高三第4次月考试题数学(文科)

张家界市一中高三第四次月考试题

数学（文科） _____班 姓名_____

本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟.

一、选择题（本大题满分40分）本大题共有8题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号填好，选对得5分，否则一律得零分.

1. 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 ( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.

（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 答案：B

解析：“两条直线没有公共点”，它们的位置关系可能平行，也可能异面.所以“两条直线没有公共点”

2.过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 ( ) （A ）0=x （B ）1=y （C ）01=-+y x D ）01=+-y x 答案：C

解析：将圆的方程化成标准形式得2

2

(1)4x y -+=，圆心为(1,0)A ，半径为2r =.当直线经过圆心时，被圆截得弦长最长.故该直线的斜率为10

101

k -==--，

直线方程为1y x =-+，即01=-+y x .

3. 一个几何 体的三视图如右图所示，其中正视图中ABC 是边长为2的正三形，视图为正六边形，那么该几何的侧视图的面积为 （ D ） A. 12 B.

23 C.12 D, 32

4．计算

111

111

++= ( )

A. 3

B. 13

C. 23

D. 3

5

答案：C

5. .在△ABC 中，若 60,75,3=∠=∠=ACB ABC AB ，则BC 等于 ( ) A

C

D 俯视图

侧视图

正视图

C

B

解析： 18045BAC ABC ACB ∠=-∠-∠=，由正弦定理得sin sin BC AB

BAC BCA

=

∠∠，即

3

sin 45sin 60

BC

=

，解得BC =6. 已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足)()(x f x f =-.若方程0)(=x f 有个实数解，则这个实数解之和为

A 0

B 1

C 1-

D 2

解析：由题意知函数)(x f 为偶函数，若()0f m =，则有()()0f m f m -==，即若m 为方程0)(=x f 的根，则m -也为方程0)(=x f 的根.因为方程0)(=x f 有个实数解，所以必有一根为0，即这个实数解之和为0.

7. 若集合[){}2

10A m y x mx ==+++∞的值域，

，集合{}

10B m mx =++≥2

函数y=x 恒成立，则

A A=

B B. ,B A ≠

? C. A B ≠

? D A B =?

答案：C

8. 已知等差数列{}n a 前项n 和为n S ，且 2

11210,m m m m a a a S -+-+-==38,则m=（ A ）

A. 10

B. 100

C.

D.. 解:()()2121

1112121,2,2121382

m m m m m m m m a a a a a a a a S m a m --+--++=+===

-=-=， ()22138,10m m -==

二、填空题（本大题满分35分）本大题共有7题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得

5分，否则一律得零分. 9.函数y =的定义域是 . 答案：{|1}x x ≥

10.函数2

cos x y =的最小正周期=T . 答案：4π

解析： 最小正周期2412

T π

π=

=. 11．已知一种原料的最佳加入量在1000g 到g 之间。若按照0.618法优选，则第二次试点加入量为_____g

解：()11000200010000.6181618x =+-?= 21000200016181382.x =+-= 12.已知2,

3==b a

.若3-=?b a ，则a 与b

夹角的大小为 .

答案：

23

π 解析：31

cos ,322||||

a b a b a b -<>=

==-??，又因为,[0,]a b π<>∈，所以2,3a b π<>=. 13.过点)1,4(-A 和双曲线116

92

2=-y x 右焦点的直线方程为 .

答案：50x y --=

解析： 2

2

9,16a b ==，故22225c a b =+=，双曲线的右焦点为(5,0)F .

0(1)

154

AF k --=

=-，故直线AF 的方程为5y x =-，即50x y --=.

14.数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对与满足以下运算性质：①2*2=1，②

()()222322n n +*=*,则用含n 的代数式表示22n *为_______________

先考察一下事件：

()()12122423223?+*=*=*= ()()22222623423?+*=*=*=，

()()32322823623?+*=*=*= 可见()1

222123n n n -*=-*=????

15.已知x 是1+2y 与1-2y 的等比中项，则

22xy

x y

+的最大值为_______

解：由条件得22

11144,4,4x y x y xy xy =+≥?≤

≥当2xy x y

+取最大值时，0,0.x y ≠≠所以

2

2222

2244441

1414648124xy

x y x y

xy xy xy

xy ===≤=++-??++- ???

所以

2xy x y ≤+

三、解答题（本大题满分75分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.

