2017年全国初中数学联合竞赛试题含答案
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试(A)
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）
1．已知实数 a , b , c 满足 2a + 13b + 3c = 90 ， 3a + 9b + c = 72 ，则
3b + c
＝
（
）
a + 2b
A. 2．
B. 1．
C. 0．
D. -1．
【答】B.
已知等式可变形为 2( a + 2b ) + 3(3b + c ) = 90 ， 3( a + 2b ) + (3b + c ) = 72 ，解得 a + 2b =18 ，
3b + c =18 ，所以 3b + c
= 1.
a + 2b
2．已知△ ABC 的三边长分别是 a , b , c ，有以下三个结论：
（1）以 a , b , c 为边长的三角形一定存在；
（2）以 a 2 , b 2 , c 2
为边长的三角形一定存在；
（3）以 | a - b | +1,| b - c | +1,| c - a | +1 为边长的三角形一定存在.
其中正确结论的个数为
（ ）
A ．0．
B ．1．
C ．2．
D ．3． 【答】C.
不妨设 a ≥ b ≥ c ，则有 b + c > a .
（1）因为 b + c > a ，所以 b + c + 2
2
2
b +
c > a ，故以 a , b , c 为 bc > a ，即 ( b + c ) >（ a ），即 边长的三角形一定存在；
（2）以 a = 2, b = 3, c = 4 为边长可以构成三角形，但以 a 2 = 4, b 2 = 9, c 2 =16 为边长的三角形不存在；
（3）因为 a ≥ b ≥ c ，所以 | a - b | +1 = a - b + 1,| b - c | +1 = b - c + 1,| c - a | +1 = a - c +1 ，故三条边中 | c - a | +1 大于或等于其余两边，而（| a - b | +1）+（| b - c | +1）=（a - b + 1）+（b - c +1）=a - c + 1 + 1 > a - c + 1 =| c - a | +1 ，故以 | a - b | +1 ， | b - c | +1 ， | c - a | +1 为边长的三角形一定存在.
3．若正整数 a , b , c 满足 a ≤ b ≤ c 且 abc = 2( a + b + c ) ，则称 ( a , b , c ) 为好数组.那么，好数组的个数
为
（
）
A. 1． B ．2．
C ．3．
D ．4．
【答】C.
若 ( a , b , c ) 为好数组，则 abc = 2( a + b + c ) ≤ 6c ，所以 ab ≤ 6 .显然， a 只能为 1 或 2.
若 a ＝2，由 ab ≤ 6 可得 b = 2 或 3， b = 2 时可得 c = 4 ， b = 3 时可得 c = 5
2 （不是整数）；
若 a ＝1，则 bc = 2(1 + b +c ) ，于是可得 (b - 2)(c - 2) = 6 ，可求得 ( a , b , c ) ＝（1，3，8）或（1，4，
5）.
综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.
4．设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 ∠BAD + ∠ACB = 180?，且 BC = 3，AD = 4 ，
AC = 5 ， AB = 6 ，则 DO ＝ （ ）
OB
10
8 6
4
A.
．
B.
．
C.
．
D.
．
D
9 7 5 3
E
【答】A.
C
过 B 作 BE // AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 ∠ABE = 180? - ∠BAD
= ∠ACB ，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以
AC = BC ，所以
4
O
3
AB EB
AB ? BC
6 ?3
18
B
EB = = = .
A
6
AC 5 5
再由 BE // AD ，得 DO = AD = 4 = 10 .
BE
OB 18 9
5
5．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在 CB 的延长线上，
满足 ∠BAF = ∠CAE .已知 BC =15 ， BF = 6 ， BD = 3 ，则 AE ＝ （ ）
A
A. 4 3 ．
B. 2 13 ．
C. 2 14 ．
D. 2 15 ．
【答】B.
F
B
D
E
C
如图，因为 ∠BAF = ∠CAE ，所以 ∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ，即 6 3
∠FAE = ∠BAC = 90? .
又因为 AD ⊥ BC ，故 AD 2 = DE ? DF = DB ? DC .
而 DF = BF + BD = 6 + 3 = 9 ，DC = BC - BD = 15 - 3 =12 ，所以 AD 2 = DE ? 9 = 3 ? 12 ，所以 AD = 6 ，DE
= 4 . 从而 AE = AD 2
+ DE 2
= 62
+ 42
= 213 .
6．对于正整数 n ，设 a 是最接近
的整数，则 1 + 1 + 1 + +
1 = （ n
）
n
a 1 a 2 a 3
a
200
A. 191 ．
B. 192 ．
C. 193 ．
D. 194 ．
【答】A.
