轻杆、轻绳、轻弹簧的力学特征

轻杆、轻绳、轻弹簧的力学特征

模型特点：

1. 轻绳

（1）轻绳模型的特点

“绳”在物理学上是个绝对柔软的物体，它只产生拉力（张力），绳的拉力沿着绳的方向并指向绳的收缩方向。它不能产生支持作用。

它的质量可忽略不计，轻绳是软的，不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长。

（2）轻绳模型的规律

①轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子；

②轻绳不能伸长；

③用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能有损失；

④轻绳的弹力会发生突变。

2. 轻杆

（l）轻杆模型的特点

轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生侧向力，它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长或压缩。

（2）轻杆模型的规律

①轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着杆的方向；

②轻杆不能伸长或压缩；

③轻杆受到的弹力的方式有拉力或压力。

3. 轻弹簧

（1）轻弹簧模型的特点

轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹簧的伸长量或缩短量有关。

（2）轻弹簧的规律

①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反；

②弹力的大小为F＝kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量；

③弹簧的弹力不会发生突变。

案例探究：

案例1如图所示，一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2的两根细绳OA、OB上，OB一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，OA水平拉直，物体处于平衡状态，现在将OA剪断，求剪断瞬间物体的加速度，若将绳OB换为长度为L2的弹簧，结果又如何？

分析与解答：

为研究方便，我们将两种情况对比分析。

（1）剪断前，两种情况小球受力一样，分别如图（1）、（2）所示，利用平衡条件，

则mg 与F 2的合力与F 1大小相等，方向相反，可以解得F 1＝mg tgθ。

（2）

（3）剪断后瞬间，绳OA 产生的拉力F 1消失，对绳来说，其伸长量很微小，可以忽略不计，不需要形变恢复时间，因此，绳子中的张力也立即发生变化，这时F 2将发生瞬时变化，mg 与F 2的合力将不再沿水平方向，而是由于小球下一时刻做单摆运动沿圆弧的切线方向，与绳垂直，如图（3）所示，F 合＝mgsinθ，所以a ＝gsinθ。

对弹簧来说，其伸长量大，形变恢复需要较长时间，认为弹簧的长度还没有发生变化。这时F 2不发生变化，故mg 与F 2的合力仍然保持不变，与F 1大小相等，方向相反，如图（4）所示，所以F 合＝F 1＝mgstgθ，a ＝gstgθ。

案例2 一根细绳，长度为L ，一端系一个质量为m 的小球，在竖直面内做圆周运动，求小球通过最高点时的速度至少是多少？若将绳换为一根匀质细杆，结果又如何？

分析与解答：

（1）对绳来说，是柔软的物体，它只产生拉力，不能产生支持作用，小球在最高点时， 弹力只可能向下，如图（1）所示。

这种情况下有mg L

mv

mg F ≥=

+2

即gL v ≥，否则不能通过最高点。

（2）对细杆来说，是坚硬的物体，它的弹力既可能向上又可能向下，速度大小v 可以取任意值。

可以进一步讨论：

①当杆对小球的作用力为向下的拉力时，如图（2）所示：

F ＋mg ＝L

m v 2

＞mg 所以 v ＞gL

②当杆对小球的作用力为向上的支持力时，如图（3）所示：

mg －F ＝L

m v 2

＜mg 所以 v ＜gL

当N ＝mg 时，v 可以等于零。

③当弹力恰好为零时，如图（4）所示：

mg ＝L

m v 2

所以 v ＝gL

案例3 如图所示，小车上固定一弯折硬杆ABC ，C 端固定质量为m 的小球，已知α＝30°恒定。当小车水平向左以v ＝0.5m/s 的速度匀速运动时，BC 杆对小球的作用力的大小是 ，方向是 ；当小车水平向左以a ＝g 的加速度做匀加速运动时，BC 杆对小球的作用力的大小是 ，方向是 。

分析与解答：

对细杆来说，是坚硬的物体，可以产生与杆垂直的横向的力，也可以产生与杆任何夹角的弹力。

（1）当小车水平向左以v ＝0.5m/s 的速度匀速运动时，由平衡条件，细杆对小球的力必定与重力等大反向，如图（1）所示。

（2）当小车水平向左以a ＝g 的加速度做匀加速运动时，小球所受合力F 合＝mg 沿水平方向，则小球受细杆的弹力N ＝2mg ，与水平方向夹角为45°，如图（2）所示。

轻杆、轻绳、轻弹簧都是忽略质量的理想模型，它们的力学特征既有相同又有相异，由不同模型构建的物理情景因而具有不同的性质和规律。

一、力的方向有异

1. 轻绳提供的作用力只能沿绳并指向绳收缩的方向；

2. 轻弹簧提供的作用力只能沿弹簧的轴线方向，与弹簧发生形变的方向相反；

3. 轻杆提供的作用力不一定沿杆的方向，可以是任意方向。

例题1 如图1所示，水平轻杆的一端固定在墙上，轻绳与竖直方向的夹角为37°，小球的重力为8N ，绳子的拉力为5N ，水平轻弹簧的拉力为6N ，求轻杆对小球的作用力。

