【学案】建立直角坐标系

建立直角坐标系

一．问题引入

1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律

象限横纵坐标符号（a,b ）图象

第一象限（+，+）即a ＞0,b ＞0

(0,0)(0,-)(-,0)(+,0)(+,-)

(-,-)

(-,+)

(+,+)

(0,+)

第二象限第三象限第四象限

x 轴上 y 轴上原点

二．基础训练

1.设P （a 、b ），若a=0，则P 在轴上；若b=0，则P 在轴上；若a+b ＝0，则P 点在象限两坐标轴夹角平分线上；若，则P 点在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上．

2.设P 1（a ，b ）、P 2（c ，d ），若a=c ，则P 1 P 2∥ 轴；若b=d ，则P 1 P 2

∥ 轴

3.点P 在第二象限内,P 到x 轴的距离是4,到y 轴的距离是3,那么点P 的坐标是( )

A.(-4,3)

B.(-3,-4)

C.(-3,4)

D.(3,-4)

4.在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段顺次连接起来。（1）（0，3），（－4，0），（0，－3），（4，0），（0，3）；（2）（0，0），（4，－3），（8，0），（4，3），（0，0）；（3）（2，0）

观察所得的图形，你觉得它像什么？

三．例题展示

例1、已知长方形ABCD的长与宽分别是6，4，在方格纸上建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。

例2、对于底边长为6,腰长为5的等腰三角形ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标。

四．课堂检测

1.如图所示,所在位置的坐标为（－1，－2），所在位置的坐标为（2，－2），那么，所在位置的坐标为______．

2. 在长方形ABCD中，A点的坐标为（1，3），B点坐标为（1，－2），C

点坐标为（－4,－2），则D点的坐标是_______ 。

3.如图、A，B两点的坐标分别是（2，—1），（2，1），

确定（3，3）的位置。

D C

4.在直角坐标系中，用线段顺次连结点（－2，0），（0，3），（3，3），（0，4），（－2，0）。

（1）这是一个什么图形？（2）求出它的面积；（3）求出它的周长。

5.对于边长为8的正方形，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标。

空间直角坐标系整理

2．3．1 空间直角坐标系一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。 2、右手直角坐标系及其画法：（1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。教材上所指的都是右手直角坐标系。（2）画法：将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。 3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数组（x ， y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。二、题型解析：题型1、在空间直角坐标系下作点。例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M （如图）。法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2 的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。【技巧总结】：（1）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可直接在坐标轴上作出此点；（2）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。（3）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三种方法：①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ；再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左（00y <）或向右（00y >）平移0||y 个单位，得到点2M ；再将2M 沿与z 轴平

青岛版数学七年级下册平面直角坐标系学案

平面直角坐标系班级：小组：姓名：组内评价：教师评价：一、学习目标： 1、认识并能正确画出直角坐标系，理解平面内点的横坐标和纵坐标的意义 2、在给定的直角坐标系中会根据点的坐标找出它的位置、由点的位置写出它的坐标； 3、经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，丰富活动经验，培养合作交流意识，体会数形结合的思想. 二、尝试练习：（一）、情境导入： 1、复习（1）什么叫数轴？在直线上规定了、和就构成了数轴（2）写出数轴上A，B，C，D，E各点所表示的数．数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫做这个点的坐标.例如上面的点A在数轴上的坐标是3.5，点B在数轴上的坐标是-4;反过来知道数轴一个点的坐标，这个点在数轴上的位置也就确定了（3）在数轴上分别标出坐标为-1，4，2.5，0，-1.5，-3.5的点. 2、自学课本第49页，完成下列填空：在平面内画两条，并且有O的数轴，通常其中一条画成水平，叫轴（或轴），规定向右的方向为正方向，另一条画成铅直，叫轴（或轴），规定向上的方向为正方向，这样就建立了，简称。两坐标轴的公共原点O叫做该直角坐标系的,简称. 这个平面叫。 3、概括平面直角坐标系具有的特征：在同一平面内两条数轴：①②③通常取为正方向④一般取相同的 4、自学课本第50页例1上面的部分，然后完成下列两个问题：两坐标轴把坐标平面分成几个区域？分别叫什么？对坐标轴上的点做的怎样的规定？例1，写出图1中各点的坐标。

