有限元讲义
§ 1.4 协调、非协调、广义协调及分电检验 1、4、0 引
以有限元数值分析的技术实现为目的本门课程，不仅要求学生能够进行实际的工程运算；另一方面也需要对解的收敛及精确性有所了解，是能从细节计算到理论性质都有所把握，这样，才能做到全面深入有助于对解结果得理论分析，此为基本之目的。 1、4、1 协调、非协调介绍
位移法有限元以Ritz 的结构最小有限元为基础，该原理在数学上是一个泛函极值（变分）问题，系统势能可以表为以下数学形式：
π=ν?+=1/2?Ω
Ωd T εσ - ?Ω
Ωd p u T ' - ?Ωt
T d p u '' (1)
δπ＝0 。
表述为：在所有满足内部连续性和运动学边界条件的位移中满足平衡方程的位移使系统势能取驻值。如果驻值是极小点的，则平分行是稳定阶。
又：对于精确于问题的位移函数，系统势能的变分可求得关于问题应满足的所有微分方程：平衡方程边界条件（几何关系及物理方程是自然满足的）
遗憾的是精确位移难得寻找，故一般采用泛函的极小化序列逼近方法。类似于傅立叶级数逼近函数那样，把无穷维空间用有限空间去逼近。在有限元当中，当元素尺寸趋近于0时（即节点数目或节点自由度数趋于∞时），最后的解答若能无限逼近准确解，那么这样的位移函数（或形状函数）就称为收敛的，因此从收敛性及算收敛速度方面提出几点对形状函数的要求： ①、函数本身及其导数应在元素上连续，并含有常数部分；
②、元素之间的位移协调，不仅节点处的位移应当协调，沿整个内边界上的位移也应当协调（或称相容 ）。
③、多项式的项数越多越好，因用高次比低次多项式收敛快。 ④、含有刚体位移（平动包含常数项，转动包含线性项）。
协调之： 即满足①、②条件的形状函数的元素，当然能满足3) 4)条件协调 元的收敛率就更高。 协调元的性质：
1) 能够以单调趋势逼近于正确解。如曲线①. 2) 势能总是大于最小状态，故解得上界。 3) 近似刚度k 偏大，即元素偏“硬”。 4) 近似的位移偏小，即求得位移的下界。 能够以单调趋势逼近于正确解。如曲线②.
势能总是大于最小状态，故解得上界。 近似刚度k 偏大，即元素偏“硬”。 近似的位移偏小，即求得位移的下界
非协调元：在弹性力学中，如板弯曲，相邻元素不仅要求位移本身连续，而且要求位移的导数连续（板弯边界上的相容性）
。而在工程上能够保证导数相容的
内力势能 体力势能 面力势能
给点数 ①
② ③
④
形变往往难以找到，以致工程上只能采用违反相容原则的一些形状函数，由违反相容原则的形函所构成的元素称为非协调元。 非协调元性质：
①、不能以最小位能原理作为它的理论基础。 ②、解的趋势可能收敛，可能不收敛，（取决于网格划分）。对于收敛的趋势也未必满足单调性。可能收敛曲线如图中②。
例：
节点位移系统：｛e δ｝＝???
??
?
?????
????
???????????????????k k k j j j i i i y w x w w y w x w w y w x w w ,
,,,,,
位移形函：
W=C 1L 3
1+C 2L 21L 2+C 3L 21L 3+C 4L 32+C 5L 22L 1+C 6L 22L 3+C 7L 33+ C 8L 23L 2+C 9L 23L 2+C 10L 1L 2L 3
L i =( a i + b i x + d i y )/2?
a i = x j y k - x k y j ;
b i = y j - y k ; d i = - x j + x k 。 代入节点位移参数：
可得：w=[ N 1 … N 10 ]{e δ}
变换一下写法：w=[ H 1 H X ,1H Y 1 H 2 H X 2 H Y 2 H 3 H X 3H Y 3 H 4 ] {e δ} H i = L 2i (3 – 2L i ) –7L 1L 2L 3
H x i , = L 2i ( d 2+i L 1+i – d 1+i L 2+i ) + ( d 1+i – d 2+i )L 1L 2L 3 H y i , = L 2i ( b 1+i L 2+i – b 2+i L 1+i ) + ( b 2+i – b 1+i ) L 1L 2L 3 H 4 = 27 L 1L 2L 3
下标按循环计算
上述元素只能在结构上做到位移导数连续，在边界上其他点处，位移的法向导
i j Q i x
Q i y
i
j k
i +2=k
数并不连续，这因为：由于法向导数是一个完全的二次多项式，在元素的每条边上，其变化规律位一条二次抛物线，需要三个点上法向导数的相等条件才能维一确定，故相邻两条曲线一般不全重合。 故所举三角板弯元为非协调元。
例 ②书P 53的矩形元，由于坐标的交叉双乘积（不完备），可发现不该是w 或其导数
y
x ??，y w
?? 都是连续的，这样只要节点的这些参数相同，边界上的这些是没有问题的，但展开 N 的项，可以发现x 2y 2项，或者说缺少了代表热率变形的一项，因此，作为形状函数，是不能保证向正确的解答收敛，因而是非协调元。
改进方案之一，是在节点处增加节点参数y
x w
???2，并采用完全的埃尔米特三次多
项式。 §1、4、2 非协调元的排先检检验
协调元虽可以保证总位能从上往下地正确结果单调收敛，但往往过于复杂，使用麻烦。
