认知结构的概念形成及其理论发展探索

2010年第02期吉林省教育学院学报

No 02,2010

第26卷JOURNAL O F EDUCATI ONAL I NSTI TUTE OF JI LI N PROV I NCE

Vo l 26(总230期)

Tota lN o 230

收稿日期:2009 11 01

作者简介:张国仁(1982 ),男,甘肃陇西人,西北师范大学教育学院硕士研究生。研究方向:人格与心理健康。

杨金花(1981 ),女,北京师范大学心理学院博士研究生。研究方向:社会心理学。

认知结构的概念形成及其理论发展探索

张国仁1

,杨金花

(1 西北师范大学教育学院,兰州730070;2 北京师范大学心理学院,北京100875)

摘要:认知结构是学习心理学和认知心理学中的重要概念,是学习者在某一领域的全部知识及其组织,它是学习的起点,也是学习的结果,对于我们认识学习者的知识系统构成有十分重要的作用。认知结构理论从产生至今,经历了皮亚杰、布鲁纳、奥苏伯尔等心理学家的不断传承与发展,其内涵也得到扩展并逐渐成熟。

关键词:认知结构、皮亚杰、奥苏伯尔

中图分类号:G 42 文献标识码:A 文章编号:1671 1580(2010)02 0100 02

认知心理学有两种研究取向,从广义上来讲是以

皮亚杰和奥苏伯尔等人为代表的学者进行的理论角度的研究。而狭义角度是指以1967年奈瑟尔的信息加工论为代表的认知心理研究。对认知结构研究较多的是广义的认知心理学取向。从赫尔巴特开始,认知结构研究从概念形成到理论发展经历了较为漫长的研究历程。

一、赫尔巴特的统觉团理论

赫尔巴特(H er bart)是德国教育学家、哲学家、心理学家,他受到联想主义心理学的影响,率先提出了统觉和统觉团的概念。他认为,学习的过程表现为观念联想的过程,在这个观念联想的过程中逐步形成统觉团。虽然在赫尔巴特的理论中没有明确地提出认知结构的概念,但其统觉团的概念表达了认知结构的意义,统觉团的实质就是认知结构。认知结构(统觉团)的形成依靠观念联想,通过对观念联想的训练可以建立认知结构。那么如何建立认知结构呢?赫尔巴特提出了四阶段教学过程模式:明了,联想,系统,方法。通过这四个过程,学生就能够形成认知结构。

赫尔巴特有关统觉团的理论为后续研究者对认知结构的研究提供了思路,但遗憾的是,他并没有界定认知结构的概念,也没有形成有关认知结构的理论。

二、皮亚杰的图式理论

皮亚杰(Piaget)是瑞士心理学家,哲学家,是认知

结构理论的代表性人物之一。皮亚杰认为,儿童的智

慧(智力)是一种认知结构,儿童的思维、认识、智力的发展过程就是这种认知结构不断重新组织的过程。他指出,认知结构包括四个要素:图式、同化、顺应、平衡。这四个要素达到平衡,儿童的智力及认知结构就会得到发展。

皮亚杰通过对图式!的研究说明认知结构的发展,他认为图式是构成认知结构的基本单元。对图式的研究是了解认知结构和认知发展的首要途径。皮亚杰认为图式发生变化引起认知结构的变化,认知结构的变化引起认知和心理的发展与变化,这种量的积累和质的突变,形成若干个心理发展阶段,即:感知运算阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段。

皮亚杰虽然提出了认知结构!这一概念,并采用图式的概念对其进行描述和解释,但他并未对认知结构的概念进行明确的界定,尚需进一步进行深入研究。

三、布鲁纳的认知结构理论研究

布鲁纳(Bruner)是美国教育心理学家,当代认知心理学派和结构主义教育思想的代表人物之一。他认为,学习不在于被动地形成反应,而在主动地形成认知结构。他首次详细界定了认知结构的概念,认为认知结构是人关于现实世界的内在的编码系统(Cod ing syste m ),是一系列相互关联的,非具体性的类目,

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它是人用以感知外界的分类模式,是新信息借以加工的依据,也是人的推理活动的参照框架。布鲁纳认为构成认知结构的核心就是一套类别以及类别编码系统。这里所说的类别既包括有相似属性的对象和事物,也包括归类的依据(确定某事物属于该类别的规则)。布鲁纳认为学习就是类目化的过程,从具体的、特殊的、水平低的类目发展到一般的、概括的、水平高的类目。教学活动的目的应该是最大限度地促进学生主动形成完善的认知结构。

布鲁纳认为认知结构的发展必须要与学科结构相结合,因为学科结构是儿童认知结构的重要影响因素。不论我们选教什么学科,务必使学生理解该学科的结构。!布鲁纳提倡发现学习,即教师为学生提供一定的材料,创设问题情境,引导学生独立地发现解决问题的方法,从中发现事物之间的联系和规律,获得相应的知识,形成或改造认知结构。

知识的表征是认知结构理论研究的一个重要领域,知识是以其特有的编码方式和组织形式储存于个体的整个表征系统之中的。布鲁纳对知识表征的研究也是他对儿童认知发展阶段理论的体现。

