初中数学竞赛集锦(全面)

初三数学竞赛试题（中等以上）

说明：I 卷的答案必须答在II 卷前的答题卡上

第I 卷

一、单选题（每题3分，共48分）

1、与数轴上的点一一对应的数是（）

A 、整数

B 、有理数

C 、无理数

D 、实数

2、一块矩形木板，截去一块三角板后（只切一刀）余料上角的个数是（） A 、5 B 、3 C 、3或5 D 、3；4或5

3、若m,n 为实数，则代数式n m n m ++-2)(+|n

|的值（）

A 、大于0

B 、不小于0

C 、小于0

D 、等于0

4、若两圆的半径分别为3和5，圆心距为x ，且2)3(-x =x-3,|x-4|=4-x,则两圆的公切线共有（）

A 、1条

B 、2条

C 、3条

D 、4条

5、已知关于x 的不等式（1-a ）x>2的解集为x

-12

,则a 的取值范围是（）

A 、a>0

B 、a>1

C 、a<0

D 、a<1

6、若α，β都是锐角，且COS α>COS β，则下列各式中正确的是（） A 、 α>β B 、Sin α>Sin β C 、tg α> tg β D 、ctg α> ctg β

7、若实数a,b 满足a 2-8a+5=0,b 2-8b+5=0则代数式11--a b +1

--b a 的值为（）

A 、—20

B 、2

C 、2或—20

D 、2或20

8、若三角形的三边长为Sin θ、COS θ，tg θctg θ,00<θ<900,则此三角形的内切圆半径是（）

A 、Sin θ+COS θ—1

B 、1-Sin θ-COS θ

C 、21（Sin θ+COS θ—1）

D 、2

（1-Sin θ-COS θ）

9、方程x 2+3x-6=0与x 2-6x+3=0所有根的乘积是（） A 、-18 B 、18 C 、-3 D 、3 10、在（1）圆、（2）等腰梯形、（3）正方形、（4）正三角形这四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A 、（1）（4）

B 、（1）（2）（3）

C 、（1）（3）

D 、（1）（3）（4） 11、若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（）

A 、k<31

B 、k<31<1

C 、k>1

D 、k>1或k<31

12、两圆的半径分别是R 和r （R>r ），圆心距为d ，若关于x 的方程 x 2—2rx+(R —d)2=0有相等的两实根，则两圆的位置关系是（）

A 、内切

B 、外切

C 、相交

D 、相切 13、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a,b,c 的大小关系是（）

A 、a>b>c

B 、a>c>b

C 、a>b=c

D 、不能确定

14、半径为5、25的两圆相交且公共弦长为8

则圆心距是（）

A 、5

B 、6

C 、1

D 、1或5

15、如图，P ，Q 为双曲线y=x

上的两点

Rt △POM 的面积为S 1，Rt △QON 的面积为S 2，则S 1与S 2之间的关系是（）

A 、S 1=2S 2

B 、S 1+S 2<2

C 、S 1=S 2

=1 D 、S 1+S 2>2

16、下列四个命题：（1）如果一条直线上的两个不同的点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线平行；

（2）反比例函数的图象是轴对称图形，且只有一条对称轴；（3）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角等于750；（4）相等的圆周角所对的弧相等。其中错误的命题有（）

A 、4个

B 、3个

C 、2个

D 、1个

I 卷答题卡

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

II 卷

二、填空题（每空4分，共40分）

１７、已知a 是正数，且a —a 2=1，则a 2-24

a = 。

１８、如果某商品进价降低５％，而售价不变，利润可由日前的a%增加到（a+15）% ，则a= 。

１９、如图在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０o

∠B=900 AB=2,CD=1则ＢＣ＝

２０、已知反比例函数y=x

21-的图象上两点Ａ（x 1,y 1）,B(x 2,y 2),当x 1

<0< x 2

时，y 1

则m 的取值范围是２１、如图在三角形ＡＢＣ中，ＡＤ是中线，且ＡＢ＝３，ＡＣ＝５ＡＤ＝２，则ＢＣ＝

２２、如图，圆Ａ，圆Ｂ，圆Ｃ两两不相交，且半径都是r ，则图中阴影部分的面积为。

２３、某县举办建党８０周年歌咏比赛，六位评委给某合唱队评分如下：

９０，９６，９１，９６，９２，９４则这组数据中，众数和中位数分别是。

２４、用长为８米的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么窗户的最大透光面积是。

２５、如果圆柱和母线长为３厘米，侧面积为１２л平方厘米，那么圆柱的底面半径是。

２６、为了调查学生的身体状况，对某校的毕业生进行了体检，在前５０名学生中有４９名是合格的，以后每８名中有７名是合格的，且该校毕业生体检合格率

在９０％以上，则该校毕业生人数最多有名。

三、解答下列各题（共６２分）１、计算（６分）

21+＋２－

２

＋ＣＯＳ

２

３０0

—0.52001·22002·Sin 450

２、已知a>0,b a

<0 化简2)

