第十一章三角形
第十一章、三角形：本章主要学习与三角形有关的线段、角及多边形的内角和等内容。本章重点：三角形有关线段、角及多边形的内角和的性质与应用。本章难点：正确理解三角形的高、中线及角平分线的性质并能作图，及三角形内角和的证明与多边形内角和的探究。
第十一章 三角形 11．1．1三角形的边
【教学目标】
1、知识与技能、理解三角形的表示法，分类法以及三边存在的关系，发展空间观念。
2、经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最简单，最基本的几何图形，提高推理能力。
3、培养学生数学分类讨论的思想。
4、培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价值。
【重点】掌握三角形三边关系 【难点】三角形三边关系的应用 【教学过程】 一、目标导入
教师指导学生看课本图片，学生欣赏并从中抽象出三角形。三角形是一种最常
见的几何图形，
问题：你能举出日常生活中三角形的实际例子吗？ 二、自主学习(1)：
1.自学内容：教材第63页第4―10行文字.
2.自学要求：学生理解边、角、顶点的意义而不是背其定义；让学生感受数学语言的逻辑性，严密性。 三、交流展示(1)：
1：三角形定义：____________________________________________________ 2：怎样用几何符号表示你所画的三角形？什么是三角形的顶点、边、角？ 3、现实生活中，你看到一些形状不同的三角形，你能画出吗？
不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC 用符号表示为△ABC 。三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.
四、自主学习(2)：
1.自学内容：课本63页第11行到64页‘探究‘上；
2.自学要求：学生会对三角形分类；学生明白对于同一事物可采用几种不同的分类标准．
五、交流展示(2)
１. 三角形可采用几种不同的分类标准？如何分类？ ２.如何给你所画的这些形状各异的？
我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
按角分类:
三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形
a b
c (1)
C B A ???
???
钝角三角形
那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。 三边都相等的三角形叫做等边三角形； 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。
按边分类:
三角形 不等边三角形
等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
六、自主学习(3)： 1.自学内容：课本64页探究到例题上；
2.自学要求：学生理解三角形三边之间的关系，能进行简单说理． 七、交流展示(3)
探究：[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？
有两条路线：（1）从B→C ，（2）从B→A→C ；不一样， AB+A C ＞BC ①；因为两点之间线段最短。
同样地有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③
由式子①②③我们可以知道什么？
1、三角形三边之间的关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边.
,理论依据是__________________________.
2、记住：三角形三边之间的关系定理的推论：三角形的两边之差大于第三边；
3、下列长度的三条线段能否围成三角形？为什么？ ⑴ 2，4，7 ⑵ 6，12，6 ⑶ 7，8，13
4、现有两根木棒，它们的长分别为40cm 和50cm ，若要钉成一个三角形木架（?不计接头），则在下列四根木棒中应选取（ ）
A ．10cm 长的木棒
B ．40cm 长的木棒
C ．90cm 长的木棒
D ．100cm 长的木棒
5．已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长x 的取值范围是____．?若x 是奇数，则x 的值是______；这样的三角形有______个；?若x?是偶数，?则x?的值是______；这样的三角形又有________个． 八、自主学习(4)：
1.自学内容：课本64页例题；
2.自学要求：让学生体会数学的严密性。 1能否利用代数中方程思想解决几何问题。 2能否用分类讨论方法解决问题。
3求出三边后还需用三角形三边之间关系检验。 例题(略)
九、课堂练习
1、已知一个等腰三角形两边长是4cm 和9cm ，求它的周长？
2、已知一个等腰三角形两边长是5cm 和9cm ，求它的周长？ 十、巩固练习
课本：65页练习
已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，b 、c 满足（b-2）2
+│c-3│=0， 且a 为方程│x-4│=2的解，
求△ABC 的周长，判断△ABC 的形状． 十一、小结
1、三角形定义：_________________________
2、三角形进行分类：
3、三角形三边之间的关系定理：_____________________,理论依据是___________________.三角形三边之间的关系定理的推论：_______________。
总结反思
底边 底角 底角 ??????
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
【学习目标】
1、知识目标：认识三角形的高、中线与角平分线.
2、能力目标：会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线, 通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于一点.
3、情感目标：采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养自己主动参与、勇于探究的精神。
【重点难点】
重点：
(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的
高、中线与角平分线.
(2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.
难点：
(1)三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.
(2)钝角三角形高的画法.
(3)不同的三角形三条高的位置关系.
【课型】新授课
【教学过程】
一、复习巩固：
1、图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。
2、如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有（）个。
3、以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的是（）
A．3，3，3 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，2，6
4、等腰三角形的两边长分别为12cm和8cm，这个等腰三角形的周长是．
二、自主学习：
1.自学内容：课本65页 ----66页
2.自学要求：阅读课本内容，仔细观察上表中的内容,并回答下面问题.
(1)什么叫三角形的高?三角形的高与垂线有何区别和联系?
(2)什么叫三角形的中线?连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系?
(3)什么叫三角形的角平分线?三角形的角平分线与角平分线有何区别和联
1.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还 是代表射线或直线?
2.如图，AF 是ΔABC 的角平分线，AE 是BC 边 上的中线，选择“＞”、“＜”或“=”号填空： （1）BE___EC
（2）∠CAF___2
1
∠BAC
（3）∠AFB___∠C+∠FAB （4）∠AEC___∠B 四、巩固练习：
1.在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.( 如果所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?钝角三角形的三条高在那里?)观察这三条高所在的直线的位置有何关系?
三角形的三条高____________,锐角三角形三条高交点在锐角三角形_____,直角三角形三条高线交点在直角三角形________,而钝角三角形的三条高的交点在钝角三角形__________.
2.在练习本上画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线.( 如果所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里)?观察这三条中线的位置有何关系?
三角形的三条中线都在三角形________,它们__________,这个交点在______________.
3.在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系?
无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都在_________________,并且________.
4.课本66页 练习1.2题
五、探究拓展
如图,在△ABC 中,AE,AD 分别是BC 边上中线和高, （1）说明△ABE 的面积与△AEC 的面积有何关系？ （2）你有什么发现？
同高等底的两个三角形的面积________.
