第12章 变化的电磁场作业
第12章 变化的电磁场
思考题
12.1 在电磁感应定律t d d ?ε-=中，负号的意义是什么？你是怎样根据正负号来确定感应电动势的方向的？
答：负号反映了感应电动势的方向，是愣次定律的体现。用正负符号来描述电动势的方向，首先应明确电动势的正方向（即电动势符号为正的时候所代表的方向）。在电磁感应现象中电动势的正方向即是所选回路的绕行方向，由于回路的绕行方向与回路所围面积的法线方向（即穿过该回路磁通量的正方向）符合右手螺旋，所以，回路电动势的正方向与穿过该回路磁通量的正方向也符合右手螺旋。原则上说，对于穿过任一回路的磁通量，可以任意规定它的正负，因此，在确定感应电动势的方向的时，可以首先将穿过回路的磁通量规定为正，然后，再按右手螺旋关系确定出该回路的绕行方向（即电动势的正方向）。最后，再由电动势ε的符号，若ε的符号为正即电动势的方向与规定的正方向相同，否则相反。
12.2 如图，金属棒AB 在光滑的导轨上以速度v 向右运动，从而形成了闭合导体回路ABCDA 。楞次定律告诉我们，AB 棒中出现的感应电流是自B 点流向A 点，有人说：电荷总是从高电势流向低电势。因此B 点的电势应高于A 点，这种说法对吗？为什么?
答：这种说法不对。回路ABCD 中AB 棒相当于一个电源，A 点是电源的正极，B 点是电源的负极。这是因为电源电动势的形成是非静电力做功的结果，非静电力在将正电荷从低电势的负极B 移向高电势的正极A 的过程中，克服了静电力而做功。所以正确的说法是：在作为电源的AB 导线内部，正电荷从低电势移至高电势。是非静电力做正功；在AB 导线外部的回路上，正电荷从高电势流至低电势，是静电力做正功。因此，B 点的电势低，A 点的电势高。
12.3 一根细铜棒在均匀磁场中作下列各种运动(如图)，在哪种运动中铜棒内产生感应电动势？其方向怎样?
(1) 铜棒向右平移(图a )。
(2) 铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动(图b )。 (3) 铜棒绕通过中心的轴在平行于B 的平面内转动(图c )。
答：(a)无；(b)由中心指向两端；(c)无。
图12.2 思考题12.3图
(a) (b)
(c)
A
B
图12.1 思考题12-2图
12.4 如图所示，一矩形金属线框，以速度v 从无场空间进入一均匀磁场中，然后又从磁场中出来，到无场空间中，不计线圈的自感，下面哪一条图线正确地表示了线圈中的感应电流对时间的函数关系？ (从线圈刚进入磁场时刻开始计时，I 以顺时针方向为正)
答：(C)
12.5 如图所示，为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面
积为A ，匝数为N ，电阻为R ，其法向n
与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时，冲击电流计测得感应电量为q ，问小线圈所在位置的磁感应强度为多少？
答：R
NBA
R ΔΦdt εR Idt q ====??
1 NA
Rq
B =
12.6 将磁铁插入铜质园环中，铜环内有感应电流和感应电场吗？如果用非金属环代替铜环，环中还有感应电流和感应电场吗？
答：铜环内有感应电流和感应电场。如果用非金属环代替铜环，环中则无感应电流，但感应电场仍然存在。
12.7 两个线圈的自感系数分别为1L 和2L ，现把这两个线圈串联起来，在怎样情况下，系统的自感系数为21L L L +=，又在怎样情况下，系统的自感系数21L L L +≠。
答：在这两个线圈无互感影响的情况下，L =L 1+L 2。当这两个线圈有互感影响时，L ≠L 1+L 2。 12.8 用金属丝绕成的标准电阻要求无自感，怎样绕制才能达到这一要求？为什么？ 答：把金属丝对折成双线如图缠绕即可。这样，近似地说，标准电阻部分的回路包围的面积为零，有电流时磁通为零，故自感为零。
12.9 当扳断电路时，开关的两触头之间常有火花发生，如在电路里串接一电阻小、电感大的线圈，在扳断开关时火花就发生得更厉害，为什么会这样?
答：扳断电路时，电流从最大值骤然降为零，d I/d t 很大，自感电动势就很大，在开关触头之间产生高电压，击穿空气发生火花。若加上电感大的线圈，自感电动势就更大，所以扳断开关时，火花也更厉害。
12.10 为什么在电子感应加速器中，只有1/4的周期内才能对电子起加速作用？
图12.3 思考题12.4图
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
B
t
t
t
t
(a )
(b )
接冲击电流计
图12.4 思考题12.5图
思考题12-8解图
电子感应加速器是利用感生电场加速电子的高能电子加速器，在圆柱形电磁铁的两磁极间放置一个环形真空室，当电磁铁线圈中通以交变电流时，在两磁极间产生一圆形区域的交变磁场。交变磁场又在真空室内激发涡旋状的感生电场。电子由电子枪注入环形真空室时，在磁场施加的洛伦兹力和涡旋电场的电场力共同作用下电子作加速圆周运动。
由于磁场是交变的，涡旋电场当然也是交变的。因此，在一个周期内电子并不按一种回旋方向加速，而且电子所受的洛仑兹力也并非总是指向圆心。在圆柱形空间区域内，有t
B
r E i d d 2=，故只有
t
B
d d 不变号时，感生电场的方向保持不变，另一方面，要保证电子所受的洛仑兹力也总是指向圆心，磁场B 的方向应保持不变，对于交变磁场，只有1/4的周期内才满足上述两点。
12.11 一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流，则它的方向怎样?
答：dt
dU
C
I d = 12.12 圆形平行板电容器，从q =0开始充电，试画出充电过程中，极板间某点P 处电场强度的方向和磁场强度的方向。
12.13. 试写出与下列内容相应的麦克斯
韦方程的积分形式：
（1）电力线起始于正电荷终止于负电荷； （2）磁力线无头无尾； （3）变化的电场伴有磁场； （4）变化的磁场伴有电场。
答：（1） ∑?=?i
S
q
d S D
（2） 0=??S
d S B
（3） S t
D
l H S d I d c S
???+=??
∑? （4）
S t
D
l E S d d S
???-=??
? 12.14. 试述平面电磁波的基本性质.