例2，在平面内描出各点的位置。A （3,0）B （0,2）C（-3,2）D（4，-1）E（-2，-3）F（1,3）（三）、学以致用： 1、画平面直角坐标系，并在图中描出坐标是：（2，3）、（2-，3）、（3，2-）的点Q、S、R. （1）Q（2，3）与P（3，2）是同一点吗？S（2-，3）与R（3，2-）是同一点吗？（2）：从（1）中，对于平面直角坐标系上的点和有序数对来说，你有什么发现吗？ 2、在点A（-2，-4）、B（-2，4）、C（3，-4）、D（3，4）、E（-1，0）、F（0，8）、G（2，-4）、H （0，-5）中属于第三象限的点是，属于第四象限的是，在X轴上的点是，在Y轴上的点是。 3、通过对上题的解答，结合前边的学习，根据点所在位置，用“+”“-”或“0” 填表： 3、在平面直角坐标系中，将点（2，-5）向右平移 3个单位长度，可以得到对应点坐标（，）；将点（-2，-5）向左平移3个单位长度可得到对应点（，）；将点（2，5）向上平移3单位长度可得对应点（，）；将点（-2, 5）向下平移3单位长度可得对应点（，）。（四）、达标测评： 1、如果点P（a，b）在第二象限，那么a是数，b是数？如果a＞0，b＜0，那么点P（a，b）在第象限，点Q（-a，b）在第象限。 2、如果点（a，b）在第四象限，那么点（-a，b）和点（b，a）分别在象限。 3、请自己动手，建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点的位置：

【说课稿】建立直角坐标系

建立直角坐标系今天我说课的内容是北师大版数学八年级上第三章第二节第二课时《建立直角坐标系》。下面我将从以下几个方面对该课时进行分析说明。一、说教材 1、教材地位教科书基于学生对平面直角坐标系的定义，以及在平面直角坐标系中描点、画图的基础上，提出本节的具体学习任务：建立适当的直角坐标系表示点的坐标 2、教学目标根据新课标要求和学生现有知识水平，从三个方面提出本节课的教学目标：为此本节课的教学目标是：知识与能力： 1、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置． 2、能结合所给图形的特点，建立适当的坐标系，写出点的坐标 3、能根据一些特殊点的坐标复原坐标系过程与方法：通过多角度的探索，灵活选取简便易懂的方法解决问题，拓宽学生的思维，提高学生解决问题的能力。情感态度与价值观：通过学习建立直角坐标系的多种方法，让学生体验数学活动充满着探索与创造，激发学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强学生的数学应用意识。 3、教学重难点学生在前两节的学习中已对平面直角坐标系的定义、特点有了清楚的认识，尤其是能准确地在平面直角坐标系中描点、连线、画图，体会到了数形结合的美妙，所以具备了建立和应用直角坐标系的基本能力。为此本节课的教学重难点设计为：重点：根据实际问题建立适当的坐标系，并能写出各点的坐标。难点：根据一些特殊点的坐标复原坐标系；二、说教法从生活中学生感兴趣的围棋位置的确定问题引申几何图形的位置问题，通过师生合作探究、启发、思考、引导学生在图形中建立适当的直角坐标系三、说学法依据新的教学理念、学习方式的转变，通过学生自主、分组合作、探究、等方式使学生在参与中培养能力；合作中学会学习。四、说课堂结构设计情境问题→合作交流（设计两个探究问题）→解决情境提出的问题→检测作业

知识讲解空间直角坐标系基础

空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式. 【要点梳理】要点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .

2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---；点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --；点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --；点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --；点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -；点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -；点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -. 要点三、空间两点间距离公式 1.空间两点间距离公式空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离 ||d AB == 特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为OA = 2.空间线段中点坐标空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++?? ???. 【典型例题】类型一：空间坐标系例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。【答案】11,0,2E ? ? ???，11,,122F ?? ??? 【解析】法一：如图，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空

2014年中考数学第一轮复习导学案：平面直角坐标系与函数的概念

平面直角坐标系与函数的概念 ◆【课前热身】 1.如图，把图①中的⊙A 经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A 上一点P 的坐标为(m ，n)，那么平移后在图②中的对应点P ’的坐标为（）． A ．(m ＋2，n ＋1) B ．(m －2，n －1) C ．(m －2，n ＋1) D ．(m ＋2，n －1) 2.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，45AOC OC ∠==° ，，则点B 的坐标为（） A ． B ． C ．11)， D ．1) 3.点(35)p ，-关于x 轴对称的点的坐标为（） A ． (3,5)-- B ． (5,3) C ．(3,5)- D ． (3,5) 4. 函数y = x 的取值范围是（） A ．2x >- B ．2x -≥ C ．2x ≠- D ．2x -≤ 5.在函数1 31y x = -中，自变量x 的取值范围是（） A.13x < B. 13x ≠- C. 13x ≠ D. 13 x > 【参考答案】 1. D 2. C 3. D （第2题）

4. B 【解析】本题考查含二次根式的函数中中自变量的取值范围，a 的范围是0a ≥；∴y =x 的范围由20x +≥得2x ≥-. 5. C ◆【考点聚焦】〖知识点〗平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法〖大纲要求〗 1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标； 2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数； 3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图象. 〖考查重点与常见题型〗 1.考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题； 2.考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题； 3.考查自变量的取值范围，有关试题出现的频率很高，重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的取值范围，题型多为填空题； 4．函数自变量的取值范围. ◆【备考兵法】 1.理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点. 2.要进行自变量与因变量之间的变化图象识别的训练，真正理解图象与变量的关系. 3.平面直角坐标系： ①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；

空间直角坐标系》教学设计

《空间直角坐标系》教学设计（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示 2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 3．情态与价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想. （二）教学重点和难点空间直角坐标系中点的坐标表示. （三）教学手段多媒体（四）教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入问题情景1 对于直线上的点，我们可以通过数轴来确定点的位置，数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示；对于平面上的点，我们可以通过平面直角坐标系来确定点的位置，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数 (x，y)表示；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置. 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题. 师：启发学生联想思考，生：感觉可以师：我们不能仅凭感觉，我们要对它的认识从感性化提升到理性化. 让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系.培养学生类比的思想.

那么假设我们建立一个空间直角坐标系后，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢概念形成问题情景2 空间直角坐标系该如何建立呢 O x X 一维坐标二维坐标三维坐标（图）师：引导学生看图，单位正方体OABC –D′A′B′C′，让学生认识该空间直角系O –xyz中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面. 师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系. 让学生通过对一维坐标、二维坐标的认识，体会空间直角坐标系的建立过程. 问题情景3 建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢师：引导学生观察图，生：点M对应着唯一确定的有序实数组(x，y，z)，x、y、z 分别是P、Q、R在x、通过幻灯片展示横坐标、纵坐标、竖坐标产生过程，让学生从图中

空间立体几何建立直角坐标系

空间立体几何建立直角坐标系 1．[2015·浙江]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点。 (1)证明：A1D⊥平面A1BC； (2)求二面角A1－BD－B1的平面角的余弦值。解析：(1)证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE，由题意得A1E ⊥平面ABC，所以A1E⊥AE。因为AB＝AC，所以AE⊥BC。故AE⊥平面A1BC。由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE ∥A1A且DE＝A1A，所以A1AED为平行四边形。故A1D∥AE。又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC。 (2)方法一：作A1F⊥BD且A1F∩BD＝F，连接B1F。由AE＝EB＝2，∠A1EA＝∠A1EB＝90°，得A1B＝A1A＝4。由A1D＝B1D，A1B＝B1B，得△A1DB与△B1DB全等。由A1F⊥BD，得B1F⊥BD，因此∠A1FB1为二面角A1－BD－B1的平面角。

