曲线积分与曲面积分

第十一章曲线积分与曲面积分

定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.

教学目标

1．理解对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的概念和性质；

2．掌握对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的计算方法；

3．理解两类曲线积分之间的关系；

4．掌握格林公式；

5．会应用平面曲线积分与路径无关的条件；

6．理解对弧长曲线面积分和对坐标曲面积分的概念和性质；

7．掌握对弧长曲面积分和对坐标曲面积分的计算方法；

8．理解两类曲面积分之间的关系。

教学要求

1．掌握对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的计算方法。

2．掌握格林公式。

3．应用平面曲线积分与路径无关的条件解决相关类型的问题。

4．掌握对弧长曲面积分和对坐标曲面积分的计算方法。

知识点、重点归纳

1．分析实际问题，将其转化为相关的数学问题；

2．应用曲线或者曲面积分的计算方法求解问题；

3．理解格林公式的实质；

4．应用平面曲线积分与路径无关的条件解决相关类型的问题。

第一节对弧长的曲线积分

一、对弧长曲线积分的概念与性质

定义 L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧，),(y x f 在L 上有界，用i M 将L 分成n 小段i S ∆，任取一点i i i S ∆∈),(ηξ()1,2,3...,i n =，作和

i i

S f ∆∑=1

),(ηξ，令

},,,m ax {21n s s s ∆∆∆= λ，当λ0→时，0

lim (,)n

i i i i f S λξη→=∆∑存在，称此极限值为

),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为

=⎰ds y x f L

),(0

lim (,)n

i i i

i f S λξη→=∆∑

注意：（1）若曲线封闭，积分号⎰ds y x f ),(

（2）若),(y x f 连续，则

ds y x f L

⎰),(存在，其结果为一常数.

（3）几何意义),(y x f =1，则ds y x f L

⎰),(=L （L 为弧长）

（4）物理意义 M =

ds y x L

⎰),(ρ

（5）此定义可推广到空间曲线

ds y z x f ⎰Γ

),,(=0

lim (,,)n

i i i i

i f S λξηζ→=∆∑

（6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上

重心：M

xds

x L

⎰=

ρ，M

yds

y L

⎰=

ρ，M

zds

z L

⎰=

ρ。

转动惯量：⎰=

x ds y x y I ),(2

ρ， ⎰=L

y ds y x x I ),(2ρ， ⎰+=L

o ds y x y x I ),()(22ρ

（7）若规定L 的方向是由A 指向B ，由B 指向A 为负方向，但

ds y x f L

⎰),(与L 的方向

无关

性质a ：设21L L L +=，则

ds y x f L

⎰),(=ds y x f L ⎰1

),(+ds y x f L ⎰2

),(

b ：ds y x g y x f L

⎰

±]),(),([=

ds y x f L

⎰),(±(),L

g x y ds ⎰

c ：ds y x kf L

⎰),(=k

ds y x f L

⎰),(。

二、对弧长曲线积分的计算

定理设),(y x f 在弧L 上有定义且连续，L 方程⎩

⎨

⎧==)()

(t y t x ψϕ （βα≤≤t ），)(),(t t ψϕ

在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(2

≠'+'t t ψϕ，则曲线积分

ds y x f L

⎰),(存在，且

ds y x f L

⎰

),(=⎰'+'L

dt t t t t f )()()](),([22ϕφϕφ。

说明：从定理可以看出

（1）计算时将参数式代入),(y x f ，dt t t ds )()(22ϕφ'+'=

，在],[βα上计算定积

分。

（2）注意：下限α一定要小于上限β，α<β （∵i S ∆恒大于零，∴ i t ∆>0）（3） L ：)(x y ϕ=, b x a ≤≤时，

ds y x f L

⎰

),(=dx x x x f b

2)]([1)](,[ϕϕ'+⎰

同理L ：)(y x φ=，d y c ≤≤时，ds y x f L

⎰),(=

dy y y y f d

2)]([1]),([φφ'+⎰

(4) 空间曲线P ：)(t x ϕ=，)(t y ψ=，)(t z ϖ=，

ds y x f P

⎰),(=dt t t t t t t f )()()()]

(),(),([222ϖψϕϖψϕβ

α'+'+'⎰

练习

1. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度

1μ=）.

2. 计算曲线积分

222()x y z ds Γ

++⎰

，其中Γ为螺旋线cos x a t =，sin y a t =，z kt

=上相应于t 从0到2π的一段弧. 3. 计算

,x C

ye dS -⎰

其中C 为曲线2ln(1),23x t y arctgt t =+=-+由0t =到1t =间

的一段弧.

4. 求L xydS ⎰，其中L 是椭圆周22

221x y a b

+=位于第一象限中的那部分。

5. 计算

⎰

，其中L 为曲线222.x y y +=-

6. 求

xdS ⎰，其中L 为双曲线1xy =从点1

(,2)2

到点(1,1)的一段弧。 7. 计算()L

x y ds +⎰其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段.

8. 计算

x y L

ds +⎰

其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限内所扇

形的整个边界. 9. 计算

2,x yzds Γ

⎰

其中Γ为折线,ABCD 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、

(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)。

10. 计算

22()L

x y ds +⎰

，其中L 为曲线(cos sin )x a t t t =+, (sin cos )y a t t t =-

(02)t π≤≤.

11. 设L 为双纽线2

()()x y a x y +=-, 计算积分||L

I y ds =

⎰.