答：(1) 电磁波是横波。 若k 为沿电磁波传播方向的单位矢量，则E 、H 均与k 垂直，
(2) 电矢量E 与磁矢量H 相互垂直，并且在任何时刻，任何地点，E 、H 和k 三个矢量
总构成右旋系，即H E ?的方向总是沿着传播方向k 的。
(3) E 和H 同频率、同相位，即E 和H 同时达到各自的正极大值，E 和H 的大小有下述
关系
P
图12.5 思考题12.12图 图12.5 思考题12.12解图
H μμE εεr r 00=
(4) 电磁波的传播速度为
r r εεμμu 001=
在真空中εr =μr =1，故
180
0109979.21-??≈=s m εμc
12.15 在一通有电流I 的无限长直导线所在平面内，有一半径为r 、电阻为R 的导线环，环中心距直导线为a ，如图所示，且a >>r ，当直导线的电流被切断后，沿着导线环流过的电量约为
(A) )1
1(220r a a R πIr μ+-； (B) a r a R πIr μ+ln
20； (C) aR Ir μ220； (D) rR
Ia μ22
0。
答：(C )
12.16 在如图所示的装置中，当不太长的条形磁铁在闭合线圈内作振动时(忽略空气阻力)，
(A) 振幅会逐渐加大; (B) 振幅会逐渐减小; (C) 振幅不变;
(D) 振幅先减小后增大。 答：(B )
12.17 圆铜盘水平放置在均匀磁场中，B 的方向垂直盘面向上。当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿图示方向转动时，
(A) 铜盘上有感应电流产生,沿着铜盘转动的相反方向流动; (B) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的方向流动; (C) 铜盘上产生涡流;
(D) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘边缘处电势最高; (E) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘中心处电势最高。 答：(D)
12.18 在圆柱形空间内有一磁感应强度为B 的均匀磁场，如图所示， B 的大小以速率d B /d t 变化。有一长度为l 0的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1(ab )和2(a ′b ′)；则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为
(A) 012≠=E E ; (B) 12E E >; (C) 12E E <; (D) 012==E E 。
答：(B)
12.19 在圆柱形空间内有一磁感应强度为B 的均匀磁场，如图所示，
图12.8 思考题12.17图
l 图12.9 思考题
12.18图
图12.6 思考题12.15图
图12.7 思考题12.16图
B 的大小以速率d B /d t 变化，在磁场中有A 、B 两点,其间可放直导线AB 和弯曲的导线B A
，则
(A) 电动势只在AB 导线中产生;
(B) 电动势只在B A
导线中产生;
(C) 电动势在AB 和B A
中都产生，且两者大小相等;
(D) AB 导线中的电动势小于B A
导线中的电动势。
答：(D)
12.20 在一个塑料圆筒上紧密地绕有两个完全相同的线圈aa ′和bb ′，当线圈aa ′和bb ′如图(a )绕
制时其互感系数为M 1，如图(b )绕制时其互感系数为M 2，M 1与M 2的关系是
(A) 021≠=M M (B) 021==M M (C) 21M M >
(D) 21M M <
答：(D)
12.21 用线圈和自感系数L 来表示载流线圈磁场能量的公式22
LI
W m =,
(A) 只适用于无限长密绕螺线管; (B) 只适用于单匝圆线圈;
(C) 只适用于一个匝数很多,且密绕的螺绕环; (D) 适用于自感系数L 一定的任意线圈。 答：(D)
12.22 有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为1r 和2r ,管内充满均匀介质，其磁导率分别为1μ和2μ，设2121//=r r ,2121//=μμ，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L 1/L 2与磁能之比W m1∶W m2分别为
（A ）11112121==m m W W L L /， （B ）11212121==m m W W L L /， （C ）21212121==m m W W L L /， （D ）12122121==m m W W L L /， 答：(C)
12.23 两根很长的平行直导线，其间距离为a ，与电源组成闭合回路(如图)。已知导线上的电流强度为I ，在保持I 不变的情况下，若将导线间的距离增大，则空间的
(A) 总磁能将增大; (B) 总磁能将减少; (C) 总磁能将保持不变; (D) 总磁能的变化不能确定。 答：
(A)
(a
)
(b )
图12.11 思考题12.20图
I
图12.12 思考题12.23图
12.24 如图，平板电容器(忽略边缘效应)充电时，沿环路L 1、L 2磁场强度H 的环流中，必有
(A)???>
?21L L dl H dl H ; (B)???=?2
1
L L dl H dl H ; (C)???
1
L L dl H dl H ; (D)01
=??L dl H 。
答：(C)
12.25 在感应电场中电磁感应定律可写成t
L
k d d d Φ
-
=??
l E ，式中k E 为感应电场的电场强度，此式表明:
(A) 闭合曲线L 上k E 处处相等; (B) 感应电场是保守力场;
(C) 感应电场的电力线不是闭合曲线;
(D) 在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念。 答：(D)
12.26 如图所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流i (t )，则
(A) 圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场;
(B)
(C) 沿圆筒外任意闭合环路上磁感应强度的环流不为零; (D) 沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零。 答：(B)
12.27 如图所示，图(a )中是充电后切断电源的平行板电容器；图(b )中是一与直流电源相接的电容器。当两板间距离相互靠近或分离时，试判断两种情况的极板间有无位移电流，并说明原因。
答：(1)因平板电容器的电量不变，当两板间距改变时电场强度不变，故无位移电流。
(2) 电容改变而电源所加电压不变，所以电容器上的电量
必定改变，极板间场强也必定改变，由位移电流定义I d =d ΦD /d t 知存在位移电流。
12.25 对位移电流
,有下述四种说法，请指出哪一种说法正确。 (A) 位移电流是由变化电场产生的; (B) 位移电流是由变化磁场产生的; (C) 位移电流的热效应服从焦耳-楞次定律; (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理。
答：(A)
2
图12.13 思考题12.24图
图12.14 思考题12.26图
(a )
图12.15 思考题12.27图
q -
q +
第12章 习题
12.1. 直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为μ的介质中，已知：t I I ωsin 0=，其中ω、0I 是大于零的常量.求：与其共面的N 匝矩形回路中的感应电动势.
解：x
πI
μB 20=
d
a
d πl I μl d x x πI μΦa
d d
+=?=
?
+ln 2200 t ωd
a d πl ωμdt Φ
d N
εcos ln 20+-=-=
12.2. 如图所示，长直导线中通有电流A I 0.5=，在与其相距cm 5.0=d 处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长cm 0.4=l ，宽cm 0.2=a 。不计线圈自感，若线圈以速度cm /s 03.υ=沿垂直于长导线的方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？
解：lv NB εab 2= lv NB εdc 1= ab dc εεε-= )
(2)1
1(20
021a d d πI a l v N μlv a d d πIN μlv NB lv NB +=+-=
-= ？ 12.3 如图所示，一根长为L 的金属细杆ab 绕竖直轴O 1O 2以角速度ω在水平面内旋转。O 1O 2
在离细杆a 端5/L 处。若已知地磁场在竖直方向的分量为B ，求ab 两端间的电势差b a U U -。
解：ob 间的动生电动势
2
25
/40
5
/40
150
16)54(21d d )(BL ωL B ωl
Bl ωεL L ===
??=
?
?
l B υ
b 点电势高于o 点。
oa 间的动生电动势
2
25
/0
5
/0
250
1)5(21d d )(BL ωL B ωl
Bl ωεL L ===
??=
?
?
l B υ
a 点电势高于o 点。
图12.16 习题12.1图
图12.18 习题 12.3图
O
图12.17 习题12.2图
22125016501BL BL U U b a ωωεε-=
-=-∴210
3
BL ω-= 12.4 求长度为L 的金属杆在均匀磁场B 中绕平行于磁场方向的定轴O O '′转动时的动生电动势,已知杆相对于均匀磁场B 的方位角为θ，杆的角速度为ω，转向如图所示。
解 在距o 点为l 处的d l 线元中
的动生电动势为
l B υd )(d ??=ε; θl ωυsin = 2
2
1
()d sin()cos d 2
sin d sin d L
L
L L
B l
lB l B l l
ευπαωθωθ∴=??=
=
=?
???
B l v
221
sin 2
B L ωθ=
E 的方向沿着杆指向上端。
12.5. 电流为I 的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为 120，几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度υ平行于长直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解：连接AO 、OB ，圆弧形导线与AO 、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 A O B 直导线的电动势相等。 2ln 22020π
μπμεIv
dx x Iv d R
R
AO -=-
=???=?
?l B v 4
5
ln 2202520πIv μdx x πIv μd εR R
OB -=-=??=?