在工程上往往使用形式简单的非协调元，自然，最小位能原理对此不再适用，那么在什么条件下，这类元素才能导致向正确解收敛呢？ Irons 提出了一个称作“拼片实验”（patch test ） 的检验方法。实践表明，这种检验方法是有效的，但“拼片实验”的理论证明尚不清楚。拼片试验内容为“假设由若干元素拼成的一个任意拼片处于等应力状态，这时，其位移函数w( x , y ) 一般可用一m 阶完全多项式函数 P m ( x , y ) 表示，（入在薄板问题中，m=2） ，而且，在这一拼片的边界上，也设置了符合等应变状态的位移边界条件。然后，将需要检验的某种元素按此条件进行计算。如果最后得到的有限元法解答能和P m ( x , y ) 一致，那么，称这种元素能够通过拼片试验，而通过拼片试验的元素将给出收敛的结果。注：P m ( x , y ) 至少应能代表各种等应变状态。 如： 拼片： 9节点参数三角变元
*拼片test 实 际上成为非协调元的收敛准则 （1） ②
注释：
①、两种拼片均有满足各种等应变状态的边界条件。 ②、用非协调元解上述问题。 ③、对比①，不一致②。 ④、一致①，不一致②。
⑤、说明①通过，③的网格划分不通过，但误差不大，尚可用。 ⑥、对于更不规则的网格，其误差可能更大，大到不宜采用。
§ 1、4、3 广义协调元简介
1、 概念： 广义协调元利用对变分原理的改造，使边界位移在位能条件降低，从而获得比非协调元有更好性质的单元，即对于不规则网格能通过分片检验；提高计算精度。
2、 原理： 用能量和加权线量法联合改造。 ①、势能原理： ρπ＝
∑?-e ve
T
d P E υμεε
)'21
( －
?s
ds p μ'' （b ）
设单元边界真实变量为u ( x , y ),则在单元边界上每一点若均能满足，
ｕ－u = 0 ( c ) 则单元协调，位移跨越单元连续，若不能保证（c ）式成立，则为非协调元，其能量泛函需要做如下修正：
② mp π＝ρπ－∑e
T (αｕ－u ) d s ( d )
( d ) 式增加了单元不协调位移的能量贡献项。α为Lagrange 乘子，其物理意义为单元边界的函数。( d )式可通过带约束的广义变分原理求解。 如果用加权残量法，放松单元向位移协调条件，即
?=-ve
ds u 0)(μ
（ｅ）
式中T 为权函数，以式（c ）为约束条件建立单元位移形函的矩阵，可使单元向位移协调条件在某种积分意义下得到满足。
③、（e ）式实际上是一个统一的形式，如取T 权函数为)(j x x -δ函数，即得加
权残方程为： )(u -μ｜j x x =＝0
④、全T ＝n σ为边界应力，则权残方程为：
??=-ve
c
ds u n 0))((μσ
c σ表示常量应力，等价于Irons 的分片检验，是非协调远的收敛准则。
⑤、具体广义协调元的构造方法可参见：龙驭球著“新型有限元之引论”
§1.5 曲线坐标系及等参元概念 1、 5、0 引
在工程有限元分析中，有几方面的原因需要需要采用高精度单元： ①、提高计算精度：
②、适应不规则的几何边界条件；
③、用较粗的单元数据准备，获得较高的计算效益；为获得高计算精度采用通常意义下的单元，本身具有某种缺陷：
①、增加节点参数提高位移参数的阶次，使计算复杂，并增加求解规模 ②、只适用于规则外形的结构，复杂边界难以准确描述。
因此，目前多采用等参元在二维问题中得到了极大的成功，以后，在三维问题和板壳计算中，也取得了很好的效果。
举例说明对受拉带孔板应力集中的计算结果（?元与等参元对比）
等参元的优越性：
①、精度高（有线性，也有二次等）；
②、匹配各种复杂的直线及曲线边界；
③、构造单元方法统一，推广其它类型应用不困难。
4.刚度计算
①、公式； 〔K 〕e
＝????
?????dv B D B B D B B D B B D B g g d T
g g d d T
d ][][][][][][][][][][][][ Ｋdd =∑∑∑
j
j
k
k j i d T d H H H J B D B ||][][][
Ｋgd =∑∑∑j
j
k
k j i d T g
H H H J B D B
||][][][ Ｋgg =
∑∑∑j
j
k
k j i g T g
H H H J B D B
||][][][
②、Guass 消元法消去中间节点，得聚缩刚阵；
{}{}d d dd K σδ=]~
[
{}{}{}σδδ=+g gg d gd K K ]~
[]~[ {}{}d gd gg
g
K K
δδ]~[][1--= ③、程序系统不再介绍。
§2 总体刚阵的形成及程序设计
从有限元的计算过程可知，形成单刚、集合总刚、置边界条件、求等效载荷列阵后，才能得到位移，应变及应力，课程正是按此工作进行，最终达到我们的目的。
§2.1总刚的特征及其组装时所需要效能的问题 1 总刚特性及投放过程
总体结构刚阵的形成是各单元刚阵按节点序排列的集合矩阵（对号入座）。 ①、对称性：依据 Betti 互易原理（讲：在结构体的两点1、2作用单位位移
位移，（１）先1点作用,再2点作用 12221112
1
21K K K ++=?
( 2 ) 先2点作用,再1点作用 211122221
21K K K ++=?
21?=? 2112K K =?
②、带状性：（刚阵元素较集中在对角线的位置）一个节点自由度对应总刚
的一行（一个节点不可能和结构的所有节点相连），这一行总是和相关的节点刚阵元素相关，这也是总刚的组织进程反映出的特性。
③、稀疏性： 不相关的单元（指节点没有任何联系的单元）没有共同联系
的刚性元素，故在对号累加中始终为0。 例： 节点（ 1 ，4）分属两个单元， 故刚阵中无K 14系数，同理
（1，6）、（2，6）、（3，4）、（4，6）
4 )投放过程：
*总刚按节点排序（不与单元节点序相关） ?????????
??????????
