八年级上册三角形解答题易错题(Word版 含答案)

八年级上册三角形解答题易错题（Word版含答案）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论：

(1)如图①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是；

(2)如图②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是；

(3)如图③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE 的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.

【答案】（1）BE⊥DE；（2）BE//DF；（3）BE⊥DE.证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠HDG＝

∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1

2

x，则有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得

∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥D E；

(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠EB H＝∠AB E=1 2 x,

则∠DGE=90°+1

2

x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,则∠CDF=

1

2

（180°-x），所以

∠CDF+∠HDC=1

2

（180°-x）,然后运用同位角相等，即可证明；

（3）设∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根据题意可

得：∠EDF＝∠EBF=1

2

（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四边形内角和，求出

∠BED=90°，完成证明.【详解】

解：（1）BE⊥DE，理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

设∠HDC＝∠AB H=x

∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E

∴∠HDG＝∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1 2 x

又∵∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE ∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；（2）

DF∥AB,理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

∵BE平分∠ABH，

∴∠EB H＝∠AB E=1 2 x

∴∠DGE=90°+1 2 x

∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM

∴∠CDF=1

2

（180°-x）=90°-

1

2

x

∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-1

2

x+x=90°+

1

2

x

∴∠DGE=∠HDF

∴DF∥AB

（3）

BE⊥DE，证明如下：

设∠BFA＝∠CFD=x,

∵∠A＝∠C＝90°

∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，

∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E

∴∠EDF＝∠EBF=1

2

（90°+x）

又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x

∴∠BFD=360°-1

2

（90°+x）-

1

2

（90°+x）-（180°-x）=90°

即BE⊥DE

【点睛】

本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识，考查知识点简单，但过程复杂，难度较大，运用方程思想是一个不错的方法.

2．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．

（1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的大小．

（2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．

（3）如图3，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数．

【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45° 【解析】 【分析】

（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1

ABE ABO 2

∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论；

（2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=? ，故PAB MBA 270∠+∠=?，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠=

∠，1

ABC ABM 2

∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知

CDE DCE 112.5∠+∠=?，进而得出结论；

（3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知

1EAO BAO 2∠=∠,1

EOQ BOQ 2

∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO

和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论． 【详解】

（1）∠AEB 的大小不变，

∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ， ∴∠AOB=90°，

∴OAB OBA 90∠+∠=?，

∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，

∴1BAE OAB 2∠=

∠，1

ABE ABO 2

∠=∠， ∴()1

BAE ABE OAB ABO 452

∠+∠=∠+∠=°， ∴∠AEB=135°；

（2）∠CED 的大小不变． 如图2，延长AD 、BC 交于点F ． ∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ， ∴90∠=AOB °，

∴OAB OBA 90∠+∠=°， ∴PAB MBA 270∠+∠=°，

∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线， ∴1BAD BAP 2∠=

∠，1

ABC ABM 2

∠=∠， ∴()1

BAD ABC PAB ABM 1352

∠+∠=

∠+∠=°，F 45∠=°， ∴FDC FCD 135∠+∠=°， ∴CDA DCB 225∠+∠=°，

∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线， ∴CDE DCB 112.5∠+∠=°， ∴E 67.5∠=°；

（3）∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ， ∴1EAO BAO 2∠=

∠,1

EOQ BOQ 2

∠=∠ ， ∴()11

E EOQ EAO BOQ BAQ ABO 22

∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线， ∴EAF 90∠=°．

在△AEF 中，

∵有一个角是另一个角的3倍，故有：

①EAF 3E ∠=∠，E 30∠=°，ABO 60∠=°； ②EAF 3F ∠=∠，E 60∠=°，ABO 120∠=°；

③EAF 3E ∠=∠，E 22.5∠=°，ABO 45∠=°； ④EAF 3F ∠=∠，E 67.5∠=°，ABO 135∠=°． ∴∠ABO 为60°或45°． 【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

3．已知：线段AB ，以AB 为公共边，在AB 两侧分别作ABC ?和ABD ?，并使

C D ∠=∠．点E 在射线CA 上．

（1）如图l ，若AC BD ，求证：AD BC ∥；

（2）如图2，若BD BC ⊥，请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在（2）的条件下，若BAC BAD ∠=∠，过点D 作DF BC ∥交射线于点

F ，当8DFE DAE ∠=∠时，求BAD ∠的度数．

【答案】（1）见详解；（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由见详解；（3）99°． 【解析】 【分析】

（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论；

（2）设CE 与BD 交点为G ，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE ，由

BD BC ⊥，得∠CGB+∠C=90°，结合C D ∠=∠，即可得到结论；

（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ，由DF BC ∥，DAE ∠+2C ∠=90°，得关于x 的方程，求出x 的值，进而求出∠C ，∠ADB 的度数，结合∠BAD=∠BAC ，即可求解． 【详解】

