圆锥曲线和导数

圆锥曲线和导数

圆锥曲线

1?位置关系的判定方法一般有两种:

（1）代数方法：转化为方程根个数的判定

（2）几何方法：通过图形本身的特征，寻找存在交点个数的位置关系，列等量（不等）关系式.

2.直线与椭圆（双曲线）的综合

（1）设：设交点A（X1, yι）, B（X1, yι）,设直线I： y=kx+b,

椭圆（双曲线）C： mx2+ny2=l （mn>O椭圆，mnvθ双曲线）；

（2）联（硬解定理）：

联立直线方程与椭圆（双曲线）方≡{mx2+ny2=l,消去y得：

{y=kx+b

（nk2+m） x2+2kbnx+nb2-l=O

Δ =nk2-mnb2+m>O,

{xι+×2=-2kbn∕nk2+m, {yι+y2=2mb∕nk2+m,

{xιx2=nb2-l∕nk2+m {yιy2=mb2-k2∕nk2+m

根系关系是一种设而不求的思想（设点不求点，用系数代替），其目的是代入到与交点有关的关系式中，实现多元归一.

（3）化：条件（结论）几何性质转化为几何等量关系再转化为坐标运算

弦长公式，IEFl=V（X1+X2）2+ （y1-y2）2=Vl+k21X1-X21 =Vl+k2?

V（X1+X2）2-4XI X2;

IEFl=V （xι+x2）2+ （yι-y2）2=Vl+k2?VΔ∕∣nk2+m∣ =Vl+k2?√nk2-

mnb2+m∕∣nk2+m∣ （硬解定理）?

以AB为直径的圆经过原点O=>OE丄OFJ‰X2+yιγ2=O0nb2√l+mb2?

k2∕nk2+m=O,即（n+m） b2=l+k2（硬解定理）?

（4）整：抓住元，将结论表示成某参（一般为斜率或点坐标等）的函数式；

（5）算：根据结论不同问法选取不同的求解策略

求解取值范围一般有两种解题策略：

①利用题设中或明或暗的不等式关系构造不等式解得范围；

②选择合适的参数构造目标函数，转化为函数值域问题?对于比较复杂的动态过程，理顺动态因素之间的从属关系、先后关系.

3.一般性质结论

在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，向量CA=（X1, 丫2）,向量CB=（X2, 丫2）,则S?ABC=1/21X1y2-X2y11.

在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，且三点坐标分别为A（X1, y2）, B （x2, 丫2）, C （xo, y0）, O 为坐标原点，贝（| SSAOB=I/21X1y2-X2y11, S0ABC=1∕2∣ (Xl-XO) (y2-y0)?(x2"0) (γι-yo)

对椭圆x2∕a2+y2∕b2=l,过原点的两条直线I】和∣2分别与椭圆交于A、B和C、D,记得到的平行四边形ACBD的面积为S,若直线h与∣2的斜率之积为-b2∕a2（在X轴）或心"2 （在y轴），则

(1)Xι2+×22=a2; (2) yι2+y22=b2; (3) S=2ab.(在X 轴)或

(1) xι2+×22=b2; (2) yι2+y22=a2; (3) S=2ab.(在y 轴)

4 ?焦点三角形的相关结论

以椭圆X2∕a2+y2∕b2=l (a>b>0)上一点P (xo, yo) (yo≠θ)和焦点FI (-c, O), F2(C, 0)为顶点的I?IPFlF2 (焦点三角形)中,若ZFIPF2=θ, 则(1) IPFIl+

∣PF2∣=2a.

(2)4c2= IPFII2+∣PF2∣2-2IPFII?∣PF2∣?cosθ.

(3)IPFIl?IPF2∣ =2b2∕l+∞sθ?

(4)SSPF1F2=l∕2 IPFIl ? IPF21 ?sinθ=b2tan (θ∕2).

以双曲x2∕a2-y2∕b2=l (a, b>0)上一点P (xo, yo) (yo≠0)和焦点Fl (-c, O), F2 (c, 0)为顶点的I?IPFIF2 (焦点三角形)中，^FιPF2=θ, 则(1) IIPF I MPF2 H =2a.

(2)4c2= IPFl12+1PF212-2IPFIl?∣PF21?cosθ.

(3)IPFIl?∣PF2∣=2b2∕l-cosθ?

(4)S0PFιF2=l∕2IPFlI?IPF21?sinθ=b?an1(θ∕2)?

4.结论：抛物线E： x2=2Py第一象限上一动点P的切线，与椭圆C：x2∕a2+y2∕b2=l (a>b>0)交于不同的两点A、B,线段AB中点为D,直线OD 与过点P且垂直于X轴的直线交于点M,则点M在定直线y=- pb2∕a2±,当且仅当a2=4b2时，S√S2的最大值为定值9/4；

5.曲线一般性质总结：

圆锥曲线：

过圆锥曲线E： ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=O上任一点P (x0, yo)引两条弦PA、PB,若kp A kp B=k 或kpA+kpB=k （k≠a∕c 椭圆双曲线，k≠0 抛物线）, 则直线AB经过定点.

曲线过定点题型方法归纳：

①参数元关法②探索定点③关系法

6?［答题模板］

第步:假设结论存在.

第二步:以存在为条件，进行推理求解?

第三步:明确规范表述结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设.

第四步：反思回顾，査看关键点、易错点及解题规范.