四、奥苏伯尔的同化论与有意义学习理论

美国心理学家奥苏伯尔(Ausube l)非常重视对认知结构的研究。当我们慎重地考虑如何影响认知结构以便促进学习时,我们才真正进入教育过程的中心!。奥苏伯尔把认知结构定义为一个人的全部观念内容和组织特点,或一个人在某个知识领域的全部观念和组织特点。从内容上讲,认知结构主要指的是学生已有的知识;从组织特点上讲,主要是指知识概括程度的层次性。在这个层次结构中,最一般、最抽象、包容性广的概念和原理处于结构的顶端,在其下是抽象程度低、包容性较少、比较具体的知识,有人把这一结构特点称之为金字塔结构!。

在奥苏伯尔看来,学生的学习,如果要有价值的话,应该尽可能地有意义。而认知结构在意义学习中发挥了重要的作用。他认为,当学生把教学内容与自己认知结构联系起来时,意义学习便发生了。所以,影响课堂教学中意义接受学习的最重要的因素,是学生的认知结构。他认为认知结构包括学生现有知识的数量、清晰度和组织方式,它是由学生眼下能回想出的事实、概念、命题、理论等构成的。因此,要促进新知识的学习,首先要增强学生认知结构中与新知识有关的观念。奥苏伯尔认为认知结构即人们所讲的知识结构,包括人们所获得的知识内容本身和知识组织过程中的特征和特点,并指出认知结构的特征是可利用性、可辨别性和稳定清晰性。

奥苏伯尔认为有意义的学习是以同化方式实现的,学生的学习就是一个同化和发展自身认知结构的过程。他据此提出的同化论有两个基本概念同化和认知结构。所谓同化,是指在学习者头脑中已有的认知结构基础上,吸收新的知识,并纳入到已有的认知结构中来的过程。同化是新旧知识的相互作用,这种作用也称类化或归属作用。新旧知识相互作用过程中旧知识起到关键作用,是支撑点、固定点的作用,经过反复多次的相互作用才能获得新知识。同化的结果使原有的认知结构更加丰富、更加分化。

五、建构主义视野下的认知结构研究

建构主义学派认为,认知结构是主体凭借外部活动逐步建构起来并不断完善的知识组织体,是知识形成的心理结构,也是知识发展过程中新知识形成的机制。它反映了主体能动地反映客体的一种符号能力,是主体认识并改造客体的规则。没有认知结构不断的建构,就没有知识的发展,也就没有任何智能活动。因此,发展学生的认知结构是教育的重要课题。

建构主义发展了皮亚杰的理论,认为同化和顺应是双重建构的过程,即认知结构的形成不是一次的同化和顺应就能实现的,而是不断的反复、多向的进行才能实现的,需要不断的调整和完善。同时,建构主义也强调个体在认知结构的建构中发挥了重要的主观能动性。

六、认知结构理论的发展探索

认知结构研究从概念形成至今,虽然不同心理学家对其概念界定和内涵分析有所差异,但认知结构对知识学习和心理发展的重要作用却无不认同,关于认知结构的理论和实证研究也一直为广大研究者所关注和重视。同时,在求同存异的基础上,各方也达成了一些共识,现代心理学研究者普遍认为,认知结构是外界信息和主观能动形成的个体知识经验结构,知识学习与认知结构的形成是一个相互作用的关系,而个体的人格特征、认知策略、情感意志等也对认知结构的发展产生重要的影响。随着认知神经科学的发展,神经生理机制取向也为认知结构理论的研究提供了一种新的范式,这也必将促进认知结构理论的不断发展和完善。

[参考文献]

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3.刘霞,刘立新.对建构主义观念下数学认知结构的一些认识[J].陕西教育学院学报,1997,(3):26-28

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城市的空间结构

第一节城市的空间结构一、教学目标： 1、了解城市规模与城市地域分化、服务功能的关系。 2、掌握城市空间结构的概念，主要功能区类型及其区位特点，城市空间结构的形成原因。 3、应用运用实例分析城市的空间结构，解释其形成原因。 4、学会通过各种途径收集资料信息 5、逐步培养分析整理资料，归纳推导出结论，并用口头或书面加以表达的能力 6、运用资料并联系城市空间结构的理论，说明不同规模城市服务功能的差异 7、形成具体问题具体分析的观点二、教学重点：城市各功能区的空间分布规律和特点，影响城市功能分区的因素，不同城市服务功能的差异三、教学难点：城市空间结构的含义，城市各功能区的空间分布规律和特点，城市空间结构的形成原因四、教学方法：资料分析法五、教学过程： 1、情景导入： CBD 右图是纽约曼哈顿区的景观图。中心商务区(CBD)是城市发展到一定规模和城市经济发展到一定水平后，企业的商务活动和生产活动在空间上逐渐分离，企业的商务活动从工业生产区分化出来，向城市中心地段集聚和迁移而形成的城市功能区。在景观特征上，高楼林立是城市CBD的标识。尝试探究：你能说出中心商务区建筑高大稠密的原因吗提示：中心商务区一般位于城市核心区，地价昂贵，可以用“寸土寸金”来形容。昂贵的地价，加上极为紧张的土地供应，使得建筑物被迫向高处发展，越盖越高，越盖越密。一、城市的空间结构 1．概念构成城市的各要素在空间上的及其。 2．主要功能区及特点 (1)中心商务区 ? ? ? ? ?区位：城市的部位特点 ?? ? ??交通，通信发达早晚人口流动量较，人口差异大