对于任意自然数 k ， ( k +
1 )
2 = k 2
+ k + 1
不是整数，所以，对于正整数 n ，
- 1 一定不是整数.
n
4
2
的整数，则| m -
|< 1 ， m ≥1.
设 m 是最接近
n n
2
易知：当 m ≥1时，| m -
|< 1 ? ( m - 1 ) 2 < n < ( m + 1 )2
? m 2 - m + 1 < n < m 2
+ m + 1 .
n 2 2 2 4 4
于是可知：对确定的正整数 m ，当正整数 n 满足 m 2 - m + 1 ≤ n ≤ m 2
+ m 时，m 是最接近
的整数，
n 即 a n = m .所以，使得 a n ＝ m 的正整数 n 的个数为 2m .
注意到132 + 13 = 182 < 200 < 14 2
+ 14 = 210 ，因此， a , a , ,
8 个 4，……，26 个 13，18 个 14.
所以1+1+1+ +1= 2 ?1+ 4 ?1+ 6 ?1+ + 26 ?1+ 18?1=191
.
a a a a12313147 123200
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1．使得等式 1 + 1+a=3a 成立的实数 a 的值为_______．
【答】 8 .
由所给等式可得 (1 + 1 +a )3=a2.
令 x =1+a，则 x ≥0，且a=x2-1，于是有(1+ x )3=( x2-1)2，整理后因式分解得
x ( x -3)( x +1)2=0，解得 x= 0 ，x= 3 ，x= -1 （舍去），所以a= -1或a=8.
123
验证可知： a = -1是原方程的增根， a =8是原方程的根.
所以， a =8.
2．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=72?，AF⊥BC于点F， AF
M
交 BD 于点 E ，若 DE =2AB ，则∠AED ＝_______．
【答】 66?.
B
E 取 DE 的中点 M ，在Rt△ ADE中，有 AM = EM =1DE = AB .
2
设∠AED =α，则∠AME =180? -2α，∠ABM =α-18?.
又∠ABM = ∠AMB ，所以180? -2α=α-18?，解得α=66?.
3．设m,n是正整数，且m>n.若9m与9n的末两位数字相同，则m-n的最小值为．
【答】10.
由题意知，9m- 9n= 9n? (9m-n-1) 是100的倍数，所以9m-n-1是100的倍数，所以9m-n的末两位数字是 01，显然，m-n是偶数，设m-n=2t（t是正整数），则9m-n=92t=81t .
计算可知： 812的末两位数字是61， 813的末两位数字是41， 814的末两位数字是21， 815的末两位
数字是 01.
所以 t 的最小值为5，从而可得 m - n 的最小值为10.
4．若实数 x, y 满足 x 3+ y 3+3 xy =1，则 x 2+ y2的最小值为．
1
【答】2 .
因为
0= x 3+ y 3+3 xy -1=( x + y )3+(-1)3-3 x 2 y -3 xy 2+3xy
=( x+y- 1)( x2+y2-xy+x+y+1) =1
2(x+y-1)[(x-y)2+(x+1)2+(y+1)2]，
所以 x = y = -1或x+y=1.若x = y = -1，则 x 2+ y2＝2.
若x + y =1，则x2+y2=1
2[(x+y)2+(x-y)2]=
1
2[1+(x-y)2]≥
1
2，当且仅当x=y=
1
2时等号
成立.
所以， x 2+ y2的最小值为1
2.
第一试(B)
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）
1．已知二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与 x 轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．
【答】C.
因为二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象与 x 轴有唯一交点，所以?1=b2-4ac=0，所以b2=4ac≠0.
故二次函数 y = a 3 x 2+ b3 x + c3的判别式?2=(b3)2-4a3c3=b6-161
(4ac)3=b6-16
1
(b2)3=16
15
b6
>0 ，所以，二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与x轴有两个交点.
2．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.
3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.
4．已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2＝（）
A. 424．
B. 430．
C. 441．
D. 460．
【答】C.
由已知等式消去 c 整理得( a -9)2+3(b -1)2=75，所以3(b -1)2≤75，又b为正整数，所以1≤b≤6.
若b ＝1，则( a -9)2=75，无正整数解；
若b ＝2，则( a -9)2=72，无正整数解；
若b ＝3，则( a -9)2=63，无正整数解；
若b ＝4，则( a -9)2=48，无正整数解；
若b ＝5，则( a -9)2=27，无正整数解；
若b ＝6，则( a -9)2=0，解得a=9，此时c=18.
因此， a =9，b＝6， c =18，故a2+b2+c2=＝441.
5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若∠BAD+ ∠ACB=180?，且BC=3，AD=4，AC =5， AB =6，则DO＝（）
OB
A.4．
B.6．
C.8．
D.10．
3579
【答】D.
