重积分习题
★★1.化三重积分???Ω
dxdydz z y x f ),,(为三次积分，其中积分区域Ω分别是：
（1） 由xy z =，2=+y x ，0=z 所围成的闭区域；
（2） 由六个平面0=x ，2=x ，1=y ，42=+y x ，x z =，2=z 所围成的闭区域；
（3） 由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的闭区域。
★★2.设有一物体，占有空间闭区域Ω：10≤≤x ，20≤≤y ，30≤≤z ，在点),,(z y x 处的密度为z y x z y x ++=),,(ρ，计算该物体的质量。
★★4.计算???Ω
dv z xy 32，其中Ω是由曲面xy z =，x y =，1=x ，0=z 所围成的区域。
★★★5.计算
???Ω
+++3)1(z y x dxdydz ，其中Ω是由0=x ，0=y ，0=z 和1=++z y x 所围成的四面体。
★★★6.计算???
Ωdxdydz，其中Ω是由xy
z=，1
=
+
+z
y
x，0
=
z所围成的区域。
★★★7.计算???
Ω
dv
e z，其中Ω：1
2
2
2≤
+
+z
y
x
★★1.利用柱面坐标计算三重积分???
Ωzdv，其中积分区域Ω由曲面4
2
2
2=
+
+z
y
x及
2
2
3y
x
z+
=所围成（在抛物面内的那一部分）
★★ 2.利用柱面坐标计算三重积分???
Ω
+dv
y
x)
(2
2，其中积分区域Ω由曲面z
y
x2
2
2=
+及2
=
z
所围成的闭区域。
★★3.利用球面坐标计算三重积分???
Ω
+
+dv
z
y
x)
(2
2
2，其中Ω由1
2
2
2=
+
+z
y
x所围成的闭区
域。
★★4.利用球面坐标计算三重积分???
Ω
+
+dv
z
y
x
z2
2
2，其中Ω：1
2
2
2≤
+
+z
y
x，
)(322y x z +≥
★★5.计算???Ωxydv ，其中Ω由柱面122=+y x
及平面1=z ，0=z ，0=x ，0=y 所围成的
在第一卦限内的闭区域。
★★★6.计算???Ω+dv y x 22，其中Ω由平面4=+z y ，1=++z y x 与圆柱面122=+y x 所
围成的闭区域。
★★★7.???Ω++dv z y x 222，其中Ω是由z z y x =++222所围成的闭区域。
★★★8.计算
???Ω
+dxdydz y x )(22，其中Ω是由曲线z y 22=，0=x 绕z 轴旋转一周而成的曲面与两平面2=z ，8=z 所围成的立体。
★★★9.计算???Ω
dxdydz z 2，其中Ω是两个球2222R z y x ≤++， Rz z y x 2222≤++)0(>R 所围成的闭区域。
★★★10.计算???Ω???? ?
?++dxdydz c z b y a x 222222，其中Ω是由椭球面122
2222=++c z b y a x 所围成的区域。
不定积分例题及参考答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
重积分部分练习题
(2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ）16 （B ） 112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =?? __________1 22(,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)11 2 011 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 01(,)y dy f x y dx --?? (C)1 101 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D)201 (,)dy f x y dx -?? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( )
重积分_期末复习题_高等数学下册_(上海电机学院)
第九章 重积分 一、选择题 1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω ++Ω++=???球面部， 则I= [ C ] A. ???Ω Ω=dv 的体积 B.???1 42020sin dr r d d θ?θππ C. ???104 020sin dr r d d ??θππ D. ???104 020sin dr r d d θ?θππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域， 则???Ω =xdxdydz [ B ] A. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 B. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 C. ???-1 021021 0dz x dx dy y D. ???---y x y dz x dx dy 210 21010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ] （A ）()()1 cos d d 2d d D D xy x xy x y xy x y +=???? （B ）()()()1 cos d d 2cos d d D D xy x xy x y x xy x y +=???? （C ）()()1 cos d d 2(cos())d d D D xy x xy x y xy x xy x y +=+???? （D ）()()cos d d 0D xy x xy x y +=?? 4. Ω:12 22≤++z y x ， 则??? Ω =++++++dxdydz z y x z y x z 1 )1ln(2 2 2 222 [ C ] A. 1 B. π C. 0 D. 3 4π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则D xy d σ=?? D A.2 20 sin cos a d r dr π θθθ?? B. 30 sin cos a d r dr π θθθ? ?