(2)商业区 ???????组成：和各种商场（或超级商场）特点：交通便捷，人流量大，高，土地利用区位：多分布于或交通干道旁，大城市往往有多个商业区，中小城市的商业区多在城市内 (3)住宅区 ? ?? ??? ???地位：城市中最的用地方式类型?????企业或单位职工住宅区，多与企业或单位分布区或市政的住宅区分化：由于原因，呈现与的分化 (4)工业区 ? ????区位??? ??城市边缘靠近河流、铁路、公路等的地带特点：不同程度地存在噪声、空气、固体废弃物和水污染 (5)其他功能区：行政中心区、、混合功能区、郊区。 2．城市规模与服务功能 (1)城市规模 ?????????表达方法?????????? 规模决↓定规模常用规模表示划分（中国）?????依据：人口数量四个等级：城市、大城市、城市、小城市 (2)城市规模与服务功能的关系：一般来讲，城市规模越大，内部功能分化越，服务功能越；但不等于两者成。 3．城市空间结构的形成原因 (1)历史原因：早期的功能分区，发展成现代城市的某种功能区。 (2)经济原因：由城市中心向外，土地价格逐渐，依次形成、、。 (3)社会原因：包括、生活方式、。

函数概念的产生及其历史演变

《函数》整体学习指导解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概念丄、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。基本初等函数（指数、对数、幕函数） / 解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解）函数的应用（数学发展的两条主线都涉及了）社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题）第一节：函数概念的起源及其历史演变我们要参观的景点：（The seenery we ' II visit ） 1.函数的概念是什么？（What？） 2.为什么要建立函数的概念？（Why ?） 3.函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程? （How？）

景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的? 函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。案例1:圆的面积S与圆半径r的关系；案例2:锐角:与锐角1互余，:与1的关系；案例3:气体的质量一定时，它的体积V与它的密度之间的关系；【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？【早期函数概念】十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。 1718年约翰?贝努利对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量（是历史上第一个正式发表的明确的函数定义），贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“ x的函数”。欧拉在《无穷分析引论》（1748）中给出的函数定义是："一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。” 【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考：函数就是解析式

认知结构学习理论

布鲁纳认知结构学习理论知觉与归类理论布鲁纳认为，学习包括三个几乎同时发生的过程：⑴习得新信息。⑵转换，把知识整理成另一种形式，以便超越所给予的信息。⑶评价。布鲁纳认为，学生不是被动的知识接受者，而积极的信息加工者。一、知觉理论布鲁纳认为知觉过程涉及四个相继的步骤： ⑴初步归类； ⑵搜寻线索；寻找可以用来辨别该事件的那些属性，以便把它较为精确地归入某一类别。 ⑶证实检索；搜寻那些可以用来证实该事件的线索，以检索原来的归类是否确切。 ⑷结束证实；它是以终止搜寻线索为标志的。由此可见，知觉过程是以对刺激输入开放、选择、关闭为特征的。二、归类理论布鲁纳认知结构学习理论的基本观点是：为了促进学生最佳地学习，提供信息是必要的；但是，掌握这些信息本身并不是学习的目的，学习应该超越所给的信息。概念获得的理论布鲁纳认为，人们是通过把刺激输入置于某一类别来加工它们的。一个类别，实际上也就是一个概念。因此，概念是思维过程的核心。在布鲁纳看来，帮助学生有效地习得概念是学校教育的基本目的之一。

他最早系统地提出了概念假设－检验理论。一、概念的类型 1.合取概念（conjunctive concept）合取概念是一种根据同时呈现两个或两个以上的属性来下定义的概念。 2.析取概念（disjunctive concept）析取概念是一种根据同时呈现两种或两种以上的属性，或只呈现一种相关属性来下定义的概念。 3.关系概念（relational concept）关系概念是根据各种属性之间特定的关系来下定义的概念。二、概念获得的策略只讨论获得合取概念的策略，而且只局限于选择策略。布鲁纳发现，学生在形成合取概念时，一般采取以下四种策略： 1.同时扫视； 2.相继扫视； 3.守恒聚焦； 4.聚焦投机。布鲁纳的概念假设－检验理论被公认为是对认知心理学的一个重大贡献，他用实验的方式考察了思维的一个重要方面——概念获得的过程，因而被皮亚杰誉为是“思维心理学中的一场革命”。布鲁纳提倡使用发现学习的方法一、发现学习特征 1.强调学习过程在教学过程中，学生是一个积极的探究者。教师的作用是要形成一种学生能够独立探究的情境，而不是提供现成的知识。学习的主要目的