12. 设L 为椭圆

143

x y +=, 其周长为a , 求22(234)L xy x y ds ++⎰. 参考答案

1．3

(sin cos )R ααα-

2.222

24)3

a k π+ 3.

213ln 21624ππ-+ 4.22()

3()

ab a ab b a b +++ 5. 004sin 4sin 8d d ππθθθθ--=-=⎰⎰

111[ln ]2241t t t -=++

8. 224a e a π⎛

⎫+- ⎪⎝

⎭

9. 9 10. 232

2(12)a

ππ+ 11. 22(2a 12. 12a

第二节对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质

定义 (对坐标的曲线积分或第二类曲线积分) 设L 是空间中的一条有向光滑的曲线，两个端点分别为A 和B . ()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,为定义在曲线L 上的函数．在L 内依次插入点121,...,,-n M M M ，并令0000(,,)M x y z A =, (,,)n n n n M x y z B =.并且这些点是从A 到B 排列的. 这样就将曲线L 分为n 个小的弧段i i M M 1-(1,2,

,i n =)．设

1--=∆i i i x x x ，1i i i y y y -∆=-，1i i i z z z -∆=-．记各弧段长为i s ∆, 1max{}i i n

s λ≤≤=∆. 在小

弧段i i M M 1-上任意取一点()i i i ζηξ,,，若()∑=→∆n

i i

P 1

,,lim

ζηξλ存在，则称之为函数

()z y x P ,,在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分(或称第二类曲线积分)．记为

()⎰L

dx z y x P ,,．即

()⎰L

dx z y x P ,,＝()∑=→∆n

i i

x P 1

,,lim ζηξλ

．

分别称为函数在有向曲线L 上对坐标y 和对坐标z 的曲线积分．这些积分统称为第二类曲线积分．

若L 为封闭有向曲线,则记为

(),,L

P x y z dx ⎰、(),,L

P x y z dy ⎰或(),,L

P x y z dz ⎰．

由对坐标的曲线积分的定义可以知道，第二类曲线积分具有下面的性质：

1. ()()()()()()⎰

⎰

++=++L L

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,,,,,,,；

2.（线性性）：若两个向量值函数(,,)(,,)(,,)i i i L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰

(1,2,,i k =)存在, 则其中(1,2,

,)i c i k =为常数．

3.（路径可加性）：设定向分段光滑曲线L 分成了两段1L 和2L ，它们与L 的取向相同（记

12L L L =+），则向量函数(,,)f x y z 在L 上的第二类曲线积分的存在性等价于

(,,)f x y z 在1L 和2L 上的第二类曲线积分的存在性．且有

()()()⎰⎰⎰+=+1

1,,,,,,L L L L dx z y x f dx z y x f dx z y x f ；

4.（方向性）：如用L -表示与L 方向相反的曲线．则有

()()⎰⎰-=-L

dx z y x f dx z y x f ,,,,．

二、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的计算

求曲线积分的一般步骤是：

１．将z y x ,,用各自的参数方程代替；

２．将曲线的终点和起点所对应的参数的值作为定积分的上下限；３．将曲线积分化为定积分，计算定积分，即得曲线积分的值．

特别地，当L 是平面xoy 上的光滑曲线时，设曲线方程为()y y x =，起点和终点对应的x 的值分别是,a b ，则有

()()()()()()()

,,,,'b

P x y dx Q x y dy P x y x Q x y y x dx +=+⎰⎰．

练习

1. 求22L

I xy dy x ydx =

-⎰

. 其中曲线C 为圆周222x y a +=, 积分方向为顺时针方

向, 0a >. 2. 求

()()()L

x z y dx y x z dy z y x dz -+-+-⎰

, 其中L 是由球面2222x y z R ++=与

平面0x =, 0y =, 0z =(0,0,0)x y z ≥≥≥的交线AB ,BC 和CA 组成. 3.

求22(sin )L

I x y dx =

-⎰

. 其中曲线L 由折线AOB 及曲线

1:sin (2)C x y y ππ=≤≤两段组成, 起点为(1,0)A , 其中(0,0)O =, (0,)B π=

4. 求

22()L

x y dy +⎰. 其中L 是由直线1x =, 1y =, 3x =及5y =构成的正向矩形

回路. 5. 求

2222()()L

x y dx x y dy ++-⎰

. 其中L 为曲线1|1|y x =--上对应于x 从0到2

的一段.

6. 试将

(||,||)L

f x y dy ⎰

表示成定积分. 其中L 是以(1,2)A ,(1,1)B -及(2,0)C 为顶

点的三角形的正向. 7. 求

dx dy ydz -+⎰

. 其中L 为有向闭曲线ABCA , 这里,,A B C 依次为点

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).

8. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成. 试求当一质量为m 的质点沿圆周

222x y R +=按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功.

9. 一力场中的力的大小与作用点到z 轴的距离成正比, 方向垂直向着该轴. 试求当质

量为m 的质点沿圆周cos ,1,sin x t y z t ===由点(1,1,0)M 依正向移动到点

(0,1,1)N 时,力场所作的功.

10. 求(1).L

xdx ydy x y dz +++-⎰

L 是从点(1,1,1)A 到点(2,3,4)B 的一段直线.

