U ,即

),(0δP U =}{0δ

也就就是

),(0δP U = {),(y x │δ<-+-2020)()(y y x x }。

在几何上,),(0δP U 就就是xoy 平面上以点),(000y x p 为中心、0>δ为半径的圆内部的点),(y x P 的全体。

2． 区域

设E 就是平面上的一个点集,P 就是平面上的一个点。如果存在点P 的某一邻域E P U ?)(,则称P 为E 的内点。显然,E 的内点属于E 。

如果E 的点都就是内点,则称E 为开集。例如,集合

}41),{(221<+<=y x y x E 中每个点都就是E 1的内点,因此E 1为开集。

如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点,也有不属于E 的点(点P 本身可以属于E ,也可以不属于E ),则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称

为E 的边界。例如上例中,E 1的边界就是圆周12

2=+y x 与 22y x +=4。 设D 就是点集。如果对于D 内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于D ,则称点集D 就是连通的。

连通的开集称为区域或开区域。例如,}0),{(>+y x y x 及

}41),{(22<+

开区域连同它的边界一起所构成的点集,称为闭区域,例如

{),(y x │y x +≥0}及{),(y x │1≤2

2y x +≤4}

都就是闭区域。

对于平面点集E ,如果存在某一正数r ,使得 (0,)E U r ?,

其中0就是原点坐标,则称E 为有界点集,否则称为无界点集。例如,{),(y x │1≤2

2y x +≤4}就是有界闭区域,{),(y x │y x +>0}就是无界开区域。

二、多元函数概念

在很多自然现象以及实际问题中,经常遇到多个变量之间的依赖关系,举例如下:

例1 圆柱体的体积V 与它的底半径r 、高h 之间具有关系

h r V 2π=。

这里,当r 、h 在集合}0,0),{(>>h r h r 内取定一对值),(h r 时,V 的对应值就随之确定。

例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 与绝对温度T 之间具有关系 p =V

RT , 其中R 为常数。这里,当V 、T 在集合0{(,)0,}V T V T T >>内取定一对值(,)V T 时,p 的对应值就随之确定。

定义1 设D 就是平面上的一个点集。称映射:f D R →为定义在D 上的二元函数,通常记为

),(y x f z =,(,)x y D ∈(或)(P f z =,P D ∈)。

其中点集D 称为该函数的定义域,y x 、称为自变量,z 称为因变量。数集

}),(),,({D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域。

z 就是y x ,的函数也可记为 ),(y x z z =, (,)z x y ?=等等。

类似地可以定义三元函数),,(z y x f u =以及三元以上的函数。一般的,把定义1中的平面点集D 换成n 维空间内的点集D ,则可类似地可以定义n 元函数),,,(21n x x x f u =。n 元函数也可简记为)(P f u =,这里点D x x x P n ∈),,,(21 。当1=n 时,n 元函数就就是一元函数。当2≥n 时,n 元函数就统称为多元函数。

关于多元函数定义域,与一元函数类似,我们作如下约定:在一般地讨论用算式表达的多元函数()u f x =时,就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。例如,函数)ln(y x z +=的定义域为

}0){(>++y x y x