（1）∵AC

BD ，

∴∠C+∠CBD=180°， ∵C D ∠=∠， ∴∠D+∠CBD=180°， ∴AD BC ∥；

（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由如下： 设CE 与BD 交点为G ， ∵∠CGB 是?ADG 的外角， ∴∠CGB=∠D+∠DAE ， ∵BD BC ⊥， ∴∠CBD=90°，

∴在?BCG 中，∠CGB+∠C=90°，

∴∠D+∠DAE+∠C=90°， 又∵C D ∠=∠， ∴DAE ∠+2C ∠=90°； （3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ， ∴∠AFD=180°-8x ， ∵DF BC ∥，

∴∠C=∠AFD=180°-8x ， 又∵DAE ∠+2C ∠=90°，

∴x+2(180°-8x)=90°，解得：x=18°， ∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB ， 又∵∠BAD=∠BAC ，

∴∠ABC=∠ABD=

1

2

∠CBD=45°， ∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．

4．（1）如图1，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时， ①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；

②设AED ∠的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x 或y 的代数式表示）

③∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．

(2)如图2，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部时，∠A 与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A 与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.

【答案】（1）①△EAD ≌△EA ′D ，其中∠EAD =∠EA ′D ，∠AED =∠A ′ED ，∠ADE =∠A ′DE ；

②∠1=180°?2x ,∠2=180°?2y ； ③∠A=12（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=1

2

（∠2-∠1），见详解 【解析】 【分析】

（1）①根据翻折方法可得△ADE ≌△A ′DE ；

②根据翻折方法可得∠AEA ′=2x ，∠ADA ′=2y ，再根据平角定义可得∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ；

③首先由∠1=180°-2x ，2=180°-2y ，可得x=90-

12∠1，y=90-1

2

∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y ，再利用等量代换可得∠A=1

2

（∠1+∠2）； （2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】

（1）①根据翻折的性质知△EAD ≌△EA ′D ，

其中∠EAD =∠EA ′D ，∠AED =∠A ′ED ，∠ADE =∠A ′DE ； ②）∵∠AED=x，∠ADE=y， ∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y， ∴∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ；

③∠A=

1

2

（∠1+∠2）； ∵∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ，

∴x=90-

12∠1，y=90-1

2

∠2， ∴∠A=180°-x-y=190-（90-12∠1）-（90-12∠2）=1

2

（∠1+∠2）．

（2））∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到， ∴∠A′=∠A，

又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1， ∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，

即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°， 整理得，2∠A=∠2-∠1．

∴∠A=

1

2（∠2-∠1）． 【点睛】

此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

5．（1）在ABC ?中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，CF AB ⊥，16BC =，3AD =，

4BE =，6CF =，则ABC ?的周长为______.

（2）如图①，在ABC ?中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，BD ，CD 的中点，且

4ABC S ?=2cm ，则AEF S ?等于______2cm .

① ②

（3）如②图，三角形ABC 的面积为1，点E 是AC 的中点，点O 是BE 的中点，连接

AO 并延长交BC 于点D ，连接CO 并延长交AB 于点F ，则四边形BDOF 的面积为______.

【答案】（1）36（2）2（3）1

6

【解析】 【分析】

(1)利用三角形面积公式，求出AB 、AC 的长，再计算三角形的周长即可；

(2)设ABC ?在BC 边上的高为h ，则1

2

ABC S BC h ?=?，根据线段中点的定义以及线段的和差得出1

2

EF BC =

，继而再根据三角形面积公式进行求解即可； (3)设BOF S x ?=，BOD S y ?=，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得

14AOE COE AOB COB S S S S ????====，从而得14AOF S x ?=-，3

4

ACF S x ?=-，14BCF S x ?=

+，14COD S y ?=-，34ACD S y ?=-，1

4

ABD S y ?=+，利用等高的两三角形面积之比等于底边之比分别列出关于x 、y 的方程，求出x 、y 的值即可求得答案. 【详解】

(1)111

222

ABC S BC AD AC BE AB CF ?=

?=?=?， ∴BC AD AC BE AB CF ?=?=?， 即16346AC AB ?=?=?， ∴12AC =，8AB =， ∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=36； (2)设ABC ?在BC 边上的高为h ， 则1