参考答案 1. 42a π

2. 32R

3. 53π+

4. 32

5. 43

6. 0

1022

010(1,)(1,)(2,)(2,)2

f y dy f y dy f y y dy f y dy --+-++-+-⎰

⎰⎰⎰

8. ||F R -

ln 22k

10. 13

第三节格林公式及其应用

一、格林公式

定理设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续

偏导数，则有

dxdy y

x Q D

⎰⎰∂∂-∂∂)(

=L Pdx Qdy +⎰。L 为D 的取正向的边界曲线。

说明：（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立

（2）记法

⎰

-L

ydx xdy =⎰⎰

∂∂

-∂∂D

dxdy y

x （3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分。

二、平面上曲线积分与路径无关的条件

定理设区域G 是一个单连通区域，函数),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分

⎰+L

Qdy Pdx 在G 内与路径无关（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要

条件是

y P ∂∂=∂∂在G 内恒成立。定理设),(y x P ，),(y x Q 在单连通区域D 内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价

（1）内任一闭曲线C ，⎰

Qdy Pdx =0。

（2）对内任一曲线L ，

⎰+L

Qdy Pdx 与路径无关

（3）在D 内存在某一函数),(y x μ使Qdy Pdx y x d +=),(μ在D 内成立。

（4）

y P ∂∂-∂∂，在D 内处处成立。练习

1. 求(3,0)

43224(0,1)

(4)(65)I x xy dx x y y dy -=

++-⎰

2. 计算2222L x y x y

I dx dy x y x y -+=

+++⎰. 其中L 是从点(,0)A a -经上半椭圆

1(0)x y y a b +=≥到点(,0)B a 的弧段. 3. 求

22(1)(1)L x dy ydx

x y ---+⎰. 其中L 为含有点(1,0)的区域D 的边界曲线,沿逆时针方向. 4. 求

22cos sin sin L x ydy ydx x y

-+⎰. 其中L 为单位圆22

1x y +=的正向. 5. 计算曲线积分

222()L ydx xdy x y -+⎰. 其中L 为圆周22

(1)2x y -+=, L 的方向为逆时针

方向. 6. 证明曲线积分

(3,4)

2322(1,2)

(6)(63)xy y dx x y xy dy -++⎰

在整个xoy 面内与路径无关,

并计算积分值.

7. 验证4sin sin3cos 3cos3cos 2x y xdx y xdy -在整个xoy 平面内是某一个函数

(,)u x y 的全微分, 并求一个这样的函数.

8. 设()f x 在(,)-∞+∞有连续导函数, 求其中L 是从点2(3,)3

A 到点(1,2)

B 的直线段. 9. 确定常数n , 使得

为某函数(,)u u x y =的全微分, 并求(,)u x y .

10. 设D 是由y x =,4y x =,1xy =及4xy =所围成的区域, L 是它的正向边界,

()F u 具有连续导数, 求证

41()

ln 2()L F xy dy f u du y =⎰⎰.

其中'()()F u f u =.

参考答案

238

2. π-

3. 2π

4. 2π

5. π-

6. 236

7. (,)sin 3cos 2u x y y x =-

8. 4-

221ln()arctan 2y

x y C x

+++

10. 提示: 作变换,y u xy v x

第四节对面积的曲面积分

一、对面积的曲面积分的概念与性质

定义设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,

,i n =)，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i ∆∑上任

意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限

存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为

()⎰⎰∑

ds z y x f ,,．即

()⎰⎰∑

ds z y x f ,,=()∑=→∆n

i i

S f 1

,,lim ςηξλ

．

其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．

对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如 1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑

∑

±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；

2) ()()⎰⎰⎰⎰∑

∑

=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；

()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2

1,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．

二、对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算

()()()

()()⎰⎰⎰⎰++=∑

D y x

dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22

．曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 2

1++=，曲面在坐

标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：

1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 2

1++换dS ；

3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．

简单地说就是“一代二换三投影”．

练习

1. 计算

()x y z dS ∑

++⎰⎰

. 其中∑为上半球面z =2. 计算||I xyz dS ∑

=⎰⎰

. 其中∑为曲面22

z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分.

3. 计算

22()x y dS ∑

+⎰⎰. 其中∑是锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳2

21()2

z x y =

+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=. 5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2

x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算

(1)dS x y ∑

++⎰⎰

. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界

面.

参考答案

1. 3

a π 2.

12π 4. 2

1)15

404

a πρ 6.

1)ln 2+.

第五节对坐标的曲面积分

一、对坐标的曲面积分的概念和性质

定义设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限

存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为

()⎰⎰∑

dxdy z y x R ,,，即

()⎰⎰∑

dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆n

i xy

i i

S R 1

,,lim ςηξλ

．

类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）

()⎰⎰∑

dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类

曲面积分）

()⎰⎰∑

dxdz z y x Q ,,如下：

()⎰⎰∑

dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆n

i yz

S P 10

,,lim ςηξλ

；

()⎰⎰∑

dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆n

i zx

i i

S Q 1

,,lim ςηξλ

．

在应用中通常是上面三种积分的和，即

()⎰⎰∑

dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑

dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑

dxdy z y x R ,,，

简记为

()()()⎰⎰∑

++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．

如果∑是有向封闭曲面，通常记为

()()()⎰⎰∑

++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，

并规定取曲面的外侧．性质

1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质: 2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有

二、对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法

()()(),,,,,yz

D P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑

=±⎰⎰⎰⎰；

等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．

如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有

()()()⎰⎰⎰⎰±=∑

D dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．

等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．

对于曲面积分

()⎰⎰∑

dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：

a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；

c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号．简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算．

练习

1. 计算2xz dydz ∑

⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算

zdxdy xdydz ydzdx ∑

++⎰⎰. 其中∑为柱面2

21x

y +=被平面0z =及3z =所截部

分的外侧. 3. 计算

(1)()z x y dxdy ∑

++⎰⎰

. 其中∑为半球面2221x y z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.

