北京第四十三中学高三数学(文科)周考试卷(四)

北京第四十三中学高三数学（文科）周考试卷（四） 2012.10.15

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 6

23sin

π

等于( ) A. 21 B. 23 C. 23- D. 2

1

-

2．1．若集合{}

21213,03x A x x B x

x +??

=-<=

,则A B ?是（ ）

A 23112

x x x <

?-<<-???

?

或 B {}

23x x <<

C 122x x ??-<

D 112x x ?

?-<<-???

?

3.在等比数列{a n }中，a 5 a 7 ＝ 6，a 2＋a 10 ＝ 5，则=8

q ( )

A ．－23 或－32 B. 23 C .32 D .23 或 3

2

4..已知532

sin

=

α

，5

4

2cos -=α ，那么角α的终边在 ( ) A ．第一象限

B ．第三或第四象限

C ．第三象限

D ．第四象限

5.已知向量a =(1,2)，向量b =(,2)x -，且a ⊥(a -b )，则实数x 等于（ ） A. 4- B. 4 C. 0 D. 9

6.曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12 )处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15

7.设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f ( 1)) 处切线的斜率为 ( )

A ．4

B ．－14

C ．2

D ．－1

2

8. 函数y ＝f (x )在定义域????－3

2，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( ) A.????－32，1

2∪[1,2)

B.????－1，12∪????43，83

C.????－1

3，1∪[ 2,3)

D.? ????－32，－1∪??????12，43∪????

??83，3 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分

9. 在等差数列{a n }中，a 2 ＝2，a 3 ＝4，则a 10＝

10.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝

11. 已知向量a 与b

夹角为120°，且13||,3||=+=b a a ，则||b 等于

12. 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列1n a ??

?

???

的前5项和为

13. .在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，n ∈N *，则S 100＝ ． 14将石子摆成如图的梯形形状.称数列5,9,14,20, 为“梯形数”.根据 图形的构成,数列第6项6a = ; 第n 项n a = .

答题纸

9.

10. 11.

12. 13. 14.

班级 姓名 成绩 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或

推证过程．

15．函数R x x x x f ∈-+-=,)2

sin()2cos()(π. （Ⅰ）求)(x f 的周期；

（Ⅱ）求)(x f 在),0[π上的减区间；

（Ⅲ）若=)(αf 5102，)2,0(πα∈，求)4

2tan(π

α+的值.

16.已知(sin ,),(cos ,cos ),()a x x b x x f x a b ===?

.

（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,3ππ??

????

上的最大值和最小值.

班级 姓名 成绩

17.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，公差0>d ，且4532=?a a ，1441=+a a ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）通过公式c

n S b n

n +=

构造一个新的数列}{n b ．若}{n b 也是等差数列，求非零常数c .

18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S （*

n ∈N ）．

（Ⅰ）证明:数列{}n a 是等比数列；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足*

1()n n n b a b n +=+∈N ，且12b =，求数列{}n b 的通项公式．

19. 在数列{}n a 中31=a ，121+--=-n a a n n （*

,2N n n ∈≥） （1）求2a ，3a 的值

（2）证明：数列{n a n +}是等比数列，并求{}n a 的通项公式 （3）求数列{}n a 的前n 项和n S

20. 已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的极值点；

（Ⅱ）若直线l 过点(0,1)-，并且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程；

（Ⅲ）设函数()()(1)g x f x a x =--，其中a R ∈，求函数()g x 在区间[1,e]上的最小值.

