高等数学基础期末复习资料
《高等数学基础》课程期末考试复习资料册
一、单项选择题
1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称.
A.y=x
B.x轴
C.y轴
D.坐标原点
2.函数在x=0处连续，则k=(C）.
A.1
B.5
D.0
3.下列等式中正确的是(C).
4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A).
5.下列无穷限积分收敛的是(D).
6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称.
A.y=x
B.x轴
C.y轴
D.坐标原点
7.当时，下列变量中( A)是无穷大量.
8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B).
9.函数在区间(2,4)内满足(A).
A.先单调下降再单调上升
B.单调上升
C.先单调上升再单调下降
D.单调下降
10.=(B).
A.0
B. П
C.2П
D. П/2
11.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.
12.当，变量(C)是无穷小量.
13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A).
14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）.
15.下列无穷限积分收敛的是(C).
16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称.
A.坐标原点
B.x轴
C.y轴
D. y=x
17.当时，变量(D)是无穷小量.
18.设f(x)在x。可导，则=（C）.
19.若则=（B）.
20. =（A）.
21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.
22.当k=（C）时，在点x=0处连续.
A. -1
B. 0
c.1 D.2
23. 函数在区间(2,4)内满足(B).
A. 先单调下降再单调上升
B.单调上升
C. 先单调上升再单调下降
D.单调下降
24 若,则= (D).
A. sinx十C
B. -sinx十c
C. -cosx+c
D. cosx 十C
25. 下列无穷积分收敛的是(A).
26.设函数f(x) 的定义域为，则函数f(x)- f（-x)的图形关于(D)对称.
A.y=x
B.x轴
C.y轴
D.坐标原点
27. 当x→0时，变量(C)是无穷小量.
28. 函数在区间(-5，5) 内满足(B).
A. 单调下降
B.先单调下降再单调上升C先单调上升再单调下降 D.单调上升
29. 下列等式成立的是(A).
30.下列积分计算正确的是(D).
31. 函数的定义域是（D）.
32.若函数，在x=0处连续，则k=（B）.
A .1 B.2
C.-1
D.
33.下列函数中，在内是单调减少的函数是（A）.
34.若f(x) 的一个原函数是，则=（C）.
A. cosx +c
B. - sinx十C
C. sinx十C
D. - cosx十C
35. 下列无穷限积分收敛的是（C）.
非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所
示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)| b a，即∫b a f(x)d x＝F(x) |b a＝F(b)－F(a)． 课前预测： 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2
高等数学讲义(一)
高等数学基础 高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。 第1讲 函数 1.2 函数 要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式 2πr S = 自由活体的下落距离 202 1gt t v s + = 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。 二、函数的定义 定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为 )(x f y = 并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。 实数集合 },)(;{D x x f y y Z ∈== 称为函数f 的值域。 看看下面几个例子中哪些是函数： }6,3,1{=X f
}9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ?。 }7,6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。 例1 求函数x y -=1的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有 01≥-x 即 f f f
高等数学基础期末复习资料全
《高等数学基础》课程期末考试复习资料册 一、单项选择题 1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 2.函数在x=0处连续，则k=(C）. A.1 B.5 D.0 3.下列等式中正确的是(C). 4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A). 5.下列无穷限积分收敛的是(D).
6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 7.当时，下列变量中( A)是无穷大量. 8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B). 9.函数在区间(2,4)满足(A). A.先单调下降再单调上升 B.单调上升 C.先单调上升再单调下降 D.单调下降 10.=(B). A.0 B. П C.2П D. П/2 11.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 12.当，变量(C)是无穷小量.
13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A). 14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）. 15.下列无穷限积分收敛的是(C). 16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称. A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D. y=x 17.当时，变量(D)是无穷小量.
