计算方法简明教程习题解析

第一章 绪论

1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*

x 的相对误差为*

****

r e x x e x x δ-=

== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **

e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈

2．设x 的相对误差为2%，求n

x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()

|

|()

p xf x C f x = 又1

'()n f x nx

-= , 1

||n p x nx C n n

-?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2

((*))0.02n r x n ε∴≈

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *

456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) *

*

*

124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234

,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*4

1*

3

2*

13*

3

4*

1

51()1021()1021()1021()1021()102

x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=?

***

124***1244333

(1)()()()()

1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***

123*********123231132143

(2)()

()()()

111

1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222

0.215

x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈

**

24****

24422

*4

33

5

(3)(/)

()()

11

0.0311056.430102256.43056.430

10x x x x x x x

εεε---+≈

??+??=

?=

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34

3

V R π=

则何种函数的条件数为

2

3'4343

p R V R R C V R ππ===

(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=

又(*)1r V ε=

故度量半径R 时允许的相对误差限为1

(*)10.333

r R ε=?≈

6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）

计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？

解：1n n Y Y -=-

10099Y Y ∴=-

9998Y Y =

9897Y Y =-……

10Y Y =-

依次代入后，有1000100Y Y =-

即1000Y Y =

27.982, 100027.982Y Y ∴=-

*

310001()()(27.982)102

Y Y εεε-∴=+=?

100Y ∴的误差限为31

102

-?。

7．求方程2

5610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。 解：2

5610x x -+=，

故方程的根应为1,228x =

故 1282827.98255.982x =≈+=

1x ∴具有5位有效数字

211

280.0178632827.98255.982

x =-=

≈

=≈+

2x 具有5位有效数字

8．当N 充分大时，怎样求

1

2

1

1N N

dx x

++?

？

解

1

2

1

arctan(1)arctan 1N N

dx N N x +=+-+?

设arctan(1),arctan N N αβ=+=。 则tan 1,tan .N N αβ=+=

1

22

11arctan(tan())

tan tan arctan

1tan tan 1arctan

1(1)1

arctan 1

N N dx x N N

N N

N N αβ

αβαβ

αβ++=-=--=++-=++=++? 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2

1cm ？ 解：正方形的面积函数为2()A x x =

(*)2*(*)A A x εε∴= .

当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21

(*)102

x ε-≤

? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2

1cm 10．设2

12S gt =

，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：2

1,02

S gt t =

> 2

(*)(*)S g t t εε∴= 当*t 增加时，*S 的绝对误差增加

2*2*

(*)

(*)*

(*)1()2(*)2r S S S gt t g t t t

εεεε=

=

=

当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。 11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),

若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

解：0 1.41y =≈

201

(*)102

y ε-∴=?

又1101n n y y -=- 10101y y ∴=- 10(*)10(*)y y εε∴= 又21101y y =- 21(*)10(*)y y εε∴=

220(*)10(*)......

y y εε∴=

10

10010

28(*)10(*)

1

10102

1

102

y y εε-∴==?

?=?

计算到10y 时误差为

81

102

?，这个计算过程不稳定。 12

．计算61)f =

≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

,

3

(3-,

，

99- 解：设6

(1)y x =-，

若x =

* 1.4x =，则*11

102

x -ε()=?。

计算y 值，则

***7

**

*7

**1

(1)

6(1)

y x x y x x y x ε()=--6?ε()+ =

ε()+ =2.53ε()

若通过3(3-计算y 值，则

**2****

**(32)6

32y x x y x x

y x ε()=-3?2?-ε() =

ε()- =30ε()

计算y 值，则 ***4

***7

**1

(32)

1

(32)

y x x y x x y x ε()=--3?ε()+ =6?

ε()+ =1.0345ε()

计算后得到的结果最好。 13

．()ln(f x x =,求(30)f 的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多

大？若改用另一等价公式。ln(ln(x x =-

计算，求对数时误差有多大？ 解

()ln(f x x =

, (30)ln(30f ∴=

设(30)u y f == 则*

u =29.9833

*41

2

u -∴ε()=?10

故

**

*

*3

1

0.0167

y u u

u -1ε()≈-ε()30- =

ε() ≈3?10

若改用等价公式

ln(ln(x x =-

则(30)ln(30f =- 此时，

**

*

*7

1

59.9833y u u

u -1ε()=∣-∣ε()30+ =

?ε()

≈8?10

第一章 误差

1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.

解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2

4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生

的误差即为模型误差.

在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值:

12

222...q q π=?

?? 其中

11

2,3,...

n q q n +?=??

==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得

3.141587725...π≈

这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.

2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:

816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236

3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位

4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位

5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字?

解: 已知4311

d 10,d 1022

a b --

()4332111

10100.551010222

d a b da db da db ----+=+≤+=?+?=?

所以a b +有三位有效数字;

因为0.1047571410a b ?=?,

()4332111

0.94710 1.1062100.600451010222

d a b b da a db ----?=+=??+??=?

所以a b ?有三位有效数字.

6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求12

11

,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ?与真值的相对误差限. 解: 已知-4-41112221211

d ,d ,d =

10,d 1022

x y x x y x x x =+=+?=?, ()4

4111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x x

x x x y --???==≈=≈? ???

;

()4

2222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x x

x x x y --???==≈=≈? ???

;

()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---?=+≈?+?≈?.

7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2.

解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2

d d 2d 1s a a a ==≤,则要求

211d 0.5102200

a a -≤

==?.所以边长的误差不能超过20.510-?cm.

8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''

(读到秒),试问:计算sin ?将有多大误差?

解: ()()1d sin cos d cos 45022???*

''?

?'''== ???

.

9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式2

12

s gt =

确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.

证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122

s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ??

=====

??? d s 与

t 成正比,

d s s

与t 成反比,

所以当d t 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.

10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x

δ=,所以ln x 的绝对误差()d d

ln x x x

δ=

=.

11. 设x 的相对误差为%α,求n

x 的相对误差.

解: 1d d d %n n n n x nx x n x

n x x x

α-=

==.

12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知343V R π=

,设()d dr R R a R

==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V

V V R R R R a V

=

=======,则11%3a =?.