2018黑龙江龙东地区中考数学解析

2018年黑龙江省龙东地区初中毕业学业统一考试

数学试题

（满分120分，考试时间120分钟）

一、填空题（每题3分，满分30分）

1．（2018黑龙江省龙东地区，1，3分）人民日报2018年2月23日报道，2017年黑龙江粮食总产量达到1203.76亿斤，成功超越1200亿斤，连续七年居全国首位．将1200亿斤用科学记数法表示为________斤．

【答案】1.2×1011

【解析】根据科学记数法表示较大的数的要求，把1200亿表示为a×10n的形式(其中1≤|a|＜10，n为整数)即可．【知识点】科学记数法

2．（2018黑龙江省龙东地区，2，3

分）在函数y=x的取值范围是________．

【答案】x≥－2且x≠0

【解析】

得x＋2≥0，即x≥－2，又x≠0，∴x≥－2且x≠0．

【知识点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件

3．（2018黑龙江省龙东地区，3，3分）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________，使平行四边形ABCD是菱形．

【答案】答案不唯一，如∠ABC＝90°或AC＝BD等．

【解析】根据“……的平行四边形是矩形”来判定矩形，常见的有两种思路，一是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；二是根据对角线相等的平行四边形是矩形．

【知识点】矩形的判定方法

B

D

4．（2018黑龙江省龙东地区，4，3分）投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为5的概率是________．

【答案】1 6

【解析】骰子有6个，每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，随机投掷一次，每个面向上的机会都是均等

的，因此向上一面的点数为5的概率是1

6

．

【知识点】概率的计算公式

5．（2018黑龙江省龙东地区，5，3分）若关于x的一元一次不等式组

231

x a

x

-

?

?

-

?

＞

＜

有2个负整数解，则a的取值

范围是________．

【答案】－3≤a＜－2

【解析】解x－a＞0得x＞a，解2x－3＜1得x＜2，∵不等式组有解，∴a＜x＜2，∵不等式组有2个负整数解，∴这2个负整数解为－1和－2，∴－3≤a＜－2．

【知识点】

6．（2018黑龙江省龙东地区，6，3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝＝1，则⊙O的半径为________．

D

【答案】5

【解析】连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE ＝12

CD ，∵CD ＝6，∴CE ＝3．设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r ，∵EB ＝1，∴OE ＝4，在Rt △OCE 中，由勾股定理得OE 2＋CE 2＝OC 2，∴（r －1）2＋32＝r 2，解得r ＝5，∴⊙O 的半径为5．

D

【知识点】垂径定理；勾股定理 7．（2018黑龙江省龙东地区，7，3分） 用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此

圆锥的高为________

． 【解析】扇形的弧长为

904

180

π??＝2π，∴该圆锥的底面圆半径为

1

【知识点】圆锥的侧面展开图；弧长公式；勾股定理；圆的周长公式 8．（2018黑龙江省龙东地区，8，3分） 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接

CE ．过点B 作BG ⊥CE 于点G ．点P 是AB 边上另一动点，则PD ＋PG 的最小值为________．

A

B E

P

【答案】2

【思路分析】由问题“PD ＋PG ”考虑到“最短路径问题”，点D 为定点，因此考虑作点D 关于AB 轴对称的点M ，连接PM ，GM ，则MP ＝DP ．根据两点之间线段最短，当点M ，P ，G 不在同一条直线上时，PM ＋PG ＞MG ，即DP ＋PG ＞MG ；当点M ，P ，G 在同一条直线上时，PM ＋PG ＝MG ，即DP ＋PG ＝MG ，因此，当PD ＋PG 取最小值时，点M ，P ，G 在同一条直线上，此时，DP ＋PG ＝MG ．进一步得到：当MG 取得最小值时，DP ＋PG 随之取得最小值．下面分析MG 何时取得最小值．注意到问题与点G 有关，点G 是△BCG 的直角顶点，△BCG 的斜边为定值，因此，其斜边的一半也为定值，因此取BC 中点N ，连接GN ，则GN 的长为2．结合定点