?l B v 2
5ln 20πIv μεεεOB AO AB -
=+= 12.6. 如图，半径分别为b 和a 的两圆形线圈（b >>a ），在0=t 时共面放置，大圆形线圈通有稳恒电流I ，小圆形线圈以角速度ω绕竖直轴转动，若小圆形
图12.20 习题 12.5图
习题 12-4
o
B υ×
习题 12-4 解图
o
线圈的电阻为R ，求：（1）当小线圈转过 90时，小线圈中电流的瞬时值；（2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。
解：b
I
μB 20=
任一时间穿过小线圈的磁通量 t ωa πB Φcos 2=
小线圈的感应电流 t ωR a ωπB dt Φd R R εi sin 12
===
当 2
πt ω=时 R a ωπB a πi p m 422
==
2
422
20
4224Rb
a ωπI μR a ωπB Bp M m === 2
432
20
42220
2
222
16sin Rb a ωπI μR a ωπB θd θR
a ωπB θBd a πi W π=
-==
=?
? 12.7 长为L 质量为m 的均匀金属细棒，以棒端O 为中心在水平面内旋转，棒的另一端在半径为L 的金属环上滑动，棒端O 和金属环之间接一电阻R ，整个环面处于均匀磁场B 中，B 的方向垂直纸面向外，如图。设0=t 时，初角速度为0ω，忽略摩擦力及金属棒、导线和圆环的电阻。求：
(1) 当角速度为ω时金属棒内的动生电动势的大小。 (2) 棒的角速度随时间变化的表达式。 解 (1)0
d d L L
i B r r B r ευω=
=??
= 2
2
B L ω= (2) M t ωJ -=d d 其中 23
1
mL J =
R
L ωB L R L ωB B BIL r BI r M L
4)2(212
1
d 4222
2
0===
?=?
t Rm L B ωωd 43d 22-= )43exp(220t Rm
L B -=ωω
12.8. 圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R ，高为h ，电阻率为ρ，如图所示。若匀强磁场以),0(d d 为恒量k k k t B >=的规律变化，求圆柱体内涡电流的热功率.
解：在圆柱体内任取一个半径为r ，厚度为dr ，高为h 的小圆柱通壁
图12.22 习题 12.7图
dt
dB
r πdt Φd ε2
==
电阻 hdr
r
πρR 2=
r d r
dt
dB
ρh R εdP ?==2 ρ
R
hk πdr r dt dB ρh πP R
8)(24
2032=?=
? 12.9 如图所示，一电磁“涡流”制动器，由一导电率为σ和厚度为t 的圆盘组成，此盘绕通过其中心的轴以角速度ω旋转，且有一覆盖面积为2
a 的磁场B 垂直于圆盘。若面积2
a 是在离轴r 日处，试求使圆盘慢下来的转矩的近似表达式。
解：圆盘旋转过程中的任意时刻，在习题12-9解图所示的处，始终有一覆盖面积为a 2的磁场B 垂直于圆盘。当圆盘经过此处时切割磁力线而产生动生电动势，进而产生一径向感应电流。该感应电流受安培力作用而产生磁力矩，其方向与圆盘旋转方向相反。圆盘上沿径向长度为a 的线段切割磁力线时所产生的动生电动势为
ωBar υBa dl B υεi ==??=?
)(
小方块径向电阻为 t σat a ρ
R 1== 所以感应电流为 i
i Bar t R
εωσ=
=
其所受到的安培力为 iaB F =
所产生的力矩为 222M rF riaB r a B t ωσ===
12.10 均匀磁场B 被限制在半径cm R 10=的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里，取一固定的等腰梯形回路abcd ，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，
位置如图所示。设磁场以s T dt dB 1=
的匀速率增加，已知
t
习题12-9
习题12-9解图
图12.23 习题 12.8图
b B ? ? ? ? ? ? c
3/θπ=，cm ob oa 6==，求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。
解： 如图12-10 所示 t
B
S
t d d d d =Φ=
ε 2d 11d ()d 22d 3.68mV
B B
S
R ab ol t t εθ==-?= ε 方向：沿adcb 绕向。
12.11 在半径为R 的圆柱形空间内，充满磁感应强度为B 的均匀磁场， B 的方向与圆柱的轴线平行。有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a ，R a >，如图所示，已知磁感应强度随时间的变化率为dt dB ，求长直导线中的感应电动势ε。
解：由该问题的轴对称性和轴向的无限长条件可知，感生电场的场
强E 在垂直轴线的平面内，且与径向相垂直。如图所示，选取过轴线而平行给定的无限长直导线的
一条无限长直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)，则在过轴线的长直导线上，因E 处处与之垂直，所以电动势为零。又在无限远处E =0，故此回路中的电动势就是给定的无限长直导线中的电动势ε 。
该回路的磁通量 B R 2
2
1π=Φ 由电磁感应定律有
2
d 1d d 2d B
R t t
επΦ=-=- ε 的正方向如图所示。
12.12 电量Q 均匀分布在半径为a 、长为()a L L >>的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度
ω绕中心轴线旋转，一半径为a 2、电阻为R 的单匝圆形线圈套在圆筒上(如图所示)。若圆筒转速
按照)-(100t t /ωω=的规律(0ω和0t 是已知常数)，随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的
大小和流向。
解：筒以ω旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流
π
ω
2?L Q ，它和通电流螺线管的nI 等效。按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场的磁感应强度为
L
Q B πω
μ20=
(方向沿筒的轴向) 筒外磁场为零。所以穿过线圈的磁通量为
图12.26 习题 12.11图
图12.27 习题12.12图
>εε >0
图12.26 习题 12.11图
L
a Q B a 22
02
ωμπ=
=Φ
在单匝线圈中产生感生电动势为
0202
02)d d (2d d Lt ωQa μt ω
L Qa μt Φε=
-=-= 感应电流i 为 0
202RLt Qa R
i ωμε
=
=
i 的方向与转向一致。
12.13 如图所示，两个半径分别为R 和r 的同轴圆形线圈相距x ，且r R >>，R x >>。若大线圈通有电流I 而小线圈沿x 轴方向以速率υ运动，试求NR x =时(N 为正数)小线圈回路中产生的感应电动势的大小。
解：由题义，大线圈中的电流I 在小线圈回路处产生的磁场可视为均匀的。
2
/322202/3222
0)(2)(24x R IR x R IR B +=+=μππμ
故穿过小回路的磁通量为
2
20
223/2
2()
IR
r R x μπΦ=?=
+B S 22
03
2Ir R x πμ≈
由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为
υx IR r πμt x x IR r πμt Φεi 4
2
20422023d d 23d d ===
当x =NR 时，小线圈回路中的感应电动势为
)2/(32420R N υI r πμεi =
12.14 如图所示，一个限定在半径为R 的圆柱体内的均匀磁场B ，以1.0?10-2T ?s -1恒定速率减少，当把电子放在a ，o ，c 各点处时，其所获得的瞬时加速度(大小和方向)各为若干？设cm .05=γ？
解：由感应电场的环路定理得
图12.28 习题12.13图
t
B
r πt ΦεL
i d d d d d 2
-=-
=?=?
l E t
B
r πr πE d d 22
-=? 所以r 处感应电场的大小为
41d 2.510N C 2d r B
t
ε--=
=?? 方向为顺时针方向。
故电子在o 点的加速度a o =0。 电子在a ， c 两点的加速度大小相等，均为
27s m 104.4-??===
=m
eE m F a a c a 其中a 点加速度向右，c 点加速度向左。
12.15 无限长密绕螺线管半径为r ，其中通有电流，在螺线管内部产生一均匀磁场B ，在螺线管外同轴地套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，ab 为其分界面，半环电阻分别为1R 和2R ，如图所示图中螺线管垂直纸面放置。当螺线管内部磁感应强度B 增大时，分别就(1)21R R =；(2) 21R R > ；(3) 21R R <三种情况讨论a 、b 两点电势的高低。
解：当螺线管内部磁感应强度增大时，在金属环内产生涡旋电场，其电场线为沿逆时针方向的圆。
由??