解答过程与（A）卷第 4 题相同.
6．题目和解答与（A）卷第 5 题相同.
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.
2 ．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠ACB=7∠OED，
∠ABC =5∠OED ，则∠OED ＝_________.
A 【答】10?.
如图，设∠OED = x ，则∠A B =C5，x ∠ACB =7x ，∠DOC
= ∠BAC =180? -12x ，∠AOC =10x ，所以∠AOD =180? -2x ，
∠ODE =180? - x -(180? -2 x)= x ，所以OD=OE=1OA =1OC ，所
22
B 以∠DO
C =60?，从而可得 x =10?.
3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.
4.题目和解答与（A）卷第 4 题相同.
E
O
D
C
第二试（A）
一、（本题满分20分）已知实数 x, y 满足x+y=3，
1
+
1
=
1
，求 x 5+ y5的值. x+ y 2x + y2
解由
1
+
1
=
1
可得 2( x+y+x2+ y 2)= x 3+ y 3+ x 2 y 2+ xy . x + y 2x 2+ y2
设xy = t ，则 x 2+ y 2=( x + y )2-2xy =9-2t ， x 3+ y 3=( x + y )[( x + y )2-3 xy ]=3(9-3t )，代入上式可得 2(3 + 9 - 2t ) = 3(9 - 3t ) +t2+t，解得t=1或t=3.……………………10分当 t =3时，xy=3，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+3=0的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当 t =1时，xy=1，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+1=0的两实数根，符合题意.此时
x 5+ y 5=( x 2+ y 2)( x 3+ y 3)-( x + y ) x 2 y 2=(9-2t )?[3(9-3t )]-3t 2=123.……………………20分
二（、本题满分 25 分）如图，△ABC中，AB>AC，∠BAC=45?，E是∠BAC
的外角平分线与△ ABC 的外接圆的交点，点F在AB上且EF⊥AB.已知AF =1，BF =5，求△ ABC 的面积.
解在 FB 上取点 D，使 FD＝AF，连接 ED 并延长，交△ABC的外接圆于点G.
由 EF⊥AD，AF＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以
∠AED＝180? -2∠EAD＝∠BAC，……………………10分
E
A
F
D
C
G B
……………………15分所以 AG = BC，所以 AC= BG ，所以AC＝BG.
又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD＝5－1＝4，……………………20分△ABC 的AB边上的高 h = AC sin 45? =2 2 .
所以，△ ABC 的面积S=1? AB ? h =1? 6 ? 2= 6.
22……………………25分
2
2
三、（本题满分 25 分）求所有的正整数数对(a,b)，使得a3=49?3b+8.
解显然， 49 ? 3b+8 为奇数，所以a为奇数.
又因为 a3=49?3b+8≥49?3+8>53，所以a>5.……………………5分由a3=49?3b+8可得 a3-8=49?3b，即( a -2)( a 2+2a +4)=72?3b.……………………10分设( a- 2, a2+ 2a+ 4) =d，则d为奇数.注意到a2+ 2a+ 4 = ( a- 2)( a+ 4) +12 ，所以d | 12 ，所以d ＝1 或 3.……………………15分?a -2=72,?a -2=3b,
??均无正整数解.……………………20分若 d ＝1，则有?
a 2+ 2 a+ 4或?a 2+2 a +4=72
?= 3b ,?,
??
?a -2=3?72,?a -2=3b-1,
??
解得 a =11， b =3.
若 d ＝3，则有?2+ 2 a+ 4b-1或?2+ 2 a+ 4=3 ?72
?a= 3,?a,
??
所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25分
第二试（B）
一、（本题满分 20 分）已知实数a,b,c满足a≤b≤c，a+b+c=16，a2+b2+c2+1
4abc=128，
求c 的值.
解设 a + b = x ，ab=y，依题意有x2-2y+(16-x)2+1
4y(16-x)=128，整理得
( x- 8) 2=1
y ( x -8)，8
所以 x =8或y=8(x-8).……………………10分
（1）若 x =8，则 a + b =8，此时 c ＝8.
（2）若 y =8( x -8)，即 ab =8( a + b -8)，则( a -8)(b -8)=0，所以a=8或b=8.
当a =8时，结合 a ≤ b ≤ c 可得 a + b + c ≥24，与 a + b + c =16矛盾.
当b =8时，结合 a ≤ b ≤ c 及 a + b + c =16可得 a =0， c =8.
综合可知： c =8.……………………20分
二、（本题满分 25 分）求所有的正整数m，使得22m-1-2m+1是完全平方数.