（其中e 为自然对数的底数）

答 案 DDDDDCAC

18 -1 4 16

31

2600 35 2452++n n

15. 解：（1）)42(sin 22cos 2sin

)2sin()2cos()(π

π+=+=-+-=x x x x x x f

∴ )(x f 的周期2412

T π

π== （2）由Z k k x k ∈+≤+≤+,223

4222πππππ，

得Z k k x k ∈+≤≤+,42

5

42ππππ。 又),0[π∈x ， 令0=k ，得

ππ

252≤≤x ；令1-=k ，得ππ2

3

27-≤≤-x （舍去） ∴ )(x f 在),0[π上的减区间是),2

[

ππ

。

（3）由=

)(αf 5

102，得51022cos 2sin =+αα，

∴58sin 1=

+α，∴53

sin =α 又)2

,

0(π

α∈，∴5

4

2591sin 1cos 2=-

=-=αα， ∴ 4

3

cos sin tan ==

ααα，∴72416

9143

2tan 1tan 22tan 2=-?

=

-=ααα， ∴)4

2tan(π

α+

17317

2411

7244

tan 2tan 14

tan 2tan -=-

+=-+=

π

απ

α。

16.2

3)3

2sin()(+

+

=π

x x f （1）周期π （2）当12

7π

=

x 时最小值为123-，当π=x 时最小值为3 17．解：（Ⅰ）∵ 数列{}n a 是等差数列，

∴ 144132=+=+a a a a ．又4532=a a ， ∴ ??

?==9532a a ，或???==59

3

2a a ．

∵ 公差0>d ，∴ 52=a ，93=a ． ∴ 423=-=a a d ，121=-=d a a ．

∴ 34)1(1-=-+=n d n a a n ． （Ⅱ）∵ n n n n n d n n na S n -=-+=-+

=212)1(2)1(2

1

， ∴ c

n n

n c n S b n n +-=

+=22． ∵ 数列{}n b 是等差数列， ∴ 212+++=n n n b b b ．

∴ c

n n n c n n n c n n n +++-+++-=+++-+?)2()

2()2(22)1()1()1(22222．

去分母，比较系数，得 2

1

-

=c ． ∴ n n n

n b n 22

122=-

-=．

18.（2011东城二模文16）（（Ⅰ）证明：由34-=n n a S ，1n =时，3411-=a a ，解得11=a .

因为34-=n n a S ，则3411-=--n n a S (2)n ≥， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14

3

n n a a -=

. 又110a =≠，

所以{}n a 是首项为1，公比为

4

3

的等比数列. ……………………6分

（Ⅱ）解：因为14()3

n n a -=，

由*

1()n n n b a b n +=+∈N ，得114()3

n n n b b -+-=. 可得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

＝1)34(33

41)34(1211

-=--+--n n ，

（2≥n ）， 当1n =时也满足，

所以数列{}n b 的通项公式为1)3

4(31

-=-n n b . …

19.（1）62-=a 13=a

（2）{n a n +}是首项4公比 -1的等比数列，n a n n --?=-1

)1(4

（3）2

)

1()1(22--

-?-=n n S n

n 20.解：（2011西城一模文18）.

（Ⅰ）()ln 1f x x '=+，0x >， ……………………2分

由()0f x '=得1

e x =

， ……………………3分 所以，()f x 在区间1(0,)e 上单调递减，在区间1

(,)e

+∞上单调递增.…………4分

所以，1

e

x =是函数()f x 的极小值点，极大值点不存在. …………………5分

（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则000ln y x x =， …………………6分

切线的斜率为0ln 1x +， 所以，000

1

ln 1y x x ++=

， …………………7分 解得01x =，00y =， …………………8分 所以直线l 的方程为10x y --=. …………………9分 （Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，

则()ln 1g x x a '=+-， …………………10分 解()0g x '=，得1

e a x -=，

所以，在区间1

(0,e

)a -上，()g x 为递减函数，

在区间1

(e

,)a -+∞上，()g x 为递增函数. …………………11分

当1e 1a -≤，即1a ≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，

所以()g x 最小值为(1)0g =. …………………12分 当1

1

当1e e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，

所以()g x 最小值为(e)e e g a a =+-. ………………14分

综上，当1a ≤时，()g x 最小值为0；当12a <<时，()g x 的最小值1

e a a --；当2

a ≥时，()g x 的最小值为e e a a +-