三角形的中线把三角形分成两个面积_______的三角形。
六、课堂小结：
A B D
E C
E F C B A
1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。
2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。
七、布置作业：
教科书69页:3.4题 70页 8.9题
总结反思
11.1.3三角形的稳定性
【学习目标】
1、知识目标：通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，
2、能力目标：稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用
3、情感目标：采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养自己主动参与、勇于探究的精神。
【重点难点】
重点：了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用
难点：准确使用三角形稳定性与生产生活之中
【课型】新授课
【教学过程】
一、看一看，想一想
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么这样做呢？
二、做一做
1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
三、议一议
从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。
三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，
三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
四、三角形稳定性应用举例、四边形没有稳定性的应用举例
五、练一练
课本P68练习
六、作业：课本P69 5、8
总结反思
11.2.1 三角形的内角和
【学习目标】
1、了解三角形的内角；
2、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180度；
3、学会解决与求角有关的实际问题；
4、初步培养学生的说理能力。 【重点难点】
重点：了解三角形的内角和性质，学会解决简单的实际问题。 难点：说明三角形内角和等于180度。 【课型】 新授课 【教学过程】
一、动手操作，初步感知 老师向学生提出问题：
1、三角形的内角和等于多少度？
2、在纸上画一个三角形将将它的内角剪下，试着拼拼看。
3、在同伴交流有哪些不同的拼合方法。
设计意图：从丰富的拼图活动中发展学思维的灵活性，创造性，为下一环节“说理”做准备。
二、实践说理，深入新知 问题：
1、由刚才拼合而成的图形，你能想出说明“三角形内角和等于180度"这个结论的正确方法吗？
2、把你的想法与同伴交流．
3、各小组派代表展示说理方法．
4、请同学们归纳上述各种不同的方法。
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出
∠BCD 的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800
。
图1 想一想，还可以怎样拼？
①剪下∠A ，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800
。
图2
②把B ∠和C ∠剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800
。
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800。
证明一
过点C作C M∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800
∴∠A+∠B+∠ACB=1800。
即：三角形的内角和等于1800。
由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。
设计意图：在说理过程中，更加深刻地理解多种拼图方法，创设不同说理方法的表达情境。
三、应用新知
在△ABC中，
(1)已知∠A =0
80，能否知道∠B，∠C的度数？
(2)已知∠A =0
52，则∠C =
80，∠B=0
(3)已知∠A =0
40，则∠C
80，∠B-∠C＝0
100,∠C =2∠A，能否求∠A、∠B、∠C的度数？
(4)已知∠A +∠B=0
（5）已知∠A:∠B:∠C=1:3:5，能否求∠A、∠B、∠C的度数？
2、出示教科书73页例。
例题(略)
四、课堂练习
课本74面1、2题。
已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。五、总结归纳
采用让学生归纳、补充，然后教师补充的方式进行。
1、本节课我们学了什么知识？
2、你有什么收获？
设计意图：发挥学生主体意识，培养学生语言概括能力。
六、布置作业
教科书76页第1、3、4题。
总结反思
11．2．2三角形的外角
【教学目标】
1、知识与技能: 使学生初步掌握三角形内角和定理的两个推论，并会应用．。
2、过程与方法：培养学生总结知识内容，使之条理化，以便加深理解和记忆，养成良好的学习习惯．
3、培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力。 【重点】三角形内角和定理推论的应用．
【难点】三角形外角的概念．真正理解推论，并能灵活运用． 【课型】 新授课 【教学过程】 一、目标导入
如图，△ABC 的三个内角是什么？它们有什么关系？ （是∠A 、∠B 、∠C ，它们的和是1800。）
若延长BC 至D ，则∠ACD 是什么角？这个角与△ABC 的三个内角有什么关系？
二、自主学习(1)：
1.自学内容：教材第74页“探究”上.
2.自学要求：学生理解三角形外角的概念。 三、交流展示(1)：
1：三角形外角的定义：________________________________ 2：外角的特征有三：(1)顶点在___________上．(2)一条边是______________．(3)另一条边是__________________．
3、画出一个三角形，并画出它的所有外角。
4、下列图中，∠1、∠2、∠3哪些是△ABC 的外角？
四、自主学习(2)：
1.自学内容：课本74页探究到75页第4行；
2.自学要求：学生理解三角形内角和定理推论 五、交流展示(2)
容易知道，三角形的外角∠ACD 与相邻的内角∠ACB 是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？
如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD 与∠A 、∠B 的关系吗？
D
∵C E ∥AB ， ∴∠A=∠1，∠B=∠2 又∠ACD=∠1+∠2 ∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 由加数与和的关系你还能知道什么？
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 即 A A C D ∠>∠，B ACD ∠>∠。
六、自主学习(3)：
1.自学内容：课本75页例题；
2.自学要求：学生能灵活运用三角形内角和定理推论
例 如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC 的三个外角，它们的和是多少？
分析：∠1与∠BAC 、∠2与∠ABC 、∠3与∠ACB 有什么关系？∠BAC 、ABC 、∠ACB 有什么关系？
解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800， ∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400 又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800
∴∠1+∠2+∠3==3600。
你能用语言叙述本例的结论吗？ 三角形外角的和等于3600。
七、交流展示(3) 1、课本75页练习
2、已知：D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于F ，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°
求：(1)∠BDC 度数．(2)∠BFD 度数． 八、巩固练习：
1. 一个三角形的两内角分别55°和65°，它的外角不可能是（ ） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130°
2. 已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能
3. 已知，如图，在△ABC 中，D 是三角形内一点，
求证：∠BDC>∠BAC 。
九、小结
1、什么是三角形外角？
2、三角形的外角有哪些性质？
（1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4. 三角形的外角和等于360°。
找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的方法是讲清定义，图形
分析，变换位置，思路清晰．）
十、布置作业：课本76页2、5、6、8、10。
总结反思
11.3.1多边形
【学习目标】 1、知识目标：（1）了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念． （2）区别凸多边形与凹多边形． 2、能力目标： 探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系及转化思想的渗透. 3、情感目标：采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养自己主动参与、勇于探究的精神. 【重点难点】 重点：（1）了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念． （2）探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系. 难点：（1）多边形定义的准确理解．
（2）多边形的边数与对角线的数量之间的关系. 【课型】 新授课 【学习过程】 一、复习引入： 1.三角形的定义.
2.求下列图中各标出角的度数.