解析：小球受四个力作用：重力、绳子的拉力、弹簧的拉力，以及轻杆的作用力，其中只有轻杆的作用力的方向不能确定，如图2所示，重力、弹力、轻绳的拉力三者的合力为：

55()F N ==

方向与竖直方向成37°斜向下，这个力与轻绳的拉力恰好在同一直线上。根据物体平衡的条件，可知轻杆对小球的作用力大小为5N ，方向与竖直方向成37°斜向上。

二、力的效果有异

1. 轻绳只能提供拉力。

2. 轻杆、轻弹簧既可以提供拉力，又可以提供推力。

例题2 用长为l 的轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动，要使小球能做完整的圆周运动，则小球在最低点的速度v 最小为多少？

解析：由轻绳的力学特性可知，要使小球在竖直平面内能做完整的圆周运动，则小球在最高点时有一个临界速度v 0，这个速度对应绳子的张力恰好为零，由重力提供向心力，即有：

2

mv mg l

=，得 0v =

根据机械能守恒定律，易求出小球在最低点时的临界速度为

v

即要使小球在竖直平面内能做完整的圆周运动，小球在最低点的速度v 必须大于等于

例题3 在例题2中，把轻绳改为轻杆，要使小球在竖直平面内能做完整的圆周运动，则小球在最低点的速度v 最小为多少？

解析：由轻杆的力学特征可知，要使小球在竖直平面内能做完整的圆周运动，则只要小球在最高点时的速度稍微大于零即可，这时杆提供支持力。由机械能守恒定律，易求出小球

在最低点的速度为：v =低点的速度v

必须大于。

三、力的突变性有异

1. 轻绳、轻杆的作用力可以发生突变。

2. 轻弹簧的作用力有的情况下不能发生突变，有的情况下可以发生突变。

例题4 如图3所示，a 中A 、B 用轻绳相连系于天花板上；b 中C 、D 用轻杆相连置于水平面上；c 中E 、F 用轻弹簧相连置于水平面上；d 中G 、H 用轻弹簧相连再用轻弹簧系于天花板上，每个物体的质量相同。现在a 中剪断系于天花板的绳；在b 、c 中撤掉支持面；在d 中剪断系于天花板上的弹簧，则在解除外界约束的瞬间，以上四种情况中各个物体的加速度分别为多大？

解析：在a 、b 两种情况下，解除外界约束的瞬间，轻绳、轻杆的作用力都突变为零，A 、B 、C 、D 均做自由落体运动，故有：

A B C D a a a a g ====； 在c 中解除外界约束的瞬间，弹簧的弹力不能发生突变，仍为原来的值（这是由于弹簧恢复原状需要时间的缘故），E 受到的合力仍为零，F 受到的合力为2mg ，故0E a =，

2F a g =；在d 中解除外界约束的瞬间，G 受到的向上的弹力突变为零，因而受到的合力为2mg ，而系于G 、H 之间的弹簧的弹力不能发生突变，仍为原来的值，H 受到的合力仍为零，故2G a g =，0H a =。

四、模型连接效果有异同

1. 串联轻弹簧与并联轻弹簧

（1）两个劲度系数分别为k 1、k 2的轻弹簧，设串联后的劲度系数为k ，则有：

12111

k k k =+， 即 1212

k k k k k =+ （证明略） （2）两个原长相等、劲度系数分别为k 1、k 2的轻弹簧，并联后的劲度系数设为k ，

则有：

12k k k =+（证明略）

2. 固定轻杆与铰链轻杆

（1）固定轻杆即不可转动的轻杆。

例题5 如图4所示，轻杆的一端固定在竖直的墙上，另一端装有一光滑的小滑轮，细绳绕过小滑轮一端系住一重物，另一端拴于墙壁上的P点。现把拴于墙上P点的绳端向上移动，则轻杆的作用力如何变化？

解析：轻绳上各点的拉力大小相等。在P点绳端向上移动的过程中，绳上拉力的大小不变，但两段绳的拉力的夹角变大。以绳与滑轮相接触点为研究对象，根据矢量的合成法则作出平行四边形，可知两段绳的拉力的合力变小，且与水平面间的夹角也变小。再由平衡条件可知：固定轻杆对悬绳的作用力变小，方向与水平面的夹角也变小。

（2）铰链轻杆即可转动的轻杆。

例题6 如图5所示，轻杆的一端铰链连接于墙壁上，另一端装有一光滑的小滑轮，细绳绕过小滑轮一端系住一重物，另一端拴于墙壁上的P点，整个系统处于平衡状态。现把拴于墙上P点的绳端向上移动，并保证系统始终处于平衡状态，则轻杆的作用力如何变化？

解析：当轻杆以铰链形式连接时，要使轻杆处于平衡状态，则两段轻绳的作用力的合力必须沿轻杆轴线方向。所以，把拴于墙上P点的绳端向上移动并保证系统始终处于平衡状态时，轻杆的作用力始终沿杆的方向；由于两段绳的作用力大小相等，故轻杆总是处在两绳夹角的角平分线上。

往上移动拴于墙上P点的绳端时，两段绳的夹角增大，故轻杆必须顺时针方向转动达到新的对角线位置才可以使系统平衡。以轻绳与滑轮相接触点为研究对象，根据矢量的合成法则作出平行四边形，可知两段绳的拉力的合力变小，这一点与例题5中的情形是相同的，与例题5不同的是，轻杆的作用力始终沿杆的方向。