2

ABC S BC h ?=

?， ∵E 为BD 中点，∴1

2

ED BD =

，

∵F 为DC 中点，∴1

2

DF DC =， ∴111

222

EF BD DC BC =

+=， ∴21111

2cm 2222

AEF ABC S EF h BC h S ??=

?=??==； (3)设BOF S x ?=，BOD S y ?=，

∵点E ，O 分别是AC ，BE 的中点，1ABC S ?=， ∴1

4

AOE COE AOB COB S S S S ????====， ∴14AOF S x ?=

-，34ACF S x ?=-，1

4

BCF S x ?=+， ∴134414x x

x x --=+，即

2213164x x x -=-， 解得1

12x =，

又14COD S y ?=-，34ACD S y ?=-，1

4ABD S y ?=+，

∴141344

y

y y y +=--，得112y =， 故11112126

BDOF S x y =+=

+=四边形. 【点睛】

本题考查了三角形面积的应用，三角形的周长，解题关键在于找出等高的两三角形面积与底边的对应关系．

6．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C 为x 轴正半轴上一点，且AC 平分∠OAB ．

(1)求证：∠OAC ＝∠OCA ；

(2)如图②，若分别作∠AOC 的三等分线及∠OCA 的外角的三等分线交于点P ，即满足∠POC ＝

13∠AOC，∠PCE＝1

3

∠ACE，求∠P 的大小； (3)如图③，在(2)中，若射线OP 、CP 满足∠POC＝1n ∠AOC，∠PCE＝1

n

∠ACE，猜想∠OPC 的大小，并证明你的结论(用含n 的式子表示)．

【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）45 n

【解析】

试题分析：（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；

（2）根据题干中给出的∠PO C=1

3

∠AOC、∠PCE=

1

3

∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，

再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；

（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=1

n

∠AOC、∠PCE=

1

n

∠ACE可以求得

∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．

试题解析：(1)证明：∵A(0，1)，B(4，1)，∴AB∥CO，∴∠OAB＝180°－∠AOC＝90°.

∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝45°，∴∠OCA＝90°－45°＝45°，∴∠OAC＝∠OCA.

(2)解：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝(180°－45°)＝45°.∵∠P＋∠POC＝∠PCE，∴∠P＝∠PCE－∠POC＝15°.

(3)解：∠OPC＝.

证明如下：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝

(180°－45°)＝.

∵∠OPC＋∠POC＝∠PCE，

∴∠OPC＝∠PCE－∠POC＝.

点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC的大小是解题的关键．

7．已知:△ABC中∠A=64°，角平分线BP、CP相交于点P．

1若BP 、CP 是两内角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值)

求证:0

1902

BPC A ∠=+∠.

2若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值)

3若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=_______(直接填数值) 4 由①②③的数值计算可知：∠BPC 与∠A 有着密切的数量关系，请就第②③写出你的发现

【答案】（1）122°；（2）58°；（3）32°．(4).若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC=90°-

1

2

∠A ； 若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=1

2

∠A ． 【解析】 【分析】

①根据三角形角平分线的性质可得，∠BPC +∠PCB =90°-1

2

∠A ，根据三角形内角和定理可得∠BPC =90°+

1

2

∠A ； ②根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP =

12（∠A +∠ABC ）、∠PBC =12

（∠A +∠ACB ）；根据三角形内角和定理可得∠BPC =90°-

1

2

∠A ； ③根据BP 为∠ABC 的角平分线，CP 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，可知，∠A =180°-∠1-

∠3，∠P =180°-∠4=∠5=180°-∠3-1

2

（∠A +2∠1），两式联立可得2∠P =∠A ． ④根据前面的情况直接写出∠BPC 与∠A 的数量关系， 【详解】

解：（1）证明：∵在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∠A 为x °

∴∠PBC +∠PCB =

12（180°-∠A ）=12×（180°-x °）=90°-12

∠A 故∠BPC =180°-（∠PBC +∠PCB ）=180°-（90°-12∠A ）=90°+1

2

∠A ；

则∠BPC =122°；

（2）理由如下：∵BP 、CP 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∠A 为x °

∴∠BCP =

12（∠A +∠ABC ）、∠PBC =1

2

（∠A +∠ACB ）， 由三角形内角和定理得，

∠BPC =180°-∠BCP -∠PBC ，

=180°-1

2

[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，

=180°-1

2

（∠A+180°），

=90°-1

2

∠A；

则∠BPC=58°；

（3）如图：∵BP为∠ABC的内角平分线，CP为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点P，

∴∠1=∠2，∠5=1

2

（∠A+2∠1），∠3=∠4，

在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3

∴∠1+∠3=180°-∠A----①

在△CPE中，∠P=180°-∠4-∠5=180°-∠3-1

2

（∠A+2∠1），

即2∠P=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，把①代入②得2∠P=∠A．

则∠BPC=32°；

（4）若BP、CP是两外角的平分线，则∠BPC=90°-1

2

∠A；

若BP、CP是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=1

2

∠A．

故填为：（1）122°；（2）58°；（3）32°．

【点睛】

此类题目考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．

8．学习几何的一个重要方法就是要学会抓住基本图形，让我们来做一次研究性学习．

（1）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们常把这样的图形叫做“规形图”．请你观察“规形图”，试探究∠BOC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由：（2）如图②，若△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且它们相交于点O，试探究∠BOC与∠A的关系；

