图论讲义3匹配

第三章 匹配理论

§3.1 匹配与最大匹配

定义3.1.1 设G 是一个图, )(G E M ?,满足:对i e ?,M e j ∈,i e 与j e 在G 中不相邻,则称

M 是G 的一个匹配。对匹配M 中每条边uv e =,其两端点u 和v 称为被匹配M 所匹配,而u 和v 都称为是M 饱和的(saturated vertex )。

注:每个顶点要么未被M 饱和,要么仅被M 中一条边饱和。

定义3.1.2 设M 是G 的一个匹配,若G 中无匹配M ′,使得||||M M >′,则称M 是G 的一个最大匹配；如果G 中每个点都是M 饱和的,则称M 是G 的完美匹配(Perfect matching ).

显然,完美匹配必是最大匹配。

定义3.1.3 设M 是G 的一个匹配, G 的M 交错路是指其边M 和M G E \)(中交替出现的路。如果G 的一条M 交错路(alternating path)的起点和终点都是M 非饱和的,则称其为一条M 可扩展路或M 增广路(augmenting path)。

定理 3.1.1(Berge,1957) 图G 的匹配M 是最大匹配的充要条件是G 中不存在M 可扩展路。 证明:必要性:设M 是G 的一个最大匹配。如果G 中存在一个M 可扩展路P ,则将P 上所有不属于M 的边构成集合M ′。显然M ′也是G 的一个匹配且比M 多一条边。这与M 是最大匹配相矛盾。

充分性:设G 中不存在M 可扩展路。若匹配M 不是最大匹配,则存在另一匹配M ′,使

||||M M >′. 令

][M M G H ′⊕=，(M M M M M M ′?′=′⊕I U 称为对称差)。

则H 中每个顶点的度非1即2(这是因为一个顶点最多只与M 的一条边及M ′的一条边相关联)。故H 的每个连通分支要么是M 的边与M ′的边交替出现的一个偶长度圈，要么是M 的边与M ′的边交替出现的一条路。

由于||||M M >′，H 的边中M ′的边多于M 的边，故必有H 的某个连通分支是一条路，且始于M ′的边又终止于M ′的边。这条路是一条M 可扩展路。这与条件矛盾。 证毕。

§3.2 完美匹配

定义3.2.1 图G 的奇分支：G 的含有奇数个顶点的连通分支。用)(G O 表示G 的奇分支的个数。 定理3.2.1 (Tutte,1947) 图G 有完美匹配的充分必要条件是对)(G V S ??，||)\(S S G O ≤。 证明（Lovász,1973）必要性：设图G 有完美匹配M 。对)(G V S ??，若S G \无奇分支，则

0)\(=S G O ；否则，设n G G G ,,,21L 是S G \的所有奇分支。注意每个i G 中至少有一个顶

点i u 在M 下与S 中的某个顶点i v 配对（n i ,,2,1L =），（因i G 是奇分支，M 是完美匹配）。故S v v v n S G O n ≤==|},,,{|)\(21L 。

充分性（反证法）：设G 满足：对)(G V S ??，S S G O ≤)\(，但G 没有完美匹配。首先，取φ=S ，知0)(=G O ，故)(G V 是偶数。现在，给G 添加边以获得一个没有完美匹配而有尽可能多的边的图*

G 。因G 是*

G 的生成子图，故对)(G V S ??，S G \是S G \*

的生成子图，从而

S S G O S G O ≤≤)\()\(*. （*）

令 }1)(),({**

?=∈=νu d G V u u U G .

若)(*

G V U =，则*

G 是偶数阶完全图，有完美匹配。这与*

G 的性质矛盾。因此，

)(*G V U ≠，可以证明，此时U G \*的每个连通分支都是完全图（此记为命题Ａ，另证）。

由（*）式，U U G O ≤)\(*

，即U G ?*

的奇分支个数最多是U 。但这样一来，*

G 就有一个完美匹配：

U G \*的各奇分支中的一个顶点和U 的一个顶点配对；U 中余下的顶点以及U G \*的各

分支中余下的顶点在本分支内配对（由于各分支及U 都是完全图）。

这与*

G 无完美匹配矛盾。证毕.