布鲁纳认知结构学习理论

第七章布鲁纳认知结构学习理论一、布鲁纳的生平及著作杰洛姆．布鲁纳（Jerome Seymour Bruner, 1915-）美国心理学家、教育家。 1960年出版的《教育的历程》（The Process of Education，五南出版）一书，将皮亚杰（Jean Piaget）认知结构的发展阶段理论引介到教室教学实境。 1962年出版有关认知发展和教育方法的名著：《论认知》（On Knowing, 1962）、《教学论》（Towards a Theory of Instruction，五南出版）等等。 1980年代末期，开始倡导结构发展论之外另一种以文化论（culturalism）为基底的心理学，发表了几本代表作：《实作的心灵，可能的世界》（Actual Minds, Possible Worlds, 1986）、《意义的行动》（Acts of Meaning, 1990）以及本书（1996）。二、布鲁纳的认知心理学思想布鲁纳认为，人的认识过程是把新学得的信息和以前学习所形成的心理框架(或现实的模式)联系起来，积极地构成他的知识的过程。一个人对世界的认识是以他构想的现实模式为基础的。这样的模式首先是从个人的文化中汲取的，又适应于个人的各种不同的用法。布鲁纳说："我们对世界的知识，并不仅仅是一种对'那里'的秩序和结构的反映或反射，而是包括能够在事前编造成一种可以预言世界将是怎样的、或者可能是怎样的构成物或模式"。这种模式布鲁纳称之为"世界模式"(models of the world)。实质上，这个世界模式就是个人所期望的事物。这个模式能使人预言、内推和外推更多的知识。对于布鲁纳来说．内推就是通过新知识的应用而改变某种见解；外推就是超过他所获得的知识。因此，一个人关于世界的学习，在某种程度上就是把目前所经历的事物和已学到的模式进行比较，并从这种模式中学到许多东西，从而使他能够预言下次会出现什么。在布鲁纳看来，一个人对某个事物的知觉，实质上是一种构成过程。在这个过程里面，个人把他的感觉资料和他的世界模式联系起来，推论出一个关于外部事物的假设。然后．用这个事物的另外一些特性来检验他的假设。所以，一个知觉者不应被看成是一个被动反应的有机体，而应更确切地被看作是一个积极地选

函数概念的历史发展(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】函数概念的历史发展函数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想方法。早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。函数（function ）一词，始用于1692年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。而f(x)则由欧拉（Euler ）于1724年首次使用。我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。函数在初高等数学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的作用。函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函数概念的雏形。最初，函数是表示代数上的幂（23,,,x x x …），1673 年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。一、解析的函数概念在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式． 1698年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量x 和常量用任何方式构成的量都可以称为x 的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子． 1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方

函数概念发展的历史过程

实习报告 2011年10月5日题目函数概念发展的历史过程作者组长：张婕组员：王笑晗，李良芳，薛兰瑞宁,严娟娟摘要函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，也是数学的核心,纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。本文通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的几个方面进行一些探索,分为这几个方面: 1 早期函数概念——几何观念下的函数 2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数 3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 4现代函数概念——集合论下的函数正文第一方面:早期函数概念——几何观念下的函数在欧洲，函数这一名词，是微积分的奠基人莱布尼兹首先采用的，他在年发1692表的数学论文中，就应用了函数这一概念，不过莱布尼兹仅用函数一词表示幂。后来,在十七世纪,伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。第二方面:十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1718年瑞士数学家约翰·贝努利使用变量概念在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义给出了不同于几何形式的函数定义：函数就是变量和常量以任何方式组成的量，并首先采用符号作为函数的记号。也就是把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。数学家欧拉在其著作《无穷小分析论》中，把凡是给出解析式表示的变量统称为函数。1734年，欧拉首先创造十分形象且沿用至今的符号作为函数的记号，欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍,形象,但关于函数的定义，欧拉并没有真正揭示出函数概念的实质。第三方面: 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1822年傅里叶发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从

第一章、生活空间的基本概念及发展

第一章生活空间的基本概念及发展生活空间和人们的生活联系紧密，是人们基本生活要素之一。随社会经济的发展，生活空间由最原始的天然岩洞演变到现在种类繁多的住宅样式。无论生活空间的形式将怎样的变化和发展，它的基本内涵是不变的：它是人类的住所。第一节生活空间的基本概念一、生活空间的定义： 1、定义：生活空间是一种以家庭为对象的居住活动为中心的建筑环境。 (1)、狭义地说，它是家庭生活方式的体现。案例A：农村生活下的生活空间： a、生产方式：农业，养殖业 b、生活空间特点：农村用地状况决定其相对宽敞，自给自足的生产方式决定其周边环境可以相对封闭。案例B：游牧生活下的生活空间： a、生产方式：畜牧业 b、生活空间特点：畜牧业生产决定其应具有活动性以便于追随牧草, 活动性决定其应结构简单，拆装方便，材料轻便。案例C：城市生活下的生活空间： a、生产方式：工业或商业 b、生活空间特点：城市用地状况决定其相对密集，生产方式要求其交通发达并信息畅通。 (2)、广义地说，它是社会文明的表现。案例A：封建社会时期的生活空间： a、封闭：独门独院，→封建意识形态的体现 b、等级分明：正房与厢房，→封建伦理道德思想的体现案例B：生活空间的层级关系：家庭（单个生活空间）→小区（生活空间的集合）→社区（小区的组团）→城市（社区的串联）