解当 m ＝1时，22m-1-2m+1=1是完全平方数.……………………5分当 m >1时，设22m-1-2m+1=n2（ n 为正整数）.
注意到 22m-1- 2m+ 1 = 2 ? (2m-1 ) 2- 2 ? 2 m-1+ 1 = (2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2，故可得
(2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2=n2，……………………10分
所以 22m-2=n2- (2m-1- 1) 2= ( n+ 2 m-1- 1)( n- 2 m-1+1) .……………………15分
设 x = n -2m-1+1， y = n +2m-1-1，则x ……………………20分 又 y - x =2m-2被4除余数为2，所以，只可能x=2， y =2m，故2?2m=22m-2，解得m=3. 综上可知：满足条件的正整数 m 有两个，分别为1和3.……………………25分 三、（本题满分 25 分）如图，O为四边形ABCD内一点，∠OAD= ∠OCB，D OA ⊥ OD ， OB ⊥ OC .求证：AB2+CD2=AD2+BC2.A O P 证明由题设条件可知∠AOD = ∠BOC =90?，又∠OAD =∠OCB，所以 △ AOD ∽△ COB ，……………………5分 OD AO OC AO B 所以OB=CO，从而OB=OD .……………………10分C 又∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = ∠AOB + ∠AOD = ∠DOB ，所以△ AOC ∽ △ DOB ，所以 ∠OAC = ∠ODB .……………………15分设AC 和BD交于点P，则∠APD = ∠AOD =90?，所以 AC ⊥ DB ，……………………20分 所以 AB 2+ CD 2=( AP 2+ PB 2)+( PD 2+ PC 2)=( AP 2+ PD 2)+( PB 2+ PC 2)= AD 2+ BC2. ……………………25分 2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷班级：: 姓名：成绩： 题号一二三四五合计 得分 评卷人 复核人 考生注意： 1、本试卷共五道大题，全卷满分140分； 2、不能使用计算器。 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是（） A、9504元 B、9600元 C、9900元 D、10000元 2、如图，在凸四边形ABCD中，BD ABC，则ADC BC ∠80 ∠等于（） = AB= =，? A、? 160 140D、?80B、? 100C、? 1 2 第2题图 D A C B 第4题图 D A C B 3、如果方程()()0422=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是（ ） A 、04m <≤ B 、3≥m C 、4≥m D 、34m <≤ 4、如图，梯形ABCD 中，CD AB //，?=∠60BAD ，?=∠30ABC ，6=AB 且CD AD =，那么 BD 的长度是（ ） A 、7 B 、4 C 、72 D 、24 5、如果20140a -<<，那么|2014||2014|||+-+++-a x x a x 的最小值是（ ） A 、2014 B 、2014+a C 、4028 D 、4028+a 6、方程()y x y xy x +=++322的整数解有（ ） A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） D F E O A C B 3 1、如图，扇形AOB 的圆心角?=∠90AOB ，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为 ． 2、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是：23，28，33，39，x ，y ，则____=+y x ． 3、已知6=-y x ，922=-+-y xy xy x ，则22y xy xy x ---的值是 ． 4、有质地均匀的正方体形的红白骰子各一粒，每个骰子的六个面分别写有1、2、3、4、 5、6的自然数，随机掷红、白两粒骰子各一次，红色骰子掷出向上面的点数比白色骰子掷出向上面的点数小的概率是 ． 三、（本大题满分20分） 已知0422=-+a a ，2=-b a ，求 b a 2 11++的值。 2003年全国初中数学竞赛试题 一、选择题 1、若4x-3y-6z=0.x+2y-7z=0(xyz ≠0)，则代数式2222 22103225z y x z y x ---+的值等于( )． （A ）-21 （B ）-219 （C ）-15 （D ）-13 2．在本埠投寄平信，每封质量不超过20g 时付邮费0．80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费l ．60元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0．80元(信的质量在100g 以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5g ，那么他应付邮费( )． (A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元 3.如图所示， ( )． (A)3600 (B)4500 (C)5400 (D)720 4.四条线段的长分别为9，5，x ，1(其中x 为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段(如图)，则x 可取值的个数为( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)6个 5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能最后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )． (A)1种 (B)2种 (C)4种 (D)O 种 二、填空题 6．已知 那么 . 7．若实数x ，y ，z 满足 则xyz 的值为 . 8．观察下列图形： 根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数应为 。 9．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成450 ，则∠A ＝600 ，CD ＝4m,BC=(4 )m 电线杆AB 的长为 m. 10．已知二次函数y=ax 2 +bx+c(其中a 是正整数)的图像经过点A(一1，4)与点B(2，1)，并且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为 ． 三，解答题. 11．如图所示，已知AB 是⊙0的直径，BC 是⊙0的切线，0C 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ， 连接AC ，与DE 交于点P ．问EP 与PD 是否相等?证明你的结论． 12．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：小时)如图所示．若汽车行驶的平均速度为80千米／小时，而汽车每行驶l 千米需要的平均费用为1．2元．试指出此人从A 城出发到8城的最短路线(要有推理过程)，并求出所需费用最少为多少元? =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠G F E D C B A ,31+=x =---++2 1 4121,2 x x x ,3 71,11,41 =+=+=+x x z y y x 226- 2017年全国初中数学联赛决赛试卷B (3月26日 上午8:45—11:15） （本试卷由李庄中学 况永胜（QQ:369132130录入） 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 本题共有6小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。将你选择的答案的代号填在题号的括号内，每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1、若q 是质数，且q +1 是完全平方数，就称q 为P 型质数，则P 型质数的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、无数个 2、已知k 为正实数，一次函数y =kx +1与反比例函数y = k x 的图象交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若||x 1-x 2=5，则k 的值是( ) A 、1 B 、 2 C 、 3 D 、2 3、已知AD 、BE 、CF 为锐角△ABC 三边上的高，若AB =26，EF BC = 513， 则BE 的长度是（ ） A 、10 B 、12 C 、13 D 、24 4、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC =90°，E 是腰AD 的中点，若EC = 13，AB +BC +CD =226,则∠BCE = ( ) A 、30° B 、45° C 、60° D 、75° 5、若实数k 使得关于x 的方程(x 2–1)(kx 2–6x –8)=0恰有三个不同的实数根，则称k 为“好数”， 则“好数”k 的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6.