???-=?=S B
l E d d t k ε可知，整个金属圆环产生感应电
动势为
t
B r πεd d 2
= 左半圆电动势t B r πεd d 221=，右半圆电动势t
B
r d d 222πε=，由基尔霍
夫电压定律
)
(2)(2212122
121R R R R εR R R εεIR εU ab +-=
+-=
-=
图12.29 习题 12.14图
? ?
? ?
2R
1R
图12.30 习题12.15
图
a
a
b
2
R 习题12-15解图
讨论：(1)R 1= R 2， U a = U b ，两端电势相等。
(2) R 1> R 2，U a > U b ，a 端电势高。 (3) R 1 12.16 有一圆环，环管横截面的半径为a ，中心线的半径为R ，a R >>。有两个彼此绝缘的导线圈都均匀地密绕在环上，一个1N 匝，另一个2N 匝，求: (1) 两线圈的自感1L 和2L ; (2) 两线圈的互感M ; (3) M 与1L 和2L 的关系。 12.17. 将金属薄片弯成如图所示回路，两端为半径为a 的圆柱面，中间是边长为l ，间隔为d 的两正方形平面，且a l >>， d a >>.（1）试求该回路的自感系数； （2）若沿圆柱面的轴向加变化磁场kt B B +=0，试求回路中的电流)(t I .（回路中的电阻很小，可忽略不计） 解：（1） l I μnI μB 0 0== d l μB l R πμB wV W 20 22 0221212?+?? == d I μR πl I μ202202 1 += 根据 22 1LI W = d μl R πμL 02 02+= （2）dt Φ d dt dI L ε= = dB S Φd ?= 0 02 0222μl k t kt d μl R πμld R πkdt L S I =++==? 12.18 截面为圆的长直铜导线中，通有强度为I 的电流，电流均匀地分布在横截面上。求： (1) 导线内部单位长度上的磁能； (2) 若A 10=I ，计算2m 长导线内的磁能。 解：(1)导线内，离轴为r 处的磁感应强度为 2 02R πIr μB = 式中，R 代表导线的半径，铜的相对磁导率μR =1，因此在铜导线内部的磁能密度为 图12.31 习题12.17图 24 2220 0024212r R πI μμμB w m == 导线内单位长度上的总磁能为 π I μr r R πI μr R πr R πI μW R 16d 4d 282 00 3 4 2 024220== ?=? ? (2) J 100.5104 1 102627--?=?? ?=W 12.19 一长铜导线载有A 10=I 的电流，电流均匀地分布在横截面上，若铜导线的直径 mm d 542.=，每单位长度的电阻为1310283--?Ω?m .。求： (1) 导线表面处的磁能密度； (2) 导线表面处的电能密度。 解：(1)按上题的结果，在导线内的磁能密度为 2 42208r R πI μw m = 在导线的表面处，其磁能密度为 3222 0m /J 99.08=='R πI μw m (2)由微分形式的欧姆定律有 ρE j /= 故 I R ρR πI ρj E '== =2 其中 m /Ω1028.33-?='R 电能密度为 3152 m /J 108.42 1-?== E εw e 12.20 如图所示，一匝边长为a 的正方形线圈与一无限长直导线共面，置于真空中。 (1) 当二者之间的最近距离为b 时，互感系数M 为多少？线圈受力F 为多少？ (2) 若维持1I 及2I 不变而线圈向左移动，由b 减至2b 的过程中磁力做功A 为多少？磁能增量ΔW 为多少？ 解：(1)在线圈平面上，距长直导线x 处，取宽为d x 、长为a 且与长直导线平行的面积元(习题13-18解图)。在面积元上，磁感应强 I B 图12.32 习题12.20图 度 x πI μB 21 0= 方向垂直纸面向内。磁通量 dx x πa I μBdS Φd 210= = 通过线圈的磁通量 b b a πa I μdx x πa I μΦd Φb a b +== =? ?+ln 221010 因此，长直导线与线圈的互感系数 b b a πa μI ΦM +== ln 201 AB 、AC 两边受磁力作用，但它们等值反向，互相抵消，线圈所受合力为 )11(2)(222102102102 212b a b πa I I μb a πa I I μb πa I I μaB I aB I F F F BC AD +-=+-= -=-= 方向垂直并指向长直导线。 (2)当线圈与长直导线相距为x 时，线圈受力 )1 1(2210a x x b πa I I μF +-= 线圈向左移动到x =b /2时，磁力作的功 I 1 C 习题12-18 I 1 C 习题12-18解图 b a b a a πI I μFdx dS F A b b ++= -=?=? ?2ln 22102 / (1) 线圈移动后，它和长直导线的互感系数也变了，其值变为 b b a πa μ b b a πa μM +=+= '2ln 22/2/ln 200 线圈移动前，线圈与长直导线这一系统的磁能 2122221112 1 21I MI I L I L W ++= 线圈移动后，系统的磁能 2122221122 1 21I I M I L I L W '++= 所以磁能的增量 ) 2(2ln 2)ln 22ln 2( )(21021002 112b a b a πa I I μI I b b a πa μ b b a πa μI I M M W W W Δ++=+-+=-'=-= 由(1)、(2)可知，磁力做功，同时系统磁能也增加，其能量来源于维持I 1、I 2不变的两回路中的电源。 12.21 一平行板电容器的电容为C ，两板间电势差为V ，试证该平板电容器中的位移电流为 t V C I d d d = 另外在μF 1的电容器中产生1A 的位移电流，问加在电容器上的电压变化率应为多大? 解：设平行板电容器极板面积为S ，极板间距为d ，则其电容器d S εC =，式中ε为两极板间的电介质的电容率。 因为 CV S d V ε ES εDS ΦD ==== 故位移电流 t V C t ΦI D d d d d d == 由t V C I d d d =，有 V/s 101011d d 6 6 =?==-C I t V d 12.22 如图所示，电荷q +以速度υ向O 点运动(q +到O 的距离以x 表示)。在O 点处作一半径为a 的圆，圆面与υ垂直，试计算通过此圆面的位移电流以及圆周上各点处磁场强度H 。 解：电荷q 沿着圆的轴线运动。在某一时刻，电荷在圆面积上产生的电通量等于以此圆为底面的球冠面积上的电通量，此球冠的球心在点电荷所在处，球半径为r 。球冠面积 )(2x r r πS -= 球冠上场强 2 04q E r πε= 电位移 2 04r πq E εD == 球冠上(即圆面上)电通量 ) 1(2)1(2)(24222 a x x q r x q x r r πr πq DS Φe +-=-=-?= = 当点电荷向圆面积运动时，圆面上的位移电流 t x a x a q t x x Φt ΦI e e d d d )(2d d d d d d 2/3222+- === υdt dx dt dx =-<,0 所以 2 /3222) (2a x υ qa I d += 由于电荷沿圆的轴运动，位移电流产生的磁场具有轴对称性，在圆周上各点磁场强度相同，方向与圆相切。沿圆周的积分 aH π2d =??l H 根据安培环路定律 2 /3222)(22a x υ qa I aH πd +== q +图 2 /322)(4a x πa υq H += 因为 θr a a x a r a x sin )(, 2/122222==+=+ 所以 24sin r πθ υq H = 写成矢量式即 3 4r πq r υH ?= 与运动电荷的磁场计算公式完全相同。 12.23 一内导体半径为1R 、外导体半径为2R 的球形电容器，两球间充有相对电容率为r ε的介质，在电容器上加电压，内球对外球的电压为ωt U U sin 0=，假设ω不太大，以致电容器电场分布与静态场情形近似相同，求介质中各处的位移电流密度，再计算通过半径为)R r (R 21< 解：由静电学计算 2 0()4r r q t r πεε= E e 21012012 ()()()11 ( )44r r q t R R q t U R R R R πεεπεε-= -= r r t ωU R R r R R R R r R UR e e E )sin() ()(0122 2 112221-=-= ∴ 位移电流密度为 r r r t ωωU R R r R R εεt εεt e E D j )cos() (01222100-=??