由A 1D ＝2， A 1 B ＝4，∠DA 1B ＝90°，得 BD ＝32，A 1F ＝B 1F ＝43，由余弦定理得cos ∠A 1FB 1＝－18。方法二：以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，如图所示。由题意知各点坐标如下： A 1(0,0，14)， B (0，2，0)，D (－2，0，14)，B 1(－2， 2，14)。因此A 1B →＝(0，2，－14)，BD →＝(－2，－2，14)，DB 1→ ＝(0，2，0)。设平面A 1BD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)。由??? m ·A 1B →＝0，m ·BD →＝0，即????? 2y 1－14z 1＝0，－2x 1－2y 1＋14z 1＝0，可取m ＝(0，7，1)。由??? n ·DB 1→＝0，n ·BD →＝0，即????? 2y 2＝0，－2x 2－2y 2＋14z 2＝0，可取n ＝(7，0,1)。于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝18 。由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A 1－BD －B 1的平

第6章平面直角坐标系学案

七年级数学（下）教学教案（人教版）课题：6.1.1有序数对【学习目标】 1 .知道有序数对的意义，感受有序数对在确定点的位置中的作用; 2. 会用有序数对表示实际生活中的物体的位置。【活动过程】活动一认识有序数对自学课本P39-40页，回答下列问题：进入电影院看电影你是怎么找到自己的座位的？如果把座位表中的“ 3排5列”简记作（3, 5），你能确定自己的座位和其他同学的座位的（3）把（3，5）中的两个数据的位置调换一下，是否还指原来的位置呢？你发现了什么? （4）什么叫有序数对； ___________________ 2. 小组内交流用有序数对表示点要注意哪些问题? 活动二感受平面内的点与有序数对之间的一一对应关系 1. 完成课本P40页的练习，然后小组交流； 2. 下表中无序排列的汉字，小明拿到一张写有密码的字条，你能帮忙破译吗？（约定：字条上面括号中的两个数，前面的表示所在列，后面的表示所在行。内容是: 完成后展示你的成果。 3. 如图，如马所处的位置表示为（2, 3）. （1）你能表示出象的位置吗？（2）写出马的下一步可以到达的位置。（小组内讨论，并展示结果） 1. （2）记法吗? 主线的是奚药驸 S 以4 3 华品i 上觑止其色多一比五为刼在一地同-和團?血民音设1 著I 将丈导格充嘿适当月和’主'产不迪中国你能以发了一妇于忆「册.或毎E 丸从朋佔’堂/亍昌辛荚:莎TF 谦］加、爱［ 6 7 B 9 10 11 12

1.为什么要用有序数对表示点的位置，没有顺序可以吗? 2.小组交流学习体会或收获. 【检测反馈】 1.将电影票上的“ 7排6座”记作(7, 6),那么 (1) 10排8座可以表示为 (2) ( 12, 4)表示的意义是 2.用数字1.2.3可以组成 __________ 对有序数对。 3 ?如图所示，是某城市植物园周围街巷的示意图， A 点表示经1路与纬2?路的十字路口， B 点表示经 3 路与纬 5 路的十字路口，如果用(1 , 2) (2, 2)7( 3, 2) ( 3, 3) ^( 3, 4) ^( 3, 5)表示由A 到B 的一条路径，那么你能用同样的方式写出由 A 到B?的尽可能近的其他几条路径吗？课堂小结: 4 2

