等分法(图形的面积)
等分法姓名
知识与方法:通过在课本中面积的学习,我们已经知道了,连接三角形的一个顶点和对边的中点,可以把一个三角形分成两个面积相等的三角形,即等底等高的三角形面积相等。今天我们主要学习等分法在面积中的实际应用。
例题1、求下列各图形中阴影部分的面积(单位:平方厘米)
(1)在△ABC中,CD=2BD (2)在△ABC中,AE=BE,BC=4BD (3)AD=BD,CE=2BE,CF=3AF △ABC的面积是12 △ABC的面积是18 △ABC的面积是48
【模仿练习】:(1)AD=2BD,BE =2 CE,△BDE的面积是4,求△ABC的面积(单位:平方厘米)
(2)AD=BD,BE=CE,AF=2CF,△DEF的面积是3,求△ABC的面积(单位:平方厘米)
例题2、求下列各图形中阴影部分的面积(单位:平方厘米)
(1)长方形的面积是10,AE=BE,CF=3BF (2)E是长方形BC边上任意一点,
已知长方形的面积是16
【模仿练习】:求下列各图形中阴影部分的面积(单位:平方厘米)
(1)平行四边形的面积是18,AE=2BE ,BF=CF (2)长方形的面积是16
例题3、梯形ABCD的对角线相交于O,BC=3AD,三角形的面积是9平方厘米,求梯形的面积。
【模仿练习】:在下列的梯形中,所标注部分为三角形的面积,求梯形的面积(单位:平方厘米)
例题4、△ABC的面积是12,将AB边延长3倍到D,将BC边延长2倍到E,将CA边延长1倍到F,求△DEF的面积。(单位:平方厘米)
【模仿练习】:三角形ABC的面积是2平方厘米,将三边各延长1倍,求三角形DEF的面积。
【模仿练习】:BD=2CD,AE=DE,将BE延长与AC交于点F,已知三角形ABC的面积是15平方厘米,求阴影部分的面积。
【模仿练习】 A 级
1、在下面用等分点分得的图形中,阴影部分的面积分别占整个图形面积的几分之几?
()()()()()
2、三角形ABC的面积是18平方厘米,AE=BE,CD=2BD,求阴影部分的面积。
3、三角形ABC的面积是40平方厘米,BD =2
5
BC,CE=2 AE,求阴影部分的面积。
4、BD=2CD,AE=CE,已知三角形ABC的面积是24平方厘米,求阴影部分的面积。
5、三角形ABC的面积是30平方厘米,AD = BD,AE=CE,CF=2BF,求三角形DEF的面积。
B 级
1、如下图,D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点,已知三角形ABC的面积是27平方厘米,求三角形DEF的面积。
2、AD=1.5BD,四边形BCDE的面积是三角形ADE面积的2倍。已知AC长18厘米,AE长是多少厘米?
3、三角形ABC的面积是3平方厘米,将各条边延长1倍形成一个新的三角形,求三角形DEF的面积。
C 级
1、四边形ABCD的面积是15平方厘米,将这个四边形的每条边都延长2倍,连成一个大的四边形EFGH,求四边形EFGH的面积是多少?