命题Ａ的证明：当)(*

G V U ≠时，U G \*

的每个连通分支都是完全图。

用反证法证明：若不然，设U G \*中某个连通分支i G 不是完全图，则3)(≥i G V 。必存在

)(,,i G V z y x ∈，使得)(,i G E yz xy ∈，且)(i G E xz ?。由于U y ?（故必有与y 不相邻的顶

点），故必存在),\(*

U G V w ∈ 使得)(*

G E yw ?。

由于*

G 是不含完美匹配的极大图，所以xz G +*

和yw G +*

都含有完美匹配，分别设为1M 和

2M 。用H 表示{}yw xz G ,*U 中由21M M ⊕导出的子图。由于对)(H V u ∈?，2)(=u d H 或

0（由1M 和2M 都是完美匹配知），故H 的每个非平凡连通分支都是其边在1M 和2M 中交替出现的偶长度圈。下分两种情形：

(1)xz 和yw 分别在H 的不同分支中。设yw 在H 的某个圈C 上，则1M 在C 上的边连同

2M 不在C 上的边构成*G 的一个完美匹配。这与*G 的选择矛盾。

情形（1）

(2)xz 和yw 在H 的同一分支Ｃ中，由x 和z 的对称性，不妨设z w y x ,,,在C 中依次出现，

并设1M 在C 的z yw L 段中的边集为1

M ′，2

M 在C 的z yw L 段中的边集为2M ′，于是 )\(}{2

21M M yz M ′′U U 是*

G 的完美匹配，又与*

G 的选择矛盾。

综合(1)、(2)两种情形，便证明了U G \*

的每个连通分支都是完全图。证毕。 推论3.2.1（1?k ）边连通偶数阶k 正则图有完美匹配 证明：设G 是命题中所述的k 正则图。

当1=k 时，结论显然。

以下假定2≥k 。设S 是G 的任一个非空顶点集，n G G G ,,,21L 是S G \的奇分支。令

),(i i G V =ν e e m i |{|=是i G 与S 之间的连边|}。

由于1?≥′k κ，故1?≥k m i ,),,2,1(m i L =。

若存在i

从而)

(G V v i d

m i =

∑∈。

但因1?i ν是偶这个矛盾说明k m i ≥ （),,2,1n i L =故有 由Tutte 定理，G 推论证明：设G 由推论3.2.1，G 有

完美匹配。 证毕 注：

因,3)(=?v G O 故无完美匹配。

推论3.2.3 偶数阶完全图n K 2有12?n 个边不重的完美匹配。 证明1：当1=n 时，结论显然。下设2≥n 。

令{}n n v v v K V 2212,,,)(L =，对每个12,,2,1?=n i L ，构作一个匹配:

{}{}1,,2,12?==+?n j v v v v M j i j i n i i L U ,

其中j i ?和j i +都是)12mod(?n 的，易检验每个i M 都是G 的完美匹配，且不同的i M 无公共边。

证明2：用平面上正12?n 边形的点代表1221,,,?n v v v L ，而用其中心点代表n v 2点。用直线段连接每个顶点，即得n K 2，i M 的边为n i v v 2和所有与n i v v 2垂直的边。 例：

习题五

1． 证明：若图G 是连通简单图但不是完全图，则G 中存在三个顶点u 、v 和w ，使得

)(,G E vw uv ∈,而)(G E uw ?。

2． 证明：一棵树最多只有一个完美匹配。

3． 证明树G 有完美匹配当且仅当对)(G V v ∈?都有1)(=?v G O 。

4． 两人在图G 上做游戏：交替选择相异的顶点L ,,,210v v v ，使得对每个i v i ,0>相邻于1?i v ，

选择最后一个顶点者获胜。证明：第一个选点人有一个得胜策略当且仅当图G 没有完美匹配。

§3.3 二部图的匹配

定理3.3.1 (Hall, 1935) 设G 是具有二划分),(Y X 的二部图，则G 有饱和X 的匹配当且仅当对X S ??，S S N ≥)(，其中)(S N 表示S 的所有邻点之集。