建立空间直角坐标系的几个常见思路

建立空间直角坐标系的几种常见思路坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，，．设1BC 与CD 所成的角为θ，则11317cos BC CD BC CD θ==．二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3 π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3 π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、3102c ??- ? ??? ，，、133022C ?? ? ?? ?，，．设302E a ?? ? ??? ，，且1322a -<<，由EA ⊥EB 1，得10EA EB =，即3322022a a ????---- ? ? ? ???? ，，，，

6.12平面直角坐标系学案

学习课题：§6.1.2平面直角坐标系① 活动一、知识回顾： 1．指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数：解：A点表示______，B点表示______，C点表示______，D点表示______，E点表示______. 总结：数轴上的点都可以用一个数来表示，这个数叫做这个点的_______________ 2、数轴上的点可以用一个来表示，这个数叫做这个点的。反过来，知道数轴上的一个点的坐标，这个点在数轴上的位置也就确定了。 3、“有序数对”记作（a，b）。有序：是指________与________是两个不同的数对；数对：是指必须由______个数才能确定．活动二、探索新知： 1.如何表示平面内的点的位置？（1）如右图，在平面内画两条互相、的数轴，组成。（2）水平的数轴称为横轴或，习惯上取向方向为正方向。（3）竖直的数轴称为纵轴或，习惯上取向方向为正方向。（4）两坐标轴的交点为平面直角坐标系的。 11．直线上的点我们都可以用数轴上的数表示它的位置，但如果是平面上有不在同一直线上的A、B、C三个点，你怎么表示它的位置呢（如图1）？ 2．有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了，这个有序数对叫做这个点的_______. 图2中A、B、C三点坐标分别为A（，）。图3中A、B、C三点坐标分别为。（一）由点求坐标例1通过作图，求出下图中各点的坐标归纳：在坐标系中求P点的坐标，①横坐标：过P向_____作垂线，垂足在___轴上的坐标； ②纵坐标：过P向_____作垂线，垂足在___轴上的坐标。（二）由坐标定点例2 （1）在下图中描出一下各点看看这些点有什么关系？ A（-4，4）；B（-2，2）；C（-3，3）；D（0，0）；E（2，-2）；F（5，-5）（2）在空白处画平面直角坐标系，再在平面直角坐标系中描出下列各点。 A（3，4）；B （ -1，2）；C（-3，-2）；D（2，-2）归纳：在坐标系中描点P(a,b):①在x轴上找到表示____的点，过这点作x轴的垂线； ②在y轴上找到表示____的点，过这点作y轴的垂线；③两垂线的交点即是点_ __. （三）点到坐标轴的距离例3.描点说明：A1（4，3）到x轴的距离是____ , 到y轴的距离是_____；A2（-4，-3）到x轴的距离是_____ , 到y轴的距离是____；归纳：P(a,b)到x轴的距离________ , 到y轴的距离______。图1 图2 图3

直角坐标系解决立体几何问题

在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。难点：建立恰当的空间直角坐标系关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。 Ⅰ、空间直角坐标系的建立空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。(用媒体分步显示下列内容) 1．向量的数量积公式（包括向量的夹角公式）: 若与的夹角为θ(0≤θ≤π),且={x 1,y 1,z 1},={x 2,y 2,z 2},则 ⑴ a ·b =|a ||b |cos θ 或 a ·b = x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ⑵若a 与b 非零向量 cos θ = 22 22 22 21 21 21 212121x z z y y x x z y x z y ++?++++ 2．向量的数量积的几何性质: ⑴两个非零向量与垂直的充要条件是·=0 ⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a ·b =±|a ||b | 利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤：（1）根据图形建立合理的空间直角坐标系；（2）确定关键点的坐标；（3）求空间向量的夹角；（4）得出异面直线的所成角。 D 1 x y o . M x y o . M 平面直角坐标系空间直角坐标系 z

用向量解决角的问题 ①两条异面直线a 、b 间夹角在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>u u u r u u u r =。注意,由于两向量的夹角范围为[]??180,0,而异面直线所成角的范围为 ()?<

