中科院研究生院图论讲义习题1

第一章习题

1. 对任何简单图G ，(1) 证明：(1)

()2

G υυε?≤；(2)

(1)

()2

G υυε?=

当且仅当G K ν?。

2. 证明：(1)

,()m n K mn ε=；(2) 若G 是完全二部图，则2

()4

G υε≤

。

3. 图G 有21条边，12个3度顶点，其余顶点的度均为2，求图G 的阶数。

4. 证明：任何简单图必有至少两个顶点具有相等的度。

5. 设G 是简单图，求G 的所有不同的生成子图的个数（包括G 本身和空图）。

6. 证明：任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括0）。并由此证明：在任一次聚会上握过奇数

次手的人必为偶数个。

7. 证明或反证：如果u 和v 是图G 中仅有的具有奇数度的顶点，则G 包含一条u , v 路。

8. 证明：若4υ≥且1+=νε，则存在)(G V v ∈使得3)(≥v d 。由此证明： n 个球队比赛（4n ≥），

已赛完n +1场，则必定有一个球队已参加过至少3场比赛。

9. 在一个运动联盟中，将所有运动队组织成两个赛区，每个赛区有13个队，能否恰当安排比赛使

得每个队在其所在赛区中进行9场比赛而与另一个赛区中的运动队进行4场比赛？

10. 在平面上有n 个点12{,,,}n S x x x =???，其中任两个点之间的距离至少是1。证明在这n 个点中，

距离为1 的点对数不超过3n 。

11. 某次会议有n 人参加，其中有些人互相认识，但每两个互相认识的人，都没有共同的熟人，每

两个互不认识的人都恰好有两个共同的熟人。证明每一个参加者都有同样数目的熟人。 12. 在一个化学实验室里，有n 个药箱，其中每两个不同的药箱恰有一种相同的化学品，而且每种

化学品恰好在两个药箱中出现，问：（1）每个药箱有几种化学品？（2）这n 个药箱中共有几种不同的化学品？

13. 在一次舞会中，A 、B 两国留学生各(2)n n >人，A 国每个学生都与B 国一些(不是所有)学生跳

过舞，B 国每个学生至少与A 国一个学生跳过舞。证明一定可以找到A 国两个学生12,a a 及B 国两个学生12,b b ，使得1a 和12,b a 和2b 跳过舞，而1a 和22,b a 和1b 没有跳过舞。 14. 证明：2ε

δυ

≤

≤Δ，（其中

2ε

υ

称为顶点平均度）。

15. 令G 是至少有两个顶点的图。证明或反证：(1) 删除一个度为()G Δ的顶点不会增加顶点的平均

度；(2) 删除一个度为()G δ的顶点不会减小顶点的平均度。 16. 令G 是一个顶点平均度为2a ε

υ

=

的无圈图。(1) 证明：G x ?的顶点平均度至少为a 当且仅当

()2

a

d x ≤

。(2) 利用(1)的结果给出一个算法来证明：如果0a >，则G 有一个最小度大于2a 的

子图。

17. 如果2,υευ≥<，则连通图G 至少有两个1度顶点。

18. 令u 和v 是简单图G 中的相邻顶点。证明：u v 至少属于G 中的()()()d u d v G υ+?个三角形。 19. 证明含有n 个顶点的k 正则图有

2

kn

条边。 20. 证明：在k 度正则图G 中，)2(mod 0≡νk ，即正则图的阶数和度数不可能同时为奇数。（ 21. 证明：围长为4的k 正则图至少含有2k 个顶点; 围长为5的k 次正则图至少有2

1k +个顶。 22. 证明：若),(E Y X G ∪=是一个k 度正则二部图，则||||Y X =。 23. 证明连通图中两条最长路必有公共顶点。

24. 若G 是简单图且k G ≥)(δ，则G 有长为至少k 的路；如果2k ≥，则G 还包含一个长至少为1

k +的圈。

25. 每个无圈图G 都有一个二部子图至少包含

()