证明：必要性。设G 有饱和X 的匹配M ，则对X S ??，因S 的顶点在M 下和)(S N 中顶点配对，故S S N ≥)(。

充分性：设),(Y X G =是二部图，且对X S ??，S S N ≥)(。下用反证法。

假如G 没有饱和X 的匹配，则G 的最大匹配*

M 不能饱和X 的所有顶点。设u 是X 的一个*

M 不饱和点，并设

|{v A =u 到v 有*M 交错路}。

由于*

M 是最大匹配，故由Berge 定理，u 是A 中唯一的*

M 非饱和点。令

X A S I =，Y A T I =。

注意}{u S ?中的顶点在*

M 下与T 中的顶点一一配对（因S u ∈，且对T t ∈?，u 与t 有*

M

交错路t P 相连，而且t 是*

M 饱和的，故交错路t P 上最后一条边必是*

M 的边，它将S 中一个顶点与t 配对。而且不同的t 会有S 中不同的顶点相配，否则会有两条*

M 的边关联到S 中同一顶点）。因此

1?=S T 。 (1)

此外，T S N ?)(（因T 中顶点通过S 中顶点与u 连*

M 交错路）

，且T S N ?)(（对)(S N 中每个顶点t ,设它是S 中顶点s 的邻点,从u 到s 的*

M 交错路必可延伸为u 到t 的*

M 交错路）。故

T S N =)( (2)

由(1)、(2)知：S S T S N

推论 3.3.1 设),(Y X G =是二部图，若X 中每个顶点至少关联k 条边（)1≥k 而Y 中每个顶点至多关联k 条边，则G 中存在饱和X 的匹配。

证明：由条件知，对X S ??，S 至少关联||S k 条边。这||S k 条边至少关联Y 中||S 个顶点。即S S N ≥)(，由Hall 定理，G 有饱和X 的匹配。证毕。

推论 3.3.2.(Frobenius,1917) 具有二划分),(Y X 的二部图G 有完美匹配的充分必要条件是

Y X =且对X S ??（或Y ），均有|||)(|S S N ≥。

证明：显然。

推论3.3.3 (K?nig,1916) 设G 是k 正则二部图)0(>k ，则G 有k 个边不重的完美匹配。 证明：先证G 有完美匹配。

证法１：设),(Y X G =是k 正则二部图，则Y k G E X k ==)(，因0>k ，故Y X =，任取X S ?，令=1E {G 中与S 关联的边}，=2E {G 中与N (S )关联的边}。则21E E ?。因而

S k E E S N k =≥=12)(，即S S N ≥)(。由推论3.3.2,G 有完美匹配。

证法２: 由推论3.3.1，G 中有饱和X 的匹配。因Y X =（如前所证），故这个匹配就是完美匹配。

再证G 中有k 个边不重的完美匹配（用归纳法）。 当1=k 时，显然。

设对所有k 正则二部图，结论成立。下证对)1(+k 正则二部图G ，结论也成立。 设M 是G 的一个完美匹配。令M G G \=′。则G ′是k 正则二部图。由归纳假设，G ′中有k 个边不重的完美匹配。故G 中有1+k 个边不重的完美匹配。证毕。

下一推论是显然的。

推论3.3.4 完全二部图k k K ,中存在k 个边不重的完美匹配。

推论3.3.5 设).(Y X G =是二部图，且n Y X ==。若2

)(n

G ≥δ，则G 有完美匹配。 证明(用反证法)：若G 没有完美匹配，则由推论3.3.2，存在φ≠?S X S ,，使|||)(|S S N <。

因G 是二部图且2)(n G ≥δ，故2

)(|)(|||n

G S N S ≥≥>δ，且φ≠)(\S N Y （因

|||)(|S S N <||||Y X =≤）。令)(\S N Y u ∈，则S X u N \)(?，因此，

2

2|||||)(|)()(n

n n S X u N u d G G =?

这与条件矛盾。故G 有完美匹配。证毕。

例3.3.1 下图所示的是14个大小相同的正方形组成的图形。试证明：不论如何用剪刀沿着图形中所画的直线对它进行裁剪，总剪不出7个由相邻的两个小正方形组成的矩形来。

证明：将图形中方格从1到14编号。以方格为顶点集作简单图G = (V , E )，边)(G E ij ∈当且仅当i 、j 所在的方格在图形中相邻（有公共边）。

注意G 中每条边对应于原图形中由相邻两个小正方形组成的矩形，故剪出7个矩形相当于在G 中求由7条边组成的匹配。由于有14个顶点，故所求的是完美匹配。但这样的匹配是不存在的。事实上，G 是一个二部图，其二划分为