[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202
三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲
二重积分练习题
二重积分自测题 （一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：??σ+= D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22 ，则（ ） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （ ） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2 x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（ ） A ．? ?-+2 122),(x x dy y x f dx B ．??-212 ),(dy y x f dx C ． ? ?-+1 2 22),(x x dy y x f dx D ．??+1 2 2),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分? ? =4 2),(x x dy y x f dx （ ） A ． ?? 40 412),(y y dx y x f dy B ．?? -4 412),(y y dx y x f dy C ． ? ?4 4 1),(y dx y x f dy D ．??40 2 1 2 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分? ?=-2 2 2 x y dy e dx （ ） A ． )1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 1 2--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2211，??σ+=D d y x I )(2 22， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（ ） A ．321I I I << B ．231I I I << C ．132I I I << D ．123I I I << 7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则 =??D xy xydxdy xe sin cos （ ） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e 8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且 ? ?=1 1 )()(x dx x xf dx x f ， 则 ??=D dxdy x f )(（ ）
数学分析21.5三重积分(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 5三重积分 一、三重积分的概念 引例：设一空间立体V 的密度函数为f(x,y,z)，为求V 的质量M ， 将V 分割成n 个小块V 1,V 2,…,V n . 每个小块V i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 则 M=i n i i i i T V f ?∑=→10 ),,(lim ζηξ, 其中△V i 是小块V i 的体积, T =}{max 1的直径i n i V ≤≤. 概念：设f(x,y,z)是定义在三维空间可求体积有界区域V 上的有界函数. 用若干光滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ，把V 分成n 个小区域 V 1,V 2,…,V n .记V i 的体积为△V i (i=1,2,…,n)，T =}{max 1的直径i n i V ≤≤. 在每个V i 中任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作积分和i n i i i i V f ?∑=1 ),,(ζηξ. 定义1：设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数. 若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对于V 的任何分割T ，只要T <δ，属于分割T 的所有积分和都有 J V f i n i i i i -?∑=1 ),,(ζ ηξ<ε，则称f(x,y,z)在V 上可积，数J 称为函数f(x,y,z) 在V 上的三重积分，记作J=???V dV z y x f ),,(或J=???V dxdydz z y x f ),,(，其中 f(x,y,z)称为被积函数，x, y, z 称为积分变量，V 称为积分区域. 注：当f(x,y,z)=1时，???V dV 在几何上表示V 的体积.
高等数学(同济五版)第九章重积分理解练习知识题册
第九章 重 积 分 第 一 节 作 业 一、填空题： . )1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4. ),,(,.3. ,4.2. 1),,(),(),,(.122222212121????= --=≤+=+<==D D d y x D y x D xoy d e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知 由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为 质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于 则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）： {}{}: ,20,10:),(,)(, 22,11:),(,)(13 22 2132212 1 则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ （A ）I 1=2I 2； （B ）I 1〈I 2； （C ）I 1=I 2； （D ）I 1=4I 2。 答：（ ） 三、估计下列积分的值： ??≤+++=D y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ
第 二 节 作 业 一、填空题： 1. 设??=≤≤-≤≤D yd x y x D ..11,10:2σ则
?? ??-+-+=≤+a y ay D y x dx y x f dy d e y x D 20 20 22) (222 22 )(.3. ,1:.2分是 为极坐标系下的二次积化则设σ 二、选择题（单选）： ? ? ? ? ?????? +----=1 10 221 102 2 101 02210 102210 10 2222 . 3) (; 3) (; 3)(;3)(: ,3.1x x y x y dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设 答：（ ） ). (2)();()(); (2)(); ()(: ),0(,.22 22 2 2 22222a b a b a b a b D y x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设 答：（ ） 三、试解下列各题： ????-≥-≤>==+==+D D dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x . ),(,1,1:),(.2. )0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的 由直线其中求