2

G ε条边。

26. 证明：(a) εν>时，图中有圈。 (b) 4εν≥+时，图中有两个无公共边的圈。 27. 证明：若G 是1

()2

G υδ?≥

的简单图，则G 是连通图。（

28. 证明：(a) 若()e E G ∈，则()()()1G G e G ωωω≤?≤+；（()G ω表示图G 的连连同分支数）。

(b) 若()v V G ∈，则()()()1G G v G ωωω≤?≤+未必成立，试举反例。 29. 证明：若G 是连通图，且每顶皆偶次，则1

()()2

G v d v ω?≤

。 30. 证明或反证：如果G 是一个n 顶点简单图，且其最大度是2n ??????、最小度是12

n ???????

，则G 是连

通的。

31. 在一电路中，A ，B 两点间连接着一电阻，问至少要多少电阻，怎样连接，才能使得任意损坏9

个电阻时，A 点与B 点的电路仍连通且不短路？ 32. 证明G H ?当且仅当G H ?。

33. 证明：如果图G 不连通，则其补图G 必连通。

34. 如果图G 满足G G ?，则称G 是自补图。证明：若υ阶图G 是自补图，则,(mod )014υ=。 35. 一个非连通简单图的补图一定是连通图吗？说明理由。

36. 证明 从一个88×的方格棋盘中去掉对角的两个小方格后，不能被12×和21×的矩形覆盖。 37. 令G 是一个4顶点图，删除其中的一个点后得到的子图系列如下，试确定G 。

38. 下面两图是否同构？

39. 讨论下列三个图的同构性

40. 证明：Peterson 图与下列图同构

41. 已知n 阶简单图G 有m 条边，各顶点的度数均为3，(1) 若36m n =?，证明G 在同构意义下

唯一，并求,m n ；(2) 若6n =，证明G 在同构意义下不唯一。 42 若图G 有n 个顶点，1n ?条边，则G 一定是树吗？说明理由。 43 证明非平凡树中最长路的起点和终点都是叶子（1度点）。 44 证明恰有两个叶子的树必是路。

45 证明：若G 是树且k ≥Δ，则G 至少有k 个1度顶点。 46 证明每个树都是二部图。

47 设i n 表示树T 中度为i 的顶点的个数。(1) 证明对非平凡树T 的叶子数1n 有下面公式成立：

13453

2232(2)i i n n n n i n ∞

==++++???=+?∑

.

c b

u v

t s

（2）证明

1

i

i in ∞

=∑只依赖于树T 的顶点数。

48 不含圈的图称为森林（forest ），证明：

（1）G 是森林当且仅当w ?=νε；

（2）无孤立点的森林至少有2w 个1度顶点。 这里w 表示G 的连通分支数，孤立点指零度顶点。 49 证明：具有m 条边的任意n 顶点图至少有1m n ?+个圈。

50 令T 是一棵n 顶点数，对于2i k ≤≤的每个i 值，树中有一个度为i 的顶点；其余的1n k ?+个

顶点都是叶子。确定n 并表示成k 的形式。

51 令T 是一棵非平凡树，其中所有与叶子相邻的顶点的度至少为3，证明：T 中某一对叶子有公共

的相邻顶点。

52 令G 是一个连通的n 顶点图，证明：G 恰有一个圈当且仅当G 恰有n 条边。

53 令T 是一棵树，证明：T 的顶点全为奇度点当且仅当对()e E T ?∈，T e ?的两个连通分支都具有奇数的阶。

54 令T 是一棵阶为偶数的树，证明：T 恰有一个生成子图使得其中每个顶点的度均为奇数。 55 证明：若T 是一个具有k 条边的树，G 是一个简单图且()G k δ≥，则G 含有与T 同构的子图。 56 令G 是一棵树，其中2k 个顶点具有奇数度，证明：G 可分解成k 条路。 57 对4n ≥，令G 是满足()23G n ε≥?的简单n 点图，证明：G 有两个等长的圈。