18.设f(x)在x。可导，则=（C）. 19.若则=（B）. 20. =（A）. 21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 22.当k=（C）时，在点x=0处连续. A. -1 B. 0 c.1 D.2 23. 函数在区间(2,4)满足(B). A. 先单调下降再单调上升 B.单调上升 C. 先单调上升再单调下降 D.单调下降
高等数学基础班讲义[研究生入学考试]
----高等数学---- 第一章函数、极限、连续 函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。 第一节数列极限与函数极限 【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；洛必达法则；两个重要极限： 。 【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。 一、数列的极限 1.数列的极限 无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般 项或通项。设有数列和常数A。若对任意给定的，总存在自然数，当n>N时，恒有，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或 。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。 2.极限存在准则 （1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有 ，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论. （2）定理：单调有界数列必有极限. 3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。 （2）。（3）。 【考点一】（1）单调有界数列必有极限. （2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞. 【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需
高等数学讲义(基础班
第一章 求极限 极限的定义： A x f x =→)(lim [] （唯一性、局部保号性、局部有界性） 若0>A ，则([])0 U x →有f(x)>0。 极限存在的充要条件：)()()(lim lim lim 0 x f x f A x f x x x x x x -+→→→=?= 求极限的方法 1. 四则运算 若A x f x =→)(lim [] ，B x g x =→)(lim [] ，则 (1).B A x g x f x g x f x x +=±=±→→→)]()([)()(lim lim lim [] [] x [] (2).B A x g x f x g x f x x x ?=?=?→→→)()()()(lim lim lim [] [] [] (3).若0≠B ，则B A x g x f x g x f x x x ==→→→)()()()(lim lim lim [] [] [] 若A x f x =→)(lim [] ，)(lim [] x g x →不存在，则)()(lim [] x g x f x ±→一定不存在，)()(lim [] x g x f x ?→不一 定存在。 例：01sin lim 0 =?→x x x 若]()([lim [] ） x g x f x ±→存在，则)(lim [] x f x →，)(lim [] x g x →都存在或者都不存在。 若C x g x f x =±→)]()([lim [] ，A x f x =→)(lim [] ，则)(lim [] x g x →一定存在。 2. 函数的连续性
?= →)()(0lim 0 x f x f x x f(x)在0x 是处连续的。 初等函数在其定义域内都是连续的。 两个重要的极限：1sin lim 0 =→x x x ，e x x x =+→)11lim(0 （证明过程） 3. 洛必达、泰勒公式 （求未定式 型，，，，，，∞?∞∞∞∞ ∞ ∞001-0000） 以上指数形式用对数转化，即)([] )(lim x g x x f →=A e x g x f x e =→) ()(ln lim [] 若' ' [])()(lim x g x f x →不存在，也不是∞，则' ' []) ()(lim x g x f x →一定不存在。 设f(x)在)(0x U 有定义且在0x 出有n 阶导数，则)(0x U x ∈?，有 )((! )()x (!2)()()(()(0n 0)(020''00' 00x x O x x n x f x x f x x x f x f x f n -+-+??+-+-+=）） n 阶具有皮亚 诺余项的泰勒公式 特别是x=0时，f(x)为n 阶具有皮亚诺余项的麦克劳林公式。 ），（n m x o x o x o m m n <<=±0)()()( 此时f(x)多为x x x e x cos ,sin ),1ln(,+ n 阶具有皮亚诺余项的麦克劳林公式至多展开至3阶。 4. 用等价无穷小替换 等价无穷小概念：若0)(lim [] =→x f x ，则f(x)为无穷小。 无穷小的比较：高阶、低阶、等阶、同阶 x x sin lim [] x →不存在且不是无穷大也不是无穷小，因为x sin x ?、x 不能比较 无穷小的性质：
高等数学基础复习资料
高等数学基础复习资料 一.选择题 1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( ) A. (0，5) B. (1,5] C. (1，5) D. (1，+∞) 2.函数f(x)= 2 1x x -的定义域是（ ） A.（-∞，+∞） B.（0，1） C.（-1，0） D.（-1，1） 3.函数45)(2+-= x x x f 的定义域为 （ ） A. (]1,∞- B. [)+∞,4 C. (][)+∞?∞-,41, D. ()()+∞?∞-,41, 4.下列函数中为奇函数的是（ ） A.y=cos 3x B.y=x 2+sinx C.y=ln(x 2+x 4 ) D.y=1 e 1e x x +- 5.函数f(x)=1+xsin2x 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.有界函数 D.非奇非偶函数 6.=+ ∞ →x x x )21(lim （ ） A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 7.=→2x tan3x lim x （ ） A.∞ B. 2 3 C.0 D.1 8.设??? ??=≠=0 0sin )(x a x x x x f 在x=0处连续，则常数a=（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 9.设?????=≠--+=0 011)(x k x x x x x f ， ， 在0=x 点处连续，则k 等于 A.0； B.1； C. 2 1 ； D. 2； 10.设函数?????=≠-+=0 024)(x k x x x x f ， ，在点0=x 处连续，则k 等于 ( )