2、如右图,ABCD是平行四边形,面积是72平方厘米,E、F分别为AB、BC的中点,则图中阴影部分的面积是多少?(2009年嘉祥择校题)
初二数学面积法几何专题
初二数学---面积法解题 【本讲教育信息】 【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】 1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。 2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。 【重点、难点】: 重点:证明面积问题的理论依据和方法技巧。 难点:灵活运用所学知识证明面积问题。 【教学过程】 (一)证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底(等底)的两个三角形面积的比等于高的比。 同高(或等高)的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 (二)证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法:通常把一个复杂的图形,分解成几个三角形。 2. 作平行线法:通过平行线找出同高(或等高)的三角形。 3. 利用有关性质法:比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 【典型例题】 (一)怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF,各与对边或延长线交于D、E、F,求证:△DEF的面积=2△ABC的面积。 分析:从图形上观察,△DEF可分为三部分,其中①是△ADE,它与△ADB同底等
③三是△AEF,只要再证出它与△ABC的面积相等即可 由S△CFE=S△CFB 故可得出S△AEF=S△ABC 证明:∵AD//BE//CF ∴△ADB和△ADE同底等高 ∴S△ADB=S△ADE 同理可证:S△ADC=S△ADF ∴S△ABC=S△ADE+S△ADF 又∵S△CEF=S△CBF ∴S△ABC=S△AEF ∴S△AEF+S△ADE+S△ADF=2S△ABC ∴S△DEF=2S△ABC 2. 作平行线法 例2. 已知:在梯形ABCD中,DC//AB,M为腰BC上的中点 分析:由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN,则MN为其中位线,再利用平行线间的距离相等,设梯形的高为h 证明:过M作MN//AB ∵M为腰BC的中点 ∴MN是梯形的中位线 设梯形的高为h (二)用面积法解几何问题 有些几何问题,往往可以用面积法来解决,用面积法解几何问题常用到下列性质:性质1:等底等高的三角形面积相等 性质2:同底等高的三角形面积相等 性质3:三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半 性质4:等高的两个三角形的面积比等于底之比
等分法(图形的面积)
等分法 知识与方法:通过在课本中面积的学习,我们已经知道了,连接三角形的一个顶点和对边的中点,可以把一个三角形分成两个面积相等的三角形,即等底等高的三角形面积相等。今天我们主要学习等分法在面积中的实际应用。 例题1、求下列各图形中阴影部分的面积(单位:平方厘米) (1)在△ABC中,CD=2BD (2)在△ABC中,AE=BE,BC=4BD (3)AD=BD,CE=2BE,CF=3AF △ABC的面积是12 △ABC的面积是18 △ABC的面积是48 【模仿练习】:(1)AD=2BD,BE =2 CE,△BDE的面积是4,求△ABC的面积(单位:平方厘米) (2)AD=BD,BE=CE,AF=2CF,△DEF的面积是3,求△ABC的面积(单位:平方厘米) 例题2、求下列各图形中阴影部分的面积(单位:平方厘米) (1)长方形的面积是10,AE=BE,CF=3BF (2)E是长方形BC边上任意一点, 已知长方形的面积是16
【模仿练习】:求下列各图形中阴影部分的面积(单位:平方厘米) (1)平行四边形的面积是18,AE=2BE ,BF=CF (2)长方形的面积是16 例题3、梯形ABCD的对角线相交于O,BC=3AD,三角形的面积是9平方厘米,求梯形的面积。 【模仿练习】:在下列的梯形中,所标注部分为三角形的面积,求梯形的面积(单位:平方厘米) 例题4、△ABC的面积是12,将AB边延长3倍到D,将BC边延长2倍到E,将CA边延长1倍到F,求△DEF的面积。(单位:平方厘米) 【模仿练习】:三角形ABC的面积是2平方厘米,将三边各延长1倍,求三角形DEF的面积。
中考培优 中考综合题 面积平分问题