?++++++++++)5(66)4(65
)4(63
)
6(55)4(55)3(55)4(53)3(53)3(52
)2(45
)
2(44
)2(42)4(36
)4(35)3(35)3(33
)2(33)1(33)3(32)1(32)1(31325225224
)2(23
)1(23)2(33)2(22)1(22121)1(13
)1(12
)1(11
K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K ）
（）（）（）（
考虑的问题：
总的按节点排序：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
?????????
??????????
?++++++++++)5(66)4(65
)4(63
)
6(55)4(55)3(55)4(53)3(53)3(52
)2(45
)
2(44
)2(42)4(36
)4(35)3(35)3(33
)2(33)1(33)3(32)1(32)1(31325225224
)2(23
)1(23)2(33)2(22)1(22121)1(13
)1(12
)
1(11
K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K ）
（）（）（）（2、投放。
2、 考虑的问题： ①坐标转换 ；②主从节点转换；③有效方式及其效率，依据总刚的特点，寻找节约的有序方法（由于对称可仅有一半）存贮效率措施使用存贮单元的多少，用总刚规模替标度量。
总刚规模：存贮总刚单元的总数及其存贮的形式。
*存贮方式 1、三角存放 （一维存） 总刚规模：KK=)1(2
1
+n n
①
② ③ ④
1 2 4 3 5 6
① ② ③ ④ ⑤
⑥
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
一维存时，要有一个投放算法，使用时，要有一个
调用算法。
??
?
?
?????
???????????
????
方式：可一维存，可二维存（不好）切齐即可2维存
*存贮方式2、 等带宽存贮：
KK = m x n ；m 为最大带宽。
按节点编号的最大差计算；由于带状性质 ×××× m< 可将每行第1个非0元素以外的0元素全部排除在存贮单元之外，需要专门的程序计算 KK. 只能一维存，还需要一个每行第1非0元素的管理。 ??? ?? ?? ???????????????????? ????? *全希疏存放： 仅存贮各单元的非0元素及分解出的非0元素。需要记每一行的首尾特征，行元素的列位置等，则要有复杂的管理机构。管理机构也消耗单元，效率以远小于其它存方式消耗单元总数为恰当。 ④求解效率： 一般不计编程的效率（程序编的优劣不计），只计存贮效率和求解效率。 求解效率当然以机时计算 ，效率?成本（即存贮＋求解的消耗＝成本）。求解效率与存贮效率要综合评价，但存贮效率一般放在第一位考虑。 设：执行的时间为T ，存贮量为S ，则一个存贮与求解的成本估价是T, S 的复杂函数，即： C( S, T ) = T * P( S ) (P 是大于1的多项式)。 重要的存贮效率，故上述函数反映了节省存贮资源的重要性，因为减少存贮要求后，也许不再需要动用外存，从而节省了数据传输的费用。 T 实际上也是S 的函数，存入更多的元素，也就需要更多的计算，因此，该意义上讲也要省存贮。 3、 影响总刚规模的因素： 除存贮方式的因素之外，另一个影响总刚规模的因素是节点编号的顺序（按带状存贮时，也按全稀疏存贮（编号仅是一个因素），可能影响非0元的分解时的增加策略） ① 节点编号对带宽的影响： 带宽的主要影响因素是节点单元间的编号，差越大，则带宽宽，若差越小，各非0元集中在对角线附近，便会使带宽减少，这一点构成了我们过行节点编号的基本原则，举例说明： n 1 2 3 ① ③ 总纲形式 1 × 2 × × 3 × × × 4 × × × × 5 × × × × × 6 × × × × × × 最大带宽 m = 6 KK=36 变带宽 KK=17 由此可见，取定了简化模型之后，对节点如何编号是一个很重要的问题，可直接越小到存贮规模的大小和机时的多少，但如何把节点的编号的顺序便的较优，是一个很复杂的问题，这将在以后专门研究这里给出一个编号的原则（工程准则），即是“优先沿结构较宽的方向按坐标进行编号。 ② 节点单元编号的自动形成 所谓节点单元编号就是给XE,ME 赋值，对于一般结构的分析问题，都有很多的节点单元，若仅用人力在图纸上划分单元和计算节点坐标，则是很麻烦的，也是易于出错的，因此，这部分工作尽可能地去让计算机完成。 自动编序（又称自动划分单元），当然也需要把结构的简化模型取定，然后给某个编序原则，（当然应尽量靠近编排优序的原则，当然也可以依靠算法去优化），这一原则也需要设计者事先在草图上示意性标处，以便检验这原则的实施正确性。（也可以用图显方式对照草图检验），最后即可编制程序。 举一例： SUBROU XEME( JA , JB , A , B , XE , ME , NP) NP=(JA + 1) * (JB + 1) 6 5 4 ② ④ 1 2 3 4 5 6 ① ② ③ ④ 1 3 5 2 4 6 ① ② ③ ④ m = 4 KK=24 17 m = 3 KK=18 15 1 × 2 × × 3 × × × 4 × × × × 5 × × × × × 6 × × × 1 × 2 × × 3 × × × 4 × × × 5 × × × 6 × × × DIMENDION XE( NP , 1 ) ME( NP , 3 ) D ≠ 1 N = 1 NP XE( N , 1 ) = B * ( JB - ( N -1 )/( JA + 1 ) XE( N ,2 ) = -A * ( JA + 1 ) * (FLOAT ( N - 1 )/( JA + 1) - ( N -1 )/( JA + 1 )) D ≠2 I = 1 JA D ≠2 J = 1 JB KI = 2 * ( I + ( J - 1 ) * JA ) →产生偶数单元编号→KI = 2 、8、14、20第一行ME ( KI , 1 ) = I + ( J - 1 ) * ( JA + 1 ) + 1 ME ( KI , 2 ) = ME( KI , 1 ) - 1 ME( KI , 3 ) = ME( KI , 1 ) + JA + 1 ME( KI - 1 , 1 ) = ME ( KI , 1 ) ME( KI - 1 , 2 ) = ME ( KI , 3 ) - 1 ME( KI - 1 , 3 ) = ME ( KI , 3 ) RETURN END §2.2 总刚压缩存贮的实现 由上述分析可知，变带宽存贮KK 最小，显然最省机时，但由于带宽是变的，故只能用一维数组依次存放总刚阵中各行的第1 个非0元素到对角线的各元素，令该数组称为AKM(kk). 要使用AKM(kk)，还必须另外一个整形数组来记忆原总刚阵中〔K〕中每一行（对应一个自由度）的非0 元素到对角线的个数，该数组计为KDKM(NID),NID 为总自由度数。 在实用中，我们并不是真正去记忆每行的非0 元素数，而是记忆每行非0元素的累加数，也即每行最后一个元素在一维数组中的位置，这样给使用带来了很大的方便。所以在机器程序中记忆位置的编号，经常采用后一种方法。按这种方法，例2的KDKM（I）的元素应为1，3，5，9，13，17（＝KK）。而第3个例题则应为1，3，6，9，12，15（＝KK）。显然这时KDKM( NID ) = KK (最后一个数)。 ，①，②，③点。 1．计算原理：P 122 解释：行快是以每一个节点所对应的自由度数为行数，列号从1到最后一列，2维是 Row = 2 ; 3 维是 Row = 3 . A、只有与节点之构成的相关点（与节点相关的那些单元的编号），才在总刚 阵中的第i 行块上提供非0子块。 B、第i行块上非0子块的分布情况与节点i的相关节点编号的差值有关。带宽对于下?阵，则是相关节点最小编号列对角线子块。对上?阵存贮，则是相关节点中最大编号列对角线子块（从右到左）。 2、框图：书P 。 125 有限元分析及应用作业报告 目录 有限元分析及应用作业报告....................................... I 目录 ........................................................ II 试题1 . (1) 一、问题描述 (1) 二、几何建模与分析 (2) 三、第1问的有限元建模及计算结果 (2) 四、第2问的有限元建模及计算结果 (7) 五、第3问的有限元建模及计算结果 (13) 六、总结和建议 (16) 试题5 (17) 一、问题的描述 (17) 二、几何建模与分析 (18) 三、有限元建模及计算结果分析 (18) 四、总结和建议 (26) 试题6 (27) 一、问题的描述 (27) 二、几何建模与分析 (27) 三、有限元建模及计算结果分析 (27) 五、总结和建议 (35) 试题1 一、问题描述 图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较： 1)分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算； 2)分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3)当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。 图1-1模型示意图及划分方案 二、几何建模与分析 图1-2力学模型 由于大坝长度>>横截面尺寸，且横截面沿长度方向保持不变，因此可将大坝看作无限长的实体模型，满足平面应变问题的几何条件；对截面进行受力分析，作用于大坝上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力，满足平面应变问题的载荷条件。因此该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况及方向如图1-2所示，建立几何模型，进行求解。 假设大坝的材料为钢，则其材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3 三、第1问的有限元建模 本题将分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算。1）设置计算类型：两者因几何条件和载荷条件均满足平面应变问题，故均取Preferences为Structural 2）选择单元类型：三节点常应变单元选择的类型是PLANE42（Quad 4node42），该单元属于是四节点单元类型，在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为三节点单元；六节点三角形单元选择的类型是PLANE183（Quad 8node183），该单元属于是八节点单元类型，在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为六节点单元。因研究的问题为平面应变问题，故对Element behavior（K3）设置为plane strain。 3）定义材料参数：按以上假设大坝材料为钢，设定：ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX:2.1e11, PRXY:0.3 → OK 4）生成几何模型： a. 生成特征点：ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints→In Active CS→依次输入三个点的坐标： 有限单元法与有限元分析 1.有限单元法 在数学中，有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 随着电子计算机的发展，有限单元法是迅速发展成一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 1.1.有限元法分析本质 有限元法分析计算的本质是将物体离散化。即将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算精度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 1.2.特性分析 1）选择位移模式： 在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。 当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如 The finite element analysis Finite element method, the solving area is regarded as made up of many small in the node connected unit (a domain), the model gives the fundamental equation of sharding (sub-domain) approximation solution, due to the unit (a domain) can be divided into various shapes and sizes of different size, so it can well adapt to the complex geometry, complex material properties and complicated boundary conditions Finite element model: is it real system idealized mathematical abstractions. Is composed of some simple shapes of unit, unit connection through the node, and under a certain load. Finite element analysis: is the use of mathematical approximation method for real physical systems (geometry and loading conditions were simulated. And by using simple and interacting elements, namely unit, can use a limited number of unknown variables to approaching infinite unknown quantity of the real system. Linear elastic finite element method is a ideal elastic body as the research object, considering the deformation based on small deformation assumption of. In this kind of problem, the stress and strain of the material is linear relationship, meet the generalized hooke's law; Stress and strain is linear, linear elastic problem boils down to solving linear equations, so only need less computation time. If the efficient method of solving algebraic equations can also help reduce the duration of finite element analysis. Linear elastic finite element generally includes linear elastic statics analysis and linear elastic dynamics analysis from two aspects. The difference between the nonlinear problem and linear elastic problems: 