2013-2014学年高中数学北师大版必修1示范教案3.4.2换底公式

4.2 换底公式

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思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a ＞0，且a ≠1，c ＞0，

且c ≠1，b ＞0，log a b ＝log c b log c a

.教师直接点出课题． 思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．

思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

①已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求log 23的值.

②根据①，如a >0，a ≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？

③更一般地，我们有log a b ＝log c b log c a

，如何证明？④证明log a b ＝log c b log c a

的依据是什么？⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？

⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？

活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．

讨论结果：①因为lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝

2,100.477 1＝3.

不妨设log 23＝x ，则2x ＝3，所以(100.301 0)x ＝100.477 1， 100．301 0×x ＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg 3lg 2

. 因此log 23＝lg 3lg 2＝0.477 10.301 0

≈1.585 1. ②根据①我们看到，最后的结果是log 23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，

不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x ＝3，

两边都取以a 为底的对数，得

log a 2x ＝log a 3，x log a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2，也就是log 23＝log a 3log a 2

. 这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商．

③证明log a b ＝log c b log c a

. 证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；

两边取c 为底的对数，得log c a x

＝log c b x log c a ＝log c b ；

所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a

. 一般地，log a b ＝log c b log c a

(a ＞0，a ≠1，b ＞0，c ＞0，c ≠1)称为对数换底公式． ④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N .

⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．

⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．

说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，

一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg 3lg 2

， 即计算log 23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．

再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813

， 所以x ＝log 1.011813＝lg 1813lg 1.01＝lg 18－lg 13lg 1.01≈1.255 3－1.1390.043

＝32.883 7≈33年． 可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．

应用示例

思路1

例1计算：(1)log 927；(2)log 89·log 2732.

活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．

(1)解：log 927＝log 327log 39＝32

. (2)解法一：log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109

. 解法二：log 89·log 2732＝log 29log 28·log 232log 227＝2log 233·53log 23＝109

. 解法三：log 89·log 2732＝log 39log 38·log 332log 327＝23log 32·5log 323＝109

. 点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键．

例2 用科学计算器计算下列对数(精确到0.001)：

log 248；log 310；log 8π；log 550；log 1.0822.

解：log 248＝5.585；log 310＝2.096；log 8π≈0.550；log 550＝2.431；log 1.0822＝8.795.

例3 (1)证明log a x log ab x

＝1＋log a b ； (2)已知log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ，

求证：log a 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝λ.

活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a 为底的对数，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解，利用换底公式可直接得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．

(1)证法一：设log a x ＝p ，log ab x ＝q ，log a b ＝r ，

则x ＝a p ，x ＝(ab )q ＝a q b q ，b ＝a r .所以a p ＝(ab )q ＝a q (1＋r )，从而p ＝q (1＋r )．

因为q ≠0，所以p q ＝1＋r ，即

log a x log ab x ＝1＋log a b (获证)． 证法二：左边＝log a x log ab x ＝log x ab log x a

＝log a ab ＝1＋log a b ＝右边． (2)证明：因为log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ， 所以由换底公式得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n

＝λ. 由等比定理，所以lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ＝λ.所以lg b 1b 2…b n lg a 1a 2…a n ＝λ. 所以log a 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝lg b 1b 2…b n lg a 1a 2…a n ＝λ. 点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．

例4 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字)．

活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时要使实际问题有意义．

解：设最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y .则

经过1年，剩留量是y ＝0.84；

经过2年，剩留量是y ＝0.842；

……

经过x 年，剩留量是y ＝0.84x .

即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．

方法二：依题意得0.84x ＝0.5，用科学计算器计算得

x ＝log 0.840.5＝ln 0.5ln 0.84

＝3.98， 即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．

图2

点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点．

思路2

例1 (1)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.

(2)若log 83＝p ，log 35＝q ，求lg 5.

活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化．利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示．对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决．

解：(1)因为log 23＝a ，则1a

＝log 32，又因为log 37＝b ， 所以log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1

. (2)因为log 83＝p ，即log 233＝p ，所以log 23＝3p .

所以log 32＝13p

. 又因为log 35＝q ，所以lg5＝log 35log 310＝log 35log 32＋log 35＝3pq 1＋3pq

. 点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.

变式训练

已知log 189＝a,18b ＝5，用a ，b 表示log 3645.

解：因为log 189＝a ，所以log 18182

＝1－log 182＝a .所以log 182＝1－a . 因为18b ＝5，所以log 185＝b .

所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 2－a

. 点评：在解题过程中，根据问题的需要，指数式转化为对数式，或对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现，转化思想是中学中重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用.