16 (本题满分12分)已知点M 在X 轴上，点N 在Y 轴上，且2MN =,点P 为线段MN 的中点。

(1) 求点P 的轨迹方程。

(2)若直线0ax by c ++=与上述轨迹交于A.B 两点，且AB =求：OB OA ?的值。 解：(1)连op ,因为P 为直角三角形MON 斜边的中点，所以1op =，所以,点P 的轨迹方程：

221x y +=。

（2）因为直线0ax by c ++=与2

2

1x y +=交于 A.B 两点，且AB =所以

120AOB ?∠=

OB OA ?=1111202

COS ???=-

17. (本题满分12分)中心在原点的椭圆与抛物线2

4y x =有一个公共焦点，且其离心率是双曲线2

2

221x y -=的离心率的倒数， （1）求椭圆方程。 （2）若（1，

1

2

）是直线l 被椭圆截得的线段的中点，求直线l 的方程。

解：（1）由条件知：椭圆的焦点()()1,0,1,0-且他的离心率为

e =

，知1,1c a b === 所以椭圆为：2

212

x y += （2）设线段AB 的(),A x y 则B

()2,1x y --。由

22121x y +=及()()2

2

21121x y --+=，两式相减得直线l 的方程为 2230x y +-=

18. (本题满分12分)．如图:平面ABCD ⊥平面ABEF ,ABCD 是正方形,ABEF 矩形，且

1

22

AF AD =

=,G 是EF 的中点。 （1）求证平面AGC ⊥平面BGC ;(2)求四面体AGBC 的体积。

，

(1)证明：因为ABCD 是正方形,ABEF 矩形，且1

22

AF AD =

=,G 是EF 的中点。

得：AG BG ===于是有2

2

2

,AG BG AB +=所以AG BG ⊥,又因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，且CB AB ⊥,所以

CB ⊥平面ABEF ,得CB AG ⊥,所以

AG ⊥平面BCG . 又因为直线AG 在平面AGC 内，故：平面AGC ⊥平面BGC . (2)由（1）知：直线CP ⊥平面ABEF ,所以CB 是四面体AGBC 的高,而:

1

42ABC S =?=,所以116

4433

CABG V =??=

.19. (本题满分13分) 已知函数()2

2cos sin .2x f x a x b ??=++ ??

?

（1）当1a =时，求函数的单调递增区间；

（2）当0a <时，函数()f x 的值域是[]3,4，求a b +的值

解：()()cos 1sin sin 4f x a x x b x a b π?

?=+++=

+++ ??

?

（1）当1a =时，()14f x x b π?

?=+++ ??

?

当22,2

4

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+∈时，()f x 是增函数，

所以，函数的单调递增区间为32,244k k k Z ππππ??

-

++∈????

（2）当0a <时，在sin 14x π?

?

+

= ??

?

时，函数()f x 取得最小值33a b ++=①

在sin 14x π??

+

=- ??

?

时，函数()f x 取得最大值4，即4a b ++=，②

由 ①+②得72

a b +=

20. (本题满分13分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y （万

元）与年产量x 吨之间的关系式可以近似地表示为2

4880005

x y x =-+，已知此生产线年产量最大为210吨。

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解：（1）每吨平均成本为

y

x

（万元）

则

80004848325y x x x =+-≥= 。当且仅当80005x x

=，即200x =时取等号

所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元。 （2）设年获得总利润为()R x 万元

则()22

404048800088800055x x R x x y x x x =-=-+-=-+- ()()2

1220168002105

x x =-

-+≤≤ 因为()R x 在[]0,210上是增函数，所有210x =时()R x 有最大值为()2

21022016801660--+=。 所以年产量为210吨时，可以获得最大利润1660万元。

21. (本题满分13分) 已知数列{}n a 中12a =，点()1,n n a a +在函数()2

2f x x x =+的图

像上()

n N *∈，（1）求n a ，（2）若()()()12111n n T a a a =++???+，求n T

()

2

2!122,11n n n n n a a a a a ++=+∴+=+()()()()1

11211lg 12lg 1,lg 1lg 122lg3lg3n n n n n n a a a a ---+∴+=+∴+=+?==

11

2213,3 1.n n n n a a --∴+=∴=-

（2）.0

1

2

1

0121

2222222221

33333

3

n n n n T --++++-=???????==