记正整数m 的各位数字之和为S (m )，比如S (2017)=2+0+1+7=10，现从1，2，3，…,2016,2017这2017个正整数中，任意取出n 个不同的数，都能在这n 个数中找到a 1，a 2，…，a 7，a 8， 使得S (a 1) = S (a 2)= …= S (a 7) = S (a 8)，则正整数n 的最小值是（ ） A 、185 B 、187 C 、189 D 、191 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上. 7、若x =3–2，则 –x 2–2x x 2–1÷ ( 1||x +1 + 1||x –1 )的值是 8、在平面直角坐标系中，点O （0，0）、A （0，6）、B （-3，2）、C （-2，9），点P 为线段OA （含端点）上任意一点，则PB +PC 的最小值是 9、有4只杯口全朝上的茶杯，现在每次翻转3只，翻动的茶杯允许再翻，经过n 次翻动后，使得杯口全朝下，则正整数n 的最小值是 (注：所谓一只茶杯的一次翻转是指将该茶杯的杯口朝上（下）翻为杯口朝下（上）) 10、设A 、B 为抛物线y = x 2上两点，该两点在y 轴两侧，满足AB =4，记△AOB 的面积为S ，其中O 为坐标原点，则S 的最大值是 三、解答题（本题满分20分） 11、设a 、b 、c 是任意三个互不相等的有理数，证明： 1(a –b )2 + 1(b –c )2 + 1(c –a )2 是有理数. 2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题： 1．已知x ，y 为整数，且满足(1x ＋1y ) (1x 2＋1y 2)＝－23(1x 4－1y 4)，则x ＋y 的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．已知非负实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则t ＝2xy ＋yz ＋2xz 的最大值为（ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225 3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，BE ⊥AC 于E ，交AD 于P ，已知BP ＝3，PE ＝1，则AE ＝（ ） A ．62 B ．2 C ．3 D ．6 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ） A ．12 B ．25 C ．23 D ．34 5．设[t ]表示不超过实数t 的最大整数，令{t }＝t －[t ].已知实数x 满足x 3＋1x 3＝18，则 {x }＋{1x }＝（ ） A ．12 B ．3－5 C ．12 (3－5) D ．1 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, ∠ADE ＝90° ,则BE 的长为（ ） A ．4－23 B ．2－3 C ．12 (3－1) D ．3－1 二、填空题： 1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1， 1 a ＋b －c ＋ 1 a ＋c －b ＋ 1 b ＋c －a ＝1，则abc ＝__ 2．使得不等式917＜n n ＋k ＜815 对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB ＝BC ，∠BPC ＝108°，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则∠P AC ＝________． 2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案 说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准 规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分 的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．若0x >，0y >=的值为（ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则错误! 未找到引用源。＝（ D ） A ．16 B ．15 C ．13 D ．12 3．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y + +=--，错误!未找到引用源。则x y +的可能的值有 （ C ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平 两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ C ） A ．21 B ．20 C ．31 D ．30 5．已知实数,,x y z 满足1()2 x y z =++，则xyz 的值为 （ A ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．不确定 6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行 线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝ （ D ） A ．1813 B ．2013 C ．2213 D ．2413 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝ 1-． 2．使得不等式981715 n n k <<+错误!未找到引用源。对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 144 ． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=?，D 为AC 的中点，BD 2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算=（ ） （A 1 （B ）1 （C （D ）2 【答案】（B ） 【解析】原式=1)3)1-=-=，故选（B ）. 2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】（A ） 【解析】分三种情况进行讨论： （1）若21m -=，即1m =时，满足已知等式； （2）若21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式； （3）若21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020 m m m -≠??--=?解得，1m =- 故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选（A ）. 3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠= ，ABC ∠的平分线交圆O 于 点D ，若CD =，则AB =（ ） （A ）2 （B （C ） （D ）3 【答案】（A ） 【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则 CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠= ,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠= ,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠= ,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠= , 在Rt ONC ?中，∵cos CN OCN OC ∠= =,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选（A ）. 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（B ） 2017年全国初中数学联合竞赛试题 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数． 