例2 设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z .

(1)求证：1x ＋12y ＝1z

；(2)比较3x,4y,6z 的大小． 活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导．(1)

利用对数的定义把x ，y ，z 表示出来，根据对数的定义把3x ＝4y ＝6z 转化为指数式，求出x ，

y ，z ，然后计算．(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较．

(1)证明：设3x ＝4y ＝6z ＝k ，因为x ，y ，z ∈(0，＋∞)，所以k ＞1.

取对数，得x ＝lg k lg 3，y ＝lg k lg 4，z ＝lg k lg 6

， 所以1x ＋12y ＝lg 3lg k ＋lg 42lg k ＝2lg 3＋lg 42lg k ＝2lg 3＋2lg 22lg k ＝lg 6lg k ＝1z

， 即1x ＋12y ＝1z

. (2)解：因为3x －4y ＝? ??

??3lg 3－4lg 4lg k ＝lg 64－lg 81lg3·lg 4lg k ＝lg k ·lg 6481lg 3·lg 4＜0， 所以3x ＜4y .

又因为4y －6z ＝? ??

??4lg 4－6lg 6lg k ＝lg 36－lg 64lg 2·lg 6lg k ＝lg k ·lg 916lg 2·lg 6＜0， 所以4y ＜6z .所以3x ＜4y ＜6z .

点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析．

例3 已知log a x ＝log a c ＋b ，求x .

活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理．把对数式转化为指数式求解，或把b 转化为对数形式利用对数的运算性质来解．由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式来解．

解法一：由对数定义，可知x ＝a log a c ＋b ＝a log a c ·a b ＝c ·a b .

解法二：由已知移项可得log a x －log a c ＝b ，即log a x c ＝b ，由对数定义，知x c ＝a b ， 所以x ＝c ·a b .

解法三：因为b ＝log a a b ，所以log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c ·a b .

所以x ＝c ·a b . 点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用．

知能训练

(1)已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 15

等于( )． A.2a ＋b 1＋a ＋b B.a ＋2b 1＋a ＋b

C.2a ＋b 1－a ＋b

D.a ＋2b 1－a ＋b

(2)已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y

的值为( )．

A ．1

B ．4

C ．1或4

D ．4或－1

(3)若3a ＝2，则log 38－2log 36＝__________.

(4)lg 12.5－lg 58

＋lg 0.5＝__________. 答案：(1)C (2)B (3)a －2 (4)1

拓展提升

探究换底公式的其他证明方法：

活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．

证法一：设log a N ＝x ，则a x ＝N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c a x ＝log c N ，

所以x log c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a .故log a N ＝log c N log c a

. 证法二：由对数恒等式，得N ＝a log a N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c N

＝log a N ·log c a ，所以log a N ＝log c N log c a

. 证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m ，N ＝a n ，所以N ＝(c m )n ＝c mn .

两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，

所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c N log c a

. 对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c N log c a

(c ＞0且c ≠1，a ＞0且a ≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：

例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d M log d N

. 解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M .

课堂小结

1．对数换底公式．

2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a (a ＞0且a ≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明．

作业

1．已知1271log 7＝a ，131log 5

＝b ，求log 81175的值．

解：因为1271log 7

＝log 277＝13log 37＝a ， 所以log 37＝3a . 又因为1

3

1log 5＝log 35＝b ， 所以log 81175＝14log 325×7＝14(log 325＋log 37)＝14(2log 35＋log 37)＝3a ＋2b 4

. 2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n

)log 9n

32＝52. 证明：左边＝(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32

＝ ＝n log 23·1n log 332＝log 23·52log 32＝52

＝右边． 设计感想

本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．

备课资料

【备选例题】

【例1】 化简：log a M log b N ·log b M log c N ·log c M log d N ·log d M log a N

. 解：原式＝log a M log a N ·log b M log b N ·log c M log c N ·log d M log d N

＝log N M ·log N M ·log N M ·log N M ＝(log N M )4. 【例2】 求证：log a b ＝1log b a

(a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1)． 证法一：log a b ＝log b b log b a ＝1log b a

. 证法二：1log b a ＝log b b log b a

＝log a b . 【例3】 试证：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x ＝1log n ！x

. 证明：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x

＝log x (2×3×4×…×n ) ＝log x (1×2×3×4×…×n )＝log x n ！＝1log n ！x

. 对数的创立

对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550—1617年)男爵．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时

间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．

当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样．在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的．那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14，….

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1 024,2 048,4 096,8 192,16 384，….

这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现．比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了．回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了．这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？

经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣．伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．

(设计者：刘菲)