4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++穿过在第一卦限中的球面222

1x y z ++=外侧的通量.

5. 计算

x y zdxdy ∑

⎰⎰

. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧. 参考答案 1.

5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 3

π 5. 72105R π 综合测试

一、填空题

参考答案

谈曲线积分与曲面积分的运算

谈曲线积分与曲面积分的运算在数学分析中,我们学过曲线和曲面积分的计算.但是这种计算要把方程化为参数方程后再计算.有时这种方法较困难,且不易计算.下面笔者根据自己多年的经验,提出了一些关于曲线与曲面积分的运算方法,希望能够起到抛砖引玉的效果。一、曲面积分的运算 (一)利用轮换对称性简化第二类曲面积分运算第二类曲面积分也有类似于重积分的轮换对称性。这里的轮换是指: 1.被积表达式满足轮换对称性,即将补积表达式中的所有字母按轮换次序x→y→z→x代换后,积分不变; 2.积分曲面及其指定侧也具有轮换对称性,这是指在各坐标面上的投影区域相同,且配给的符号也相同。若满足上述轮换对称性, 则上述轮换对称性通俗的说就是被积表达式的变量互换位置,被积式不变;且区域边界方程中的变量互换位置,区域也不变,从而互换后积分值当然也不变。例1:计算其中Σ是平面x=0,y=0,x+y+z=1所围的空间区域的整个边界面的外侧。解:因变量按次序x→y→z→x轮换时被积表达式不变,且积分曲面在各坐标面上的投影区域相同,配给的符号也相同,故积分曲面及其指定侧亦具有轮换对称性,所以积分具有轮换对称性。因Σ2,Σ3垂直于面xoy,故又因在Σ1上有z=0, 于是从此例观察,先用轮换对称性简化积分后,再采用其它方法来计算此类积分,可使计算量大大降低。可见,用轮换对称性来计算某些满足该条件的第二类曲面积分,是一种切实可行的计算方法。

(二)高斯公式法定理(高斯公式):设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲线S围成,若函数 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在V上连续,且有一阶连续偏导数,则: (1) 其中S取外侧。(1)式成为高斯公式。高斯公式也可以表示成: (2) 其中(cosα,cosβ,cosγ)是S外法线的单位向量。应用高斯公式时,应注意条件:①S必须是封闭曲面,若所讨论的曲面不是封闭曲面,应当适当补上某块曲面,使它成为封闭曲面;②P、Q、R 在V上连续且偏导数也连续,若它们及其偏导数在某点不连续,应当利用“挖去奇点”的技巧,在余下的区域内应用高斯公式。由高斯公式知: 2Л, 而, 故。I=2Л-3Л=-Л 二、曲线积分的运算利用Green公式求解定理(Green公式),设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则: ,其中L是D的取正向的边界曲线。利用Green公式可以把曲线积分转化为二重积分。例3:已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤п,0≤y≤Л},L为D的正向边界。试证: (1) (2) 解:(1)根据格林公式,得: 因为D具有轮换对称性,所以: 故: (2)由(1)知:

曲线积分和曲面积分

定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。该定义可以统一形式给出：

从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。表面积分的形式如下： \ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。）。最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。

换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。因此，它也生动地称为通量。在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi）如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。

曲线积分和曲面积分

曲线积分：在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。分类：曲线积分分为：（1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。曲面积分：定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。第一型曲面积分：

定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分：第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。

曲线积分和曲面积分的物理意义

曲线积分和曲面积分的物理意义摘要： 1.曲线积分概述 2.曲面积分的物理意义 3.曲线积分与曲面积分的联系与区别 4.实际应用案例分析正文：一、曲线积分概述曲线积分是一种数学工具，用于计算曲线上的物理量，如力、速度、能量等。它在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。曲线积分的基本思想是将曲线划分为无数小段，计算每小段上的物理量与长度的乘积之和。根据积分路径的不同，曲线积分可分为线积分和面积分。二、曲面积分的物理意义曲面积分是对曲面上物理量的积分，其基本思想是将曲面划分为无数小面，计算每个小面上的物理量与面积的乘积之和。曲面积分可分为两类：法向量积分和切向量积分。法向量积分用于计算曲面上某一点的垂直方向物理量，如压力、温度等；切向量积分用于计算曲面上某一点的切线方向物理量，如速度、力等。曲面积分在物理学、工程学等领域具有重要的物理意义。三、曲线积分与曲面积分的联系与区别曲线积分与曲面积分都是对物理量沿路径或曲面的积分。它们的联系在于都是通过对路径或曲面进行划分，计算各小段或小面上物理量与长度或面积的

乘积之和。然而，它们也有明显的区别。曲线积分主要针对曲线路径，关注沿路径的变化；而曲面积分针对曲面，关注的是曲面上各点的物理量。此外，曲线积分可分为线积分和面积分，而曲面积分可分为法向量积分和切向量积分。四、实际应用案例分析 1.电磁学：在电磁学中，曲线积分广泛应用于计算电场线、磁感线等。通过计算曲线上某一点的电场强度或磁场强度与弧长的乘积之和，可以得到电场线或磁感线的分布情况。 2.流体力学：在流体力学中，曲面积分可用于计算流体沿曲面的速度分布。通过计算曲面上各点的速度与面积的乘积之和，可以得到流体的速度分布情况，进而分析流体的运动规律。 3.热传导：在热传导问题中，曲线积分可以用于计算温度沿曲线的分布。通过计算曲线上某一点的温度与弧长的乘积之和，可以得到温度的分布情况，进而分析热传导过程。总之，曲线积分和曲面积分在物理学、工程学等领域具有重要的应用价值。

(完整版)曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数对为奇函数其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数对为偶函数其中1L 是L 在上半平面部分. （2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=? ?L L f x ds f y ds .