2(326---+--a b b a （６分）

学校考场姓

３、如图，△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０0。Ｏ是ＡＢ上的一点，以Ｏ为圆心ＯＢ为半径的圆交ＡＯ于点Ｅ，与ＡＣ相切于点Ｄ，若ＡＤ＝２，ＡＥ＝１。求ＣＤ的长。

（６分）

４、若x，y为正整数，且xy+x+y=23,x2y+xy2=120。求x2+y2的值.(6分)

５、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑车人同时向东行进，行人速度是3.6千米／小时，骑车人的速度是10.8 千米／小时，如果一列火车从他们的背后开来，它通过行人的时间是２２秒，通过骑车人的时间是２６秒，这列火车的身长是多少米？

６、已知关于x的方程x2—(3k+1)x+2k2+2k=0。（１）求证：无论k取何实数值方程总有实数根。（２）若等腰三角形△ＡＢＣ的一边长a=6，另两边长b，c恰好是此方程的两根，求△ＡＢＣ的周长。（１０分）

7、已知点M（a,b）第一象限，半径为r的圆M交x轴于A、B两点，交y轴于

C、D两点，且点M在直线y=x—2 上，点A、B分圆M的弧长之比为1:3，CD=2。

（1）求证：r=2

b （2）求过M、A、B三点的抛物线的解析式。（10分）

8、如图：直角梯形ABCD与矩形EFGH的边AB、EH在直线L上，

且AD=DC=EF=8cm，EH=2cm，BE=6cm，∠ABC=450。若矩形EFGH 沿直线L以2厘米/秒的速度向左运动，设运动时间t(秒)，矩形与梯形叠合部分的面积S（cm2）,试求：当0≤t≤11时，S与t的函数关系式。

初中数学竞赛试题 2 及答案

本卷共四页，共14题，满分120分；考试时间：8:30～10:30

题号 1～5 6～10 11 12 13 14 总分得分评卷人

一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分)

1、设M ＝ b 222c b a ++，其中a 、b 为相邻的两个整数，c ＝ab ，则M( )

(A) 必为偶数 (B) 必为奇数

2、等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝6，P 为BC 上一点，且PA ＝4，则PB ·PC 的值等于( )

(A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25

3、若x －1＝2(y ＋1)＝3(z ＋2)，则x 2＋y 2＋z 2可取得的最小值为( )

(A) 6 (B) (C) (D)

4、已知正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别是AB ，BC 的中点，AF 分别交DE ，DB 于G ，H 两点，则四边形BEGH 的面积是( )

(A) (B) (C) (D) 5、如图，边长为12的正三角形ABC 内接于圆，弦

DE ∥BC 分别交AB ，AC 于F ，G ，若AF 长x ，DF 长y 都是正

整数，则y 的值为( )

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6

二、填空题(共5小题，每小题6分，满分30分)

6、己知方程x 2－x －1＝0的根是方程x ６－px ２＋q ＝0的根，则p ＝________，q ＝

________.

7、已知：如图，凸五边形ABCDE 中，S △ABC ＝S △BCD ＝S △CDE ＝S

△

DEA ＝S △EAB ＝1，则

S 五边形ABCDE ＝__________.

8、如图，把10个两两互不相等的正整数，a 1a 2…a 10写成下列

图

表的形式，其中两个箭头所指的数等于这两个箭头始点两个数的和，例如表示a 2＝a 1＋a 5，那么，满足该图表的a 4的最小可能值为___________. 9、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y ＝mx ＋n 的图

象交点为(-1，2)，(2,5)，且二次函数的最小值为1，则这个二次函数的解析式为_________________________.