X={1,3,4,6,9,11,12,14}，Y={2,5,7,8,10,13}。

|X| = 8 > 6 = |Y|。由推论3.3.2，不存在完美匹配。

注：G 的k 正则生成子图称为G 的k 因子。若G 存在无公共边的k 因子n H H H ,,,21L ，使得n H H H G U L U U 21=，则称G 是可k －因子分解的。

推论3.2.3证明了完全图n K 2是可1－因子分解的；推论3.3.4证明了完全二部图n n K ,是可1－因子分解的；推论3.3.3证明了每个k 正则二部图是可1－因子分解的。

§3.4 二部图中最大匹配与最大权匹配的算法

一、求完美匹配的匈牙利算法 1.背景与问题

指派问题（assignment problem ）：欲安排n 个人员n x x x L ,,21从事n 项工作n y y y ,,,21L 。已知每个人能胜任其中一项或几项工作。试问：能否给每个人分配一项他所胜任的工作？若能，如何求出这种安排？

图论描述：对于一个二部图G = (X , Y )：X = {n x x x L ,,21}，Y ＝{n y y y ,,,21L }，当且仅当i x 胜任工作j y 时，)(G E y x j i ∈。问：G 中是否有完美匹配？若有，如何求之？ 2.理论基础

Berge 定理（定理3.1.1）：图G 的匹配M 是最大匹配的充要条件是G 中不存在M 可扩展路。 Hall 定理（定理3.3.1）：设G 是具有二划分),(Y X 的二部图，则G 有饱和X 的匹配当且仅当对X S ??，S S N ≥)(，其中)(S N 表示S 的所有邻点之集。 3.匈牙利算法

匈牙利算法由匈牙利数学家Egerváry 首先提出，后来由Edmonds(1965)基于Berge 定理和Hall 定理进行了改进。这种算法既能判定一个二部图中完美匹配是否存在，又能在存在时求出一个完美匹配。

算法思想：从图G 的任何匹配M 开始。 若M 饱和X ，则M 是G 的完美匹配。

若M 不饱和X ，在X 中选择一个M 不饱和点x 。若存在以x 为起点的M 增广路P ，则由Berge 定理知M 不是最大匹配，且)(P E M M ⊕=′是比M 更大的匹配。用M ′替代M 重复上述过程；若G 中不存在以x 为起点的M 增广路，则可找到与x 由M 交错路相连的顶点集合A ，而X A S I =满足|||)(|S S N <（见Hall 定理的证明）。由Hall 定理，G 不存在完美匹配。 匈牙利算法：

step0. 任取图G 的一个匹配M 。

step1. 若M 饱和X ，则停止，M 是G 的完美匹配。

否则，取X 中一个M 不饱和点x ，记φ==:},{:T x S 。

step2. 若T S N =)(，则停止，G 无完美匹配。（因||1|||||)(|S S T S N

否则取T S N y \)(∈。

step3. 若y 是M 饱和的，设M yz ∈，令}{:z S S U =，}{:y T T U =，转step2。（此时仍保持)1||||?=S T 。否则，取M 增广路),(y x P ，令)(:P E M M ⊕=，转step1. 例3.4.1

图G=(X,Y)及一个匹配M M 增广路x 1 y 2 x 2 y 1 无完美匹配

注：（1）匈牙利算法是多项式时间算法，时间复杂度为|)||(|E X O ?； （2）匈牙利算法稍加修改可求二部图的最大匹配；

（3）求任意图的最大匹配的多项式时间算法已由Edmonds 给出。 二、求最大权匹配的Kuhn －Munkres 算法 1.背景与问题

最优指派问题：欲安排n 个人员n x x x L ,,21从事n 项工作n y y y ,,,21L 。已知每个人能胜任其中一项或几项工作，各人做不同工作的效率不同。求一种工作安排使得总的工作效率达到最大。 图论描述：给定赋权完全二部图G = (X , Y )：X = {n x x x L ,,21}，Y ＝{n y y y ,,,21L }，边j i x x 有权ij w （权可以为0，这表示i x 不胜任工作j y ）。求G 的一个具有最大权的完美匹配。 2.算法的理论基础

顶点标号与可行顶点标号（feasible vertex labeling ）

图G 的顶点标号是从顶点集到正整数集的一个映射，对于赋权完全图),(,w K n n ，若对每条边xy e =，均有)()()(xy w y l x l ≥+，则称这个标号为),(,w K n n 的一个可行顶点标号。

例3.4.2

一个二部图及其可行顶点标号

注：可行顶点标号总是存在的。一种平凡的可行标号是：

?