第一试(A) 一、选择题(本题满分42分，每小题7分) 1．已知实数a ，b ，c 满足2a ＋13b ＋3c ＝90，3a ＋9b ＋c ＝72，则3b ＋c a ＋2b ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 2．已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，有以下三个结论： (1)以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在； (2)以a 2，b 2，c 2为边长的三角形一定存在； (3)以|a －b |＋1，|b －c |＋1，|c －a |＋1为边长的三角形一定存在． 其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若正整数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c 且abc ＝2(a ＋b ＋c )，则称(a ，b ，c )为好数组．那么，好数组的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180 ，且BC ＝3， AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，则DO OB ＝( ) A ．109 B ．87 C ．65 D ．43 5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上，满足∠BAF ＝∠CAE ．已知BC ＝15，BF ＝6，BD ＝3，则AE ＝( ) A ．43 B ．213 C ．214 D ．215 6．对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 200 ＝( ) A ．1917 B ．1927 C ．1937 D ．1947 70分. 42分，每小题7分） A,B,C,D的四个答案，其 .将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 分. []x -称为x的小数部分.已知t=，a是 1 a -=（） .D 20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书 （） .D12种 70,0 120, BPC ∠=BD是ABP ∠的平分线， ,则BFC ∠= ( ) +则2016 2016 S =（） .C 2017 2018 .D 2018 2017 、AB、AC上，且AD、BF、CE相交于 .C 5 2 .D2 4,319, d a c =-=则 2 b c a d -= ( ) 省 市 县 学 校 姓 名 性 别 准 考 证 号 （ 密 封 装 订 线 内 不 要 答 题 ） .A 15 .B 17 .C 18 .D 20 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上. 1.如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且,15BAC DAC AB ∠=∠=,1 2.AD = 过 顶点C 作CE AB ⊥于,E 则 AE BE = . 2.已知整数,,a b c 满足不等式22222112820,a b c ab b c +++<++则a b c +-= . *3.若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . *4.将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 . 2016年全国初中数学联合竞赛试题 第二试 (3月20日上午9:50 — 11:20) “《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题 班级__________学号________________________得分______________ 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．已知实数x，y满足：4 x4 － 2 x2 ＝3，y4＋y2＝3，则 4 x4 ＋y4的值为（） （A）7 （B）1＋13 2 （C） 7＋13 2 （D）5 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（） （A）5 12（B） 4 9 （C） 17 36 （D） 1 2 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有（） （A）6条（B）8条（C）10条（D）12 4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在圆O作正△ABC，点D 为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为 （） （A） 5 2 a（B）1 （C） 3 2 （D）a 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（） （A）2种（B）3种（C）4种（D）5种 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v＝uv＋v．若关于x的方程x*（a*x）＝－1 4有 两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值围是_______． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟． 8．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为______． 9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为______． 10．关于x，y的方程x2＋y2＝208(x－y)的所有正整数解为________． 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分） 11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交 初三数学竞赛试题中国教育学会中学数学教学专业委员会 2014年全国初中数学竞赛试题 题号 一 二 三 总分 1～5 6～10 11 12 13 14 得分 评卷人 复查人 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交． 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设非零实数，，满足则的值为（）．（A） （B） （C） （D） 2．已知关于的不等式组 恰有个整数解，则的取值范围是（）．（A）＜＜ （B）≤＜ （C）＜≤ （D）≤≤ （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC （A）3 （B）4 （C）6 （D）8 5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ， 且，则的值为（）． （A） （B） （C） （D） 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．设，是的小数部分，是的小数部分，则的值为． 7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是． 8．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值为． 11．如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线与轴交于点D．求∠DBC∠CBE． 12．设△的外心、垂心分别为，若共圆，对于所有的△，求所有可能的度数． 14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数． 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1．A 2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3 2 b c a b + + 的值为（）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1， 111 135 a b c ++= +++ ，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）. A.125 B.120 C.100 D.81 3.