3.三角形的外角与内角的关系：
（1）三角形的一个外角与它相邻的内角 ；
（2）三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角的和； （3）三角形的一个外角 _ 任何一个与它不相邻的内角. 二、自主学习：
1.自学内容：课本79页 ----80页
2.自学要求：阅读课本内容，并回答下面问题. （一）.多边形的定义:
_________________________________________________________的图形称为n 边形.________________是最简单的多边形.
(1)多边形分为:____多边形和____多边形.画多边形的任何一条边所在直线,整个多边形______这条直线的_________,这样的多边形叫做凸多边形,类似地,画多边形的任何一条边所在直线,整个多边形________这条直线的 _________.这样的多边形叫做凹多边形.本节是讨论凸多边形.
（2）凸多边形的特征:凸多边形的每个内角可为锐角或直角或钝角. （二）.多边形的边,内角,外角.(画图说明)
92 o 60 o
1
1 55°
60°
2 1 2
45° 35° 32°
(1)组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
(2)__________________________________叫做多边形的内角.
(3)_________________________________________叫做多边形的外角.
(三).多边形的对角线
(1)_________________________________________叫做多边形的对角线.
(2)多边形的对角线的条数:(画图说明)
①从n边形的一个顶点可以引________条对角线。将多边形分成________
个三角形.
② n 边形共有_____________条对角线.
（四）.正多边形
(1)像正方形这样，各个角________，各条边________的多边形叫正多边形.如正三角形，正四边形，正六边形等等.
(2) 一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
(3)一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
三、交流展示：
1.交流上述问题答案.
2. 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m= ，n= ，k= .
四、巩固练习：
1.课本81页练习1.2题
2.有一个家庭联谊会，参加的家庭全部是三口之家，在联谊会期间，每个人都要和别的家庭的每个成员握一次手。
（1）若参加会议的人数为15，则一共要握手多少次？
（2）若一共握手170次，则参加会议的人数是多少？
五、课堂小结
1、多边形及有关概念。
2、区别凸多边形和凹多边形。
3、正多边形的概念。
4、n边形对角线有1/2n（n－3）条。
六、布置作业：
1教科书84页:1题（做书上）
2、预习多边形的内角和
总结反思
11．3．2 多边形的内角和
[学习目标]
1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．
2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
[学习重点]
1多边形的内角和公式．
2多边形的外角和公式．
[学习难点]：多边形的内角和定理的推导．
[教学过程]
一、自主学习(1)：
1．自学内容：课本第81、82页例1前。
2．自学要求：完成课本提出的问题。
二、交流展示(1)：填空
1.从n边形的一个顶点出发，可以引______对角线,它们将n边形分成______三角形,n边形的对角线共有_______________.
2．n边形的内角和等于____________________.
3、8边形的内角和等于_______度, 十边形内角和等于_______度.
从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求。现在以五边形为例，你还有其它的分法吗？
先让学生发表自己的看法。
分法一如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形。
∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°。
E
图1 图2
分法二如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形。
∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°
如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和＝（n一2）×180°．三、自主学习(2)：
1．自学内容：课本第82页例1、2。
2．自学要求：例1、2有问题的小组讨论解决。
四、交流展示(2)：
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．
A B
C
D
分析：∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系？
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360°
又∠A＋∠C＝180°
∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180°
这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例 2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角
和．六边形的外角和等于多少？
如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF 的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？
1
2
3
4
A B
C
D
E
F
5
6
解：∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BAD=180° ∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180°
∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180° 又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°
∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360° 这就是说，六边形形的外角和为360°。
如果把六边形换成n 边形可以得到同样的结果： n 边形的外角和等于360°。
对此，我们也可以这样来理解。如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A 点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
填空：
1．n 边形的外角和等于____________________.
2．多边形的外角和与它的边数_______ （填“有”或“无”）关系．
3．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是_____边形。 4．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为 边形． 五．巩固练习： （一）、判断题．
1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（ ） 2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（ ） 3．三角形的外角和与其他多边形的外角和相等．（ ）
4．从n 边形一个顶点出发，可以引出（n 一2）条对角线，得到（n 一2）个三角形．（ ）
5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（ ） 6．内角和为1440°的多边形是 ．
7． 内角和等于外角和的多边形是 边形． （三）． 课本第83页练习1、2、3。第84页习题7.3 2、3 六．课堂小结
n 边形的内角和是多少度？ n 边形的外角和是多少度？
七．课堂测试 选择题．
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ）
A ．互为余角
B ．互为邻补角
C ．两个角相等
D ．外角大于内角 2．若n 边形每个内角都等于150°，那么这个n 边形是（ ） A ．九边形 B ．十边形 C ．十一边形 D ．十二边形
3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（ ） A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．9条
4．随着多边形的边数n 的增加，它的外角和（ ） A ．增加 B ．减小 C ．不变 D ．不定
5．若多边形的外角和等于内角和，它的边数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．7 八、课后作业
课本P85第4、5、6、7、8、9、10题． 拓展探究
1、小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680° ，你能否求得正确结果呢？
2、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。将一个多边形截去一个
角后(没有过顶点）得到多边形的内角和将会（）
A、不变
B、增加180°
C、减少180°
D、无法确定
总结反思
11．4数学活动：镶嵌
[教学目标]