58 令u 是连通图G 的一个顶点，证明不可能选出从u 到其他各顶点的最短路使得这些路的并是一

棵树。 59 令T 、T ′是连通图G 的两棵生成树，对于()()e E T E T ′∈?，证明存在一条边()()e E T E T ′′∈?，

使得T e e ′′+?和T e e ′?+都是G 的生成树。

60 设G 是一个加权的连通图并且其各边上的权值互不相同。不使用Kruskal 算法，证明：G 只有一

棵权值最小的生成树（提示：利用上题结论）。

61 为n 阶完全图n K 的所有边分配整数权值。假设一个圈的权值是该圈上所有边的权值之和。证明：

所有圈的权值均为偶数当且仅当具有奇数权值的那些边构成的子图是一个生成二部图。（提示：对于具有偶数权值的边构成的子图，其任意连通分量都是一个完全图）。 62 求下图中从u 0到其余各点的最短路。

63 修改Kruskal 算法用以：

(1) 求赋权连通图中的最大权生成树；（2）求不连通赋权图中的最小权生成森林。 64 证明：直径为k ，围长为21k +的图是正则图。

65 证明： 对任一简单连通图G 有rad diam 2rad G G G ≤≤。

66 证明： 对任意树T ，若只有一个中心，则diam 2rad T T =，若有两个中心，则diam 2rad 1T T =?. 67 设G 是一个简单图。证明：若diam 3G ≥，则diam 3G ≤；若rad 3G ≥，则rad 2G ≤。 68 证明： 若G 是自补图，则diam 3G ≤。 69 证明：任一非平凡自补图的直径为2或3。

70 设G 是直径为2的简单图，且2)(?=ΔνG ，则42?≥νε。 71 Peterson 图是否二部图？试求其围长、半径、直径。

72 如果4n ≥，证明直径为2且最大度为n -2的n -顶点简单图的最小边数是2n -4。

73 令x 和y 是图G 中顶点v 的两个不同的邻点，证明：如果G 是一棵树，则离心率

2()()()e v e x e y ≤+。

74 证明树T 的中心是一个顶点当且仅当diam 2rad T T =。

75 证明：一棵树要么只有一个重心，要么有两个相邻的重心。（提示：对相邻顶点u 和v ，考虑

()()g u g v ?）。

76 令G 是一棵树，它有n 个顶点、k 个叶子且最大度为k 。(1) 证明G 是k 条具有同一个公共端点

的路的并。(2) 确定diam G 的可能的最大值和最小值。 77 证明：具有n +1条边的任意n 顶点图的围长最大值为223n +??

?

???

。 78 证明：在所有直径为k 但不是树的图中，21k +是围长的最大值（提示：证明若G 有一个长至

少为22k +的圈，则G 必有长度更小的圈）。 79 已知图G 如下：

（1）求G 的邻接矩阵A 和关联矩阵M ；

（2）求2

3

4

,,A A A ，说明从顶点b 到d 长度为1，2，3，4的路分别有几条。

c

思考题1. 网络会议

某种网络会议系统允许三个地点同时进行网络会议。下图描述的是一个传输网络，其中圆圈代表客户所在的城市，每条线段两端的客户都可以直接通话。为了让三地同时通话，公司需要激活一些直接连接，使得三个客户端连通。由于激活不同的直接连接的费用不同，公司希望你为它找一个最省钱的激活方式。

例如下图中，为了连接客户1，4，6，最好的方式是激活加粗的直接连接，总费用是27.

思考题2. 公平会面

两位外交官处在不同的城市A和B，他们打算请你选择一座城市X作为他们会面的地点，并分别为他们制定详细的到达路线。为公平起见，两位外交官行走的路线总长要一样，任何一位外交官不能经过同一座城市两次，并且除了会面地点外，两位外交官不会到达过同一座城市。在这个基础上，你应该使得路线长度最短。假设这样的会面地点和到达路线一定存在。