10、将四十个自然数1，2……，40任意排成一排，总可以找到连续排列的八个数，它们的和不小于A ，则A 的最大值等于_____________. 三、解答题(共4题，每小题15分，满分60分) 11、已知正实数a 、b 、c 满足方程组

a ＋

b 2＋2a

c ＝29 b ＋c 2＋2ab ＝18 c ＋a 2＋2bc ＝25 求a ＋b ＋c 的值

12、设计一套邮票，设计要求如下：该套邮票由四种不同面值的邮票组成，面值数

为正整数，并且对于连续整数1，2…，R 中的任一面值数，都能够通过适当选取面值互相不同且不超过三枚的邮票实现。试求出R 的最大值，并给出一种相

学校___________________ 姓名___________________ 考证号___________________ 试场___________________

……………………装………………订………………密……………封…………………线…………………

应的设计.

13、已知：如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的圆分别交AB，

AC于点P和Q，交BC于点D和E，若BP＋CQ＝PQ，求∠DAE的度数.

14、试求出所有满足下列条件的正整数a，b，c，d，其中1＜a＜b＜c＜d，且abcd

－1是(a－1)·(b－1)·(c－1)·(d－1)的整数倍.

试题参考答案及评分标准

一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分)

1 2 3 4 5

B C D C C

二、填空题(共5小题，每小题6分，满分30分)

6、p＝8，q＝3

7、

8、20

9、y＝x2＋1或y＝

(x2＋8x＋25) 10、164

三、解答题(共4题，每小题15分，满分60分)

11、解：三式相加，得：

(a＋b＋c)＋(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)＝72 (5分)

∴(a＋b＋c)2＋(a＋b＋c)－72＝0

∴〔(a＋b＋c)＋9〕〔(a＋b＋c)－8〕＝0 (5分)

∵a，b，c都是正实数

∴a＋b＋c＋9＞0

∴a＋b＋c＝8 (5分)

12、解：从四种不同面值的邮票中选取面值互不相同且不超过三张的不同取法共

有4＋6＋4＝14(种)。

不同取法所获得邮票的总面值可能相同，也可能不同，至多只有14种不同的总面值，∴R≤14 (5分)

又若设计四种邮票的面值数分别为1，2，4，8。(5分)

∵1＝1，2＝2，3＝1＋２，4＝4，5＝1＋4，6＝2＋４，7＝1＋2＋4，

初中数学竞赛定理大全

费尔马点：已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。海伦（Heron）公式：

塞瓦（Ceva）定理：在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

葛尔刚（Gergonne）点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。西摩松（Simson）线：已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。

黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。帕普斯（Pappus）定理：已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于点Z，则X、Y、Z三点共线。

2019年全国初中数学竞赛试题及答案

１全国初中数学竞赛试题及答案考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab c ca b bc a 2 22++的值为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=，所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（）（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ，即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ，所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上，也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（）（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。

中学数学竞赛中常用的几个重要定理

数学竞赛中几个重要定理 1、梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线，则FB AF EA CE DC BD ? ?=1 2、梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且满足FB AF EA CE DC BD ? ?=1，则D 、E 、F 三点共线. 【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC 边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P. 证明：△MPQ ∽△ABC j M Q G A C B X Y P

【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC 【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.

【练习1】设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，过M 作AD 的平行线分别交AB ，CD 于点E ，F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以O 为圆心，以OM 为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP 【练习2】在△ABC 中，∠A=900，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F. 若BE ：ED=2AC ：DC ，则∠ADB=∠FDC D

塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则1= ? ? PA CP NC BN MB AM 塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上，且满足1= ? ? PA CP NC BN MB AM ，则AN、BP、CM相交于一点. 【例1】B E是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F，过D作DN∥CG交BG于N，△DGL及△FGM是正三角形. 求证：△LMN为正三角形. G C L M E D F N

2014年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题： 1．已知x ，y 为整数，且满足(1x ＋1y ) (1x 2＋1y 2)＝－23(1x 4－1y 4)，则x ＋y 的可能的值有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．已知非负实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则t ＝2xy ＋yz ＋2xz 的最大值为（） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225 3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，BE ⊥AC 于E ，交AD 于P ，已知BP ＝3，PE ＝1，则AE ＝（） A ．62 B ．2 C ．3 D ．6 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（） A ．12 B ．25 C ．23 D ．34 5．设[t ]表示不超过实数t 的最大整数，令{t }＝t －[t ].已知实数x 满足x 3＋1x 3＝18，则 {x }＋{1x }＝（） A ．12 B ．3－5 C ．12 (3－5) D ．1 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, ∠ADE ＝90° ,则BE 的长为（） A ．4－23 B ．2－3 C ．12 (3－1) D ．3－1 二、填空题： 1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1， 1 a ＋b －c ＋ 1 a ＋c －b ＋ 1 b ＋c －a ＝1，则abc ＝__ 2．使得不等式917＜n n ＋k ＜815 对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB ＝BC ，∠BPC ＝108°，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则∠P AC ＝________．