1、知道能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形或正六边形；
2、了解平面镶嵌的条件，能用多边形进行简单的镶嵌设计。
[重点难点]
平面镶嵌的条件和简单的镶嵌设计是重点；
用两种或三种多边形进行平面镶嵌是难点。
[教学过程]
一、情景导入
回想一下，你家屋内铺设的地板是什么图形？街道两边的便道是用什么形状的砖铺设的？为什么这样的砖能铺成无缝隙的地面呢？
二、平面镶嵌及条件
下面的图形是由一些地板砖铺成的，看看它们有什么特点？[投影1]
都是一些多边形；相互不重叠；把一部分平面完全覆盖。
用一些不重叠
．．．摆放的多边形把平面的一部分完全覆
．．．
盖．，通常把这类问题叫做平面镶嵌（或用多边形覆盖平
面）的问题
怎样的多边形才能进行平面镶嵌呢？
任意剪一些形状、大小相同的三角形纸板，拼一拼，
看它们能否镶嵌成平面图案。[投影2]
任意剪一些形状、大小相同的四边形纸板，拼一
拼，看它们能否镶嵌成平面图案。[投影3]
任意剪一些形状、大小相同的五边形纸板，拼一拼，看
它们能否镶嵌成平面图案。[投影4]
任意剪一些形状、大小相同的正六边形纸板，拼一拼，
看它们能否镶嵌成平面图案。[投影5]
为什么有的多边形可以镶嵌成平面图案，有的又不能呢？
仔细观察我们镶嵌成的平面图案，在拼接的同一个顶点处
各个角有什么关系？
同一个顶点处的各个角的和等于360°，且相邻的多边形有公共边.。 也就是说，只要满足这条件就能进行平面镶嵌。
正五边形在同一个顶点处各角的和不能等于360°，所以正五边形不能进行平面镶嵌。同理，其它多边形也不能单独进行平面镶嵌。
因此，能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形和正六边形。 三、平面镶嵌的设计 既然只要满足“同一个顶点处的各个角的和等于360°”就能进行平面镶嵌，那么多种多边形只要满足这个条件也应该能进行平面镶嵌。
试一试，哪些多边形可以在一起进行平面镶嵌？
1、正三角形和正方形[投影6]
2、正三角形与正六边形[投影7]
1、 正八边形与正方形[投影8]
4、正方形、正五边形和正十二边形[投影9]
除此之外，
还有很多，大家可以在课外搜集一些其他用多边形镶嵌的平
面图案，或者设计一些地板的平面镶嵌图，相互交流一下。
四、课堂练习
1.能够用一种正多边形铺满地面的是____。
A 、正五边形
B 、正六边形
C 、正七边形
D 、正八边形
2.如果用正三角形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有__个正三角形。
3.如果用正三角形和正六边形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有____个正三角形和____个正六边形或 ____个正三角形和____个正六边形。
五、课堂小结
1、能单独进行平面镶嵌的多边形有哪几种？
2、平面镶嵌的条件是什么？
3、可以用一种多边形进行平面镶嵌，也可以用多种多边形进行平面镶嵌。
平面镶嵌在生活中有着广泛的应用。
总结反思
本章小结
一、知识结构
二、回顾与思考
1、什么是三角形？什么是多边形？什么是正多边形？
三角形是不是多边形？
2、什么是三角形的高、中线、角平分线？什么是对角线？
三角形有对角线吗？n边形的的对角线有多少条？
3、三角形的三条高，三条中线，三条角平分线各有什么特点？
4、三角形的内角和是多少？n边形的内角和是多少？
你能用三角形的内角和说明n边形的内角和吗？
5、三角形的外角和是多少？n边形的外角和是多少？
你能说明为什么多边形的外角和与边数无关吗？
6、怎样才算是平面镶嵌？平面镶嵌的条件是什么？能单独进行平面镶嵌的多边形有哪些？
你能举一个几个多边形进行平面镶嵌的例子吗？ 三、例题导引
例1 如图，在△ABC 中，∠A ︰∠B ︰∠C=3︰4︰5，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，BD 、CE 相交于点H ，求∠BHC 的度数。
例2 如图，把△ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，
探索∠A 与∠1＋∠2有什么数量关系？并说明理由。
例3 如图所示,在△ABC 中,△ABC 的内角平分线与外角平分线交于点P,试说明∠P ＝
1/2∠A.
(2)
P
C
B
A
四、巩固练习
课本90面复习题7
A
B
C
D E H
1
2
A
B
C
D
E
(完整版)第十一章《三角形》单元测试题及答案
2017—2018学年度上学期 八年级数学学科试卷 (检测内容：第十一章三角形) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，图中三角形的个数为( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 第1题图) ,第5题图) ,第10题图) 2．内角和等于外角和的多边形是( ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是( ) A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 4．已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是( ) A．3 B．5 C．7 D．9 5．如图，在△ABC中，下列有关说法错误的是( ) A．∠ADB＝∠1＋∠2＋∠3 B．∠ADE>∠B C．∠AED＝∠1＋∠2 D．∠AEC<∠B 6．下列长方形中，能使图形不易变形的是( ) 7．不一定在三角形内部的线段是( ) A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线 8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为( ) A．45° B．135° C．45°或67.5° D．45°或135° 9．一个六边形共有n条对角线，则n的值为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 10．如图，在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以点A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．等腰三角形的边长分别为6和8，则周长为___________________． 12．已知在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3，则∠C＝__________________． 13．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________________． 14．一个三角形的两边长为8和10，则它的最短边a的取值范围是________，它的最长边b 的取值范围是________． 15．下列命题：①顺次连接四条线段所得的图形叫做四边形；②三角形的三个内角可以都是锐角；③四边形的四个内角可以都是锐角；④三角形的角平分线都是射线；⑤四边形中有一组对角是直角，则另一组对角必互补，其中正确的有________．(填序号)
人教版八年级数学上册第十一章三角形练习题
1 / 2 A B C E A B C E A B E A B C E A B C D 第十一章三角形练习题 1．如图1所示，共有_____个三角形，其中以AB 为边的三 角形有_____，以∠C?为一个内角的三角形有______． 2．以下面各组线段为边，能组成三角形的是（ ）． A ．1cm ，2cm ，4cm B ．8cm ，6cm ，4cm C ．12cm ，5cm ，6cm D ．2cm ，3cm ，6cm 3．D 是△ABC 内一点，那么，在下列结论中错误的是（ ）． A ．BD+CD>BC B ．∠BDC>∠A C ．BD>C D D ．AB+AC>BD+CD 4．等腰三角形的周长为20cm ，一边长为6cm ，则底边长为______． 5．下列图形中有稳定性的是（ ） A ．正方形 B ．长方形 C ．直角三角形 D ．平行四边形 6．下列四组图形中，BE 是△ABC 的高线的图是（ ） 7．下列说法中正确的是 （ ） A ．三角形的内角中至少有两个锐角 B ．三角形的内角中至少有两个钝角 C ．三角形的内角中至少有一个直角 D ．三角形的内角中至少有一个钝角 8．已知在△ABC 中，∠A=40°，∠B-∠C=40°，则∠B=_____，∠C=______． 9．如图2所示，∠α=_______． 10．一个三角形的两个内角分别是55°和65°，?这个三角形的外角不可能是（ ）． A ．115° B ．120° C ．125° D ．130° 11．三角形的三个外角中，钝角的个数最多有______个，锐角最多_____个． 12．在△ABC 中，∠A =60°，∠C =2∠B ，则∠C =__________. 13．正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正（ ）边形． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 14．若n 边形的内角和是1260°，则边数n 为（ ）． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 15．某人到瓷砖店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，?他购买的瓷砖形状不可以是（ ）． A ．正三角形 B ．矩形（长方形） C ．正八边形 D ．正六边形 图1 图2
第十一章三角形知识点归纳
