高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)doc

高中数学立体几何

空间距离

1.两条异面直线间的距离

和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.

2.点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离

如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.

4.两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.

题型一：两条异面直线间的距离

【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；

【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.

(2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 2

1, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2

1

2，即EF =a 22. 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 2

2. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .

∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .

∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232

2=???

??-???

? ??. ∴AB 、CD 的距离是

2

2

. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：

（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.

题型二：两条异面直线间的距离

【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ，

∴O 是△BCD 的中心，∴BO =3

2

BE =332332=?.

又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =363312

22=??

?

? ??

-=-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36.

例1题图

例2题图

例3题图

【例4】 在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =

2

π

,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,

求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.

【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F ,连结PF , ∵AP ⊥平面ABCD ,AF ⊥DC ,∴PF ⊥DC , ∴∠PF A 就是二面角P —CD —A 的平面角.

在△ADF 中,∠AFD =90°,∠ADF =arcsin 55

,AD =3a ,∴AF =5

3a ,

在Rt △P AF 中tan ∠PF A =

3535==a a AF PA ,∴∠PF A =arc tan 3

5

. (2)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥BC ,又BC ⊥AB ,

∴BC ⊥平面P AB ,作AH ⊥PB ,则BC ⊥AH ,∴AH ⊥平面PBC ,∵P A ⊥AB ,P A =AB =a ,

∴PB =2a ,∴AH =a 2

2.

【例5】 如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，

BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.

解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.

∴DF=C 1H=2. .622

2

=+=∴DF BD BF （Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，

由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ?面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.

在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到面AEC 1F 的距离.

.11

33

417

12317

123,17121743cos 3cos 3,.

17,1,2

2

1

1

221=+

?

=

?=

∴=?

===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CG

BG

CC EB 知由从而可得由

解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.

∵AEC 1F 为平行四边形，

.

62,62||).

2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,

11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴

（II ）设1n 为面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然

???=+?+?-=+?+??????=?=?02020140,0,011y x y x n n 得由??

?

??-==∴???=+-=+.41,1,022,014y x x y 即

A

C

D

1

A

1

B

1

C

1

A

1

A

111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则1111cos ||||

CC n CC n α?==?

∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11

33

4333343cos ||1=?==αCC d

【例6】

正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。

（1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离． 解：（1）连结BD ，D B 1，由三垂线定理可得：AC D B ⊥1， 所以D B 1就是1B 点到直线AC 的距离。 在BD B Rt 1?中,68102

22

211=-=-=

BC

C B BB 34=B

D ．

2122121=+=

∴B B BD D B ．

（2）因为AC 与平面BD 1C 交于ＡＣ的中点Ｄ， 设E BC C B =?11，则1AB //DE ，所以1AB //平面BD C 1， 所以1AB 到平面BD 1C 的距离等于Ａ点到平面BD 1C 的距离，等于Ｃ点到平面BD 1C 的距离，也就等于三棱 锥1BDC C -的高， B D C

C B

D C C V V --=11

， 131311CC S hS BDC BDC ??=∴，131312=∴h ，即直线1AB 到平面BD 1C 的距离是13

13

12． 【解后归纳】 求空间距离注意三点： 1．常规遵循一作二证三计算的步骤； 2．多用转化的思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．

【范例4】如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；

（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；

（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4

π

.

解析：法1

（1）∵AE ⊥面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E

（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2，

故.2

121,232152211=??==-??=

??BC AE S S ACE C AD 而 11111131,1,.33223

D AEC AEC AD C V S DD S h h h -??∴=

?=?∴?=?∴= （3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE

，

∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角.

设AE=x ，则BE=2－x

11,, 1.

4

,,,Rt D DH DHD DH Rt ADE DE Rt DHE EH x π

?∠=

∴=?=∴?= 在中在中在中

.

4

,32.

32543.

54,3122π

的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=?+-=

+∴+-=?=?

法2：以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1(1，

0，1)，D 1(0，0，1)，E(1，x ，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).