三重积分练习题
三重积分练习题 1． 计算cos()I y x z dxdydz Ω = +???，Ω由抛物柱面y =，平面0,0,2 y z x z π ==+= 所围区域。（ 28 16 π-） 2． 计算I z dxdydz Ω =??? ，Ω由z =与22 3x y z +=围成。（134 π ） 3． 计算I Ω = ???，Ω为由2221x y z ++≤和z ≥区域。（ 20 π） 4． 已知()f x 连续，222()[()]F t z f x y dxdydz Ω =++???，222:0,z h x y t Ω≤≤+≤，求： ()F t '和2 0() lim t F t t + →。 5． 设Ω为平面1(0,0,0)x y z a b c a b c ++=>>>与三个坐标平面围成的四面体区域，求 (,,)I a b c z dxdydz Ω =???； 若又设a b c h ++=为定值，问,,a b c 怎样取值时，(,,)I a b c 最大，并求此最大值。（24 ,241536 a b c h ） 6． 将22()I f x y dxdydz Ω = +??? 化为球坐标下的三次积分，其中222:1,x y z Ω++≤ 0,0x y ≥≥。 7． 设()f u 具有连续导数，求2222 4 01lim t x y z t f dxdydz t π→++≤??? 。 （(0)f '，若(0)0f =；∞，若(0)0f ≠） 8． 计算22 ()I x y dxdydz Ω =+???，其中Ω为平面曲线 { 2 20 y z x ==绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面8z =所围成的区域。（10243 π ） 9． 计算I Ω = ???，其中Ω为22,1,1y x z y =+==之间。 10．设222 {(,,)|1,0}x y z x y z x y z Ω=++≤++≥，计算三重积分：
[整理]三重积分重积分习题.
第九章 重积分 第六讲 三重积分、重积分应用习题课 教学目的 使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活 的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算 教学重点 通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及 各是如何化为三次积分． 教学难点 柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定. 教学时数 2学时 教学过程 一、知识回顾 1．三重积分的意义及物理模型(空间物体的质量) 2．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分 (1) 柱面坐标与球面坐标. (2) 柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系. (3) 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式. (4) 何时用何种坐标计算. 3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算 曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是 (1) 往何坐标面上投 (2) 如何找投影区域 物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性. 二、练习 1．将I= zdv Ω ???分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下 的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面 z=2 2 2y x --及z=x 2+y 2 所围成的闭区域. 分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标
平面上，由于是由两张曲面222y x z --=及2 2y x z +=，而由这两个方程所组成的方 程组z z ?=?=? 极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标 系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可． 解 将Ω投影到xoy 平面上， 由z z ?=?=?消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)， 或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2 =1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2 ≤1 ． 为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰 到的曲面为2 2y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1) (1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积 分．因此再由D ：x 2+y 2 ≤1，有22y x z +=≤222y x z --= ，于是在直角坐标下，Ω 可表示为 Ω :22y x y z ??≤??+≤≤?， 于是有 I=??----2 2 111 1 x x dy dx ?--+2 22 22y x y x zdz . (2) 柱面坐标下 首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2 表示为z= 2ρ，z=2 22y x --表示为z=2 2ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可 表示为 Ω：??? ? ???-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz
二重积分习题答案
二重积分习题答案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
第八章二重积分习题答 案 练习题 1.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义 计算d D x y 解：d D x y =200 d π θ?? =222 01()2r d a r π θ=--?? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解：2d D x σ??=22 222301 001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。 解：σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =222(1)84 x dx --=?