=??= 12.24 给电容为C 的平行板电容器充电，电流为(SI)20t e i -=.，0=t 时电容器极板上无电荷。求： (1) 极板间电压U 随时间t 而变化的关系。 (2) t 时刻极板间总的位移电流d I (忽略边缘效应)。 解：(1))1(2 .02.01 d 10 0t t t t e C e C t i C C q U ---= ?-=== ? (2)由全电流的连续性，得 t d e i I -==2.0 12.25 一平面电磁波在真空中沿x 轴正方向传播，设某点的电场强度为 )cos(6 2900π πν+ =t E y (V· m -1) 试求这一点的磁场强度的表达式。若在该点前方a 米处和后方a 米处(均沿x 轴计算)，其电场强度 和磁场强度如何？ 解：设该电磁波沿x 轴正向传播，根据磁场强度H z 与电场强度E y 的关系，有 z y H = 式中，ε0=8.85?10-12C 2?N -1?m -2，μ0=4π?17-7H ?m -1，故H z 为 12.4cos(2)(A m )6 z H t π πν-≈+? 故电磁波的波动方程为 12900cos(2)(V m )6 y x E t ππ πνλ-=-+? 122.4cos(2)(A m )6 z x H t ππ πνλ-=- +? 当x =a 时 12900cos(2)(V m )6 y a E t ππ πνλ-=-+? 122.4cos(2)(A m )6 z a H t ππ πνλ-=- +? 当x =-a 时 12900cos(2)(V m )6 y a E t ππ πνλ-=++? 122.4cos(2)(A m )6 z a H t ππ πνλ-=+ +? 12.26 一广播电台的广播辐射功率是10kW 。假定辐射均匀分布在以电台为中心的半球面上。 试求： (1) 距离电台r =10km 处坡印廷矢量的平均值； (2) 若在上述距离处的电磁波可看作平面波，求该处电场强度和磁场强度的振幅。 解：(1)在距电台r 处的坡印廷矢量的平均值为 第十章 电磁感应 思 考 题 10-1 一个导体圆线圈在均匀磁场中运动，在下列几种情况下，那些会产生感应电流？为什么？(1)线圈沿磁场方向平移；(2)线圈沿垂直方向平移；(3)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行；(4)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。 答：(1)当线圈沿磁场方向平移和沿垂直方向平移时，磁感应强度和面积矢量方向相同，且大小不变，所以，磁通量也保持不变。由法拉第电磁感应定律d /d Φt e =-可知，线圈中感应电动势为零，因而线圈中也就没有感应电流。(2) 在线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向平行）转动过程中，磁感应强度和面积矢量方向保持垂直，磁通量为零，因此，线圈中也没有感应电流。(3) 在线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向垂直）转动过程时，由于磁通量为cos BS q ，其中q 是磁感应强度和面积法向矢量方向的夹角，它随时间的变化而变化。所以，磁通量发生变化，线圈中会产生感应电动势，也就有感应电流产生。 10-2 灵敏电流计的线圈处于永磁体的磁场中，通入电流线圈就会发生偏转，切断电流后线圈在回到原来位置前总要来回摆动几次。这时，如果用导线把线圈的两个头短路，摆动就会马上停止，这是为什么？ 答：处于永磁体磁场中的灵敏电流计的通电线圈要受到四个力矩的作用，它们是：（1）磁场对线圈的电磁力矩BSNI g ，其中，B 为磁场的磁感应强度，S 为线圈的截面积，N 为线圈的总匝数，I g 为线圈中通过的电流；（2）线圈转动时张丝扭转而产生的反抗（恢复）力矩－Dθ，其中，D 为张丝的扭转系数，θ为线圈的偏转角；（3）电磁阻尼力矩；（4）空气阻尼力矩。 电磁阻尼力矩产生的原因是因为线圈在磁场中运动时的电磁感应现象。根据电磁感应定律，线圈在磁场中运动时会产生感应电动势。灵敏电流计的内阻R g 和外电路的电阻R 构成一个回路，因而有感应电流i 流过线圈，这个电流又与磁场相互作用，产生了一个阻止线圈运动的电磁阻尼力矩M 。可以证明，M 与回路的总电阻R g +R 成反比，有 t BNSi M d d θ ρ-=-= 其中，R R S N B g +=2 22ρ，称为阻尼系数。 当用导线把线圈的两个头短路时，外电路的电阻R 减小，阻尼系数增大，电磁阻尼力矩M 增大。设计时使短路后的外阻等于临界阻尼，摆动就会马上停止。 10-3 变压器的铁芯为什么总做成片状的，而且涂上绝缘漆相互隔开？铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向有什么关系？ 答：变压器中的铁芯由于处在交变电流的磁场中，因而在铁芯内部要出现涡流，由于金属导体电阻很小，涡流会很大，从而产生大量的焦耳热，使铁芯发热，浪费电能，甚至引起事故。为了较少涡流，将铁芯做成片状，而且涂上绝缘漆相互隔开，可以减小电流的截面，增大电阻，减小涡流，使涡流损耗也随之减小。 第十二章 电磁感应 电磁场（一） 一．选择题 [ A ]1.（基础训练1）半径为a 的圆线圈置于磁感强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈电阻为R ，当把线圈转动使其法向与B 的夹角为α=60?时，线圈中已通过的电量与线圈面积及转动时间的关系是： (A) 与线圈面积成正比，与时间无关. (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比. (C) 与线圈面积成反比，与时间无关. (D) 与线圈面积成反比，与时间成正比. 【解析】 [ D ]2.（基础训练3）在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图(a)所示，若以I 的正流向作为的正方向，则代表线圈内自感电动势随时间t 变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？ 【解析】 dt dI L L -=ε，在每一段都是常量。dt dI ［ B ］3.（基础训练6）如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B ? 平 行于ab 边，bc 的长度为l ．当金属框架绕ab 边以匀角速度转动时，abc 回路中的感应 电动势和a 、c 两点间的电势差U a – U c 为 (A) =0，U a – U c =221l B ω (B) =0，U a – U c =22 1l B ω- (C) =2l B ω，U a – U c =2 2 1l B ω (D) =2l B ω，U a – U c =22 1 l B ω- 【解析】金属框架绕ab 转动时，回路中 0d d =Φ t ，所以0=ε。 2012c L a c b c bc b U U U U v B d l lBdl Bl εωω→→→ ??-=-=-=-??=-=- ??? ?? ［ C ］5.（自测提高1）在一通有电流I 的无限长直导线所在平面内，有一半经 为r ，电阻为R 的导线环，环中心距直导线为a ，如图所示，且r a >>。当直导线的电流被切断后，沿着导线环流过的电量约为： (A))1 1(220r a a R Ir +-πμ (B) a r a R Ir +ln 20πμ (C)aR Ir 220μ (D) rR Ia 220μ 【解析】直导线切断电流的过程中，在导线环中有感应电动势大小：t d d Φ = ε B ? a b c l ω a I r o R q 2 1 φφ-= 第十二章 电磁感应 电磁场和电磁波 12－3 有两个线圈，线圈1对线圈2 的互感系数为M 21 ，而线圈2 对线圈1的互感系数为M 12 ．