（1）.,0)1,,1(),1,0,1

(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为 （2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1

(1-=AD ， 设平面ACD 1的法向量为),,(c b a =，

则?????=?=?,

0,

01AD 也即???=+-=+-002c a b a ，得???==c a b a 2， 从而)2,1,2(=，所以点E 到平面AD 1C 的距离为.3

1

3212|

|1=-+=

=n h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a =， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x

由??

?=-+=-??????=?=?.0)2(0

2,

0,01x b a c b C D n 令b =1, ∴c=2, a =2－x ， ∴).2,1,2(x -=依题意.22

5

)2(222|

|||4

cos

211=+-?=

?=

x DD n π

∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为

4

π

. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实

1.把边长为a 的正△ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，则点A 到BC 的距离是 ( )

A.a

B.

a 26 C.a 33 D.a 4

15 2.△ABC 中，AB =9，AC =15，∠BAC =120°.△ABC 所在平面外一点P 到三个顶点A 、B 、C 的距离都是14，那么点P 到平面α的距离为 ( )

A.7

B.9

C.11

D.13

3.从平面α外一点P 向α引两条斜线P A ,PB .A ,B 为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm 和12cm ,则P 到α的距离是 ( )

A.4cm

B.3cm 或4cm

C.6cm

D.4cm 或6cm

4.空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为 ( )

A.a 2

1 B.

a 22

C.a 23

D.a 5.在四面体P —ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直.M 是面ABC 内一点，且点M 到三个面P AB 、PBC 、PCA 的距离分别为2、3、6，则点M 到顶点P 的距离是 ( )

A.7

B.8

C.9

D.10

6.如图，将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离是 ( )

A.a 4

3

B.

a 43

C.a 23

D.a 46

第6题图

第7题图

7.如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD =AD ＝1，设点C 到平面P AB 的距离为d 1，点B 到平面P AC 的距离为d 2，则有 ( )

A.1

B.d 1

C.d 1<1

D.d 2

8.如图所示，在平面α的同侧有三点A 、B 、C ，△ABC 的重心为G .如果A 、B 、C 、G 到平面α的距离分别为a 、b 、c 、d ，那么a+b+c 等于 ( )

A.2d

B.3d

C.4d

D.以上都不对 9.如图，菱形ABCD 边长为a ，∠A =60°，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点且

2====DG

CG

FB CF HD AH EB AE ，沿EH 和FG 把菱形的两锐角折起，使A 、C 重合，这时点A 到平面EFGH 的距离是 ( )

A.

2

a B.

a 22 C.a 23 D.a 615 二、思维激活

10.二面角α-MN -β等于60°，平面α内一点A 到平面β的距离AB 的长为4，则点B 到α的距离为 .

11.在60°的二面角α—l —β中，A ∈α,AC ⊥l 于C ，B ∈β，BD ⊥l 于D ，又AC =BD =a ,CD =2a ，则A 、B 两点间距离为 .

12.设平面α外两点A 和B 到平面α的距离分别为4cm 和1cm ，AB 与平面α所成的角是60°，则线段AB 的长是 .

13.在直角坐标系中,已知A (3,2),B (-3,-2)沿y 轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A —Oy —B 后,∠AOB =90°，则cos α的值是 . 三、能力提高

14.在边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC =60°，PC ⊥平面ABCD ，E 是P A 的中点，求点E 到平 面PBC 的距离．

15.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB 为直角，侧面AB 1与侧面AC 1所成的二面角为60°，M 为AA 1上的点.∠A 1MC 1=30°，∠BMC 1=90°，AB =a .

(1)求BM 与侧面AC 1所成角的正切值. (2)求顶点A 到面BMC 1的距离. 16.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直.∠ABC =90°,BC =2,AC =23,且AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C .

（1）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小;

（2）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小; （3）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离.

第8题图

第9题图

第15题图

17.如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 与BC 的中点，EF 与BD 交于H . (1)求二面角B 1—EF —B 的大小.