二、人们对生活空间的认识： 1、中国古代人们认为： “君子之营宫室，宗庙为先，廊库次之，居室为后”。说明中国古代对生活空间以宗法为重心，以农耕为根本的社会居住法则，兼顾精神与物质要素。 2、西方古罗马帝国建筑家波里奥认为： “所有生活皆需具备实用、坚固、愉快三个要素。” 两千年前就已在实质上把握了功能、结构和精神价值。 3、现代建筑设计家赖特认为： “功能决定形式”，生活空间的实质存在于内部空间，它的外观形式也应由内部空间来决定。生活空间的结构方法是表现美的基础。生活空间建地的地形特色是生活本身特色的起点。生活空间的实用目标与设计形式的统一，方能导致和谐。 4、勒?柯布西耶则认为： “居室是居住的机器，”生活空间设计需像机器设计一样精密正确。生活空间设计不仅需考虑生活上的直接实际需要，且需从更广泛的角度去研究和解决人的各种需求，生活空间的美植根在人类的需要之中。第二节生活空间的发展历程室内设计是人类创造并美化自己生存环境的活动之一。确切地讲，应称之为室内环境设计。生活空间室内设计的发展大致可以分为早期、中期和当前三个阶段。一、早期阶段（原始社会至奴隶社会中期）早期阶段人类赖以遮风蔽雨的居住空间大都是天然山洞、坑穴或者是借自然林木搭起来的“窝棚”。这些天然形成的内部空间毕竟太不舒适，人们总是想把环境改造一番，以利于生存。人类早期作品与后来的某些矫揉造作的设计相比，其单纯、朴实的艺术形象反倒有一种魅力，并不时激发起我们创作的灵感。该时期特点如下：生产技术落后→解决技术能力有限→技术相对简陋↘↗穴居窑洞及山洞生产能力不足→物质财富有限→满足基本功能要求→形式→巢居干栏

对数函数的产生和发展历程

对数函数的产生和发展历程一、对数函数的产生： 16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的天文数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：Nap．㏒x=10㏑(107/x)由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=...为底）。对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。二、对数函数的发展过程：最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的.当时在lg2=中,2叫「真数」,叫做「假数」,真数与假数对列成表,故称对数表.后来改用「假数」为「对数」.我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法,著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等.1854年,英国的数学家艾约瑟（1825-1905）看到这些著作后,大为叹服.当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念.但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念.布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议.1742年,J．威廉（1675-1749）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数.而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数,和现在教科书中的提法一致.

布鲁纳学习理论的基本观点[1]

布鲁纳学习理论的基本观点 1、学习的实质在于主动的形成认知结构现代认知心理学对学习的基本看法就是：学习是认知结构的组织与重新组织。（1）关于认知结构：认知结构的一般概念：认知结构是人的认知活动赖以形成的心理结构。认知结构是递进的、多层次的，由低级向高级水平发展。布鲁纳对认知结构的观点：布鲁纳认为认知结构是人对外界物质世界进行感知和概括的一般方式，是在过去经验的基础上形成的，并在学习过程中不断变动。认知结构形成后是进一步学习和理解新知识的重要内部因素和基础。表征的三种类型：布鲁纳把认知结构称为“表征”。动作型表征：婴幼儿时期（1、2岁），主要是依靠动作去对付世界；映像性表征：三岁后至七岁儿童，开始在头脑中利用视觉和听觉的表象或映像代表外界事物并尝试借助映像解决问题。符号性表征：大约从六、七岁开始；个体能运用语言、数字符号代表经验，同时应用这些符号来学习和获得经验；随着个体发展到一定阶段，个体认知结构中三种表征同时存在，相互补充，共同完成认知活动。（2）关于主动性布鲁纳非常重视人的学习的主动性，认为人的学习是主动学习。具体表现在：a、重视已有经验在学习中的作用，认为学习者总是在已有经验的基础上，对输入的新信息进行组织和重新组织。 b、重视学生学习的内在动机与发展学生的思维 2、对学习过程的观点（1）布鲁纳认为“学习一门学科，看来包含着三个差不多同时发生的过程；即新知识的获得，知识的转化，评价。” a、新知识的获得：新知识的获得是与已有知识经验、认知结构发生联系的过程，是主动认知理解的过程，通过“同化”或“顺应”使新知识纳入已有的知识结构。同化，比如婴儿吃奶和喝果汁，就是同化，原有的方式不需要改变。性质不变，量的变化。顺应，给婴儿吃蛋黄，原有的进食方式不能适应了，要有新的方式出现。性质上改变。 b、知识的转化：是对新知识进一步分析和概括，使之转化为另一种形式，以适应新的任务；知识转化为技能，做练习、实践。解决实际能力。 c、评价：是对知识转化的一种检验，需对知识的分析、概括是否恰当，运算是否正确等。 3、学习应注意各门学科的基本结构布鲁纳说：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解（掌握）该学科的基本结构”。所谓基本结构包括该学科的基本知识结构和学习态度、方法（授人以鱼，不如授人以渔。学会学习。学法指导。）两方面。所谓结构就是指事物之间的相互联系或规律性，具有“普遍而强有力的适用性”。 4、提出发现学习发现学习：是指给学生提供有关的学习材料，让学生通过探索、操作和思考，自行发现知识，理解概念和原理的教学方法。不能把学生当作知识的容器，也不能看成活动的书橱，而要培养成为自主的思想家。