若它们分别流过i 1 和i 2 的变化电流且 t i t i d d d d 2 1<，并设由i 2变化在线圈1 中产生的互感电动势为12 ，由i 1 变化在线圈2 中产生的互感电动势为ε21 ，下述论断正确的是（ ）． （A ）2112M M = ，1221εε= （B ）2112M M ≠ ，1221εε≠ （C ）2112M M =， 1221εε< （D ）2112M M = ，1221εε< 分析与解 教材中已经证明M21 ＝M12 ，电磁感应定律t i M εd d 1 2121=；t i M εd d 21212=．因 而正确答案为（D ）． 12－5 下列概念正确的是（ ） （A ） 感应电场是保守场 （B ） 感应电场的电场线是一组闭合曲线 （C ） LI Φm =，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比 （D ） LI Φm =，回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大 分析与解 对照感应电场的性质，感应电场的电场线是一组闭合曲线．因而 正确答案为（B ）． 12－7 载流长直导线中的电流以 t I d d 的变化率增长.若有一边长为d 的正方形线圈与导线处于同一平面内，如图所示.求线圈中的感应电动势. 分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律t Φ d d - =ξ ，来求解.由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用??= S S B Φd 来计算. 为了积分的需要，建立如图所示的坐标系.由于B 仅与x 有关，即B =B (x )，故取一个平行于长直导线的宽为d x 、长为d 的面元d S ，如图中阴影部分所示，则d S =d d x ，所以，总磁通量 第十二章 电磁感应 电磁场 问题 12-1 如图,在一长直导线L 中通有电流I ,ABCD 为一矩形线圈,试确定在下列情况下，ABCD 上的感应电动势的方向：(1)矩形线圈在纸面内向右移动；(2)矩形线圈绕AD 轴旋转；（3）矩形线圈以直导线为轴旋转. 解 导线在右边区域激发的磁场方向垂直于纸面向 里，并且由2I B r μ0=π可知，离导线越远的区域磁感强度越小，即磁感线密度越小．当线圈运动时通过线圈的磁通量会发生变化，从而产生感应电动势．感应电动势的方向由楞次定律确定． （1）线圈向右移动，通过矩形线圈的磁通量减少，由楞次定律可知，线圈中感应电动势的方向为顺时针方向． （2）线圈绕AD 轴旋转，当从0到90时，通过线圈的磁通量减小，感应电动势的方向为顺时针方向．从90到180时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针. 从180到270时，通过线圈的磁通量减少，感应电动势的方向为顺时针．从270到360时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针方向. （2）由于直导线在空间激发的磁场具有轴对称性，所以当矩形线圈以直导线为轴旋转时，通过线圈的磁通量并没有发生变化，所以，感应电动势为零. 12-2 当我们把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环中时,铜环内有感应电流和感应电场吗？ 如用塑料圆环替代铜质圆环,环中仍有感应电流和感应电场吗？ 解 当把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环过程中，穿过铜环的磁通量增加，铜环中有感应电流和感应电场产生；当用塑料圆环替代铜质圆环，由于塑料圆环中的没有可以移动的自由电荷，所以环中无感应电流和感应电场产生. 12-3 如图所示铜棒在均匀磁场中作下列各种运动，试问在哪种运动中的铜棒上会有感应电动势？其方向怎样？设磁感强度的方向铅直向下．（１）铜棒向右平移［图(a)］；（２）铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动［图(b)］；（３）铜棒绕通过中心的轴在竖直平面内转动［图(c)］． C I 第十章 变化电磁场的基本规律 一、基本要求 1．掌握法拉第电磁感应定律。 2．理解动生电动势及感生电动势的概念，本质及计算方法。 3．理解自感系数，互感系数的定义和物理意义，并能计算一些简单问题。 4．了解磁能密度的概念 5．了解涡旋电场、位移电流的概念，以及麦克斯韦方程组（积分形式）的 物理意义，了解电磁场的物质性。 二、基本内容 1. 电源的电动势 在电源内部，把单位正电荷由负极移到正极时，非静电力所做的功 ?+ -?=l E d k k E 为作用于单位正电荷上的非静电力，电动势方向为电源内部电势升高的方向。 2．法拉第电磁感应定律 当闭合回路面积中的磁通量m Φ随时间变化时，回路中即产生感应电动势： i m d dt Φ= - 方向由式中负号或楞次定律确定。该定律是电磁感应的基本规律，无论是闭合回路还是通过作辅助线形成闭合回路，只要能够求出该回路所围面积的磁通量，就可以应用定律得到该回路中的感应电动势。自感、互感电动势也是该定律的直接结果。 3．.动生电动势 动生电动势是导体在稳恒磁场中运动而产生的感应电动势，它的起源是非静电场力——洛伦兹力，其数学表达式为 i l B v d b a ??= ? +-)() () ( 或 ab l B v l E d d b a b a k ??= ?= ?? )( 式中B v f E ?== q k ，动生电动势方向沿（B v ?）方向。 如 ab >0，则V a 第12章电磁感应 内容：1 . 法拉第电磁感应定律 2 . 动生电动势和感生电动势 3 . 互感 4 . 自感 5 . RL电路的暂态过程 6 . 自感磁能磁场的能量密度 7 . 位移电流电磁场基本方程的积分形式 重点：法垃第电磁感应定律 难点：感生电动势和感生电场 12.1 法拉第电磁感应定律 12.1.1 电磁感应现象 G v 演示动画：现象1演示动画：现象2 G k （1）线圈固定，磁场变化 当穿过闭合导体回路的磁通量发生变化时，不管这种变化是什么原因引起的，在导体回路中就会产生感应电流。这就是电磁感应现象。 G B ω 演示动画：现象3 （2）磁场不变，线圈运动 演示程序：在磁场中旋转的线圈? ?? ?? ? ?? ? G S B 思考：仅一段导体在磁场中运动，导体内有无感 生电流？有无感应电动势？ 有感生电动势存在，而无感生电流。 12.1.2 法拉第电磁感应定律 在电磁感应现象中，导体回路出现感应电流，这表明回路中有电动势存在。 因回路中磁通量的变化而产生的这种电动势叫感应电动势 （1）法拉第电磁感应定律 通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势 的大小与磁通量对时间的变化率成正比。 t Φk m d d -=ε单位: 1V=1Wb/s 国际单位制中k =1 负号表示感应电动势总是反抗磁通的变化 磁链数:m N ΦΨ=若有N 匝线圈，每匝磁通量相同，它们彼此串联，总电动势等于各匝线圈所产生的电动势之和。令每匝的磁通量为Φm t N t m d d d d Φψε-=- =（2）感应电动势方向 由于电动势和磁通量都是标量，它们的“正负”相对于某一指定的方向才有意义。 t d d m Φ- =ε 第12章 变化的电磁场 思考题 12.1 在电磁感应定律t d d ?ε-=中，负号的意义是什么？你是怎样根据正负号来确定感应电动势的方向的？ 答：负号反映了感应电动势的方向，是愣次定律的体现。用正负符号来描述电动势的方向，首先应明确电动势的正方向（即电动势符号为正的时候所代表的方向）。在电磁感应现象中电动势的正方向即是所选回路的绕行方向，由于回路的绕行方向与回路所围面积的法线方向（即穿过该回路磁通量的正方向）符合右手螺旋，所以，回路电动势的正方向与穿过该回路磁通量的正方向也符合右手螺旋。原则上说，对于穿过任一回路的磁通量，可以任意规定它的正负，因此，在确定感应电动势的方向的时，可以首先将穿过回路的磁通量规定为正，然后，再按右手螺旋关系确定出该回路的绕行方向（即电动势的正方向）。最后，再由电动势ε的符号，若ε的符号为正即电动势的方向与规定的正方向相同，否则相反。 12.2 如图，金属棒AB 在光滑的导轨上以速度v 向右运动，从而形成了闭合导体回路ABCDA 。