3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28(2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解： 22 222 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 习 题 八 一．判断题 1.d D σ??等于平面区域D 的面积.（√） 2.二重积分 100f(x,y)d y dy x ??交换积分次序后为1 1 f(x,y)d x dx x ? ? （×） 二．填空题 1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy = ?? 12π12π. 2.二重积分d d D xy x y ??的值为 1 12 ，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤. 112 3.二重积分10 (,)y dy f x y dx ??交换积分次序后为 11 (,)x dx f x y dy ?? . 11 (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y = 0.0 5.交换积分次序
重积分典型例题解析
高等数学（2）第11章重积分典型例题解析 例1 填空 （1）根据二重积分的几何意义， ?? --D y x y x d d R 222= 。（其中 {}222),(R y x y x D ≤+=） （2）累次积分 ? ? x x y y x f x d ),(d 1 交换积分次序后，得到的积分为 。 （3）已知积分区域D x y x y =≤+≤{(,),}111，二重积分f x y x y D (,)d d ??在直角 坐标系下化为累次积分的结果是 。 解（1）由二重积分的几何意义，?? --D y x y x d d R 222表示球心在圆点，半径为R 的 上半球体的体积，故为3 3 2 R π。 应该填写：3 3 2R π。 （2）由已知的累次积分，得积分区域为? ??≤≤≤≤x y x x 1 0，若变换积分次序，即先积x 后 积y ，则积分变量y 的上、下限必须是常量，而积分变量x 的积分上、下限必须是常量或是 y 的函数，因此积分区域应表为?? ?≤≤≤≤1 02y y x y ，于是交换后的积分为??y y x y x f y 2d ),(d 10。 应该填写： ? ?y y x y x f y 2 d ),(d 10 。 （3）由已知的积分区域为D x y x y =≤+≤{(,),}111可知区域D 满足联立不等式 组?? ?≤+≤-≤≤-11111y x ，即而解得???≤≤-≤≤-0 21 1y x ，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以 可随意选择积分的顺序，若先积x 后积y ，则应填 ? ?--0 2 1 1 d ),(d x y x f y ，反之应填 d d x f x y y (,)--?? 2 1 1。 应该填写： d d x f x y y (,)--?? 2 01 1或??--02 1 1 d ),(d x y x f y 例2 单项选择 （1）二重积分 x x y x y 2 d d 14 22≤+≤??可表达为累次积分（ ）。 A. d d θθπr r 321 2 2cos ??； B. r r 321 2 2d d cos θθπ??；
三重积分练习题
三重积分练习题 第六讲三重积分、重积分应用习题课 教学目的使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活 的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算 教学重点通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及 各是如何化为三次积分． 教学难点柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定. 教学时数学时教学过程 一、知识回顾 1．三重积分的意义及物理模型．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分柱面坐标与球面坐标. 柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系. 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式. 何时用何种坐标计算. 3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是往何坐标面上投如何找投影区域 物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性. 二、练习
1．将I= ???zdv ? 分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下 的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中?是由曲面z= 2?x?y 2 2 及z=x+y所围成的闭区域. 22 分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标 平面上，由于是由两张曲面z? 2?x?y 22 及z?x?y，而由这两个方程所组成的方 22 ?z??z??程组极易消去z，我们把它投影到xoy面上．然后，为在指定的坐标 系下计算之，还应该先把?的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换
?z??22222z??解将?投影到xoy平面上， 由消去z得 =2-， 或=0，于是有 x+y=1．即知，?在xoy平面上的投影为圆域D： 22 x+y?1 ． 222222 为此在D内任取一点Q，过Q作平行于z轴的直线自下而上穿过?．穿入时碰 22 到的曲面为z?x?y，离开时碰到的曲面为z? 2?x?y 22 ，这是因为x2+y2?1) 22 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z的变化范围从而化为三重积 22 22 分．因此再由D：x+y?1，有z?x?y?z? 2?x?y
三重积分的计算方法与例题
三重积分的计算方法： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完 成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)
二重积分部分练习题59341
题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ） 16 （B ）112 （C ）12 （D ）1 4 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2 D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =??__________1 22 (,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ） 1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)1 1 2 11 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 1 (,)y dy f x y dx --?? (C)11 1 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D) 2 1 (,)dy f x y dx -? ? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分 为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C) 2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( ) (3分)[7]设f (x ,y ) 为连续函数，则二次积分 21 10 2 (,)y dy f x y dx ?? 可交换积分次序为 (A) 1 1 (,)(,)dx f x y dy f x y dy +?