函数概念的发展

初中数学新课程标准解读一、函数概念的发展从古希腊到十七世纪末这样一个漫长的时期内，并不存在一般函数的定义，就是到了牛顿、莱布尼兹的微积分问世时，函数的一般定义仍没诞生，原因在于：数学家们一直同具体的函数打交道，对具体函数求导、积极分、讨论各种各样的问题，并没有感到定义一般函数概念的需要和动机。 "function"这个词来自于莱布尼兹，他首先用"function"表示"幂"，后来他又用它表示曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的几何量，莱布尼兹的两次定义，正反映出函数的几何的和代数的特性。 1718年，莱布尼兹的学生约翰·贝努利继承了代数的思想，把"function"的含义固定在"解析表达式上"，他说："所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式"。而欧拉则继承了几何的思想，认为"function"思想指任意画出的曲线，并把这种函数叫"随意函数"。这时出现了争论，欧拉认为函数是指任意的曲线，即任意曲线都是函数。而达朗贝尔则认为不是这样，他从解析式出发认为，只有可以用单一解析式表达的曲线才是函数，而且认为能用单一解析式表达的曲线只有连续且光滑的曲线。因而，只有连续曲线才是函数。可以看出，两位数学家争论的焦点在于曲线与解析式之间的

关系，欧拉认为他的定义更广泛，因为任意描画的曲线比任意解析式具有更广的意义，解析表达式可以描为某曲线，而任意曲线不一定有相应的解析式。达朗贝尔则认为只有连续曲线才能用唯一的解析式表达，才是函数，至于任何唯一解析式的所代表的曲线是否连续，他则没有考虑。然而，付里叶的研究使数学界大吃一惊，付里叶的结论是："由不连续曲线给出的函数，可以用一个三角函数式表示，"并举例指出下图那样的不连续曲线虽然用这单一的式子表示出来。付里叶的研究表明：在解析式与曲线之间并没有不可逾越的鸿沟，通过级数可以把它们相互勾通。那种视函数为解析式的观点终于得以澄清。历史的缩影可以在学生的学习中找到，中学生把函数与解析式等同是及其普遍的。既然函数不再要求用唯一的解析式来表示，所以，无论y是用一个式子还是用多个式子表示都无关紧要，只要对于x的每一个值，y有完全确定的值与之对应，则y就是x的函数，柯西便给出了函数如下定义：对于x每个值，如果y有完全确定的值与之对应，则y叫做x的函数。由于认识到了解析式对于x与y的关系并无多大意义，所以黎曼和狄里克需更进一步，他们完全抛弃解析式的限制，定义了我们所常说的结论的函数定义：对于x的每个值，如果y有完全确定的值与之对应，不论x、y所建立的对应方式如何，y都叫做x的函数。

城市空间结构

城市的空间结构（一）学习目标：1、理解城市空间结构的概念 2、识记并理解城市的主要功能区类型及其区位特点 3、理解并掌握城市空间结构的形成原因重、难点分析 1.学习重点：城市各功能区的空间分布规律和特点 2.学习难点：城市空间结构的含义、城市各功能区的分布规律以及形成原因第一部分自主学习（预习课本，思考问题）一、城市的空间结构城市空间结构指构成城市的___________在上的________及其__________。主要功能区：填出下图空白处相对应的内容，了解各功能分区的特点。结合教材P 25—26

城市主要功能区比较表二、城市空间结构的形成原因（1）历史原因:城市形成初期，一些早期的功能分区，自然发展成现代城市的某种功能区。（2）经济原因：（主要因素）城市中心地区土地，形成区城市外围土地价格逐渐，向外依次形成区和区。（3）社会原因：包括、生活方式和宗教信仰等。收入是形成不同级别住宅区的常见原因；知名度对于住宅区的选择有很大影响；种族因素对住宅区的分化的影响也很大。（4）行政原因：政府通过和，合理引导或明确划定不同功能区。第二部分合作探究（结合课本知识，探寻下列问题的解决方法） 1、毎个城市都具备各种功能区吗各功能区之间有明确的界限吗读图，完成下列问题：（1）各类土地利用付租能力随距市中心远近

的变化有何异同（2）如果由各类用地的付租能力来决定土地的用途，那么图中OA最有可能成为哪一类功能区AB和BC呢 ★★★8.读图，分析回答下列问题。（1）该城市中心商务区位于A、B、C三处中的处，理由是什么（2）工业区位于A、B、C三处中的处，理由是（3）高级住宅区位于A、B、C三处中的处，理由是