§3.3平面直角坐标系导学案

子洲三中 “双主”高效课堂导学案 2014-2015学年第一学期姓名：组名：使用时间2014年月日年级科目课题主备人备课方式负责人（签字）审核领导（签字）序号八（3）数学 §3.3轴对称与坐标变化乔智一、教学目标： 1、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系． 2、经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。二、教学过程有了坐标系，图像上的点就对应着坐标了，反过来坐标就可以反应点了。相应地，点的运动变化自然导致坐标的变化，坐标的变化也可以从数量的角度反应图形的变化。不妨先研究我们熟悉的轴对称。活动1：探索两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 1.在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗。两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点A 与A 1的坐标又有什么特点？其它对应的点也有这个特点吗？ 2.在右边的坐标系内，任取一点，做出这个点关于y 轴对称的点，看看两个点的坐标有什么样的位置关系，说说其中的道理。变式。发展 3.如果关于x 轴对称呢？在这个坐标系里作出小旗ABCD 关于x 轴的对称图形，它的各个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系？归纳。概括 4.关于x 轴对称的两点，它们的横坐标，纵坐标；关于y 轴对称的两点，它们的横坐标，纵坐标。运用。巩固 5.已知点P(2a-3，3)，点A （－1，3b+2），（1）如果点P 与点A 关于x 轴对称，那么a+b= ；（2）如果点P 与点A 关于y 轴对称，那么a+b= 。活动2：探索坐标变化引起的图形变化反过来，坐标具有上述关系的点，一定关于坐标轴对称吗？我们先做几个具体的，找找经验。１（1）在平面直角坐标系中依次连接下列各点：（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0），你得到了一个怎样的图案？（2）将所得图案的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1，顺次连接这些点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢？变式。拓展 2.如果1（1）中所得图案的各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的-1倍，顺次连接所得的点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案有怎样的位置关系呢？ *3。如果纵坐标、横坐标都分别变为原来的-1倍，得到的图形与原来的图形又有怎样的关系呢？说说你的判断和理由。

高中数学人教版必修二(浙江专版)学案：4.3空间直角坐标系含答案

4.3空间直角坐标系 4．3.1&4.3.2 空间直角坐标系空间两点间的距离公式 1．在空间直角坐标系中怎样确定空间中任一点的坐标？ 2．空间中线段的中点坐标公式是什么？ 3．空间中两点间的距离公式是什么？ [新知初探] 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系O -xyz . (2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面． 2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3．空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫点M 的横坐标，y 叫点M 的纵坐标，z 叫点M 的竖坐标． [点睛] 空间直角坐标系的画法 (1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)． (2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的1 2. 4．空间两点间的距离公式 (1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离 |OP |＝ x 2 ＋y 2 ＋z 2 . 预习课本P134～137，思考并完成以下问题

(2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝ x 1－x 2 2 ＋y 1－y 2 2 ＋z 1－z 2 2 . [点睛] (1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算． (2)空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ? ????x 1＋x 22 ，y 1＋y 22，z 1＋z 22. [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式( ) (2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对解析：选A 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称． 3．空间两点P 1(1,2,3)，P 2(3,2,1)之间的距离为________．解析：|P 1P 2|＝－2 2 ＋02＋22 ＝2 2. 答案：2 2 空间中点的坐标的求法 [典例] 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝1 4 CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标． [解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而 E 为DD 1的中点，故其坐标为? ?? ??0，0，12. 由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，垂足分别为M ，N ，由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝1 2 ，