??∈∈=∈Y v X

v vy w v l Y

y ,0),(max )(。 相等子图

记n n K G ,=，设l 是),(w G 的一个可行的顶点标号。令

l E ＝)}()()(|)({xy w y l x l G E xy =+∈，

G 中以l E 为边集的生成子图称为G 的l 相等子图，记为l G 。注意l G 的顶点集与G 的顶点集相同。

例3.4.3

??????

???????

?=00

100442202245534

32

1

4321x x x x y y y y w 图G 中各边的权 图G 的平凡标号 对应的相等子图

定理3.4.1 设l 是图G 的一个可行顶点标号。若相等子图l G 有完美匹配M *，则M *是G 的最大权完美匹配。

证明：由于相等子图l G 是G 的生成子图，故l G 的完美匹配*

M 也是G 的完美匹配，而且

∑∑∈∈==

V

v M e v l e w M w )()()(*

*.

另一方面，对G 的任何完美匹配M ，有：

∑∑∈∈≤=

V

v M

e v l e w M w )()()(

可见)()(*

M W M W ≥，即*

M 是G 的最大匹配。证毕。

由定理3.4.1知，欲求赋权完全二部图的最大权匹配，只需求出某个相等子图l G 中的完美匹配即可，这可用匈牙利方法求得。问题是，如果相等子图l G 中无完美匹配时怎么办？Kuhn 和Munkres 给出修改标号的一个方法，使得新的相等子图的最大匹配逐渐扩大，最终得到有完美匹配的相等子图。 3.算法思想：

首先给出K n,n 的任意一个可行顶点标号（如平凡标号）

，然后决定相等子图l G ，在l G 中执行匈牙利算法。若在l G 中找到完美匹配，则由定理3.4.1，它就是G 的最大权匹配。否则，匈牙利算法终止于X S ?，Y T ?，且T S N l G =)(。令：

}\,)()()(min{T Y y S x xy w y l x l l ∈∈?+=α， (*)

修改标号如下

??

?

??∈+∈?=′其它

)()()()(u l T u u l S

u u l u l l

l αα。 (**) 可以检验l ′仍是一个可行标号。

用l ′替代l 。l G ′的边数比l G 的 多。继续上述过程，直到获得一个相等子图含有完全美匹配为止。

4. 算法－Kuhn-Munkres 算法：

Step 1. 从任一可行的顶点标号l 开始，决定l G .

Step 2. 在l G 中执行匈牙利算法，如果求得完美匹配M ，则M 即为G 的最大权匹配，算法停止；否则，匈牙利算法必终止于某个X S ?和Y T ?使得T S N l G =)(，此时转下步。 Step 3. 按(*)式计算l α，按(**)计算新的可行顶点标号l ′, 以l ′替代l ，以l G ′替代l G ，转第２步。 例：

3

142

533

121101100144222022145535

43215

4321→→→→→???????????

???

?

?x x x x x y y y y y

习题六

1. 设M 和N 是图G 中两个不交的匹配，且||||N M >。证明：图G 中必存在两个不交匹配M ′和N ′使得：N M N M U U =′′，1||||?=′M M ，1||||+=′N N 。 2．已知工人54321,,,,x x x x x 做工作54321,,,,y y y y y 的效率ij w 如下：

W=(ij w ) =

?????

??

????

???

?

?31

241501223155013210221435

432

1

54321x x x x x y y y y y . 试给出一种工作效率最大的派工方案。

参考文献

[1] L.Lovasz and M.D. Plummer, Matching Theory, Annals of Discrete Mathematics , V ol.29, 1986. [2] J.E. Hopcroft and R.E. Karp, An 5n algorithm for maximum matching in bipartite graphs, SIAM on Journal of Computing , 2(1973), pp225-231.

[3] Nick Mckeown, The iSLIP scheduling algorithm for input-queued switches, IEEE/ACM Transactions on Networking , 7(2)(1999), pp188-201.

[4] P. Giaccone, B. Prabhakar, and D. Shah, Randomized scheduling algorithms for high-aggregate bandwidth switches, IEEE Journal on Selected Areas in Communications , 21(4)(2003), pp546-559.