楞次定律告诉我们，AB 棒中出现的感应电流是自B 点流向A 点，有人说：电荷总是从高电势流向低电势。因此B 点的电势应高于A 点，这种说法对吗？为什么? 答：这种说法不对。回路ABCD 中AB 棒相当于一个电源，A 点是电源的正极，B 点是电源的负极。这是因为电源电动势的形成是非静电力做功的结果，非静电力在将正电荷从低电势的负极B 移向高电势的正极A 的过程中，克服了静电力而做功。所以正确的说法是：在作为电源的AB 导线内部，正电荷从低电势移至高电势。是非静电力做正功；在AB 导线外部的回路上，正电荷从高电势流至低电势，是静电力做正功。因此，B 点的电势低，A 点的电势高。 12.3 一根细铜棒在均匀磁场中作下列各种运动(如图)，在哪种运动中铜棒内产生感应电动势？其方向怎样? (1) 铜棒向右平移(图a )。 (2) 铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动(图b )。 (3) 铜棒绕通过中心的轴在平行于B 的平面内转动(图c )。 答：(a)无；(b)由中心指向两端；(c)无。 图12.2 思考题12.3图 (a) (b) (c) A B 图12.1 思考题12-2图 第十二章电磁感应电磁场(二)作业答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第十二章 电磁感应 电磁场（二） 一. 选择题 [ C ] 1 (基础训练8)、 如图12-21，平板电容器(忽略边缘效 应)充电时，沿环路L 1的磁场强度H 的环流与沿环路L 2的磁场强度H 的环流两者，必有： (A) >'??1d L l H ??'2 d L l H . (B) ='??1 d L l H ??'2 d L l H . (C) < '??1 d L l H ??'2 d L l H . (D) 0d 1 ='??L l H . 【提示】全电流是连续的，即位移电流和传导电流大小相等、方向相同。另，在忽略边界效应的情况下，位移电流均匀分布在电容器两极板间，而环路L 1所包围的面积小于电容器极板面积，故选（C ）。 即0d I I =， 2 0L H dl I ?=?，1 S d d L I H dl J S S ?== ?极板 ，其中S 是以L 1为边界的面积。 [ A ] 2 (自测提高3)、对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确． (A) 位移电流是指变化电场． (B) 位移电流是由线性变化磁场产生的． (C) 位移电流的热效应服从焦耳─楞次定律． (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理． [ B ] 3 (自测提高6)、如图12-27所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表 面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流i (t )，则 (A) 圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场． (B) 任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零． (C) 沿圆筒外任意闭合环路上磁感强度的环流不为零． (D) 沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零． 【提示】 如图所示的载流圆筒等同于一长直螺线管。在筒内产生的时变磁场是空间均匀的，在筒外无磁场，所以（C ）错； 筒内的时变磁场将产生涡旋感生电场，涡旋电场在筒内不是均匀分布的（d 2d r B t ），所以（A ）错； 涡旋电场沿任意闭合回路的积分为感生电动势≠0，所以（D ）错； H L 1 L 2 图12-21 i (t ) 图12-27 第十二章电磁感应电磁场 题12.1：如图所示，在磁感强度T 106.74－?=B 的均匀磁场中，放置一个线圈。此线圈由两 个半径均为3.7 cm 且相互垂直的半圆构成，磁感强度的方向与两半圆平面的夹角分别为ο62和 ο28。若在s 105.43－?的时间内磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？ 题12.1分析：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由法拉第电磁感应定律求解， 即??-=- = S d d d d d S B t t Φε但在求解时应注意下列几个问题： 1．回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。 2．Φ应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。它由??=S d S B Φ计算。对于均匀磁 场则有θcos d S BS Φ=?=?S B ，其中⊥=S S θcos 为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面 积。对于本题，2211cos cos θθBS BS Φ+=中1θ和2θ为两半圆形平面法线n e 与B 之间的夹角。 3．感应电动势的方向可由t Φ d d - 来判定，教材中已给出判定方法。为方便起见，所取回路的正向（顺时针或逆时针）应与穿过回路的B 的方向满足右螺旋关系，此时Φ恒为正值，这对符号确定较为有利。 题12.1解：迎着B 的方向，取逆时针为线圈回路的正向。由法拉第电磁感应定律 V 1091.4)cos cos (cos cos d d cos cos d d d d 4221122112211-?=+??-=+-=+-=- =θθθθθθεS S t B S S t B BS BS t t Φ）（）（ 0>ε，说明感应电动势方向与回路正向一致 题12.2：一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为 t Φ)s 100sin()Wb 100.8(15--?=π，求在s 100.12－?=t 时，线圈中的感应电动势。 题12.2解：线圈中总的感应电动势 t t Φ N )s 100cos()V 51.2(d d 1-=-=πε 当 s 100.12－?=t 时， ε= 2.51 V 。 题12.3：如图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆。使这根半圆形导线在磁感强度 为 B 的匀强磁场中以频率f 旋转，整个电路的电阻为R ，求感应电流的表达式和最大值。 题12.3解：由于磁场是均匀的，故任意时刻穿过回路的磁通量为 θcos )(0BS Φt Φ+= 其中Φ0等于常量，S 为半圆面积， )2(00ft t Φπ?ωθ+=+= )2cos(2 1 )(020?ππ++=ft B r Φt Φ 根据法拉第电磁感应定律，有)2sin(d d 022?ππε+=-=ft fB r t Φ 因此回路中的感应电流为 )2sin()(022?ππε += =ft R fB r R t I 则感应电流的最大值为 R fB r I 22m π= 题12.4：有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流 均以 t I d d 的变化率增长。若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。 第十章 电磁场中的粒子运动行为 一、内容提要 1、 2、 二、题型分析 三、思考题 1、带电为q 的粒子在磁场中运动，其哈密顿量为21???()2q H p A m p =-， 其中? A 为矢势。试证明粒子的速度算符各分量满足下列对易关系：()2??, ,,,,q U U i B x y z m c αβαβγγ εαβγ?? ??== ????? 。 [证明] 2、设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B 中运动，求能级本征值和本征函数。 [解] 以电场方向为x 轴，磁场方向为z 轴，则()(),0,00,0,B B εε?