第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法：最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ，则第三边的取值范围是 两边之差＜第三边＜两边之和 例：下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例：已知三角形的两边分别是7和12，则第三边长得取值范围为（ ） 考点二：5、三角形具有 性，四边形具有 性 例：下列图形具有稳定性的是（ ） A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三： 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线，垂足为D ， 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注：三角形面积=底×底边上的高 例：AD 是△ABC 的高，∠ADB=∠ADC= 例：AD 是△ABC 的高，AD=3，BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D ， 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言： AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注：三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
D 例：AD 是△ABC 的中线 ，BD=3，则CD= ，BC= ， 若△ABC 的面积是18，则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ，那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言： AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例：AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC=70度，则∠BAD= ,∠CAD= 考点四：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言：∠A+∠B+∠C= 例：在△ABC 中，∠B=45度，∠C=55度，则∠A= 考点五：三角形的外角 1、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言： ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例：如图，已知∠ACD=120度，∠B=50度，则∠A= 考点六：n 边形的内角和公式等于 例：计算五边形的内角和是 例：一个多边形的内角和是720度，则这个多边形的边数是 考点七：多边形的外角和等于 例：十二边形的外角和等于 例：正多边形的每个外角的度数都是40度，则这个正多边形的边数是
新人教版八上第十一章《三角形》培优练习
第十一章 三角形习题集 第1课时 三角形的边——三边关系 姓名：___________ ☆知识导学 1．若三角形的两边长分别为a ，b(a ＞b)，则第三边长x 的取值范围是_______________________． 2．三角形具有___________，四边形具有_____________． ☆习题演练 1．已知三角形ABC 三边a 、b 、c 满足（a-b ）2+|b-c|=0，则△ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．以上都不对 2．不能组成一个三角形的三条线段的长度是（ ） A ．3，3，3 B ．3，6，2 C ．3，4，3 D ．3，5，7 3．（2012?海南）一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．7cm D ．11cm 4．（2013?南通）有3cm ，6cm ，8cm ，9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．（2012?肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．16或20 6．下列说法中正确的是（ ） A ．三角形的内角中至少有两个锐角 B ．三角形的内角中至少有两个钝角 C ．三角形的内角中至少有一个直角 D ．三角形的内角中至少有一个钝角 7．图中有______个三角形，用符号表示这些三角形：__________________________． 8．在△ABC 中，已知两条边a=6，b=7，则第三条边c 的取值范围是_________________． 9．若三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，则第三边可以是________（只填符合条件的一个即可）． 10．（2012?哈尔滨）一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是________________． 11．若三角形的两边长分别为3和5，则它的周长l 的取值范围是________________． 12．（提高题）△ABC 的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有________个． 13．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB ，CD 两根木条），这样做的数学道理是_____________________________． 14．用一条长为20cm 的铁丝围成一个等腰三角形能围成有一边长为6cm 的等腰三角形吗？为什么？ 第7题图 第13题图
第十一章三角形单元测试卷
《第十一章三角形》单元测试测试目标： 1、检查学生对本单元知识的理解和掌握情况。 2、培养学生独立解题的能力，养成良好的解题习惯。 测试方式： 两节课，教师巡视，学生答题。全批全改。 附单元测试卷：
八年数学上册第十一章三角形单元测试题 （全卷满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（） A．1 cm，2 cm，4 cm B．8 cm，6 cm,4 cm C．12 cm，5 cm，6 cm D．2 cm，3 cm ,6 cm 2.等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，则此三角形的周长是（） A．15 cm B．20 cm C．25 cm D．20 cm或25 cm 3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定， 这里所运用的几何原理是（） Ａ．三角形的稳定性 Ｂ．两点之间线段最短 Ｃ．两点确定一条直线 Ｄ．垂线段最短 4.已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 5.下列说法中正确的是（） A．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形 B．等腰三角形任何一个角都有可能是钝角或直角 C．三角形外角一定是钝角 D．在△ABC中，如果∠AB∠C，那么∠A60°，∠C60° 6.（2014·重庆中考）五边形的角和是（） A．180° B．360° C．540°D．600° 7.不一定在三角形部的线段是（） A.三角形的角平分线 B.三角形的中线 C.三角形的高 D.以上皆不对 8.已知△ABC中，，周长为12，，则b为（） A．3 B．4 C．5 D．6 9.如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则 ∠C的度数为（） A.30° B.40° C.45° D.60° 10.直角三角形的两锐角平分线相交成的角的度数是（） A O B 第3题图
第十一章 三角形知识点总结
第十一章三角形 一．三角形知识要点梳理 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。 4、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 5、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 6、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 二．多边形知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封 闭图形叫做多边形。 凸多边形 多边形分类1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形分类2：叫做正多边形。 非正多边形： 1、边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理2、任意多形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 三．典型例题讲解 类型一：多边形内角和及外角和定理应用 1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？ 总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合
最新人教版 第十一章三角形单元测试及答案