1) nonlinear equation is nonlinear, and iteratively solving of general; 2) the nonlinear problem can't use superposition principle; 3) nonlinear problem is not there is always solution, sometimes even no solution. Finite element to solve the nonlinear problem can be divided into the following three categories: 1) material nonlinear problems of stress and strain is nonlinear, but the stress and strain is very small, a linear relationship between strain and displacement at this time, this kind of problem belongs to the material nonlinear problems. Due to theoretically also cannot provide the constitutive relation can be accepted, so, general nonlinear relations between stress and strain of the material based on the test data, sometimes, to simulate the nonlinear material properties available mathematical model though these models always have their limitations. More important material nonlinear problems in engineering practice are: nonlinear elastic (including piecewise linear elastic, elastic-plastic and viscoplastic, creep, etc. 2) geometric nonlinear geometric nonlinear problems are caused due to the nonlinear relationship between displacement. When the object the displacement is larger, the strain and displacement relationship is nonlinear relationship. Research on this kind of problem Is assumes that the material of stress and strain is linear relationship. It consists 有限元 百科名片 有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后 再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 目录 简介 1）物体离散化 2）单元特性分析 3）单元组集 4）求解未知节点位移 5）有限元的未来是多物理场耦合 编辑本段简介 英文：Finite Element 有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下： 编辑本段1）物体离散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 编辑本段2）单元特性分析 A、选择位移模式 有限元复习资料 1．简述有限单元法的应用范围 答：①工程地质现象机制的研究；②工程区岩体应力边界条件或区域构造力的反馈；③工程岩土体位移场和应力场的模拟；④岩土体稳定性模拟 2．简述有限元单元法的基本原理 答：有限元单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域----飞机结构静，动态特性分析中应用的一种由此奥的数分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导。电磁场、流体力学等连续性问题。有限元分析计算的思路和做法可归纳如下： ①物体离散化 将整个工程结构离散为由各个单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、树木等应是问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况但愿划分月息则描述变形情况月精确，及月接近实际变形，但计算两越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 ②单元特性分析 A．选择位移模式 在有限单元法中，选择节点位移为基本未知量称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算机自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体或结构离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法我们就将位移作为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数，如y=a其中a 是待定系数，y是与坐标有关的某种函数。 B．分析但愿的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，折中单元分析中的关键一部。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。C．计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续题，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元辩解上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移动节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。 ③单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程 ④求解未知节点位移 解有限元方程式得出位移。这里，可以根据方程的具体特点来选择合适的计算方法。通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分 《有限元分析及应用》课程标准 课程代码：汽车学分：3 建议课时数：64 英文名称： 适用专业：计算机辅助设计与分析 先修课程：《计算机辅助设计》 课程团队负责人及成员：陈良萍、刘宏强、王云、赵静、李蕾、黄艺、史俊玲、 毛新 1.课程定位和设计思路 1.1课程定位 本课程是为计算机辅助设计与分析专业本科生开设的一门专业核心课程，重点介绍有限元法的基本原理和方法、一些成熟的有限元软件功能和简单的分析步骤，同时结合工程实际，为他们进一步学习或实际应用及参加科研工作开辟道路。其任务是通过先修课程中所学知识的综合运用和新知识的获取，使学生初步掌握现代设计中的一种重要方法，开阔视野，提高能力，以适应科学技术发展的要求。 1.2设计思路 在教学中，首先通过力学中的矩阵位移法思想的对比教学，引出连续介质力学有限单元法的学习重点在于单元的插值函数如何构造。这因为，虽说矩阵位移法是对杆系结构而言的，但其结构的离散化和组建整体刚度方程的思想完全可以借鉴到连续介质力学，它们的不同点只是在单元刚度矩阵的建立；而不同单元类型的单元刚度矩阵的建立，又取决于对应单元插值函数的构造。这样处理，不但使学生抓住了本课程的教学重点，而且对有限单元法的整体思想有了宏观上掌握；起到主动学习而非被动接受的作用。