A. 0 B. 4 1 C. 2 1 D. 2 11.设y=sin 2x ，则y ′=（ ） A.sin2x B.2sinx C.cos2x D.cos 2x 12.y=e x (sinx-cosx)，则='y ( ) A.e x (-sinx+cosx) B.2e x sinx C.2e x cosx D.e x sinx 13.设y=2x +e 2,则y ′=（ ） Ａ.x2x-1 B.2x ln2+e 2 C.2x ln2 D.2x 14.设y=sin(7x+2),则 =dx dy ( ) A. 7sin(7x+2) B.7cos(7x+2) C. cos(7x+2) D.sin(7x+2) 15.已知曲线x x y -=2上的点M 处的切线平行于直线x+y=1，则M 点的坐标为（ ） A.（0，1） B.（1，0） C.（1，1） D.（0，0） 16.曲线y=lnx 的与直线y=x 平行的切线方程为（ ） A.x-y=0 B.x-y-1=0 C.x-y+1=0 D.x-y+2=0 17.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（ ） A.)0,(-∞ B. ),(+∞-∞ C.),0(+∞ D.（－1，1） 18.函数y=x 2-2x+5的单调增加的区间是（ ） A.),1(+∞ B.)1,(-∞ C.),(+∞-∞ D.),2(+∞ 19.函数x e y x arctan +=在区间[]1,1-上 ( ) A.单调减少 B.单调增加 C.无最小值 D.无最大值 20.函数5x 5e 的一个原函数为（ ） A. e 5x B. 5e 5x C. x 5e 5 1 D. –e 5x 21. 1 x 31 +的一个原函数是（ ） A. ln(3x+1) B.2 )1x 3(1+- C. 2)1x 3(2 1 + D.)1x 3ln(3 1 + 22.设 ? += C x x dx x f ln )(，则=)(x f （ ）
注册工程师公共基础高等数学讲义
第一节空间解析几何 一、向量代数 （一）向量及其线性运算 既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，记作| a |。 向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。 向量a与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。 向量的加法符合下列运算规律： ①交换律 a + b = b + a ②结合律(a + b)+c＝ a +(b+c） 向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量b 与 a 的负向量-a 的和，即 b - a = b + (-a) 由向量加法的三角形法则可知： 向量 a 与实数λ的积记作λa，它是一个向量，它的模 它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。 向量与数的乘积符合下列运算规律： 由向量与数的乘积的定义，可得以下定理： 定理设向量 a≠0 ，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使b =λa。
（二）向量的坐标 设有空间直角坐标系 O - xyz ， i 、 j 、 k 分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单位向量， 12 a M M = 是以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量，则向量a 可表示为 其中212121x x y y z z ---、、称为向量 a 的坐标。 利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下： 非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角αβγ、、称为它的方向角。向量的模、方向角与坐标之间关系： 其中cos cos cos αβγ、、称为向量 a 的方向余弦。 利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下： （三）数量积 向量积 设向量a 和向量 b 的夹角为θ θπ≤≤（0）,向量 a 和向量 b 的数量积为一个数量，记作a b ? ，其大小为||||cos a b θ，即 向量 a 在轴u 上的投影（记作 Prj u a ）等于向量 a 的模乘以轴与向量a 的夹角?的余弦，即 利用向量在轴上的投影，可将数量积表为
高数学习资料(含讲义及全部内容)(一)