重积分习题
★★1.化三重积分???Ω dxdydz z y x f ),,(为三次积分，其中积分区域Ω分别是： （1） 由xy z =，2=+y x ，0=z 所围成的闭区域； （2） 由六个平面0=x ，2=x ，1=y ，42=+y x ，x z =，2=z 所围成的闭区域； （3） 由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的闭区域。
★★2.设有一物体，占有空间闭区域Ω：10≤≤x ，20≤≤y ，30≤≤z ，在点),,(z y x 处的密度为z y x z y x ++=),,(ρ，计算该物体的质量。 ★★4.计算???Ω dv z xy 32，其中Ω是由曲面xy z =，x y =，1=x ，0=z 所围成的区域。 ★★★5.计算 ???Ω +++3)1(z y x dxdydz ，其中Ω是由0=x ，0=y ，0=z 和1=++z y x 所围成的四面体。
★★★6.计算??? Ωdxdydz，其中Ω是由xy z=，1 = + +z y x，0 = z所围成的区域。 ★★★7.计算??? Ω dv e z，其中Ω：1 2 2 2≤ + +z y x
★★1.利用柱面坐标计算三重积分??? Ωzdv，其中积分区域Ω由曲面4 2 2 2= + +z y x及 2 2 3y x z+ =所围成（在抛物面内的那一部分） ★★ 2.利用柱面坐标计算三重积分??? Ω +dv y x) (2 2，其中积分区域Ω由曲面z y x2 2 2= +及2 = z 所围成的闭区域。
★★3.利用球面坐标计算三重积分??? Ω + +dv z y x) (2 2 2，其中Ω由1 2 2 2= + +z y x所围成的闭区 域。 ★★4.利用球面坐标计算三重积分??? Ω + +dv z y x z2 2 2，其中Ω：1 2 2 2≤ + +z y x，
三重积分、重积分习题
三重积分 1．将I= zdv Ω ???分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三 次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面 z=2 22y x --及z=x 2+y 2所围成的闭区域 . 分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面 222y x z --=及22y x z += ，而由这两个方程所组成的方程组z z ?=? =? 极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可． 解 将Ω投影到xoy 平面上， 由z z ?=?=?消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)， 或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2 =1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2 ≤1 ． 为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰 到的曲面为2 2y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1) (1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积 分．因此再由D ：x 2+y 2 ≤1，有2 2y x z +=≤222y x z --=，于是在直角坐标下，Ω 可表示为 Ω :22y x y z ??≤??+≤≤?，
于是有 I=??----2 2 111 1 x x dy dx ?--+2 22 22y x y x zdz . (2) 柱面坐标下 首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2表示为z= 2ρ，z=222y x --表示为z=2 2ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可 表示为 Ω：? ??? ???-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz 将所给三重积分中的体积元素υd 用υd =dz d d θρρ去替换，有 I= Ω ???υzd = Ω ???dz d d z θρρ= ?π θ 20 d ?1 ρ d ?-22 22 ρρρdz . (3) 球面坐标下 用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x 2 +y 2 变为ρ=φφ 2 sin cos ；曲面 z=2 22y x --变为ρ=2． 由Ω在xoy 平面上的投影为x 2 +y 2 ≤1知0θ≤≤2π，下边找φ的变化范围． 正z 轴在Ω内，即Ω内有点P ，使→ op 与→ oz 夹角为零，即φ的下界为零．又曲面z=x 2+y 2 与xoy 平面相切，故φ的上界为2π，于是0≤φ≤2π 再找ρ的变化范围． 原点在Ω的表面上，故ρ取到最小值为零． 为找ρ的上界，从原点出发作射线穿过Ω，由于Ω的表面由两张曲面所组成，因而ρ 的上界随相应的φ的不同而不同．为此在两曲面的交线?????--=+=222 22y x z y x z ，上取一点A(0，1， 1)，故A 所对应的 4π φ= ．
重积分练习题2014(1)
I. 二重积分的计算 1. 已知D 是长方形域：10;≤≤≤≤y b x a ，且 求 ∫∫=D d x yf ,1)(σ∫b a dx x f .)( 2. 求积分 3. 求积分 .1102dy e dx x y ∫∫?.)2(1222dxdy y x y x ∫∫≤++ 4. 计算积分 ).0()()(2022202202 2>+++∫∫∫∫?R dy y x dx dy y x dx x R R R x R 5. 求积分 ∫∫≤?+++02222.)(y x y x d by ax σ II. 三重积分的计算 1. 计算∫∫∫Ω +++= 3)1(z y x dxdydz I ，其中Ω由0,0,0,1====++z y x z y x 所围成.