曲线积分曲面积分公式

曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的概念和计算方法，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及它们的应用。一、曲线积分 1. 概念曲线积分是沿着曲线路径的函数值在该路径上的积分，它可以用来计算曲线上的物理量或计算路径上的某个量的总和。一条曲线通常可以用参数方程表示，即根据一个或多个参数的变化来描述曲线上的点的坐标。 2. 计算方法曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种。第一类曲线积分是对曲线上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为： ∫f(x,y,z) ds 其中，f(x,y,z)是曲线上的函数，s是弧长。第二类曲线积分是对曲线上的矢量场进行积分，计算公式为： ∫F·dr 或∫F ds

其中，F是曲线上的矢量场，dr是位移矢量，ds是弧长。 3. 应用曲线积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场沿着路径上的功、磁场沿着闭合路径上的环流等。它还可以用来计算空间曲线上的质心、质量等。在工程学中，曲线积分可以用来计算管道的流量、线段上的力等。二、曲面积分 1. 概念曲面积分是对曲面上的函数的某个量在整个曲面上的积分，它可以用来计算曲面上的物理量或计算函数在曲面上的平均值。一般情况下，曲面可以用参数方程表示，即根据两个参数的变化来描述曲面上的点的坐标。 2. 计算方法曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种。第一类曲面积分是对曲面上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为： ∬f(x,y,z) dS 其中，f(x,y,z)是曲面上的函数，dS是面积元。第二类曲面积分是对曲面上的矢量场进行积分，计算公式为：

曲线积分与曲面积分

第十一章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 教学目标 1．理解对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的概念和性质； 2．掌握对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的计算方法； 3．理解两类曲线积分之间的关系； 4．掌握格林公式； 5．会应用平面曲线积分与路径无关的条件； 6．理解对弧长曲线面积分和对坐标曲面积分的概念和性质； 7．掌握对弧长曲面积分和对坐标曲面积分的计算方法； 8．理解两类曲面积分之间的关系。教学要求 1．掌握对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的计算方法。 2．掌握格林公式。 3．应用平面曲线积分与路径无关的条件解决相关类型的问题。 4．掌握对弧长曲面积分和对坐标曲面积分的计算方法。知识点、重点归纳 1．分析实际问题，将其转化为相关的数学问题； 2．应用曲线或者曲面积分的计算方法求解问题； 3．理解格林公式的实质； 4．应用平面曲线积分与路径无关的条件解决相关类型的问题。

第一节对弧长的曲线积分一、对弧长曲线积分的概念与性质定义 L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧，),(y x f 在L 上有界，用i M 将L 分成n 小段i S ∆，任取一点i i i S ∆∈),(ηξ()1,2,3...,i n =，作和 i n i i i S f ∆∑=1 ),(ηξ，令 },,,m ax {21n s s s ∆∆∆= λ，当λ0→时，0 1 lim (,)n i i i i f S λξη→=∆∑存在，称此极限值为 ),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为 =⎰ds y x f L ),(0 1 lim (,)n i i i i f S λξη→=∆∑ 注意：（1）若曲线封闭，积分号⎰ds y x f ),( （2）若),(y x f 连续，则 ds y x f L ⎰),(存在，其结果为一常数. （3）几何意义),(y x f =1，则ds y x f L ⎰),(=L （L 为弧长）（4）物理意义 M = ds y x L ⎰),(ρ （5）此定义可推广到空间曲线 ds y z x f ⎰Γ ),,(=0 1 lim (,,)n i i i i i f S λξηζ→=∆∑ （6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上重心：M xds x L ⎰= ρ，M yds y L ⎰= ρ，M zds z L ⎰= ρ。转动惯量：⎰= L x ds y x y I ),(2 ρ， ⎰=L y ds y x x I ),(2ρ， ⎰+=L o ds y x y x I ),()(22ρ （7）若规定L 的方向是由A 指向B ，由B 指向A 为负方向，但 ds y x f L ⎰),(与L 的方向无关性质a ：设21L L L +=，则 ds y x f L ⎰),(=ds y x f L ⎰1 ),(+ds y x f L ⎰2 ),( b ：ds y x g y x f L ⎰ ±]),(),([= ds y x f L ⎰),(±(),L g x y ds ⎰

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分曲线积分：曲线积分是一种对曲线上的向量值函数进行积分的方法。以一维平面曲线为例，设该曲线为C，它求解的是一个向量场F沿着C的积分，因为曲线上每个点都有一个切向量，所以曲线积分可以看作是向量场F与曲线C的点乘积之和。曲线积分在物理学和工程学领域中得到广泛应用，比如在力学中用于计算质点沿着路径所受的约束力，或者用于计算磁场强度在闭合电路上的流量。它还可以用于计算平面或曲面上的各种力场沿着路径或曲线的做功。曲线积分的表示方法有两种，一种是路径坐标表示，即将曲线看作是指定参数范围内的一条参数曲线，即可对F进行积分;另一种是向量积分，即将曲线分解为若干段直线，则曲线积分等于每一段弧长所得到的弧长积分之和。曲面积分：