(2)试在棱B 1B 上找一点M ，使D 1M ⊥面EFB 1，并证明你的结论. (3)求点D 1到面EFB 1的距离.

空间的距离习题解答

1.D 折后BC =2a ,∴点A 到BC 的距离为41542

2

a a a =??

? ??-.

2.A BC =21120cos 159215922=???-+. ∴△ABC 外接圆半径R =

37120sin 221

=?

,

∴点P 到α的距离为.7)37(1422=-

3.D 设PO ⊥α垂足为O ,|PO |=x cm ,∠OAP =β,∠OBP =γ,那么β-γ=45°, tan β=

2

x

,tan γ=12x ,tan (β-γ)=tan 45°

展开左边并整理得:x 2-10x +24=0,解得x 1=6,x 2=4.

4.B P 、Q 的最短距离即为异面直线AB 与CD 间的距离，当P 为AB 的中点，Q 为CD 的中点时符合题意.

5.A PM =7632222=++.

6.C 取BD 的中点O 连AO 、OC ，作OE ⊥AC 于E ，则OE 为所求，∴AO =CO =AC =2

3a

. 7.D 点C 到平面P AB 的距离d 1=

2

2, 点B 到平面P AC 的距离d 2=

332

1

122

1=+

?

，

∵12

233<<,∴d 2

第17题图

8.B |MM ′|=2c b +，又

312

2=+-+-

c b a c

b d .∴a +b +

c =3

d . 9.A 设BD 的中点为O ，

∴EO =6760cos 232232

2

a a a a a =???-??

?

??+??? ??，点A 到平面EFGH 的距离为23679422a a a =-.

10.2 作AC ⊥MN 于C ，连BC ，则BC ⊥MN ， ∴∠ACB =60°，又MN ⊥平面ABC ，

∴平面ABC ⊥平面α，作BD ⊥AC 于D ，则BD ⊥α， ∴BD 的长即为所求，得BD =2．

11.a 3 AB =a a a a a a 360cos 2)2(222=????-++. 12.23cm 或

3

3

10cm 当点A 、B 在α同侧时，AB =

3260sin 3

=?;

当点A 、B 在α异侧时，AB =3

3

1060sin 5=?

13.9

4

如图,AB ″=26)32(22222=+=+OB OA

∵BC ⊥y 轴,B ′C ⊥y 轴,

∴∠B ′CB ″为二面角A —Oy —B 的平面角. ∠B ′CB ″=α,在△B ′CB ″中,B ′C =B ″C =3, B ′B ″=104262=-,由余弦定理易知cos α=

9

4. 14.如图，将点E 到平面PBC 的距离转化成线面距，再转化成点面距. 连AC 、BD ，设AC 、BD 交于O ，则EO ∥平面PBC ， ∴OE 上任一点到平面PBC 的距离相等． ∵平面PBC ⊥平面ABCD ，

过O 作OG ⊥平面PBC ，则G ∈BC ， 又∠ACB=60°，AC=BC=AB=a ， ∴OC =

2

a

,OG =OC sin60°=43a .

点评：若直接过E 作平面PBC 的垂线，垂足难以确定．在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的

能起到意想不到的效果．

15.(1)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴∠BAC 为二面角B 1—AA 1—C 1的平面角， ∴∠BAC =60°.

又∵∠ACB 为直角，∴BC ⊥侧面AC 1.

连MC ，则MC 是MB 在侧面AC 1上的射影. ∴∠BMC 为BM 与侧面AC 1所成的角.

且∠CMC 1=90°，∠A 1MC 1=30°，所以∠AMC =60°.

设BC =m ，则AC =m 33，MC =32

m ， 所以tan ∠BMC =

2

3. 即BM 与侧面AC 1所成的角的正切值为

2

3. (2)过A 作AN ⊥MC ，垂足为N ，则AN ∥面MBC 1.