7.椭圆与双曲线焦点弦性质总结：

圆锥曲线上的一点P （Xo, Yo）到焦点的线段称为焦半径.

焦半径常考公式；

焦半径公式（I）: 对左、右焦点分别为Fι(-c, O), F2(C, 0)的椭圆

x2∕a2+y2∕b2=l(a>b>0) 或双曲线x2∕a2-y2∕b2=l(a, b>0)上一点P(xo, yo),有IPFII = Ia+exo∣, ∣PF2∣ = ∣a-ex0∣.

焦半径公式(U)：

对左、右焦点分别为Fl(-c, O), F2(c, 0)的椭圆x2∕a2+y2∕b2=l(a>b>0) 或双曲线x2∕a2-y2∕b2=l (a, b>0)上一点P (xo, yo),有IPFII=b2∕a- CCOSa (椭圆)

或IPFlI=b2∕∣a+ccosa∣ (双曲线),∣PF2∣=b2∕a+ccosβ(椭圆）或

∣PF2∣=b2∕∣a-ccosβ∣ （双曲线），其中a、0为焦半径PF“ PF2?

X轴正半轴所成的角

焦点弦长公式：

若椭圆x2∕a2+y2∕b2=l (a>b>0)或双曲线x2∕a2-y2∕b2=l (a, b>0)的焦

点弦AB,设其倾斜角为α,有IAB∣ =2ab2/1a2-c2?cos2α|.

焦点弦定理

已知焦点在X轴上的圆锥曲线C,经过其焦点F的直线交曲线于A、

B两点，直线AB的倾斜角为θ,斜率为k(k≠0),向量AF=A向量FB,

则曲线C 的离心率e 满足等式：Iecosθ∣ = ∣λ-l∕λ+l∣,e=Vl+k21λ-l∕λ+l| 推论已知焦点在y轴上的圆锥曲线c,经过其焦点F的直线交曲线

于A、B两点，直线AB的倾斜角为0,斜率为k (k≠0),向］

AF=λ向量FB,则曲线C的离心率e满足等式：∣esinθ∣ = ∣λ-l∕λ+l∣, e=Vl+k ∣λ-l∕λ+l∣.

8?抛物线性质总结：

过抛物线c： y2=2px (p>0)的焦点F作直线I交抛物线于A (xι, yι),

B(X2, y2)两点，且A在X轴上方，直线I的倾斜角为6 A、B在准线上的射影分别为P, Q,线段PQ的中点为R, AB的中点为M.

(1) yι?y2=-p2; ×I?×2=P2∕4;(2) k2=2p∕yι+y2;

(3)IAFI =xι+p∕2=p∕l-cosθ, ∣ BF∣ =xι+p∕2=p∕l+cosθ

(4)IAFI l+1 BFl l=2/p；

(5)IABl=2p∕sin2θ(6)S?θAB=p2∕2sinθ;

在直角梯形APQB中;

(7)0PFQ=9O o(以PQ为直径的圆与AB相切)，0ARB=9O o(以AB为

直径的圆与准线相切)；

①∣AF∣, ∣RF∣, IBFl成等比数列；

②∣AF∣, ∣AR∣, IABl成等比数列;

③∣BF∣, ∣BR∣, IABl成等比数列；

(8)直角梯形APQB对角线过原点O；

(9)以AF (或BF)为直径的圆与y轴相切；

若过焦点作直线I的垂线n交抛物线于C、D两点，倾斜角为cx?

(10)IABr I+1 CDI I=l/2p；

(11)IABI +1 CD I =8p∕sin22α(Zl[8p, +∞);

(12)IABI ? I CD I =16p2∕sin22cd21[16p2, +?>);

(13)SAPF的面积，SPFQ的面积的一半，[3BQF的面积，成等比数列；

(12)若向量AF=入向量FB,则cosθ=∣λ-l∣∕∣λ+l∣, Vl+kι2=∣λ+l∣∕∣λ- H

9?曲线性质总结：

曲线c： x2=2Py与直线I： y=kx+b (b>0)交于M、N两点.

结论1：曲线C在点M、N处的切线的交点Q的横坐标与两点的横坐标成等差数列，即2XQ=Xm+XN.

结论2：曲线C在点M、N处的切线的交点Q的轨迹为ynb；

结论3：过直线y=-b±任一点做曲线C的切线，切点分别为M、N, 则直线MN恒过定点T (0, b)；

结论4：当直线I经过曲线C的焦点时，有MQ丄NQ.

10?结论已知椭圆C： X2∕a2+y2∕b2≡ 1 或y2∕a2+x2∕b2=l (a>b>0),直线I不过原点O且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A、B,线段AB 的中点为M.

(1)直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值-b2∕a2?-a2∕b2;

(2)若I过点(a, b),延长线段OM与C交于点P,当四边形OAPB 为平行四边形时，则直线I的斜率k∣= (4±V7) ∕3?b∕a或k∣= (4±√7)

∕3?a∕b?

11. 一般性结论：

已知椭圆C： x2∕a2+y2∕b2=l (a>b>θ),点A为椭圆上的动点，点B为直线y=ab∕c上的动点，若OA丄OB,则直线AB与圆x2+y2=b2相切. 导数1 ?求过某点处的切线方程

解题过程①确定切点P (χo, yo)；②求导f (x)；

③求斜率k=f, (xo)；④点斜式y-yo=k (X-XO) (*)