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）. A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）. A.424 B.430 C.441 D.460 5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）. C. D. 6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）. A.56 B.58 C.60 D.62 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 7.a的值为________. 8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为 ________. 9.设a,b是两个互质的正整数，且 3 8ab p a b = + 为质数.则p的值为________. 10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 第二试 一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值. 二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P 为AD与EF的交点.证明：EF=2PD. 三、（本题满分25分）已知a,b,c为有理数，求 222 a b c a b c ++ ++ 的最小值. 1999年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试（4月4日上午8:30--9:30） 考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。全卷满分70分。 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。 1、计算的值是（）。 （A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。 2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）。（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。 3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）。 4、若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（）。 （A）540；（B）390；（C）194；（D）97。 5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P 在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（）。 （A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。 6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无 理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是（）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。 1、已知且，则＝________。 2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。 2017年全国初中数学竞赛试题 考试时间2017年3月20日9︰30－11︰30满分150 答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答 2、解答书写时不要超过装订线 3、草稿纸不上交。 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1 、设x = (1)(2)(3)x x x x +++的值为（ C ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 2、对于任意实数,,,a b c d ，定义有序实数对(,)a b 与(,)c d 之间的运算“△”为： (,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc ?=++。如果对于任意实数,u v ，都有(,)(,)(,)u v x y u v ?=，那么(,)x y 为（ B ）。 A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1,0)- D ．(0,1)- 3、已知,A B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223 cos sin 4 A B t +=，则 实数t 所有可能值的和为（ C ） A ．83- B ．53- C ．1 D ．11 3 4、如图，点,D E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设1EADF S S 四边形＝，BDF 2S S ?＝，BCF 3S S ?＝，CEF 4S S ?＝， 则13S S 与24S S 的大小关系为（ C ） A ．13S S ＜24S S B ．13S S ＝24S S C ．13S S ＞24S S D ．不能确定 5、设3333 1111 S 1232011 ＝＋＋＋＋，则4S 的整数部分等于（ A ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、两条直角边长分别是整数,a b （其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另A B C E D F 第2题图 D A C B 第4题图 D A C B 2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷 班级：: 姓名： 成绩： 考生注意： 1、本试卷共五道大题，全卷满分140分； 2、不能使用计算器。 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是（ ） A 、9504元 B 、9600元 C 、9900元 D 、10000元 2、如图，在凸四边形ABCD 中，BD BC AB ==，?=∠80ABC ，则ADC ∠等于（ ） A 、?80 B 、?100 C 、?140 D 、?160 3、如果方程()()0422=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是（ ） A 、04m <≤ B 、3≥m C 、4≥m D 、34m <≤ 4、如图，梯形ABCD 中，CD AB //，?=∠60BAD ，?=∠30ABC ，6=AB 且CD AD =，那么 BD 的长度是（ ） A 、7 B 、4 C 、72 D 、24 5、如果20140a -<<，那么|2014||2014|||+-+++-a x x a x 的最小值是（ ） A 、2014 B 、2014+a C 、4028 D 、4028+a 6、方程()y x y xy x +=++322的整数解有（ ） A 、3组 B 、4组C 、5组 D 、6组 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1、如图，扇形AOB 的圆心角?=∠90AOB ，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为 ． D F E O A C B 2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷 第一试 一、 选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则 32b c a b ++的值为（ ）. A. 2 B. 1 C. 0 D.1- 2. 已知实数,,a b c 满足1a b c ++=， 1110135 a b c ++=+++，则()()()222 135a b c +++++的值为（ ）. A. 125 B. 120 C. 100 D. 81 3. 若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(),,a b c 为好数组.那么好数组的 个数为（ ）. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=， 则222a b c ++的值为（ ）. A. 424 B. 430 C. 441 D. 460 5. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AB =，4BC =，2CD =，1AD =，则梯形的面积为（ ）. 102 103 C.32 D.33 6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=?， 点E 在AB 上，若42AE =，28BE =，70BC =， 45DCE ∠=?