八年级数学第11章三角形测试题 一、填空题． 1．三角形的三个外角中，钝角的个数最多有______个，锐角最多_____个． 2．造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了_______，而活动挂架则用了四边形的________． 3．用长度为8cm，9cm，10cm的三条线段_______构成三角形．（?填“能”或“不能”）4．要使五边形木架不变形，则至少要钉上_______根木条． 5．已知在△ABC中，∠A=40°，∠B-∠C=40°，则∠B=_____，∠C=______． 6．如图1所示，AB∥CD，∠A=45°，∠C=29°，则∠E=______． (1) (2) (3) 7．如图2所示，∠α=_______． 8．正十边形的内角和等于______，每个内角等于_______． 9．一个多边形的内角和是外角和的一半，则它的边数是_______． 10．把边长相同的正三角形和正方形组合镶嵌，若用2个正方形，则还需要____个正三角形才可以镶嵌． 11．等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为______． 12．如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形的一个顶点有_____?条对角线．13．如图3所示，共有_____个三角形，其中以AB为边的三角形有_____，以∠C?为一个内角的三角形有______． 14．如图4所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________． (4) (5) (6) 二、选择题。 15．下列说法错误的是（）． A．锐角三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线分别交于一点 B．钝角三角形有两条高线在三角形外部 C．直角三角形只有一条高线 D．任意三角形都有三条高线，三条中线，三条角平分线 16．在下列正多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（）． A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 17．如图5所示，在△ABC中，D在AC上，连结BD，且∠ABC=∠C=∠1，∠A=∠3，则∠A 的度数为（）． A．30° B．36° C．45° D．72° 18．D是△ABC内一点，那么，在下列结论中错误的是（）．
人教版初中数学第十一章三角形知识点
第十一章三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 1．关于三角形的概念及其按角的分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2．三角形的分类： ①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. ②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形. 3．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短） 根据公理“两点之间，线段最短”可得： 三角形任意两边之和大于第三边. 三角形任意两边之差小于第三边. 例1．小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条． A．5cm B．3 cm C．17cm D．12 cm 【答案】D 【解析】 试题分析：根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可知： 对A，∵4+5=9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对B，∵4+3＜9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对C，∵4+9＜17，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对D，∵4+9＞12，12-9＜4，符合两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，故正确； 故选D． 考点：三角形的三边关系 例2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A．2，3，5 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，6 【答案】D． 【解析】 试题分析：A．2+3=5，故不能构成三角形，故选项错误； B．3+3=6，故不能构成三角形，故选项错误； C．2+5＜8，故不能构成三角形，故选项错误； D．4+5＞6，故，能构成三角形，故选项正确． 故选D． 考点：三角形三边关系． 例3．现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm．从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】C 【解析】 试题分析：根据三角形三边关系可知能组成三角形的木棒长度分别为：4cm、8cm、10cm；4cm、6cm、8cm 和4cm、8cm、10cm三种情况． 考点：三角形三边关系 例4．在下列长度的四根木棒中，能与两根长度分别为4cm和9cm的木棒构成一个三角形的是（）
第十一章三角形(知识点+题型分类练习)
三角形必背知识点 一、三角形基本概念 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 3. 三角形三边的关系（重点） 三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 解题方法： ①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形 方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可 ③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形 方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围 方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b
⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。 2. 三角形的中线 连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3. 三角形的角平分线 ∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 要求会的题型： ①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度 方法：利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。 三、三角形的稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角
八年级上册第十一章三角形单元备课
八年级上册第十一章三角形单元备课 一、本单元的教学内容及分析；1 三角形的特性；情境图；教材提供了一幅三角形在生活中应用的直观图，目的是；“哪些物体上有三角形？”激发学生学习三角形的兴趣；（2）例1，有关三角形定义的教学；在“画三角形”的操作活动中进一步感知三角形的属性；在已学的垂直概念的基础上，引入了三角形的底和高；最后，教材说明为了便于表述，如何用字母表 一、本单元的教学内容及分析 1 三角形的特性。 情境图。教材提供了一幅三角形在生活中应用的直观图，目的是让学生联系生活实际思考并说一说 “哪些物体上有三角形？”激发学生学习三角形的兴趣，而且引起学生对三角形及其在生活的作用的思考。 （2）例1，有关三角形定义的教学。 在“画三角形”的操作活动中进一步感知三角形的属性，抽象出概念。 在已学的垂直概念的基础上，引入了三角形的底和高。 最后，教材说明为了便于表述，如何用字母表示三角形。 （3）例2，三角形的稳定性，在生活中有着广泛的应用。让学生对三角形有更为全面和深入的认识。 （4）例3，三角形边的关系──任意两边的和大于第三边。
通过学生熟悉的生活实例创设问题情境，引发学生对三角形边的关系的思考。然后让学生动手实验，探究规律。 2 例4，三角形的分类。 （1）分两个层次编排。第一层次，按角分，认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；第二层次，按边分，认识特殊三角形：等腰三角形和等边三角形。 （2）用集合图直观地表示出，三角形整个集合与锐角三角形、直角三角形、钝角三角形之间整体与部分的关系。 （3）三角形按边分类，教材不强调分成了几类，着重引导学生认识等腰三角形、等边三角形边和角的特征。 3 例5，三角形的内角和。 （1）先通过让学生度量不同类型的三角形的内角度数，并分别计算出它们的和，使学生初步感知到它们的内角和是180°。在此基础上，教材再提出用实验的方法加以验证。 （2）实验的方法是把一个三角形的三个角剪下来，引导学生拼成一个平角来加以验证，并概括三角形的内角和是180°。 （3）“做一做”应用这一结论解决问题。 4 图形的拼组。 （1）例6，用同样大小的三角形拼四边形的活动，让学生体会三角形与四边形的关系。
第十一章三角形单元测试题 (人教版)