函数概念的产生及其历史演变

《函数》整体学习指导函数的概念和基本性质（单调性、奇偶性）解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概念）、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。基本初等函数（指数、对数、幂函数）解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解）（数学发展的两条主线都涉及了）社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题）第一节：函数概念的起源及其历史演变我们要参观的景点：（The scenery we’ll visit） 1. 函数的概念是什么？（What？） 2. 为什么要建立函数的概念？（Why ?） 3. 函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？（How？）景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的？

函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。案例1：圆的面积S与圆半径r的关系；案例2：锐角α与锐角β互余，α与β的关系；案例3：气体的质量一定时，它的体积V与它的密度ρ之间的关系；【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？【早期函数概念】十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。 1718年约翰·贝努利对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量（是历史上第一个正式发表的明确的函数定义），贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”。欧拉在《无穷分析引论》（1748）中给出的函数定义是：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。” 【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考：函数就是解析式

函数的起源与发展

函数的起源与发展今天的数学大厦已有数千年历史，这是世界数代数学家不断建设完善的结果，伴随着数学思想的发展，函数概念由模糊逐渐严密，对于数学和科学来说，函数是一个最重要，最有意义的数学概念，是人类心智发展的重要标志。 ——引言众所周知，函数概念是在集合论的基础上产生的。设A，B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素?和它对应，那么就称??为从集合A到集合B的一个函数，记作??或?。

仍然是未知的。（定义?5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是?x值，另一栏是与它相对应的?y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。十九世纪法国数学家柯西（?Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。直到1930年，现代的函数概念才“出炉”，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数。函数的应用领域是非常广泛的，几乎每个领域都有它的身影。下面来看一道千古谜题。题目要求相当简单：只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。（尺规作图）要作正十七边形，还只能用尺规，谈何容易。然而一个数学天才只用一个晚上就解决了，他的名字就是高斯。作图方法：步骤一：?? ?给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，????作C点使OC＝1/4OB，????作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，?? ?作AO延长线上E点使得∠DCE＝ ???步骤二：?? ?作AE中点M，并以M F 点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 ?步骤三：?? ??过G4作OA垂直线交圆O于P4 有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1?? 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a, 令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a?? y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a???? 有:x+y=-1/2?? 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)???? =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)???? 经计算知xy=-1又有?? x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4?? 其次再设 x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a??? ?y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a???? 故有x1+x2=(-1+根号17)/4????y1+y2=(-1-根号17)/4?? 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2??

第六章_认知学习理论

第六章认知学习理论一、填空题 1、布鲁纳认为学习的实质是主动的形成（认知结构）。 2、布鲁纳认为学习包括三个几乎同时发生的过程（新知识的获得）、（知识的转化）和（评价）。 3、布鲁纳认为教学的目的在于理解学科的（基本结构）。 4、布鲁纳认为学科基本结构的教学原则有（动机原则）、（结构原则）、（程序原则）和（强化原则）。 5、奥苏贝尔把有意义学习分成了三类：（表征学习）、（概念学习）和（命题学习）。 6、奥苏贝尔提出了知识学习的三种同化模式（下位学习）、（上位学习）和（组合学习）。 7、奥苏贝尔认为发现学习涉及的三种学习类型是（运用）、（解决问题）和（创造）。 8、奥苏贝尔认为，影响接受学习的关键因素是认知结构中适当的起固定作用的观念的可利用性，为此，他提出了“（先行组织者）”的教学策略。 9、布鲁纳的认知——结构学习理论认为学习的实质是（认知结构）。 10完形——顿悟学说认为，学习是通过（顿悟）过程实现的，学习的实质是在主体内部构造（完形）。 11、奥苏贝尔认为学生的学习主要是（有意义）的接受学习。 12、布鲁纳认为学习的本质不是被动地形成刺激——反应的联结，而是主动地形成（认知结构）。 13、信息加工学习理论认为学生的学习是一个信息加工的过程。信息是经（编码）形式储存在长时记忆中。 14、对人类学习的解释有两大理论，即（联结学习理论）和（认知学习理论）。二、选择题 1、教师要求学生发现三角形内角之和是多少，经过教师指导学生通过测量求得了结果。按照奥苏贝尔的观点，这属于 A 。 A. 运用 B. 问题解决 C. 创造 D. 概念学习 2、如果学生已知“三角形面积＝1／2(底×高)”这一公式，要学生求出他们从未见过的其它类型的三角形面积，按照奥苏贝尔的观点，这属于 A 。 A. 运用 B. 问题解决 C. 创造 D. 概念学习 3、在学习分数后学习百分数，这种学习最宜用 B 模式进行教学。 A. 上位学习 B. 下位学习 C. 组合学习 D. 发现学习 4、在学习重力场知识后学习电力场知识，用重力场知识同化电力场知识。这种学习属于 C 。 A. 上位学习 B. 下位学习 C. 组合学习 D. 派生学习 5、奥苏贝尔认为学生的学习主要是（ C ）。 A、机械学习和有意义学习 B、有意义的发展学习 C、有意义的接受学习 D、接受学习和发展学习 6、学完长方形的周长公式后，再学习正方形的周长公式，这种学习属于（ B ）。 A、上位学习 B、下位学习 C、并列学习 D、组合学习