∵面MBC ⊥面MBC 1，且过N 作NH ⊥MB ，垂足为H ， 则NH 是N 到面MBC 1的距离，也就是A 到面MBC 1的距离. ∵AB =a ,AC =

2

a

,且∠ACN =30°，

第13题图解

第14题图解

∴AN =

4

a

且∠AMN =60°，∴MN =a 123. ∴NH =MN sin ∠BMC =a 123×a 52

39(本题还可用等积法). 16.(1)如图所示,作A 1D ⊥AC ,垂足为D ,由面A 1ACC 1⊥面ABC ,得A 1D ⊥面ABC

∴∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角 ∵AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C ∴∠A 1AD =45°为所求.

(2)作DE ⊥AB 垂足为E ,连A 1E ,则由A 1D ⊥面ABC ,得A 1E ⊥AB , ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知AB ⊥BC 得DE ∥BC ,又D 是AC 的中点,BC =2,AC =23 ∴DE =1,AD =A 1D =3,tan ∠A 1ED =

DE

D

A 1=3,故∠A 1ED =60°为所求. (３)连结A 1

B ,根据定义,点

C 到面A 1ABB 1的距离,即为三棱锥C —A 1AB 的高h . 由V C —A 1AB =V A 1-ABC 得31S △AA 1B h =3

1

S △ABC ·A 1D 即

313223

1

22??=??h ,∴h =3为所求. 17.(1)如图连结B 1D 1，AC ，B 1H ， ∵底面为正方形ABCD ， ∴对角线AC ⊥BD .

又∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点 ∴EF ∥AC .∴EF ⊥BD .

又∵棱B 1B ⊥底面ABCD ，EF 面ABCD ，∴EF ⊥B 1B . 又B 1B ∩BD =B ,BB 1面BB 1D 1D ，BD 面BB 1D 1D . ∴EF ⊥面BB 1D 1D .

而B 1Ｈ面BB 1D 1D ，BH 面BB 1D 1D ，∴EF ⊥B 1H ，EF ⊥BH . ∴∠B 1HB 为二面角B 1—EF —B 的平面角. 在Rt △B 1BH 中，B 1B =a ,BH =

a 4

2

， ∴tan ∠B 1HB =

221=BH

B

B . ∴∠B 1HB =arctan22.

∴二面角B 1—EF —B 的大小为arctan22. (2)在棱B 1B 上取中点M ，连D 1M ， 则D 1M ⊥面EFB 1.连结C 1M .

∵EF ⊥面BB 1D 1D ，D 1M 面BB 1D 1D . ∴D 1M ⊥EF .

又∵D 1C 1⊥面B 1BCC 1.

∴C 1M 为D 1M 在面B 1BCC 1内的射影.

在正方形B 1BCC 1中，M 、F 分别为B 1B 和BC 的中点， 由平面几何知识B 1F ⊥C 1M .

于是，由三垂线定理可知B 1Ｆ⊥D 1Ｍ，

而B 1F 面EFB 1，EF 面EFB 1，EF ∩B 1F =F ， ∴D 1M ⊥面EFB 1.

(3)设D 1M 与面EFB 1交于N 点，则D 1N 为点D 到面EFB 1的距离， ∵B 1Ｎ面EFB 1,D 1M ⊥面EFB 1， ∴B 1N ⊥D 1M .

在Rt △MB 1D 1中，由射影定理D 1B 12=D 1N ·D 1M ， 而D 1B 1=2a ,D 1Ｍ=a M B D B 2

3

21211=

+， ∴D 1N =.3

4

1211

a M D B D =

第16题图解

第17题图解

即点D 1到面EFB 1的距离为a 3

4.

高中数学立体几何 空间距离的计算（学生版）

1.两条异面直线间的距离

和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.

2.点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离

如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.

4.两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.

题型一：两条异面直线间的距离

【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1) 求证：EF 是AB 和CD 的公垂线；(2)求AB 和CD 间的距离；

【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离.