勤奋的人是时间的主人，懒惰的人是时间的奴隶。 第 1 页 共 1 页 贞丰二中八年级数学第十一章三角形测试题 1．如图四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图是（ ） 2．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是 （ ） A 、3cm ，5cm ，8cm B 、8cm ，8cm ，18cm C 、0.1cm ，0.1cm ，0.1cm D 、3cm ，40cm ，8cm 3．若三角形两边长分别是4、5，则周长c 的范围是（ ） A. 1 勤奋的人是时间的主人，懒惰的人是时间的奴隶。 第 2 页 共 2 页 8. 装饰大世界出售下列形状的地砖：○1正方形；○2长方形；○3正五边形；○4正六边形。若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 9. 下列图形中有稳定性的是（ ） A. 正方形 B. 长方形 C. 直角三角形 D. 平行四边形 10. 如图1，点O 是△ABC 内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°， 则∠BOC 等于（ ） A. 95° B. 120° C. 135° D. 无法确定 二. 填空题。（每空3分，共30分） 11、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是 __________________。 12、一面小红旗其中∠A=60°, ∠B=30°,则∠C= 。 13锐角三角形的三条高都在 ，钝角三角形有 条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的 。 14. 若等腰三角形的两边长分别为3cm 和8cm 15. 一个n 边形中，从一个顶点可以引 对角线； n 边形所有对角线的条数是 。 16. 如图2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE=ED=DC ，∠1=∠2，则 ○ 1AD 是△ABC 的边 上的高，也是 的边BD 上的高，还是△ABE 的边 上的高； ○ 2AD 既是 的边 上的中线，又是边 上的高，还是 的角平分线。 17、如图3，∠1＋∠2＋∠3＋∠ 4的值为 。 18.如图4，若∠A ＝70°，∠ABD ＝120°，则∠ACE ＝ . 19.如图5，AB ∥CD ，∠BAE=∠DCE=45°，则∠E= . 20. 若正n 边形的每个内角都等于150°，则n= ，其内角和为 。 图1 图2 D E 1 2 3 4 图3 图4 B E A C D 图5 初二上第十一章三角形单元测试及答案（人教版） （时限：100分钟总分：100分） 一、选择题：将下列各题正确答案的代号的选项填在下表中。（每小题2分，共24分。） 1.如图，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（） A. 360° B. 180° C. 255° D. 145° 2.若三条线段中a＝3，b＝5，c为奇数， 那么由a，b，c为边组成的三角形共有（） A. 1个 B. 3个 C. 无数多个 D. 无法确定 3.有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm， 从中选三条构成三角形，其中正确的选法有（） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 4.能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的（） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 以上都不对 5.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D.不能确定 6.在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（） 7.下列图形中具有稳定性的是（） A. 直角三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 平行四边形 8.如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°.D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC， 则∠AED的度数是（） °°°° 9.已知△ABC中，∠A＝80°，∠B、∠C的平分线的夹角是（） A. 130° B. 60° C. 130°或50° D. 60°或120° 10.若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线， 则它是（） A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形 八年级数学第十一章三角形测试题 （新课标） （时限：100分钟 总分：100分） 一、选择题：将下列各题正确答案的代号的选项填在下表中。 （每小题2分， 共24分。） 1.如图，△ ABC 中，/ C = 75°,若沿图中虚线截去/ 4. 能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的（ 5. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点, 是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 C,则/ 1 + / 2=( ) A. 360 B. 180 C. 255 2.若三条线段中a = 3, b = 5, c 为奇数, 那么由a , b , c 为边组成的三角形共有（ A. 1 个 B. 3 C.无数多个 D. 无法确定 3. 有四条线段，它们的长分别为1cm 2cm, 3cm, 4cm 从中选三条构成三角形，其中正确的选法有（ A. 1 种 B. 2 种 C. 3 D. 4 A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 以上都不对 那么这个三角形 D. 不能确定 D. 145 6. 在下列各图形中，分别画出了△ ABC 中 BC 边上的高AD,正确的是（ 10. 若从一多边形的一个顶点出发，最多可将其分成 8个三角形，则它是 （ ） A.十三边形 B. 十二边形 C. 十一边形 D.十边形 11. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和 45°角 的三角板的一条直角边重合，则Z 1的度数为（） 7.下列图形中具有稳定性的是（ A. 直角三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 平行四边形 8.如图，在△ ABC 中, Z A = 80°,/ 且DE// BC 则/ AED 的度数是（ A.40 B.60 9.已知△ ABC 中，/ A = 80 A. 130 B. 60 C. 130 °或 50° D. 60 °或 120° C ） B ? D 、E 分别 是 AB AC 上的点, B = 40 C.80 C ,/ B 、 C E C E A C A B C D 第十一章三角形练习题 1．如图1所示，共有_____个三角形，其中以AB 为边的三角形有_____，以∠C?为一个内角的三角形有______． 2．以下面各组线段为边，能组成三角形的是（ ）． A ．1cm ，2cm ，4cm B ．8cm ，6cm ，4cm C ．12cm ，5cm ，6cm D ．2cm ，3cm ，6cm 3．D 是△ABC 内一点，那么，在下列结论中错误的是（ ）． A ．BD+CD>BC B ．∠BDC>∠A C ．BD>C D D ．AB+AC>BD+CD 4．等腰三角形的周长为20cm ，一边长为6cm ，则底边长为______． 5．下列图形中有稳定性的是（ ） A ．正方形 B ．长方形 C ．直角三角形 D ．平行四边形 6．下列四组图形中，B E 是△ABC 的高线的图是（ ） 7．下列说法中正确的是 （ ） A ．三角形的内角中至少有两个锐角 B ．三角形的内角中至少有两个钝角 C ．三角形的内角中至少有一个直角 D ．三角形的内角中至少有一个钝角 8．已知在△ABC 中，∠A=40°，∠B-∠C=40°，则∠B=_____，∠C=______． 9．如图2所示，∠α=_______． 10．一个三角形的两个内角分别是55°和65°，?这个三角形的外角不可能是（ ）． A ．115° B ．120° C ．125° D ．130° 11．三角形的三个外角中，钝角的个数最多有______个，锐角最多_____个． 12．在△ABC 中，∠A =60°，∠C =2∠B ，则∠C =__________. 13．正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正（ ）边形． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 14．若n 边形的内角和是1260°，则边数n 为（ ）． A ．8 B ．9 C ． 10 D ．11 15．某人到瓷砖店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，? 他购买的瓷砖形状不可以是（ ）． A ．正三角形 B ．矩形（长方形） C ．正八边形 D ．正六边形 图1 图2 人教版八年级数学上册第十一章《三角形》单元测验〖解析 版〗 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一﹨选择题 1．〖2015秋?岑溪市期末〗下列长度的三条线段不能组成三角形的是〖〗A．2，3，4 B．4，5，6 C．3，4，5 D．1，3，4 2．〖2015秋?孝感月考〗现有2cm，4cm，5cm，8cm，9cm长的五根木棒，任意选取三根组成一个三角形，选法种数有〖〗 A．3种B．4种C．5种D．6种 3．若一个多边形每一个内角都是135o，则这个多边形的边数是〖〗A．6 B．8 C．10 D．12 4．某商店出售下列四种形状的地砖： ①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形． 若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有〖〗 A．4种B．3种C．2种D．1种 5．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是〖〗边形 A．7 B．6 C．5 D．4 6．〖2015秋?龙口市期末〗如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF 的值为〖〗 的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S △DGF A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．9cm2 7．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设〖〗 A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45° C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45° 8．