平面直角坐标系经典讲义全

七年级数学学案平面直角坐标系知识点概述 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、已知点的坐标找出该点的方法：分别以点的横坐标、纵坐标在数轴上表示的点为垂足，作x轴y轴的的垂线，两垂线的交点即为要找的点。 3、已知点求出其坐标的方法：由该点分别向x轴y轴作垂线，垂足在x轴上的坐标是改点的横坐标，垂足在y轴上的坐标是该点的纵坐标。 4、各个象限点的特征: 第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0；第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0；第三象限：（-， -）点P（x,y），则x＜0,y＜0；第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0； 5、坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。 6、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 7、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 8、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。点P(a,b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b, a) 第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b,-a) 9、点P（x,y）的几何意义：点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。 10、点的平移特征：在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）；将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

空间直角坐标系学案(高三数学)

空间直角坐标系学案【学习目标】 1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示； 2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐标 3.知道几何问题可通过空间直角坐标转化为代数问题求解。【重点难点】教学重点：空间的点与空间坐标的转化. 教学难点：空间直角坐标的建立过程，了解空间直角坐标系的作用. 【使用说明及学法指导】 1．先速读一遍教材P134—P136，再结合“预习案”进行二次阅读并回答，时间不超过10分钟． 2．本课必须记住的内容：写出空间点的坐标，根据坐标在空间找点的方法。预习案一、知识梳理 1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样的坐标系叫做空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面. 2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、 Oy轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标. 4. 在xOy平面上的点的坐标都是零，在yOz平面上的点的坐标都是零，在zOx平面上的点的坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是。二、问题导学 1．平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？ 2. 我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数) x表示.那么假设我 (y , 们建立一个空间直角坐标系时，

空间向量之--建立空间直角坐标系的方法及技巧

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1 已知直四棱柱AB ＣD －Ａ1B 1C 1Ｄ1中，ＡA 1＝2,底面ＡＢCD 是直角梯形,∠A 为直角，AB ∥CD ，AB =4,AD ＝２,DC ＝1,求异面直线B Ｃ1与ＤC 所成角的余弦值. 解析:如图1,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、ＤD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0，1,2）、Ｂ（2，4,0)， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，，. 设1BC 与CD 所成的角为θ, 则11317 cos 17 BC CD BC CD θ= = ．二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例２如图２,在三棱柱ＡBC －Ａ1B １C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点,EA ⊥ＥB 1．已知2AB =，B Ｂ1=2,BC =１，∠BCC 1＝3 π ．求二面角Ａ-EB 1－Ａ１的平面角的正切值．解析:如图2，以B 为原点，分别以BB 1、B Ａ所在直线为y 轴、z 轴，过Ｂ点垂直于平面A Ｂ1的直线为x 轴建立空间直角坐标系. 由于BC =１，ＢB 1＝2，AB =2，∠BCC １＝ 3 π， ∴在三棱柱ABC -A 1B １C １中,有B (０,０,０）、A （０，0,2）、B 1(０，2，０）、3102c ?? - ? ??? ，，、13302C ?? ? ??? ，，.

设302E a ?? ? ??? ，，且1322a -<<, 由E Ａ⊥ＥＢ1,得10EA EB =, 即33 22022a a ????---- ? ? ? ? ??? ，，，， 233(2)2044a a a a = +-=-+=，∴13022a a ? ?? ?--= ? ???? ?，即12a = 或3 2a =（舍去）．故3102E ?? ? ??? ，，．由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥,故二面角A -E Ｂ1-A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角. 因11(0 02)B A BA ==，，,31 22EA ? ?=-- ? ??，，故1111 2 cos 3 EA B A EA B A θ== ，即2tan 2θ= 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥V －ＡBC Ｄ中，底面ＡB ＣD 是正方形,侧面VAD 是正三角形，平面V ＡD ⊥底面ABC Ｄ．（1)证明AB ⊥平面VAD ; （2）求面V ＡD 与面V ＤB 所成的二面角的余弦值. 解析:（1)取ＡD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．设ＡD =2,则A (1,０，０）、D (-1,0，0）、B (1,2,０)、 V （0,０，3)，∴AB =（０,2,0）,VA ＝(１，０，-3). 由(020)(103)0AB VA =-=，，，，，得