在单元构造的教学中，理论学习的重点在于常规单元的介绍；通过常规单元介绍插值函数的完备性与收敛性等。接之，介绍高次单元、等参单元等教学内容。在理论教学中，强调数学论证的严谨性和工程应用的适应性。 结合工程实例教学，拓宽学生数值分析方面的应用能力在课内对不同的单元类 型进行介绍时，及时抓住不同单元在应用中的对比教学与其适用性，并结合工程实例介绍单元类型的合理选取和单元网格的合理划分等。为学生在实际问题的数值分析中如何选定单元和剖分单元奠定了一定的基础和经验。 2.工作任务和课程目标 2.1工作任务 由于采用有限单元法的分析计算软件大多已商业化，而熟悉应用这些中的常规软件也应是本门课程的主要教学内容。在课内学生学会使用软件建立分析模型的基本步骤，其中包括分析模型抽象、几何模型绘制、单元网格划分、材料定义、边界条件定义、方程求解方法等。因课内教学时数的不足，学生应利用课余时间学习，以提高对实际问题的数值分析能力。 2.2课程目标 从教学思想和方法上对原课程进行改革，使学生从较高层次上理解有限元方法的实质，掌握有限元分析的工具，并具备初步处理工程问题的能力;使该课程成为具有较宽口径和较大覆盖面的、面向计算机辅助设计方面的专业基础课；注意课程体 系的整体优化，强调课程的深度、广度与应用。 3.教学方针落实情况 有限元分析及应用大作业 作业要求： 1）个人按上机指南步骤至少选择习题中3个习题独立完成，并将计算结果上交； 也可根据自己科研工作给出计算实例。 2）以小组为单位完成有限元分析计算； 3）以小组为单位编写计算分析报告； 4）计算分析报告应包括以下部分： A、问题描述及数学建模； B、有限元建模（单元选择、结点布置及规模、网格划分方案、载荷及边界 条件处理、求解控制） C、计算结果及结果分析（位移分析、应力分析、正确性分析评判） D、多方案计算比较（结点规模增减对精度的影响分析、单元改变对精度的 影响分析、不同网格划分方案对结果的影响分析等） 题一：图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较： 1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；（注意ANSYS中用四边形单元退化为三节点三角形单元） 2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。 解：1.建模： 由于大坝长度>>横截面尺寸，且横截面沿长度方向保持不变，因此可将大坝看作无限长的实体模型，满足平面应变问题的几何条件；对截面进行受力分析，作 用于大坝上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力，满足平面应变问题的载荷条件。因此该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况P=98000-9800*Y；建立几何模型，进行求解；假设大坝的材料为钢，则其材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3； 2：有限元建模过程： 2.1 进入ANSYS : 程序→ANSYS APDL 15.0 2.2设置计算类型: ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK 2.3选择单元类型: ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 182(三节点常应变单元选择Solid Quad 4node 182，六节点三角形单元选择Solid Quad 8node 183)→OK (back to Element Types window) →Option →select K3: Plane Strain →OK→Close (the Element Type window) 2.4定义材料参数： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX:2.1e11, PRXY:0.3 →OK 2.5生成几何模型： 生成特征点： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints→In Active CS →依次输入四个点的坐标：input:1(0,0),2(10,0),3(1,5),4(0.45,5) →OK 生成坝体截面： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Arbitrary →Through KPS →依次连接四个特征点，1(0,0),2(6,0),3(0,10) →OK 2.6 网格划分： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool→(Size Controls) lines: Set →依次拾取两条直角边:OK→input NDIV: 15 →Apply→依次拾取斜边:OK →input NDIV: 20 →OK →(back to the mesh tool window)Mesh:Areas, Shape: tri, Mapped →Mesh →Pick All (in Picking Menu) →Close( the Mesh Tool window) 2.7 模型施加约束： 给底边施加x和y方向的约束： ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement →On lines →pick the lines →OK →select Lab2:UX, UY →OK 给竖直边施加y方向的分布载荷： ANSYS 命令菜单栏: Parameters →Functions →Define/Edit →1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量；2) 在Result窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数： 98000-9800*{Y}；3) File>Save(文件扩展名：func) →返回：Parameters →Functions →Read from file：将需要的.func文件打开，参数名取meng，它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取竖直边；OK →在下拉列表框中，选择：Existing table →OK →选择需要的载荷为meng参数名→OK 2.8 分析计算： ANSYS Main Menu: Solution →Solve →Current LS →OK(to close the solve Current Load 第1讲抛物问题有限元方法 1、椭圆问题有限元方法 考虑椭圆问题边值问题： （1） 问题（1）的变分形式：求使满足 （2） 的性质，广义解的正则性结果。 区域的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。 剖分区域上分片次多项式构成的有限元空间。 的逼近性质，逆性质： 这里，为的插值逼近。 问题（2）的有限元近似：求使满足 （3） （3）的解唯一存在，且满足。 （3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式： （4） 刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。 模误差分析：由（2）－（3）可得 （5） 由（5）可首先得到 则得到 （6） －模误差分析 设满足 用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到 再利用模误差估计结果，得到 （7） 最优阶误差估计和超收敛估计概念。 当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得 （8） 利用（7），类似分析可得 （9） 2、抛物问题半离散有限元方法 考虑抛物型方程初边值问题： （10） （10）的变分形式：求使满足 （11） （11）的半离散有限元近似：求使满足 （12） 令，代入（12），依次取可导出常微分方程组： （13） 其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。。 