下列多边形中，内角和与外角和相等的是〖〗 A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形 9．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是〖〗 11.1.1三角形的边教案 课型：新授课主备人：黄海娟复备人：八年级数学备课组 教学目标：1．三角形的概念，用符号语言表示三角形，并把三角形分类． 2．三角形三边不等的关系． 3．让学生懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，?能用于解决有关的问题教学重点：三角形三边不等关系．教学难点：判断三条线段能否构成一个三角形的方法． 教学过程： 一、读一读：课本1-3页探究前的内容 二、填一填：（见导学案），然后个别展示答案 三、练一练：（见导学案） （小组合作、交流、展示） 四、探一探，说一说：（课本第3页探究） 小结：三角形的三边关系 五、用一用：（导学案及课本第3页例题，） （小组合作、交流、展示） 六、谈一谈：本节课你学到了那些知识？还有哪些疑惑？ 七、测一测：（见导学案） 11.1.2三角形的高，中线与角平分线教案 课型：新授课主备人：黄海娟复备人：八年级数学备课组 教学目标：1.让学生认识并会画出三角形的高线，利用其解决相关问题； 2. 让学生认识并会画出三角形的中线，利用其解决相关问题； 3. 让学生认识并会画出三角形的角平分线，利用其解决相关问题；教学重点：让学生认识三角形的高线、中线与角平分线，并会画出图形 教学难点: 画出三角形的高线、中线与角平分线． 教学过程: 一、想一想： 1、三角形按边分可分为什么？按角分可分为什么？ 2、下列长度的三个线段能否组成三角形？ （1）3，6，8 （2）1，2，3 （3）6，8，2 二、看一看：课本第4-5页内容 三、探一探：（先独立再合作） （一）高线： 1、高线的定义 2、作出下列三角形三边上的高并归纳结论（见导学案） （二）中线： 1、中线的定义 2、作出下列三角形三边上的中线并归纳结论（见导学案） （三）角平分线： 1、角平分线的定义 2、作出下列三角形三角的角平分线并归纳结论（见导学案） 总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条。 巩固练习：课本第5页 四、谈一谈：本节课你学到了那些知识？还有哪些疑惑？ 五、测一测：（见导学案） 第十一章 三角形单元测试 一、填空题 1．图1中共有 个三角形．∠ADE 是△ 和△ 的 内角，是△ 的外角． 2．若三角形的两边长分别是7cm ，2cm ，且它的周长为偶数，则第三边长是 ． 3．等腰三角形的一边长为4cm ，另一边长为9cm ，则它的周长是 ． 4．一个等腰三角形的腰长为3㎝，则底边长的取值范围是 ． 5．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简a b c b c a c a b --++-+++得 ． 6．△ABC 中，∠A ＋∠B =∠C ，则△ABC 是 三角形． 7．三角形三个内角的比是1:3:5，则最大的内角是 ． 8．△ABC 的一个内角为40°，且∠A=∠B ,则∠C 的外角是 ． 9．如图2所示，AB ∥CD 、∠A=38°、∠C=80°，那么∠M 的度数为 ． 10．如图3，∠1＋∠2＋∠3＋∠4= ． 11．已知BD 、CE 是△ABC 的高，BD 、CE 相交所成的角为50°，则∠BAC = 度。 12．如图4，BE 、C F 分别是△ABC 的角平分线，BE 、CF 交于点O ，且∠A =70°，则∠BOC = ． 二、选择题 1．以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A ．1cm ，2cm ，4cm B ．8cm ，6cm ，4cm C ．12cm ，5cm ，6cm D ．2cm ，3cm ，6cm 2．四根木棒分别长5cm ，7cm ，10cm ，12 cm ，选三根组成三角形．选法有（ ） A ．2种 B ．3种 C ．4种 D ．5种 3．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．属于哪一类不能确定 A B C D E (1) A O E C F B (4) 3 2 1 4 (2) A B D C (3) M 第十一章三角形(知识点+题 型分类练习) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 三角形章节复习 全章知识点梳理： 一、三角形基本概念 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 解题方法： ①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形 方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可 ③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形 方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围 方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b ⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。 2. 三角形的中线 连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。 三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3. 三角形的角平分线 ∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 要求会的题型： ①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度 方法：利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。 三、三角形的稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角 1. 三角形的内角 ①三角形的内角和定理三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。 ②直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）。有两个角互余的三角形是直角三角形。 2.三角形的外角 ①三角形外角的意义三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 ②三角形外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 ③五个基本图形 五、多边形及其内角和 1. 多边形 在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 注：一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为1 2 n（n+3）. 2. 凸多边形 初中数学八(上)学习过程评价题 内容：第11章三角形 班级：___________ 姓名：___________ 得分：______ 一、选择题（30分）. 1.从五边形的一个顶点出发的对角线，把这个五边形分成( )个三角形. A.5 B.4 C.3 D.2 2.以下列各组线段长为边能组成三角形的是( ). A.1cm，2cm，4cm B.2cm，4cm，6cm C.4cm，6cm，8cm D.5cm，6cm，12cm 3.下列图形中一定能说明∠1＞∠2的是( ). 4.一个三角形的三条角平分线的交点在( ). A.三角形内 B.三角形外 C.三角形的某边上 D.以上三种情形都有可能 5.某人到瓷砖商店去买一种多边形形状的瓷砖用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是( ). A.正三角形 B.矩形 C.正六边形 D.正八边形 6.能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是( ). A.角平分线 B.中线 C.高 D.A、B、C都可以 7.一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，且这两个角之差为40°，那么这两个角分别为( ). A.70°和110° B.80°和120° C.40°和140° D.100°和140° 8.一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( ). A．直角三角形B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 9.（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大( ). A.180° B.360° C.n·180° D.n·360° 10.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律.你发现的规律是( ). A.∠1+∠2=2∠A B.∠1+∠2=∠A C.∠A=2（∠1+∠2） D. 1 二、填空题.（每题2分,共16分） 11.木工师傅做完房门后,为防止变形,会在门上钉上一条斜拉的木条,这样做的根据 是 . 第10题图 第14题图 1 2 A B C D E 第11题图 1 2 1 2 2 1 1 2 A B C D初二上第十一章三角形单元测试及答案
(完整版)第十一章三角形经典测试题
人教版八年级数学上册第十一章三角形练习题
人教版八年级数学上册第十一章《三角形》单元测验(解析版)
第十一章《三角形》教案人教版
第十一章 三角形单元测试
第十一章三角形(知识点+题型分类练习)
新人教版八年级数学上册第十一章三角形单元测试题含答案