初中三年数学常用公式定理大全

初中数学定理、公式汇编第一篇数与代数第一节数与式一、实数 1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:－3,,0.231,0.737373…,,等；无限不环循小数叫做无理数. 如:π,,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)等.有理数和无理数统称为实数. 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。 3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨－_丨=；丨3.14－π丨=π－ 3.1 4. 4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。 a的相反数是-a，0的相反数是0。 5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字. 如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 6.科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07× 105,0.000043=4.3×10－5. 7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小。

8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。 9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 10．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 11．算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0． 13．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方． 14．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根；（2）4的平方根是士2，误认为4平方根为士 2，知道4=2． 15.二次根式： (1)定义:形如a(a≥0)的式子叫做二次根式. 16．二次根式的化简： 17．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． 18．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被

2013年全国初中数学联赛试题及详解

2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算=（）（A 1 （B ）1 （C （D ）2 【答案】（B ）【解析】原式=1)3)1-=-=，故选（B ）. 2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】（A ）【解析】分三种情况进行讨论：（1）若21m -=，即1m =时，满足已知等式；（2）若21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式；（3）若21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020 m m m -≠??--=?解得，1m =- 故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选（A ）. 3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠= ，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，若CD =，则AB =（）（A ）2 （B （C ）（D ）3 【答案】（A ）【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则 CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠= ,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠= ,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠= ,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠= , 在Rt ONC ?中，∵cos CN OCN OC ∠= =,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选（A ）. 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（B ）

(完整版)初中数学常用公式和定理大全

初中数学常用公式定理 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋ b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、幂的运算性质：①a m×a n＝a m＋n．②a m÷a n＝a m－n．③(a m)n＝a mn．④(ab)n＝a n b n．⑤()n＝n． ⑥a－n＝1 n a ，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3)3＝27a9， (－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－)0＝1． 7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如： ①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x＝ 24 b b ac -±- ，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点． 10、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反． 11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体

全国初中数学竞赛试题及答案

2007年全国初中数学竞赛试题班级座号姓名成绩一、选择题（共5题，每小题6分，共30分） 1、方程组12 6 x y x y ?+=??+=??的实数解的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 3、已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程 2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实数根，则 222 a b c bc ca ab ++的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且AB 、AC 分别相交于点D 、E ，若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 5、方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（） A ．0 B ．1 C ．3 D ．无穷多二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6、如图，点A 、C 都在函数(0)y x x = >的图象上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 . 7、如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，CA= 4，点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）

37-初中数学竞赛中常用重要定理

初中数学竞赛辅导 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1 初中竞赛需要，重要 24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。

初中数学竞赛定理大全.docx

欧拉（ Euler ）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。费尔马点：已知 P 为锐角△ ABC内一点，当∠APB＝∠ BPC＝∠ CPA＝120°时， PA ＋P B＋PC的值最小，这个点 P 称为△ ABC的费尔马点。海伦（ Heron）公式：塞瓦（ Ceva）定理：在△ ABC中，过△ ABC的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边 BC、CA、AB与点 D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA) ·(AF/FB) ＝1；其逆亦真。密格尔（ Miquel ）点：

若 AE、 AF、ED、 FB四条直线相交于 A、B、C、 D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△ AED、△ BCE、△ DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。葛尔刚（ Gergonne）点 : △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则 AE、 BF、 CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。西摩松（ Simson）线：已知 P 为△ ABC外接圆周上任意一点， PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则 D、E、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。黄金分割：把一条线段 (AB) 分成两条线段，使其中较大的线段 (AC)是原线段(AB) 与较小线段 (BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。帕普斯（ Pappus）定理：已知点 A 、A 、A 在直线 l 1上，已知点 B 、B 、B 在直线 l 2 上， 123123 且 A1 B2与 A2 B 1交于点 X，A1B3与 A3B1交于点 Y，A2 B 3于 A3 B2交于点 Z，则 X、Y、Z 三点共线。

初中数学几何公式大全

初中数学几何公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 错角相等，两直线平行 11 同旁角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，错角相等 14 两直线平行，同旁角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形角和定理三角形三个角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合