浙江省杭州二中11-12学年高二数学上学期期末试题-文

杭州二中2011学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）

1.“1=a ” 是“直线(

)

02

=++y x a a 和直线012=++y x 互相平行”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2. 设b a ,为两条直线，βα,为两个平面，下列四个命题中真命题是（ ）

A ．若b a ,与α所成角相等，则b a //

B ．若βαβα//,//,//b a ，则b a //

C ．若b a b a //,,βα??，则βα//

D ．若βαβα⊥⊥⊥,,b a ，则b a ⊥

3. 已知y x ,满足条件x 1x-2y+30

y x ≥??

≥??≥?

，

则y x 43-的最大值为( ) A ．1 B ．-1 C ．5 D ．-5

4. 双曲线13

622=-y x 的渐近线与圆()()03222

>=+-r r y x 相切，则r 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ．6

5. 设P 为双曲线

22

1916

x y -=上的一点且位于第一象限。若1F 、2F 为此双曲线的两个焦点，且1:3:21=PF PF ，则12F

PF ?的周长等于 ( ) A ．22 B ．16 C ．14 D ．12

6. 已知点21,F F 分别是椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆

交于B A ,两点，若2ABF ?为正三角形，则该椭圆的离心率是（ ）

A ．21

B ．22

C ．3

1

D ．33

7. 若直线b x y +=与曲线262x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ）

A ．]231,231[+---

B ．]2,231[--

C ．]231,2[+-

D ．]2,4[-

8.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）

A ．

43 B ．45 C ．4

7

3

9. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是（ ）

A ．3

3

1cm B ．

33

2cm

C ．

334

cm D ．33

8cm

10.已知A ,B 是椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 长轴的两个顶点，

N M ,是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线BN AM ,的斜率分别

为12,k k ，且021≠k k ，若21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为（ ） A ．

1

2

B ．22

C ．23

D ．32

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答卷中相应横线上）

11.若命题“R x ∈?，使得()0112

<+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．

12.已知实数x 、y 满足：101010x x y x y -≤??-+≥??+-≥?

，则2

2y x z +=的最小值是 .

13.已知双曲线的两个焦点()()0,10,0,1021F F -，M 是此双曲线上的一点，且02

1

=?MF

MF ，

221=?MF MF ，则双曲线的方程为 .

14.已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆122

22=+b

y a x ()0>>b a 上，x AB //轴，AD 过左焦点F ，则

该椭圆的离心率为 .

15.三棱锥ABC S -中,

90=∠=∠SCA SBA , △ABC 是斜边a AB =的等腰直角三角形, 则以下结论中: ① 异面直线SB 与AC 所成的角为 90； ② 直线⊥SB 平面ABC ； ③ 面⊥SBC 面SAC ； ④ 点C 到平面SAB 的距离是2

a

. 其中正确结论的序号是 _______________ .

16. 如图，在长方形ABCD 中,3=AB ,1=BC ,E 为线段DC 上一动点，现将AED ?沿AE 折起，

使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为

侧视图

2

正视图

2 2

俯视图

2 1 1

8题

三、解答题（本大题共4小题，共36分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分8分）已知命题:P 函数()1

2

+=

x x

x f 在区间()12,+a a 上是单调递增函数；命题:Q 不等式()()042222

<--+-x a x a 对任意实数x 恒成立.若Q P ∨是真命题，求实数a 的取值范围.

18.（本小题满分8分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

19.（本小题满分10分）在直三棱柱111C B A ABC -中，

90=∠ACB ，11===AA BC AC ，E D ,分别为棱AB 、BC 的中点，M 为棱1AA 上的点。 (1)证明：D C B A 111⊥； (2) 当2

3

=AM 时，求二面角A DE M --的大小。

20.（本题满分10分）已知椭圆C ：12222=+b

y a x ()0>>b a 的离心率为23

，短轴一个端点到右焦点的

距离为2．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点B A ,，已知点A 的坐标为)0,2(-，若点()0,0y Q 在线段AB 的垂直平分线上，且4=?QB QA .求0y 的值.