函数概念的历史发展

函数概念的历史发展众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。 1 函数概念的产生阶段—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。托里拆利就曾对曲线()0≥ y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲 =x ae 线，并注意到了这一函数的周期性。麦尔先纳研究了旋轮线等等，总的来讲，当时关于对数曲线和指数曲线的研究比较普遍。在解析几何产生前后，人们除了已认识的代数曲线外，还确定了相当多的超越曲线。笛卡儿在其著作中提到了几何曲线与机械曲线的区别并由此引出代数曲线(函数)和超越曲线(函数)的区别。

函数概念的发展历程

函数概念的发展历程 17世纪，科学家们致力于运动的研究，如计算天体的位置，远距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等.诸如此类的问题，都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律做出判断，如根据炮弹的发射角和初速度推测它能达到的高度和射程.这正是函数概念产生和发展的背景. “function”一词最初由德国数学家莱布尼茨在1692年使用.在中国，清代数学家李善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将“function”译作“函数”. 莱布尼茨用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等，1718年，他的学生，瑞士数学家约翰伯努利强调函数要用公式表示.后来，数学家认为这不是判断函数的标准，只是一些变量变化，另一些变量随着变化就可以了.所以，1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”. 随着对微积分研究的深入，18世纪末19世纪初，

人们对函数的认识向前推进了.德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于X的每一个值，Y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是X的函数，这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个X有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格的形式表示.例如，狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；自变量取无理数时函数值为0.它只能用对应的语言予以表达.19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述.

函数概念的形成与发展

函数概念的发展简史 1、函数概念的萌芽时期（自然函数、代数函数时期）[1] 函数思想是随着数学开始研究事物的运动变化而出现的。而事实上，早期的数学是不研究事物的运动变化的。古希腊科学家亚里士多德曾经认为，数学研究的是抽象的概念，而抽象的概念来自事物静止不动的属性。例如，数学中的数、线、形等数学对象都不包括运动，运动变化是物理学研究的对象等等。受其影响，直至14世纪，数学家们才逐渐开始研究物体的运动问题。到了16世纪，由于实践的需要，自然科学开始转向对运动的研究，自然中各种变化和各种变化着的物理量之间的关系也就成为数学家关注的对象。伽利略就是最早开展这方面研究的科学家之一，在他的著作里多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系。例如，从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，这正是函数概念所表达的思想意义。 16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时，发现了量的变化及量与量之间的依赖关系，并在数学中引进了变量思想，在他的《几何学》中指出：所谓变量是指：“不知的和未定的量”，成为数学发展的里程碑，也为函数概念的产生奠定了思想基础。直到17世纪下半期，牛顿—莱布尼兹的微积分问世时，数学上还没有明确的函数概念。把“函数”（function）一词最早用作数学术语的是莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂，如都叫函数。后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等。从这个定义看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。可以说出现了函数概念的一点端倪，但函数的一般定义仍没有诞生。原因在于：数学家们一直在同具体的函数打交道，对具体函数或求导，或积分，讨论各种各样的具体问题，并没有感到有定义一般函数概念的需要。\ 2、函数概念的初步形成（解析函数时期）[2] 18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展。瑞士著名数学家约翰·贝努利在研究积分计算问题时，提出：积分工作的目的是在给定变量的微分中，找出变量本身之间的关系。而在对待“找出变量本身之间的关系”的表示上，显然用莱布尼兹定义的函数表示是很困难的。于是，在1718年约翰·贝努利从解析的角度，把函数定义为：“变量的函数就是由某个变量及任意一个常数结合而成的量。”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数。贝努利所强调的函数要用公式来表示。后来，数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，则不作为判别函数的标准18世纪，瑞士数学家欧拉在他的《无穷小分析引论》中进一步推广了他老师约翰·贝努利的定义：“一个变量的函数是由变量和一些数或常量以任何一种方式构造的解析式”。并且早在1734年欧拉就已经用表示的函数，这个函数符号至今仍在沿用。1755年，欧拉又在他的《微积分原理》的序言中把函数定义为：“如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的这个定义中，已经不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系上的曲线也叫函数。他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”欧拉用“解析表达式”代替了约翰的“任意形式”，明确地表达了变量之间相互依赖的变化关系，这促进我们对函数概念的认识在严密性上前进了一大步。但是，当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱着怀疑的态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。。 3、函数概念的确立（变量函数）[3] 在对前人函数概念的认识与发展的基础上，1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可以随着确定时，则将最初的变数叫做自变量，其它各变数叫做函数”。在柯西的函数定义中，首先引入了“自变量”一词。按照这个定义，只要有自变量的一个值可以确定的相应值，则就是的函数。显然，这个函数定义比以往的要广泛的多。 1834年，德国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数定义：“x的函数是这样一个数，它对于每一个x都有确定的值并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提