第一 函数与极限 函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。 §1、 函 数 一、集合、常量与变量 1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ?M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。 注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。 2：集合的表示方法： ? ?? ?? ?? ???? ??===+++======等。中 在点；为我校的学生；须有此性质。如： 中的元素必中，且，即：有此性质的必在所具有的某种性质合可表示为： ，那么该集 若知其元素有某种性质不到元素规律的集合，、列不出全体元素或找为全体偶数集；，，，然数集，为全体自，，，写出，如：元素的规律，也可类似、对无限集，若知道其 ；鸡一只猫，一只狗，一只 的方法来表示，如：可用列举出其全体元素、若集合为有限集，就 枚举法}),(),{(}{}0375{}{)(}642{}321{)(}{},10,,3,2,1{)(23D y x y x C x x B x x x x A A A x x A iii B A ii B A i 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的 集合记为R 。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 4：集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ?,或A B ?(读B 包含A)。 显然：R Q Z N ???. 若B A ?,同时A B ?,就称A 、B 相等,记为A=B 。 5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。 6：不含任何元素的集称为空集,记为Φ,如：{R x x x ∈=+,012}=Φ,{12:-=x x }=Φ,空集是任何集合的子集,即A ?Φ。 7：区间：所有大于a 、小于b a (＜)b 的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),即(a,b)=}{b x a x 。 同理：[a,b]=}{b x a x ≤≤为闭区间，[)}{,b x a x b a ≤=和(]}{,b x a x b a ≤= 分别称为左闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。 以上均成为有限区间，a 、b 分别称为左、右端点。 对无穷区间有：(]R x x x a x a b x x b =+∞∞-=+∞-∞=+∞≤=∞-}{),(},{),(},{, ，
电大 高等数学基础复习资料
高等数学基础复习资料 复习资料一 一、单项选择题 1.设函数)(x f 的定义域为)(∞+-∞，，则函数)(x f +)(x f - 的图形关于（C ）对称。 A .x y = B .x 轴 C .y 轴 D .坐标原点 2.当0→x 时，变量（D ）是无穷小量。 A ． x 1 B . x x sin C . x 2 D . )1ln(+x 3．下列等式中正确的是（B ）． A ．xdx x d arctan )11( 2=+ B . 2 )1(x dx x d -= C . dx d x x 2)2ln 2(= D . xdx x d cot )(tan = 4．下列等式成立的是（A ）． A ． )()(x f dx x f dx d =? B . )()(x f dx x f ='? C . )()(x f dx x f d =? D . )()(x f x df =? 5．下列无穷积分收敛的是（C ）． A ． ? +∞ 1 1dx x B . ? +∞ 1 1 dx x C . ? +∞ 1 3 4 1dx x D . ? +∞ 1 sin xdx 二、填空题 1．函数2 4 )(2--= x x x f 的定义域是22>-≤x x 或． 2．函数1 2 ++= x x y 的间断点是1-=x ． 3．曲线x x f 1)(= 在点（1，1）处的切线的斜率是2 1- =k ． 4．函数)1ln(2 x y +=的单调增加区间是[)∞+， 0． 5．? -dx e d x 2 =dx e x 2 -． 三、计算题 1．计算极限4 58 6lim 224+-+-→x x x x x ． 解：原式=)4)(1()4)(2(lim 4----→x x x x x =12lim 4--→x x x =3 2 ． 2．设x x x y ln tan 2 +=，求y '．
高等数学讲义(一)
高等数学基础 高等数学基础课程得学习内容微积分学,它就是创建于十七世纪得一门数学学科,创始人就是英国数学家牛顿(Newton)与德国数学家莱布尼茨(Leibniz)。用著名学者得话来形容“微积分、或者数学分析,就是人类思维得伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间得地位,使它成为高等教育得一种特别有效得工具”。“微积分得创立,与其说就是数学史上,不如说就是人类历史上得一件大事。时至今日,它对工程技术得重要性就像望远镜之于天文学,显微镜之于生物学一样。 第1讲 函数 1、2 函数 要知道什么就是函数,需要先了解几个相关得概念。 一、常量与变量 先瞧几个例子: 圆得面积公式 2πr S = 自由活体得下落距离 202 1gt t v s + = 在上述讨论得问题中,g v ,,π0就是常量,t s r S ,,,就是变量。变量可以视为实属集合(不 止一个元素)。 二、函数得定义 定义1、1 设D 就是一个非空数集。如果有一个对应规则f ,使得对每一D x ∈,都能对应于唯一得一个数y ,则此对应规则f 称为定义在集合D 上得一个函数,并把数x 与对应得数y 之间得对应关系记为 )(x f y = 并称x 为该函数得自变量,y 为函数值或因变量,D 为定义域。 实数集合 },)(;{D x x f y y Z ∈== 称为函数f 得值域。 瞧瞧下面几个例子中哪些就是函数: }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 就是函数,且 2)1(=f ,8)3(=f ,6)6(=f 定义域}6,3,1{=D ,值域}8,6,2{=Z ,一般地Y Z ?。 }7,6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不就是函数。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 就是函数,且 2)1(=f ,8)3(=f ,8)6(=f 定义域}6,3,1{=D ,值域}8,2{=Z 。 f f f
最新定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义 河南省卢氏县第一高级中学山永峰 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴
影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质： ①∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x . ②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x . ③∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x . [探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫b a f (t )d t 是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？ 提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并 且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基 本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F (b )－F (a ) 记成F (x )|b a ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )． 课前预测： 1.∫421x d x 等于( )
高等数学讲义
第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1. 0 () (0)()2() ()a a a f x a f x dx f x dx f x ->?? =???? ?当为奇函数当为偶函数 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。 2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1 求1 51 [()ln(.x x I x x e e x dx --= +-+? 解 1()x x f x e e -=-是奇函数， ∵112()(),()ln(x x f x e e f x f x x --=-=-=+是奇 函数， ∵ 222()ln(f x x -=-+ = 2ln1ln(()x f x =-=- 因此()ln(x x x e e x --是奇函数。 于是1 1 6 61 2027 I x dx x dx -= +== ? ?。 例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是 (A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。 (B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。 (C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。 (D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。 解 (B)不成立，反例3 2 (),()13 x f x x F x ==+ (C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2 ()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内 (A)成立。 证明 0 ()(0)(),x F x F f t dt f =+ ? 为奇函数，
历年考研数学高等数学基础讲义
考研数学高等数学基础讲义 目录 第一讲极限 (1) 第二讲高等数学的基本概念串讲 (9) 第三讲高等数学的基本计算串讲 (13) 第四讲高等数学的基本定理串讲 (24) 第五讲微分方程 (27) 第六讲多元函数微积分初步 (29)
1 第一讲 极限 核心考点概述 1.极限的定义 2.极限的性质 3.极限的计算 4.连续与间断内容展开 一、极限的定义 1. lim 是什么？ lim 是什么？ x →? n →∞ （1）lim 的情况： x →? ①“ x → ? ”代表六种情形： x → x , x → x +, x → x - , x → ∞, x → +∞, x → -∞ ②函数极限运算的过程性——必须保证在作极限运算的过程中函数处处有定义，否则极限过程便无从谈起，于是极限就不会存在了。比如下面这个例子： sin x sin 1 x 【例】计算lim x →0 . x sin 1 x 事实上，在 x = 0 点的任一小的去心邻域内，总有点 x = → 0（| k | 为充分大的正整数）， k π sin x s in 1 sin x s in 1 x x 使 在该点没有定义，故lim 不存在. x sin 1 x x →0 x sin 1 x （2）lim 是什么？ n →∞ 2.极限的定义 （1）函数极限的定义： lim f (x ) = A ? ?ε > 0, ?δ > 0, 当0 < x →x 0 x - x 0 < δ 时，恒有 f (x ) - A < ε 1
n n 1 2 注：趋向方式六种 （2）数列极限定义： lim x = a ? ?ε > 0, ?N > 0, 当n > N 时，恒有 x - a < ε n →∞ 注：趋向方式只有一种 【例】以下三个说法， （1）“ ?ε > 0 ，?X > 0 ，当 x > X 时，恒有件； ε f (x ) - A < e 10 ”是“ lim x →+∞ f (x ) = A ”的充要条 （ 2 ）“ ? 正整数 N ， ? 正整数 K ，当 0 < “ lim f (x ) = A ”的充要条件； x →x 0 x - x 0 ≤ K 时，恒有 f (x ) - A ≤ 1 ” 是 2N （3）“ ?ε ∈ (0,1) ， ? 正整数 N ，当n ≥ N 时，恒有| x n - a |≤ 2ε ”是“数列{x n } 收敛于a ” 的充要条件； 正确的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 二、极限的性质 1.唯一性 （1） lim e x = ∞, lim e x = 0 ，（2）lim sin x 不存在（3）lim arctan x 不存在（4）lim [x ] x →+∞ x →-∞ x →0 x x →∞ x →0 不存在 1 - π e x 1 【例】设k 为常数，且 I = lim x →0 +k ? arctan 存在，求 k 的值，并计算极限 I 。 x e x +1 2