杭州二中2011学年第一学期高二年级期末考试数学答题卷（文科）

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11． ． 12． ． 13． ．

14． ． 15． ． 16． ． 三、解答题（本大题共4小题，共36分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分8分）已知命题:P 函数()1

2+=

x x

x f 在区间()12,+a a 上是单调递增函数；命题:Q 不等式()()042222<--+-x a x a 对任意实数x 恒成立.若Q P ∨是真命题，求实数a 的取值

范围.

18．（本小题满分8分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

19．（本小题满分10分）在直三棱柱111C B A ABC -中，

90=∠ACB ，11===AA BC AC ，E D ,分别为棱AB 、BC 的中点，M 为棱1AA 上的点。 (1)证明：D C B A 111⊥； (2) 当2

3

=AM 时，求二面角A DE M --的大小。

20．（本题满分10分）已知椭圆C ：12222=+b

y a x ()0>>b a 的离心率为23

，短轴一个端点到右焦点

的距离为2． (1)求椭圆C 的方程；

(2)设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点B A ,，已知点A 的坐标为)0,2(-，若点()0,0y Q 在线段AB 的垂直平分线上，且4=?QB QA .求0y 的值.

杭州二中2011学年第一学期高二年级期末考试数学答题卷（文科）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A

D

B

C

A

D

B

D

C

C

二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）

11． []3,1- ． 12． 2

1

． 13． 1922=-y x ．

14．

215- ． 15． 1,2,3,4 ． 16． 3

π

．

三、解答题（本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17．解：若P 是假，可得1-≤a 或0>a …………………2分

若Q 是真，可得2=a 或?

?

?

2a 得：22≤<-a ，

所以Q 若是假，得2-≤a 或2>a …………………2分

??

?>-≤>-≤∴2

20

1a a a a 或或得22>-≤a a 或 …………….2分 由Q P ∨是真命题可得(]2,2-∈a ………………….2分 18．解：设为该儿童分别预订x 个单位的午餐和y 个单位的晚餐，设费用为F ， 则F y x 45.2+=，由题意知：

64812≥+y x 4266≥+y x 54106≥+y x

0,0>>y x ……………2分

画出可行域： ……………2分

变换目标函数：485F

x y +

-

= …………2分

F 取得最小,即要满足条件，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐……2分 19. (1) 证明：易得A C B C 11=，又因为D 为中点，所以AB D C ⊥1，

由11//B A AB 得D C B A 111⊥ …………………4分 （2）以C 为原点，CA 所在射线为x 轴，CB 所在射线为y 轴，CC 1所在射线为z 轴建立空间直角坐标

系，各点坐标为：)2

3

,

0,1(),0,2

1,0(),0,21,21(),0,1,0(),0,0,1(M E D B A ………………..1分 设面MDE 的法向量为),,(z y x =，???

? ??-==23,21,21),0,0,21

(求得()

1,3,0=……2分 面ADE 的法向量为)1,0,0(=m ………1分

2

1

=

=

，所以二面角的大小为3π. …………2分

20．解：（1） 椭圆的方程为2

214

x y +=. ……………….3分 (2)解：由（1）可知A （-2,0）。设B 点的坐标为（x 1,,y 1）,直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y=k(x+2),

于是A,B 两点的坐标满足方程组22

(2)14y k x x y =+??

?+=??

由方程组消去Y 并整理，得2

2

2

2

(14)16(164)0k x k x k +++-= ………1分

由212

164

2,14k x k

--=+得 21122

284,,1414k k x y k k -==++从而

设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为222

82(,)1414k k

k k -++

……………1分 （1）当k=0时，点B 的坐标为（2,0）。线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是

000(2,y ),(2,=QA QB y QA QB y →

→

→

→

=--=-±）由4，得=……………1分

（2）当K 0≠时，线段AB 的垂直平分线方程为???

?

??++-=+-2224181412k k x k k k Y 令x=0，解得2

0416k k

y +-=

由0110(2,y ),(,QA QB x y y →

→

=--=-）

210102222

2(28)6462(()14141414k k k k QA QB x y y y k k k k →

→

--=---++++++）=

4222

4(16151)4(14)k k k +-=+=

……………2分

整理得2

072,=75k k y ==±

±故

综上

00==5y y ±±

……………2分