2018年4月35日中考综合题-------面积平分问题 1.问题探究: (1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分; (2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由. 问题解决: (3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,点P是AD的中点,如果AB=a,CD=b,且b>a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分?如若存在,求出BQ的长;若不存在,说明理由. 2.探索发现: (1)如图1,在△ABC中,AD是BC边上的中线,若△ABC的面积为S,则△ACD的面积为. 联系拓展: (2)在图2中,E、F分别是?ABCD的边AB、BC的中点,若?ABCD的面积为S,求四边形BEDF的面积?并说明理由. (3)在图3中,E、F分别是?ABCD的边AB、BC上的点,且AE=AB,BF=BC,若?ABCD 的面积为S,则四边形BEDF的面积为. 解决问题: (4)如图4中,矩形ABCD中,AB=nBC(n为常数,且n>0).E是AB边上的一个动点,F是BC边上的一个动点.若在两点运动的过程中,四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的,请探究线段AE、BF应满足怎样的数量关系,并说明理由. 3.如果图1,已知直线m∥n,A、B为直线n上两定点,C、D为直线m上两动点,容易证明:△ABC的面积=△ABD的面积; 问题探究 (1)在图2中画出与四边形ABCD面积相等且以AB为一条边的三角形. (2)在图3中,已知正方形ABCD的边长为4,G是边CD上一点,以CD为边作正方形GCEF,当CG=a时,求△BDF的面积. 问题解决
新初中数学几何图形初步技巧及练习题
新初中数学几何图形初步技巧及练习题 一、选择题 1.如图,已知ABC ?的周长是21,OB ,OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ^于D ,且4OD =,则ABC ?的面积是( ) A .25米 B .84米 C .42米 D .21米 【答案】C 【解析】 【分析】 根据角平分线的性质可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4,再根据三角形面积公式求解即可. 【详解】 连接OA ∵OB ,OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ^于D ,且4OD = ∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4 ∴ABC AOC OBC ABO S S S S =++△△△△ ()142 AB BC AC =??++ 14212 =?? 42=(米) 故答案为:C . 【点睛】 本题考查了三角形的面积问题,掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键.
2.∠1与∠2互余,∠1与∠3互补,若∠3=125°,则∠2=() A.35°B.45°C.55°D.65° 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解:根据题意得:∠1+∠3=180°,∠3=125°,则∠1=55°,∵∠1+∠2=90°,则∠2=35° 故选:A. 【点睛】 本题考查余角、补角的计算. 3.将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周,所得几何体的主视图(正视图)是() A.B.C. D. 【答案】D 【解析】 解:Rt△ACB绕直角边AC旋转一周,所得几何体是圆锥,主视图是等腰三角形. 故选D. 首先判断直角三角形ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥,再找出圆锥的主视图即可. 4.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A、B、C三点不在同一条直线上,当△ABC的周长最小时,点C的坐标是
初中数学几何图形初步技巧及练习题
初中数学几何图形初步技巧及练习题 一、选择题 1.如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体,那么其三种视图中面积最小的是() A.主视图B.俯视图C.左视图D.一样大 【答案】C 【解析】 如图,该几何体主视图是由5个小正方形组成, 左视图是由3个小正方形组成, 俯视图是由5个小正方形组成, 故三种视图面积最小的是左视图, 故选C. 2.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A、B、C三点不在同一条直线上,当△ABC的周长最小时,点C的坐标是 A.(0,0)B.(0,1)C.(0,2)D.(0,3) 【答案】D 【解析】 【详解】 解:作B点关于y轴对称点B′点,连接AB′,交y轴于点C′, 此时△ABC的周长最小,
∵点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0), ∴B ′点坐标为:(-3,0),则OB′=3 过点A 作AE 垂直x 轴,则AE=4,OE=1 则B′E=4,即B′E=AE ,∴∠EB ′A=∠B ′AE , ∵C ′O ∥AE , ∴∠B ′C ′O=∠B ′AE , ∴∠B ′C ′O=∠EB ′A ∴B ′O=C ′O=3, ∴点C ′的坐标是(0,3),此时△ABC 的周长最小. 故选D . 3.如图,在正方形ABCD 中,E 是AB 上一点,2,3BE AE BE ==,P 是AC 上一动点,则PB PE +的最小值是( ) A .8 B .9 C .10 D .11 【答案】C 【解析】 【分析】 连接DE ,交AC 于P ,连接BP ,则此时PB+PE 的值最小,进而利用勾股定理求出即可. 【详解】 解:如图,连接DE ,交AC 于P ,连接BP ,则此时PB PE +的值最小 ∵四边形ABCD 是正方形 B D ∴、关于A C 对称 PB PD =∴