【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：

（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.

题型二：两条异面直线间的距离

【例7】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离；

【例8】 在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =2

,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55

,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,

求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.

例1题图

例3题图

例2题图

B A C

D

1

A

1

B

1

C

1

A

【例9】

如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.

【例10】 正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。

（1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离．

【解后归纳】 求空间距离注意三点：

1．常规遵循一作二证三计算的步骤；2．多用转化的思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．

【例11】 如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为

4

π

. ●对应训练 分阶提升

一、基础夯实

1.把边长为a 的正△ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，则点A 到BC 的距离是 ( )

A.a

B.

a 26 C.a 33 D.a 4

15 2.△ABC 中，AB =9，AC =15，∠BAC =120°.△ABC 所在平面外一点P 到三个顶点A 、B 、C 的距离都是

14，那么点P 到平面α的距离为 ( )

A.7

B.9

C.11

D.13

3.从平面α外一点P 向α引两条斜线P A ,PB .A ,B 为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm 和12cm ,则P 到α的距离是 ( )

A.4cm

B.3cm 或4cm

C.6cm

D.4cm 或6cm

4.空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为 ( )

A.a 2

1

B.

a 22 C.a 23 D.a 5.在四面体P —ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直.M 是面ABC 内一点，且点M 到三个面P AB 、PBC 、PCA 的距离分别为2、3、6，则点M 到顶点P 的距离是 ( )

A.7

B.8

C.9

D.10

6.如图，将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离是 ( )

A.

a 4

3

B.a 43

C.a 23

D.a 46 7.如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD =AD ＝1，设点C 到平面P AB 的距离为d 1，点B 到平面P AC 的距离为d 2，则有 ( )

A.1

B.d 1

C.d 1<1

D.d 2

8.如图所示，在平面α的同侧有三点A 、B 、C ，△ABC 的重心为G .如果A 、B 、C 、G 到平面α的距离分别为a 、b 、c 、d ，那么a+b+c 等于 ( )

A.2d

B.3d

C.4d

D.以上都不对 9.如图，菱形ABCD 边长为a ，∠A =60°，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点且

2====DG

CG

FB CF HD AH EB AE ，沿EH 和FG 把菱形的两锐角折起，使A 、C 重合，这时点A 到平面EFGH 的距离是 ( )

A.

2

a

B.

a 22 C.a 23 D.a 615 二、思维激活

10.二面角α-MN -β等于60°，平面α内一点A 到平面β的距离AB 的长为4，则点B 到α的距离为 .

11.在60°的二面角α—l —β中，A ∈α,AC ⊥l 于C ，B ∈β，BD ⊥l 于D ，又AC =BD =a ,CD =2a ，则A 、B 两点间距离为 .

12.设平面α外两点A 和B 到平面α的距离分别为4cm 和1cm ，AB 与平面α所成的角是60°，则线段AB 的长是 .

13.在直角坐标系中,已知A (3,2),B (-3,-2)沿y 轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A —Oy —B 后,∠AOB =90°，则cos α的值是 . 三、能力提高

14.在边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC =60°，PC ⊥平面ABCD ，E 是P A 的中点，求点E 到平

第6题图

第7题图

第8题图

第9题图

面PBC 的距离．

15.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB 为直角，侧面AB 1与侧面AC 1所成的二面角为60°，M 为AA 1上的点.∠A 1MC 1=30°，∠BMC 1=90°，AB =a .

(1)求BM 与侧面AC 1所成角的正切值. (2)求顶点A 到面BMC 1的距离.

16.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直.∠ABC =90°,BC =2,AC =23,且AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C .

（1）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小;

（2）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小; （3）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离.

17.如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 与BC 的中点，EF 与BD 交于H . (1)求二面角B 1—EF —B 的大小.

(2)试在棱B 1B 上找一点M ，使D 1M ⊥面EFB 1，并证明你的结论. (3)求点D 1到面EFB 1的距离.

第15题图

第17题图