（3）如图③，若△ABC中，∠ABO=1

3

∠ABC，∠ACO=

1

3

∠ACB，且BO、CO相交于点O，

请直接写出∠BOC与∠A的关系式为_．【答案】（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由见解析；

（2）∠BOC=90°+1

2

∠A．理由见解析；

（3）∠BOC=60°+2

3

∠A．理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）如图1，连接AO，延长AO到H．由三角形的外角的性质证明即可得到结论：∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；

（2）利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明可得到结论：∠BOC=90°+1

2

∠A；

（3）类似（2）可证明结论：∠BOC=60°+2

3

∠A．

【详解】

解：（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由：

如图1，连接AO，延长AO到H．

∵∠BOH=∠B+∠BAH，∠CAH=∠C+∠CAH，

∴∠BOC=∠B+∠BAH+∠CAH+∠C=∠BAC+∠B+∠C，∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；

（2）∠BOC=90°+1

2

∠A．

理由：

如图2，

∵OB，OC是△ABC的角平分线，

∴∠OBC=1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，

∴∠BOC=180°-1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，

∴∠BOC=90°+1

2

∠A；

（3）∠BOC=60°+2

3

∠A．

理由：

∵∠ABO=1

3

∠ABC，∠ACO=

1

3

∠ACB，

∴∠BOC=180°-2

3

（∠ABC+∠ACB）=180°-

2

3

（180°-∠A）=60°+

2

3

∠A．

故答案为：∠BOC=60°+2

3

∠A．

【点睛】

本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的角的基本知识．

9．已知，如图甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC 于D．

（1）试说明：∠EFD=（∠C﹣∠B）；

（2）当F在AE的延长线上时，如图乙，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

【答案】（1）见详解；（2）成立，证明见详解.

【解析】

【分析】

(1) 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到

∠BAE=1

2

∠BAC=

1

2

（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣1

2

（∠B+∠C），然后根据三角形的外角的

性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求得结论；

(2)根据(1)可以得到∠AEC=90°+1

2

（∠B﹣∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利

用直角三角形的两个锐角互余即可求解.【详解】

解：（1）∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=1

2

∠BAC=

1

2

（180°﹣∠B﹣∠C）

=90°﹣1

2

（∠B+∠C），

∵∠FEC=∠B+∠BAE，

则∠FEC=∠B+90°﹣1

2

（∠B+∠C）

=90°+1

2

（∠B﹣∠C），

∵FD⊥EC，

∴∠EFD=90°﹣∠FEC，

则∠EFD=90°﹣[90°+1

2

（∠B﹣∠C）]

=

1

2

（∠C ﹣∠B ）； （2）成立．

证明：同（1）可证：∠AEC=90°+1

2

（∠B ﹣∠C ）， ∴∠DEF=∠AEC=90°+1

2

（∠B ﹣∠C ）， ∴∠EFD=90°﹣[90°+1

2

（∠B ﹣∠C ）] =

1

2

（∠C ﹣∠B ）． 【点睛】

此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．

10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ．

(1)若∠B ＝72°，∠C ＝30°，①求∠BAE 的度数；②求∠DAE 的度数；

(2)探究：如果只知道∠B ＝∠C ＋42°，也能求出∠DAE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

【答案】（1）①39°；②21°；（2）21°. 【解析】 【分析】

()1①先根据三角形内角和定理计算出BAC 78∠=，然后根据角平分线定义得到

1BAE BAC 392

∠∠==；

②根据垂直定义得到ADB 90∠=，则利用互余可计算出BAD 90B 18∠∠=-=，

然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可；

()2由B C BAC 180

∠∠∠++=，B C 42∠∠=+可消去C ∠得到

BAC 2222B ∠∠=-，则根据角平分线定义得到BAE 111B ∠∠=-，接着在ABD

中利用互余得BAD 90B ∠∠=-，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可得到DAE 21∠=． 【详解】 解：()1B C BAC 180∠∠∠++=①

，

BAC 180723078∠∴=--=，

AE 平分BAC ∠，

1

BAE BAC 392

∠∠∴==；

AD BC ⊥②，

ADB 90∠∴=，

BAD 90B 18∠∠∴=-=，

DAE BAE BAD 391821∠∠∠∴=-=-=；

()2能．

B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+，

C B 42∠∠∴=-， 2B BAC 222∠∠∴+=， BAC 2222B ∠∠∴=-，

AE 平分BAC ∠，

BAE 111B ∠∠∴=-，

在ABD 中，BAD 90B ∠∠=-，

()()

DAE BAE BAD 111B 90B 21∠∠∠∠∠∴=-=---=．

【点睛】

本题考查三角形内角和定理：三角形内角和是180.掌握角平分线和高的定义，熟练进行角度的运算．