曲面积分是一种针对曲面上的向量值函数进行积分的方法，它是高维向量积分的扩展。类似于曲线积分，曲面积分也是一种多个向量态的点积之和。常见的曲面有球体、圆柱体、圆锥体、平面等等。对于任意曲面而言，曲面积分就是将向量场沿着曲面的法向量进行积分所得到的积分值。曲面积分应用广泛，因为它可以用于计算各种物理场的流量，比如电场、磁场、重力场等等。在计算物理场相互作用时，曲面积分也是不可或缺的数学工具之一。曲面积分的表示方法有两种，一种是分片曲面表示，即将曲面分解为若干小块，再对每一个小块进行积分求和; 另一种是参数表示，即采用参数方程表示曲面，则曲面积分等于曲面上每一个参数块所得到的面积积分之和。最后，曲线积分和曲面积分是数学里非常重要的概念，它们在物理领域中扮演着重要的角色，既可以用来理解物理现象，也可以用来解决实际问题。学习曲线积分和曲面积分，对于深入了解物理学、数学等领域都非常重要。

高数考研备战曲线积分与曲面积分的关系与转化

高数考研备战曲线积分与曲面积分的关系与转化曲线积分和曲面积分是数学中的重要概念，在高数考研备战中也是必不可少的知识点。曲线积分主要用于计算曲线上某个物理量的总量，而曲面积分则用于计算曲面上某个物理量的总量。两者之间存在一定的关系和转化方法，下面我们将详细介绍。一、曲线积分的概念和计算方法曲线积分是用来计算曲线上某个物理量的总量。在数学上通常将曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。 1. 第一类曲线积分第一类曲线积分是指对曲线上函数的积分运算。根据曲线的参数方程表示，第一类曲线积分可以表示为： ∫ [a, b] f(x(t), y(t)) ds 其中，f(x, y)是定义在曲线上的函数，x(t)和y(t)是曲线的参数方程，ds是曲线上的弧长元素。 2. 第二类曲线积分第二类曲线积分是指对曲线上向量场的积分运算。根据曲线的参数方程表示，第二类曲线积分可以表示为： ∫ [a, b] F(x(t), y(t)) · dr

其中，F(x, y)是定义在曲线上的向量场，x(t)和y(t)是曲线的参数方程，dr是曲线上的切向量元素。二、曲面积分的概念和计算方法曲面积分是用来计算曲面上某个物理量的总量。曲面积分同样分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。 1. 第一类曲面积分第一类曲面积分是指对曲面上函数的积分运算。根据曲面的参数方程表示，第一类曲面积分可以表示为： ∫∫ Ω f(x, y, z) dS 其中，f(x, y, z)是定义在曲面上的函数，Ω是曲面的投影区域，dS 是曲面上的面积元素。 2. 第二类曲面积分第二类曲面积分是指对曲面上向量场的积分运算。根据曲面的参数方程表示，第二类曲面积分可以表示为： ∫∫ Ω F(x, y, z) · dS 其中，F(x, y, z)是定义在曲面上的向量场，Ω是曲面的投影区域，dS是曲面上的面积元素。三、曲线积分与曲面积分的关系与转化

曲线积分与曲面积分的坐标变换

曲线积分与曲面积分的坐标变换曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，在物理学、工程学以及其他科学领域中都有广泛的应用。坐标变换是研究曲线积分和曲面积分的重要方法之一，它能使问题的求解更加简洁和方便。本文将探讨曲线积分和曲面积分的坐标变换方法及其应用。一、曲线积分的坐标变换曲线积分是沿曲线对函数进行积分的一种方式，其计算与曲线的参数化表示密切相关。对于具有参数表示的曲线，我们可以通过曲线的参数方程对其进行积分。当进行坐标变换时，我们需要考虑变换的雅可比矩阵对积分的影响。假设存在参数方程： $$ \begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases} $$ 考虑曲线上的某一点P，其对应的参数为$(u,v)$。在参数化表示下，曲线的切向量可以表示为：

\vec{T}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\frac{{\partial u}}{{\partial t}}+\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\frac{{\partial v}}{{\partial t}} $$ 其中，$\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$为参数化表示的曲线矢量函数。对于曲线的积分，我们可以利用参数方程对其进行变换，得到新的参数方程。在新的参数方程下，积分的计算可能更加简单，使问题的求解变得更加方便。二、曲面积分的坐标变换曲面积分是在曲面上对函数进行积分的一种方式。类似于曲线积分，曲面积分的计算也与曲面的参数化表示密切相关。在考虑坐标变换时，我们需要确定新的积分变量，以及坐标变换对积分的影响。假设存在参数方程： $$ \begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases}