2. 设由曲面所围成，计算 Ω4,2,222==+=x x y z x .)1(4dxdydz x ∫∫∫Ω + 3. 设是由和Ω)(4),(162222y x z y x z +=+=64=z 围成，计算 .)(22dv y x +∫∫∫Ω 4. 设由Ω2210y x z +? ≤≤所确定，积分在柱坐标下，可以化为定积分： ，求dxdydz y x f )(22+∫∫∫Ω ∫10 )(dr r ?).(r ? 5. 计算积分 ∫∫∫≤++++= z z y x dxdydz cz by ax I 2222.)( III. 重积分的几何应用 1. 求位于圆周?ρcos 3=的内部及心脏线?ρcos 1+=外部区域的面积.
2. 是以双纽线的一支所围区域为底，以抛物面的一部分为顶的曲顶柱体，求的体积. Ω)(2)(22222y x y x ?=+22y x z +=Ω 3. , 求})(|),,{(222222y x z y x z y x +≤++=ΩΩ的体积. 4. 求锥面22y x z += 被柱面截下部分的面积. x z 22= 5. 1）求球面22242x y z a ++=被柱面222x y a +=x 所截下部分的面积。 2）求柱面222x y a +=x 2被球面2224x y z a ++=所截下部分的面积。
(新)高数二重积分习题解答
第9章 重积分及其应用 1．用二重积分表示下列立体的体积： (1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥； (2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体 解答：(1) 222d ,{(,)|}D V x y D x y x y R ==+≤； (2) 2222(2)d d ,{(,)|1}D V x y x y D x y x y =--=+≤?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1) D σ，其中D 为222x y a +≤； (2) (D b σ?? ，其中D 为222,0x y a b a +≤>> 解答：(1) 32 π3 D a σ=； (2) 2 32(ππ3D b a b a σ=-?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且 (,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ． 解答：(,)d D Q x y μσ=?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy 平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：d D p g x ρσ=?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级
5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小 (1) 21()d D I x y σ=+??与32()d D I x y σ=+??，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域； (2) 1ln(1)d D I x y σ=++??与222ln(1)d D I x y σ=++??，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1； (3) 21sin ()d D I x y σ=+??与22()d D I x y σ=+??，其中D 是任一平面有界闭区域； (4) 1e d xy D I σ=??与22e d xy D I σ=??，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1； 解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2； (2) 在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3) 由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级 6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4) D I D x y x y x y σ ==≤≤≤≤++?? ； (2) 2222π3πsin()d ,(,)44D I x y D x y x y σ? ?=+=≤+≤??????； (3) 221 d ,{(,)|||||1}100cos cos D I D x y x y x y σ==+≤++?? ； (4) 2 2 221e d ,(,)4x y D I D x y x y σ+? ?==+≤??? ??? 解答：(1) 由于{(,)|04,08}D x y x y =≤≤≤≤的面积为32，在其中111 ln16ln(4)ln 4 x y ≤≤++，而等号不恒成立，故 816ln 2ln 2 I <<； (2) 由于22π3π(,)44D x y x y ? ?=≤+≤????的面积为212π，在其中22sin()12x y ≤+≤，而等号不 恒成立，故22 π42 I <<；