面积法在平面几何问题求解中的巧妙应用
平面几何问题的证明——面积法(教案) 教学目的:掌握面积法在平面几何解题中的巧妙应用 教学重点:1、三角形、凸四边形面积公式的推导 2、面积法在平面几何解题中的巧妙应用 教学内容: 2002年,张景中院士推出《新概念几何》,其中对三角学作了全新的处理,他把边长为 1、夹角为α的菱形的面积定义为αsin ,由此研究正弦的性质,到处理余弦,用面积的方法证明大量的平面几何问题,把三角学和几何学打成一片,别具一格,极有新意。 张院士指出:抓住面积,不但能把平面几何课程变得更容易学,而且使几何问题求解变得更有趣味。 在求解平面几何问题的时候,根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系,用面积或面积比表示有关的几何量或其比,从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系,并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法,这就是面积法。 一、为运用面积法解题,我们需要一些面积公式: 1、设ABC ?中,角C B A ,,所对的边依次为c b a ,,,又a h 为a 边上的高,R 为其外接圆半径,r 为其内切圆半径,)(21c b a p ++= ,则 (1)a ABC ah S 21=?; (2)A bc S ABC sin 21?=?; (3)R abc S ABC 4=?; (4)A C B a S ABC sin 2sin sin 2?=?; (5)rp S ABC =?; (6)))()((c p b p a p p S ABC ---= ?。(海伦公式) 2、在凸四边形ABCD 中,边长分别为d c b a ,,,,两对角线长为,,f e 两对角线夹角θ,且)(2 1d c b a l +++= ,则: (1)θsin 21?=ef S ABCD (2) 2222222)(441d b c a f e S ABCD --+-= (3)))()()((d l c l b l a l S ABCD ----= (当D C B A ,,,四点共圆时) (4)?2cos ))()()((?-----=abcd d l c l b l a l S ABCD ,2D B +=?或2C A +=? 引理1:圆内接四边形ABCD 的四边是,,,,d DA c CD b BC a AB ====则四边形ABCD 的面积 ]1[ ))()()((d p c p b p a p S ABCD ----=,)(21d c b a p +++= 。
三角形中线等分面积应用
第5讲 例说三角形中线等分面积的应用 如图1,线段AD 是△ABC 的中线,过点A 作AE ⊥BC ,垂足为E ,则S △ABD =12BD·AE ,S △ADC =12DC·AE ,因为BD =DC ,所以S △ABD =S △ADC 。因此,三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质,可以解决许多有关面积的问题。 一、求图形的面积 例1、如图2,长方形ABCD 的长为a ,宽为b ,E 、F 分别是BC 和CD 的中点,DE 、BF 交于点G ,求四边形ABGD 的面积. 分析:因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点,则连接CG 后,可知 GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线,而由S △BCF=S △DCE=4 ab ,可得S △BEG=S △DFG,所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等,问题得解。 解:连接CG ,由E 、F 分别是BC 和CD 的中点,所以S △BCF=S △DCE=4ab ,从而得S △BEG=S △DFG,可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ,因此S 四边形ABGD=a b -4×12ab =3 2ab 。 例2、在如图3至图5中,△ABC 的面积为a . (1)如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ,使CD =BC ,连结DA .若△ACD 的面积为S 1, 则S 1=________(用含a 的代数式表示); (2)如图3,延长△ABC 的边BC 到点D ,延长边CA 到点E ,使CD =BC ,AE =CA ,连结 DE .若△DEC 的面积为S 2,则S 2=__________(用含a 的代数式表示),并写出理由; (3)在图4的基础上延长AB 到点F ,使BF =AB ,连结FD ,FE ,得到△DEF (如图6).若阴影部分的面积为S 3,则S 3=__________(用含a 的代数式表示). 发现:像上面那样,将△ABC 各边均顺次延长一倍,连结所得端点,得到△DEF (如 图1 图2 A E 图4 D A B C F 图5 图3 A B