求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。 定理1.问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计： （14） 证明：在（12）中取得到 整理为（注意是正定的） 对此式积分，证毕。 误差分析。引进解的椭圆投影逼近：满足 （15） 根据椭圆问题的有限元结果可知 （16） 分解误差： 的估计由（16）式给出，只须估计。 由（11），（12）和（15）知，满足 取，类似稳定性论证可得 （17） 可取为的投影，插值逼近等。 由（17）式，三角不等式和（16），得到 （18） 3、抛物问题全离散有限元近似 剖分时间区间：。 引进差分算子： 规定，当为连续函数时，，则有 由此得到 （19） （20） 定义问题（11）的全离散向后Euler有限元近似：求，使满足 （21） 将代入（21）可导出全离散方程组 （22） 第9章受内外压筒体的有限元建模与应力变形分析(Project 2) 计算分析模型如图9-1 所示, 习题文件名: cylinder。 X (a) σO=100N/mm2 σI =200N/mm2 γ =7.85g/cm3 μ =0.3 E =210000N/mm2 (b) 图9-1 计算分析模型 9.1进入ANSYS 程序→ANSYSED 6.1ed →Interactive →change the working directory into yours→input Initial jobname: cylinder→Run 9.2 设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preferences…→select Structural →OK 9.3 选择单元类型 ANSYS Main Menu: Preprocessor → Element Type →Add/Edit/Delete… → Add… →select Solid Quad 4node 42 →Apply →select Solid Brick 8node 45 → OK → Close (the Element Types window) 9.4定义材料参数 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Materials Models →Structural→Lineal →Elastic→Isotropic…→input EX:2.1e5, PRXY:0.3→ OK 关闭材料定义窗口 9.5构造筒体模型 ?生成模型截平面 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling→Create →Keypoints →In Active CS… →按次序输入横截平面的十个特征点和旋转对称轴上两点坐标（十个特征点：(300,0,0), (480,0,0), (480,100,0), (400,100,0), (400,700,0), (480,700,0), (480,800,0), (300,800,0), (300,650,0), (300,150,0)，对称轴上两点：(0,0,0), (0,800,0)）（每次输入完毕，用Apply结束，0可以不输入） →Cancel (back to Create window) →-Areas- Arbitrary → Through KPs →依次连接截面边线上的十个特征点(注意在选完第10点后结束，不要再选第1点)→ OK ?对平面进行网格划分 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing→Mesh Tool →(Size Controls) Globl: Set →input SIZE (element edge length): 50 →OK (back to MeshTool window)→Mesh → Pick All (in Picking Menu) → Close( the MeshTool window) ?用旋转法生成筒体模型 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling→Operate →Extrude→Elem Ext Opts→select TYPE:SOLID 45→Element sizing options for extrusion No. Elem divs: 1→OK (back to Extrude window)→Areas →About Axis →Pick All(in Picking Menu)→OK→Pick the two keypoints (11,12) of the Symmetrical Axis → OK→input ARC: 90; NSEG: 3→ OK 9.6 模型加位移约束 ANSYS Main Menu: Solution→Define Loads →Apply→Structural→Displacement ?两截面分别加Z, X方向的约束 ANSYS Utility Menu: Select → Entities…→Nodes → By Location →select X coordinates →input 0→ OK (back to Displacement window)→On Nodes → Pick All(in Picking Menu) → select Lab2:UX →OK →ANSYS Utility Menu: Select → Everything ANSYS Utility Menu: Select → Entities…→ Nodes → By Location →select Z coordinates →input 0→ OK (back to Displacement window)→On Nodes →Pick All(in Picking Menu) → select Lab2:UZ →OK →ANSYS Utility Menu: Select →Everything ?底面加Y方向的约束 ANSYS Utility Menu: Select → Entities… → Nodes → By Location →select Y coordinates →input 0→ OK (back to Displacement window)→On Nodes →Pick All(in Picking Menu) → 有限元原理及工程应用 ——大作业 学院：机械工程学院 班级：硕4002班 小组成员：李追3114001089 陈草3114001080 2015.5.19 作业题目： 利用有限元方法对简支梁问题进行求解，梁的横截面为矩形，其约束情况如图1所示。 已知梁的几何尺寸和物理参数如下： （1）几何尺寸：长度40cm L =，截面尺寸2cm 02cm .b t ?=?； （2）物理参数：弹性模量70E =GPa ，泊松比0.3ν=，密度3 =2700kg/m ρ。 图1．梁及其横截面示意图 要求： (1) 至少划分五个节点（四个单元）； (2) 给出单元节点信息； (3) 给出单元刚度矩阵和质量矩阵； (4) 给出总刚度矩阵和总质量矩阵； (5) 求出梁各界固有频率及振型（五阶）； (6) 将所得结果与理论值进行对比，验证方法的可行性。 解：由有限元知识，根据Rayleigh-Ritz 法，解有限元分为四步：建立离散化、单元分析、形 成总体方程、解方程，具体步骤如下： （1）建立离散化 这里我们将矩形截面简支梁等分四等分，即分为六节点的五个杆单元，如图2所示： 每个单元尺寸40 cm=8cm 55 L l = =，这里只考虑杆在竖直平面的弯曲，每个节点只有y 方向位移和绕z 轴的旋转自由度。 （2）单元分析 构造一组Lagrange 插值基函数，在本节点值为1，其他节点值为0。