，则DE 的值为（ ）. A. 56 B. 58 C. 60 D. 62 二、 填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） D E 1. 311a a ++=成立的实数a 的值为________. 2. 已知△ABC 的三个内角满足100A B C << 2014年全国初中数学竞赛试题和答案解析 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441 111211 ()()()3x y x y x y + +=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C. 由已知等式得2244 224423x y x y x y xy x y x y ++-?=?，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4 x y +- =-.又,x y 为整数，可求得12, x y =-??=?， 或21.x y =-??=? ， 所以1x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个. 2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ． 47 B ．59 C ．916 D ．12 25 【答】 A. 21 222()2()()4 t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++ 212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734 ()477x =--+， 易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值4 7 . 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知 3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ） A B C D 【答】 B . 因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ?=?=，又2BC BD = ，所以BD = DP =. 2004年全国初中数学联合数学竞赛试题 第一试 一．选择题 1．已知abc ≠0，且a+b+c =0, 则代数式222 a b c bc ca ab ++的值是（ ） (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 2．已知p,q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ） (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形 3． 一个三角形的边长分别为a,a,b ，另一个三角形的边长分别为b,b,a ，其中a>b ，若两个三角形的最小内角相等，则a b 的值等于（ ） (A) 12 (B) 12 (C) 22+ (D) 22 4．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条 5．已知b 2-4ac 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） (A) 18ab ≥ (B) 18ab ≤ (C) 14ab ≥ (D) 14 ab ≤ 6．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ） (A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50 二．填空题 1．计算 +L = . 2．如图ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则 BN NC = . 3．实数a,b 满足a 3+b 3+3ab=1,，则a+b= . 4．设m 是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= . 第二试（A ） 一． 已知方程x 2-6x-4n 2-32n=0的根都是整数，求整数n 的值。 二． 已知如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC, 以两腰AB,CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q 。 求证：EP=FQ 三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t 2)为抛物线y ＝x 2上位于三角形ABC 内（包 括边界）的一动点，BP 所在的直线交AC 于E ， CP 所在的直线交AB 于F 。将BF CE 表示为自 2017年全国初中数学联赛（初二决赛）试卷 （3月26日上午8：45---11：15） 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。将你选择的答案的代号填在题后的括号内。每小题选对得7分；不选或错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1、六位朋友一起去吃饭，实行AA 制，即大家均摊费用。因为小王忘了带钱，所以其他人每人多付了5元钱，则这顿饭共花费 （ ） A.90元 B.120元 C.150元 D.180元 x-m ＜0 2、若关于x 的不等式组 9-2x ＜1，的整数解共有5个，则实数m 的取值范围为（ ） A.8≤m ＜9 B.8＜m ≤9 C.9≤m ＜ 10 D.9＜m ≤10 3、如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上的动点， 将△EFB 沿EF 所在直线折叠得到△EFB ′，连接DB ′，则DB ′的最小值为 （ ） A.10-1 B.3 C.13-1 D.2 4、已知三角形的三条边长为a ，b ，13，且a ，b 为整数，a ＜b ＜13，则（a ，b)的组数共有 （ ） A.26组 B.30组 C.36组 D49组 5、已知△ABC 中，AB=210，BC=6，CA=2,点M 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D.则BD= （ ） A.1 B.313 C.13 136 D.13 6、已知非零实数x 、y 、z 满足x 2+20171+y =y 2+20171+z =z 2+2017 1+x ，则zx yz xy z y x ++++222的值为（ ） A.1或3 B.1或-3 C.-1或3 D.-1或-3 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上。 7、已知a=321+，b=3 21-，则2a 2-5ab+2b 2的值为 . 8、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于M ，且AB=AC ，AB ⊥AC ，BC=BD ， 那么∠AMB 的度数为 . 9、从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数为偶数的概率为 . 10、如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=10，点D 、E 在线段BC 上，且CD=2， BE=5，点P ，Q 分别是线段AC 、AB 上的动点，则四边形PQED 周长的最小值为 . 2014年全国初中数学联合竞赛（初二组）初赛 试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数. 一、选择题(本题满分42分，每小题7分) 1、C 2、B 3、B 4、D 5、D 6、C 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、41n - 2、4 3、1 4、3 三、（本大题满分20分） 解不等式13|2|-<-x x 解：（1）当2 五、（本大题满分25分） 已知正整数a 、b 满足332)(b a b a +=+，试求a 、b 的值． 解：由已知得b a b ab a +=+-22，（5分） 则2)1()1()(222=-+-+-b a b a ．（10分） 因为a 、b 均为正整数，故01≥-a ，01≥-b ， （1）当a=b 时，1)1()1(2 2=-=-b a ，即a =b=2；（15分） （2）当a b ≠时，2()1a b -=， 从而2(1)1a -=且2(1)0b -=；或者2(1)0a -=且2(1)1b -=； 所以，2,1a b ==，或者1,2a b ==．（20分） 综上所述，所求,a b 的值是：2a b ==；或者1,2a b ==；或者2,1a b ==．（25分）2014年全国 初中数学联赛(含答案)
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