=??=?? 。 由场和势的关系B A ε?=-???=???，得到电磁场的标势和矢势为() 0,,0x A Bx ?ε=-???=??。 因此， 粒子的哈密顿量表示为2 221?????2x y z qB H p p x p q x m c ε????=+-+-?? ??????? 取守恒量完全集为() ???,,y z H p p ，它们的共同本征函数可写成()()() z p y p i z y e x z y x +=ψψ,,， 其中y P 和z P 为本征值，可取任意函数。 ()z y x ,,ψ满足能量本证方程：()()?,,,,H x y z E x y z ψψ=，因此()x ψ满足方程 ()()()2 22 1?2x y z qB p p x p x q x x E x m c ψεψψ????+-+-=?? ??????? ()222222222 1()()222y y z q B qB x q p x p p x E x m x mc mc m εψψ?????-+-+++= ???????? ()()22222222200 2211()()2222y z q B m x x x E x p p x m x mc m ωψψ?????-+-=+-+????????? 其中0y p mc c x qB B m ε?? =+ ???和 q B mc ω=。上式相当于一维谐振子本征方程，因此能级为 ()22222 211222y z q B E x p p n mc m ω??+-+=+ ???， ,2,1,0=n 即()2222222 2022 1111222222y z y z B q q B mc c E n x p p n p p mc m mc B B m εεω??? ?=+-++=+--+ ? ?? ??? ， 其中y p 和z p 为任意实数， ,2,1,0=n 本征函数()x ψ是()0x x -为变量的一维谐振子能量本征函数，即 ()()()2 02ξξψψ-=-=e H x x x n n ， 其中()ξn H 为厄密多项式()()00x x C B q x x u -=-= ω ξ。 3、设带电粒子在均匀磁场B 和各向同性谐振子势()222 1 r r V μω= 中运动，求能量本征值。 第10讲 等效原理与感应定理 10.1 等效原理 电磁场问题的解是由方程和边界条件决定的。也就是说，如果保持区域中的源分布、媒质分布以及区域边界上的边界条件不变，则场分布不变。这些便是电磁场等效原理的基础。 唯一性定理告诉我们，只要知道了所规定区域v 中的源、媒质及包围该区域的闭合曲面s 上的切向电场或切向磁场则该区域中的场唯一确定。这里并未提及区域v 外的源和媒质的分布情况。事实上，区域v 外的源对区域v 内的场的贡献已包含在曲面s 上的切向电场或切向磁场中。区域v 外不同分布的源只要在闭合曲面s 上产生相同的切向场，在区域v 内产生的场也相同。 等效的概念是这样表述的：在区域v 外具有不同源分布和媒质分布，而在区域v 内源分布和媒质分布相同的一些电磁场问题如果在区域v 内具有相同的场分布，则对区域v 内而言这些电磁场问题是等效的。 考虑如图10-1(a) 所示的场问题。 (a) (b) 图10-1 等效原理 (a) 原问题 (b) 等效问题 曲面s 将区域分成两部分v 1和v 2。原问题在s 上满足 () ()n H H n E E a a a a ?-=?-=?? ??? 0 0 （10-1） 即在s 上不存在源。将（10-1）写为 n H n H n E n E a a a a ?=??=?????? （10-2） 虽然在数学上（10-2）只是（10-1）变化而来的恒等式，似乎很无聊，但反映的物理内含是不同的。 （10-1）表示的是区域v 1和v 2的交界面边界条件，而（10-2）表示的是包围区域v 1或v 2的闭合曲面的切向场边界条件。 s M 1J a a H E , 2v 1M 2J n ? 2M s 1v a a H E , b b H E , 2v s J n ? 2M s 1v a a H E , 2J 第12章 电磁感应 习 题 8.１ 在通有电流I =5A 的长直导线近旁有一导体线段ab ，长l =20cm ，离长直导线距离d =10cm （图 示）。当它沿平行于长直导线的方向以速度v =10m/s 平移时，导线段中的感应电 动势多大？a 、b 哪端的电势高？ 8.2 如附图所示，一很长的直导线载有交变电流i ＝I 0sin ωｔ，它旁边有一长方形线圈ABCD ，长为l ，宽为（b -a ），线圈和导线在同一平面内。求： （1）穿过回路ABCD 的磁通量Φ； （2）回路ABCD 中的感应电动势ε。 8.3 在半径为R 的圆柱形体积内，充满磁感应强度为B 的均匀磁场。有一长为 Ｌ的金属棒放在磁场中，如图所示。设磁场在增强，并且t B d d 已知，求棒中的感 应电动势，并指出哪端电势高。 8.4 附图中导体棒ab 与金属轨道ca 和db 接触，整个线框放在B =0.50T 的均匀磁场中，磁场方向与图面垂直。 （1）若导体棒以 4.0m/s 的速度向右运动，求棒内感应电动势的大小和 方向； （2）若导体棒运动到某一位置时，电路的电阻为0.20Ω，求此时棒所受的力。摩擦力可不计。 （3）比较外力做功的功率和电路中所消耗的热功率。 8.5 （1）如图所示，质量为M 、长度为l 的金属棒ab 从静止开始沿倾斜的绝缘框架下滑，设磁场Ｂ竖直向上，求棒内的动生电动势与时间的函数关系，假定摩擦可忽略不计。 （2）如果金属棒ab 是沿光滑的金属框架下滑，结果有何不同？［提示：回路abcd 中将产生感应电流。可设回路的电阻为R ，并作为常量考虑。］ 8.6 无限长直导线，通以电流I 。有一与之共面的直角三角形线圈ABC ，已知AC 边长为b ，且与长直导线平行，BC 边长为a ，若线圈以垂直于导线方向的速度v 向右平移，当B 点与长直导线的距离为d 时，求线圈ABC 内的感应电动势的大小和感应电动势的方向。 8.7 如图，有一弯成θ角的金属架COD 冋题 12-1如图,在一长直导线L中通有电流I , ABCD为一矩形线圈，试确定在下列情况下，ABCD上的感应电动势的方向：（1）矩形线圈在纸面内向右移动；（2）矩形线圈绕AD轴旋转；（3）矩形线圈以直导线为轴旋转. 解导线在右边区域激发的磁场方向垂直于纸面向 里，并且由B -可知，离导线越远的区域磁感强度 2 r 越小，即磁感线密度越小?当线圈运动时通过线圈的磁通量会发生变化， 从而产生感应电动势.感应电动势的方向由楞次定律确定. （1）线圈向右移动，通过矩形线圈的磁通量减少，由楞次定律可知，线圈中感应电动势的方向为顺时针方向. （2）线圈绕AD轴旋转，当从0°到90°时，通过线圈的磁通量减小，感应电动势的方向为顺时针方向.从90°到180°时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向 为逆时针?从180°到270°时，通过线圈的磁通量减少，感应电动势的方向为顺时 针.从270°到360°时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针方向?（2）由于直导线在空间激发的磁场具有轴对称性，所以当矩形线圈以直导线为轴旋 转时，通过线圈的磁通量并没有发生变化，所以，感应电动势为零 12-2 当我们把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环中时，铜环内有感应电流 和感应电场吗？如用塑料圆环替代铜质圆环，环中仍有感应电流和感应电场吗？ 解当把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环过程中，穿过铜环的磁通量增加， 铜环中有感应电流和感应电场产生；当用塑料圆环替代铜质圆环，由于塑料圆环中的没有可以移动的自由电荷，所以环中无感应电流和感应电场产生 12-3 如图所示铜棒在均匀磁场中作下列各种运动，试问在哪种运动中的铜棒上会有感应电动势？其方向怎样？设磁感强度的方向铅直向下. （1）铜棒向右平移［图⑻］;（2 ）铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B的平面内转动［图（b）］; （3）第十章 电磁感应.
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