从Rayleigh-Ritz 法可以看到，插值函数要p 次可微，最高阶导数出现在应变能表达式中；同样，我们可以这一原则适用于基函数的选择以及形状函数，否则我们将无法正确计算应变能当我们使用有限元逼近方法。 梁的弯曲问题，应变能计算公式： ()2 220,12L z v x t U EI dx x ???= ???? ? （1-1） 其中，E 为弹性模量，I z 为截面惯性矩。从公式可知，位移函数必须连续，并且二阶导数平方可积。 如图3，是一维杆单元模型，每个节点两个自由度，该单元含有四个自由度，即（,,,i zi j zj v v θθ）。本题中我们采用三次多项式插值函数： ()231234u x x x x αααα=+++ （1-2） 《有限元分析及应用》配书盘 曾攀 (清华大学机械工程系) 说明 该配书盘针对《有限元分析及应用》一书中有关有限元分析的自主程序开发、与ANSYS平台的衔接、基于ANSYS的有限元建模、基于MARC的有限元建模的章节，提供相应的电子材料及文档，以便在进行实际编程和应用国际著名商业软件进行建模和分析时参考。电子文档材料包括三大部分：(1)有限元分析源程序(f,c,ANSYS衔接)；(2) 四类问题有限元分析的操作指南(ANSYS,MARC)；(3) ANSYS一般性帮助文件。具体的文件目录和清单如下。 在目录/有限元分析源程序(f,c,ANSYS衔接)/中有以下内容 (1) 使用说明文件 自主程序开发使用说明(fortran,C,ANSYS平台衔接).pdf (2 ) 在子目录/fortran源程序及与ANSYS衔接(FEM2D)/中有以下文件 源程序文件： FEM2D.FOR 程序需读入的数据文件： BASIC.IN(模型的基本信息文件，需手工生成) NODE_ANSYS.IN (节点信息文件，可由ANSYS前处理导出，或手工生成) ELEMENT_ANSYS.IN(单元信息文件，可由ANSYS前处理导出，或手工生成)程序输出的数据文件： DATA.OUT (一般结果文件) FOR_POST.DAT(专供ANSYS进行后处理的结果数据文件) 与ANSYS后处理衔接的接口程序： USER_POST.LOG(在ANSYS中进行后处理的命令流文件) (3 ) 在子目录/c源程序及与ANSYS衔接(JIEKOU)/中有以下文件 源程序文件： JIEKOU.CPP 程序需读入的数据文件： NODE_ANSYS.IN(从ANSYS前处理导出的节点信息文件) ELEMENT_ANSYS.IN(从ANSYS前处理导出的单元信息文件) INPUT.DAT(包含除网格划分信息之外的所有前处理信息) 程序输出的数据文件： 3.5 ANSYS软件加载、求解、后处理技术 3.5.1 ANSYS 3.5.1 ANSYS 荷载概述荷载概述 在这一节中将讨论: 有限元分析软件及应用 8 有限元分析软件及应用 8 A. 载荷分类 3.5 ANSYS 软件加载、求解、后处理技术 3.5 ANSYS 软件加载、求解、后处理技术 B. 加载 C. 节点坐标系 D. 校验载荷 孙瑛 孙瑛 E. 删除载荷 哈哈尔尔滨滨工工业业大学空大学空间结间结构研构研究中心究中心 2010秋 2010秋 SSRC SSRC 1/ 76 S Space pace S Stru truc ctu ture re R Res esear earc ch h C Center enter, H , HI IT, T, CH CHIN INA A 理技术 A. 载荷分类 B. 加载 A. 载荷分类 B. 加载 ANSYS中的载荷可分为: 可在实体模型或 FEA 模型节点和单元上加载自由度DOF - 定义节点的自由度( DOF )值结构分析_ 沿单元边界均布的压力 沿线均布的压力 位移集中载荷 - 点载荷结构分析_力面载荷 - 作用在表面的分布载荷结构分析_压力 在关键点处 在节点处约 约束体积载荷 - 作用在体积或场域内热分析_ 体积膨胀、内生 束 成热、电磁分析_ magnetic current density等实体模型 FEA 模型惯性载荷 - 结构质量或惯性引起的载荷重力、角速度等 在关键点加集中力在节点加集中力 SSR SSRC C SSR SSRC C 2/ 76 3/ 76 S Space pace S Stru truc ctu ture re R Res esear earc ch h C Center enter, H , HI IT, T, CH CHIN INA A S Space pace S Stru truc ctu ture re R Res esear earc ch h C Center enter, H , HI IT, T, CH CHIN INA A 有限元网格剖分方法概述 在采用有限元法进行结构分析时，首先必须对结构进行离散，形成有限元网格，并给出与此网格相应的各种信息，如单元信息、节点坐标、材料信息、约束信息和荷载信息等等，是一项十分复杂、艰巨的工作。如果采用人工方法离散对象和处理计算结果，势必费力、费时且极易出错，尤其当分析模型复杂时，采用人工方法甚至很难进行，这将严重影响高级有限元分析程序的推广和使用。因此，开展自动离散对象及结果的计算机可视化显示的研究是一项重要而紧迫的任务。 有限元网格生成技术发展到现在, 已经出现了大量的不同实现方法，列举如下： 映射法 映射法是一种半自动网格生成方法，根据映射函数的不同，主要可分为超限映射和等参映射。因前一种映射在几何逼近精度上比后一种高，故被广泛采用。映射法的基本思想是：在简单区域内采用某种映射函数构造简单区域的边界点和内点，并按某种规则连接结点构成网格单元。也就是根据形体边界的参数方程，利用映射函数，把参数空间内单元正方形或单元三角形(对于三维问题是单元立方体或单元四面体)的网格映射到欧氏空间，从而生成实际的网格。这种方法的主要步骤是，首先人为地把分析域分成一个个简单可映射的子域，每个子域为三角形或四边形，然后根据网格密度的需要，定义每个子域边界上的节点数，再根据这些信息，利用映射函数划分网格。 这种网格控制机理有以下几个缺点： （1）它不是完全面向几何特征的，很难完成自动化，尤其是对于3D区域。 （2）它是通过低维点来生成高维单元。例如，在2D问题中，先定义映射边界上的点数，然后形成平面单元。这对于单元的定位，尤其是对于远离映射边界的单元的定位，是十分困难的，使得对局部的控制能力下降。 （3）各映射块之间的网格密度相互影响程度很大。也就是说，改变某一映射块的网格密度，其它各映射块的网格都要做相应的调整。 其优点是：由于概念明确，方法简单，单元性能较好，对规则均一的区域，适用性很强，因此得到了较大的发展，并在一些商用软件如ANSYS等得到应用。 2 。拓扑分解法 拓扑分解法较其它方法发展较晚, 它首先是由Wordenwaber提出来的。该方法假设最后网格顶点全部由目标边界顶点组成, 那么可以用一种三角化算法将目标用尽量少的三角形完全分割覆盖。这些三角形主要是由目标的拓扑结构决定, 这样目标的复杂拓扑结构被分解成简单的三角形拓扑结构。该方法生成的网格一般相当粗糙, 必须与其它方法相结合, 通过网格加密等过程, 才能生成合适的网格。该方法后来被发展为普遍使用的目标初始三角化算法, 用来实现从实体表述到初始三角化表述的自动化转换。 单一的拓扑分解法因只依赖于几何体的拓扑结构使网格剖分不理想，有时甚至很差。 3．连接节点法 这类方法一般包括二步：区域内布点及其三角化。早期的方法通常是先在区域内布点, 然后再将它们联成三角形或四面体, 在三角化过程中, 对所生成的单元形状难于控制。随着Delaunay三角化(简称为DT ) 方法的出现, 该类方法已成为目前三大最流行的全自动网格生成方法之一。 DT法的基本原理：任意给定N个平面点Pi(i=1,2,…,N)构成的点集为S，称满足下列条件的点集Vi为Voronoi多边形。其中，Vi满足下列条件： Vi ={ X：|X- Pi|(|X- Pj|,X(R2,i(j,j=1,2,…,N }Vi为凸多边形，称{ Vi}mi=1为Dirichlet Tesselation有限元分析及应用大课后复习
有限单元法与有限元分析
有限元分析中英文对照资料
有限元概述
有限元分析复习资料打印版
《有限元分析与应用课程标准》
有限元分析及应用大作业
有限元方法讲义
有限元分析及应用例子FEM14
西交大有限元原理及应用-大作业
《有限元分析及应用》配书盘说明
有限元分析软件及应用
有限元网格剖分方法概述