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中两个重要的概念。曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，而曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用。一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算。通常将曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。 1. 第一类曲线积分第一类曲线积分用于计算曲线上的标量场函数。对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数f(x,y,z)在C上可微分，则第一类曲线积分的计算公式为： ∫_[C]f(x,y,z)ds=∫_a^bf(x(t),y(t),z(t))∥r'(t)∥dt 其中，ds表示曲线上的微元弧长，∥r'(t)∥表示曲线C的切向量的长度。 2. 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算曲线上的矢量场函数。对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数F(x,y,z)在C上连续，则第二类曲线积分的计算公式为： ∫_[C]F(x,y,z)·dr=∫_a^bF(x(t),y(t),z(t))·r'(t)dt 其中，·表示矢量的点乘运算，dr表示曲线上的微元矢量。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。同样，曲面积分也分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。 1. 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算曲面上的标量场函数。对于参数化曲面S：r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))，其中(u,v)属于区域D，函数f(x,y,z)在S上可微分，则第一类曲面积分的计算公式为： ∬_[S]f(x,y,z)dS=∬_Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∥r_u×r_v∥dudv 其中，dS表示曲面上的微元面积，r_u和r_v表示曲面S的参数方程关于u和v的偏导数，r_u×r_v表示两个偏导数的叉乘，∥r_u×r_v∥ 表示其长度。 2. 第二类曲面积分第二类曲面积分用于计算曲面上的矢量场函数。对于参数化曲面S：r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))，其中(u,v)属于区域D，函数F(x,y,z)在S 上连续，则第二类曲面积分的计算公式为： ∬_[S]F(x,y,z)·dS=∬_DF(x(u,v),y(u,v),z(u,v))·(r_u×r_v)dudv 其中，·表示矢量的点乘运算，dS表示曲面上的微元面积，r_u和 r_v表示曲面S的参数方程关于u和v的偏导数，r_u×r_v表示两个偏导数的叉乘。三、应用

曲线积分与曲面积分

目录 1 之前已经学过计算曲线长度的积分（1）对于y=y(x) （2）对于参数方程() () x x t y y t =⎧⎨=⎩ （3）对于极坐标方程是()r r θ=，转成直角坐标 ()cos ()sin x r y r θθθθ == ，则 '()'cos sin '()'sin cos x r r y r r θθθθθθ =-=+。代入上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。当然如果密度均

匀为1，则求的弧长积分就是弧长。如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L 的密度，求得的结果就是空间的线质量。定义：0 1 (,)lim (,)n i i i i L f x y ds f s λ ξη→==∆∑⎰ 计算步骤 1画出图形 2写出L 的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限） 3由L 类型写出对应ds 的表达式 4因被积函数f(x,y)的点x ，y 在L 上变动，因此x ，y 必须满足L 的方程。即把L 中的x ，y 代入被积函数f(x,y)中。 5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。注，二重积分中xy 在投影域D 内动，而被积函数的xy 在L 上动，故(x ，y)必须满足L 。如，L 的方程y=k,则()L L f x ds kds ks ==⎰ ⎰ （保留。还不太懂）参数方程设曲线有参数方程() ()x x t L y y t =⎧⎨=⎩ ，则有：显式方程设曲线为 L ：y=y(x) ，则有：

求曲线、曲面积分的方法与技巧

求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有:利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法. 例一．计算曲线积分⎰+L xdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点 )0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。本题以下采用多种方法进行计算。解1:A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==, 2, 2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212 dx x x x dy --= ⎰ +L xdy ydx dx x x x x x x ⎰--+-=2 02 2]2)1(2[ dx x x x x dx x x x x x x x ⎰ ⎰ --+----=2 2 20 2 2 2)1(2)1(220 .00442=--= 分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解2:在弧A O 上取)1,1(B 点， B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11, 2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12 dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==, 11, 2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12 dy y y dx --= ⎰+L xdy ydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++-- +--+-=0 1 22 21 2 2 2)111()111(

(整理)曲线积分与曲面积分1

曲线积分与曲面积分曲线积分 1 计算曲线积分 ⎰+L ds y x )(, 其中L 是x x y --=|1|,20≤≤x . 解曲线参数化. 曲线L 是一条折线. 要分段计算. 以x 为参数. ⎰ +L ds y x )(=)15(2 1 )1(5)21(2 1 10 += -+-+⎰⎰dx x dx x x 2 计算曲线积分⎰++Γ ds z y x )(222 , 其中Γ是曲面与的交线. 解代入化简被积函数. 曲面和的交线是一个圆. 坐标原点到平面的距离等于, 于是这个圆的半径等于, 周长等于π4. 又因为曲线Γ是曲面和的交线, 所以Γ上所有点满足球面方程. 代入, 得 ⎰++Γds z y x )(222=⎰ Γ ds 2 9 = 3 计算曲线积分, 其中L 是双纽线θ2cos 2 a r =. 解曲线参数化. 奇偶对称性. 选极角为参数. 利用奇偶对称性. 计算在第一象限的部分, 则θ 2cos )(2 2 a r r ='+, 代入公式, 得 =θθ θ θπ d a a ⎰ 40 2cos sin 2cos 4 =a )224(- 4 计算曲线积分⎰Γ ds x 2 , 其中Γ是曲面与的交线. 解轮换对称性. 代入化简被积函数. 因为曲线Γ关于平面x y =及x z =都对称, 所以 ⎰Γds x 2 ⎰++=Γds z y x )(3 12 2232323a ds a πΓ==⎰ 结论：设分段光滑曲线)(x y y =关于y 轴对称, 将它从左到右定向记作L . 是它的位于右半平面的部分. 又设函数在L 上连续, 且满足, , 则 ⎰ L dx y x P ),(=⎰1 ),(2L dx y x P , ⎰=L dy y x Q 0),(. 5. 计算曲线积分 ⎰+--+L y x dy y x dx y x 2 2)()(, 其中L 是圆周2 22a y x =+的正向. 解曲线参数化. 将t a x cos =,t a y sin =代入, 得 ⎰+--+L y x dy y x dx y x 22)()(ππ220-=-=⎰dt 6. 计算曲线积分, 其中L 是由曲线和围成的区域的边界的正向. 解曲线参数化. 奇偶对称性. 不考虑方向, 曲线L 关于y 轴对称, 被积函数关于变量y 是偶函数, 用奇偶对称性, 有. 被积函数关于变量x 是偶函数, 曲线和在右半平面的部分分别记作和, 则 =+ 两段曲线具有不同的表达式, 需分别计算. 计算在+ 1L 上的积分时, 以x 为参数; 计算在上

曲线积分和曲面积分论文 (2)

曲线积分和曲面积分论文引言曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，具有广泛的应用领域。本论文旨在介绍曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，并讨论在实际应用中的一些应用情况。曲线积分在微积分中，曲线积分用于计算沿一条曲线的函数的积分。曲线积分有两种类型：第一类是沿曲线的弧长对函数进行积分，称为第一类曲线积分，第二类是对曲线上的函数在曲线元素上积分，称为第二类曲线积分。第一类曲线积分第一类曲线积分表示为： $$ \\int_C f(x, y) ds $$ 其中，f(f,f)是曲线上的函数，ff表示沿曲线元素的弧长。计算第一类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和坐标变换两种。

例如，计算函数f(f,f)=f2+f2在曲线 $C: x = \\cos(t), y = \\sin(t), 0 \\leq t \\leq 2\\pi$ 上的第一类曲线积分。首先，通过参数化得到曲线的弧长元素： $$ ds = \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^2 + \\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^2} dt $$ 代入曲线方程得到： $$ ds = \\sqrt{\\left(-\\sin(t)\\right)^2 + \\left(\\cos(t)\\right)^2} dt = dt $$ 然后，将函数和弧长元素代入积分得到： $$ \\int_C f(x, y) ds = \\int_0^{2\\pi} (1) dt = 2\\pi $$ 第二类曲线积分第二类曲线积分表示为： $$ \\int_C \\mathbf{F} \\cdot d\\mathbf{r} $$ 其中，$\\mathbf{F}$ 是曲线上的向量函数， $d\\mathbf{r}$ 表示曲线元素。计算第二类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和曲线方程两种。

四点问答轻松解决曲线积分与曲面积分疑难

四点问答轻松解决曲线积分与曲面积分疑难积分由求原函数的不定积分，到求面积的定积分，即在区间上的积分，推广之到积分、积分范围为平面或空间内的闭区域上的重积分，而曲线积分及曲面积分是把积分范围进一步推广到一段曲线弧或一片曲面的情形，但其计算都最转化为基础性的定积分。对此，辅导专家总结了4大问题，用提问题的方式列出曲线积分与曲面积分中需注意的问题。曲线积分与曲面积分 1.对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分在转化为定积分时定积分限时有什么不同？两类曲线积分都是转化为定积分计算，在定限时，由于对弧长曲线积分和式中的 i s ∆恒为正值，且与积分路径方向无关，所以，化为定积分时的上限必须大于下限，而对坐标的曲线积分，其积分和式中的 i x ∆、 i y ∆和i z ∆分别表示有向小曲线段在X 轴，Y 轴和Z 轴上的投影，其值可正可负，并且它与积分路径的方向有关，化为定积分时只要下限对应积分路径的起点，上限对应积分路径的终点，并无上限大于下限的要求。例如计算积分 ⎰⋂ CB xds （其中的弧CB 如下图所示），但下面的解法是错误的： 2 2 2 221a dx x a ax xds a a CB - =-= ⎰ ⎰⋂ 。犯错的

原因是上限小于下限，正确的解法是2 2 2 22 1a dx x a ax xds a a CB = -= ⎰ ⎰⋂ 。下题的解法是否正确？计算⎰L ds y ||，其中L 是从点A （0，a ）到B （ 2,2 a a - ）的圆弧，如上图所示。解：L 的方程为2 2x a y -=，则 2||22 2 2 2 2a dx x a a x a ds y a L = -∙ -=⎰ ⎰ 这种解法是错误的。错在当点沿弧从A 到B 描出L 时，x 的变化 O -a a A (0,a ) C (a,0) B ( 2 ,2 a a - ) x y

曲线积分与曲面积分

一、空间曲线的参数化若积分曲线Γ的参数方程 ],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x Γ，：,则曲线积分的计算公式为 ⎰⎰'=++β α)())(),(),(({d d d t x t z t y t x P z R y Q x P Γ }d )())(),(),(()())(),(),((t z t z t y t x R t y t z t y t x Q '+'+ ],[d )()()())()()((d )(222βαβ α ∈'+'+'=⎰⎰ t t t z t y t x t ,z t ,y t x f s x,y,z f Γ ，曲线积分计算的关键是如何将积分曲线Γ参数化。下面将给出积分曲线参数化的某些常用方法。 1. 设积分曲线⎩ ⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F Γ：,从中消去某个自变量,例如z ，得到Γ在 xoy 平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先将它们表示成参数方程),(),(t y y t x x ==然后将它们代入0),,(0),,(==z y x G z y x F 或中，解出)(t z z =由此得到Γ的参数方程：],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x ，。例1将曲线⎩⎨⎧==++y x a z y x Γ2 222：，(其中0>a )用参数方程表示。解：从Γ的方程中消去y ，得到xoz 平面上的投影曲线2 222a z x =+,这是椭圆，它的参数方程为]2,0[,sin ,cos 2 π∈== t t a z t a x ，将其代入Γ的方程，得到t a y cos 2=,所以Γ的参数方程为]2,0[,sin cos 2cos 2π∈⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎨ ⎧===t t a z t a y t a x Γ：。第七讲曲线积分与曲面积分