M ，可知MN 也为定值．再分析点G ，无论点E 怎样变化，点G 始终在以N 为圆心，NG 长为半径的圆上．根据三角形两边之差小于第三边，可知，当点M ，G ，N 不在同一直线上时，MG ＞MN －GN ，进一步可知，当点G 在线段MN 上时，MG ＝MN －GN ，此时MG 最小，最小值为MN －GN ．如答图2所示，易知MN 的长，进一步可得结果．

M

Q

M

图1 图2

【解题过程】如图2，作点D 关于AB 轴对称的点M ，取BC 中点N ，连接MN ，交AB 于点P ，以BC 为直径画

圆，交MN 于点G ，连接并延长CG ，交AB 于点E ，连接BG ．则DP ＝MP ，∴DP ＋PG ＝MP ＋PG ＝MG ＝

MN －

GN ．作NQ ⊥AD ，则MN

∴MN －GN

＝2，∴PD ＋PG 的最小值为－2．

【知识点】轴对称的性质；线段的性质；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的三边关系 9．（2018黑龙江省龙东地区，9，3分） 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，过点B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形．则这个等腰三角形的面积是________． 【答案】

10825或185或24

5

． 【思路分析】先画出基本图形△ABC ，考虑到分割后的要求，所以用圆规帮助找等腰三角形的顶点．由于其中只

有一个是等腰三角形，因此排除作AB 或BC 的垂直平分线． 【解题过程】（1）如图1，以B 为圆心，AB 长为半径画圆，交AC 于点D 1，连接BD 1，则△ABD 1是等腰三角形，

且△BCD 1不是等腰三角形．作BE ⊥AC ，则AD 1＝2AE ．∵∠ABC ＝90°

，AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝5，∵S △ABC ＝1

2

AB ·BC ＝12

AC ·BE ，∴BE ＝AB BC AC g ＝125，在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝9

5

，∴AD 1

＝

185，∴1ABD S V ＝12AD 1·BE ＝11812255??＝108

25

．

（2）如图2，以A 为圆心，AB 长为半径画圆，交AC 于点D 2，连接BD 2，则△ABD 2是等腰三角形，且△BCD 2

不是等腰三角形．作BF ⊥AC ，同（1）理可得BF ＝125，又AD 2＝AB ＝3，∴2ABD S V ＝12AD 2·BF ＝112

325

??＝

18

5

． （3）如图3，以C 为圆心，BC 长为半径画圆，交AC 于点D 3，连接BD 3，则△ABD 3是等腰三角形，且△BCD 3

不是等腰三角形．作BG ⊥AC ，∴3

ABD S V ＝12CD 3·BG ＝112425??＝24

5

．

综上，这个等腰三角形的面积是

10825或185或24

5

．

A

C

C

B

图1 图2 图3

【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质与判定；三角形的面积公式；尺规作图 10．（2018黑龙江省龙东地区，10，3分）如图，已知等边△ABC 的边长是2，以BC 边上的高AB 1为边作等边

三角形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1的B 1C 1边上的高AB 2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△AB 2C 2的B 2C 2边上的高AB 3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2面积为S 1，△B 2C 1B 3面积为S 2，△B 3C 2B 4面积为S 3，如此下去，则S n ＝________．

C 4

C 2

C 1

B 1

B

等其他形式）

【思路分析】首先要明确，图中所有的阴影直角三角形都是含30°的直角三角形，它们都是相似的，对于每一个

含30°角的直角三角形，其三边之比为1：

2．在此基础上，利用相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可．

【解题过程】依题意得B 1C ＝1，B 2

C ＝12

，B 1B 2B 1B 2＝B 2C 1，∴B 2C 1C ＝∠C 1＝60°，∠B 1B 2C ＝∠B 2B 3C 1＝90°，∴△B 1B 2C ∽∠B 2B 3C 1，∴

12231

21214(

)3

B B

C B B C S B C S B C ==△△，∴231B B C S △＝3

412B B C S △；同理可得

342B B C S △＝

34231B B C S △＝34×3412B B C S △；453B B C S △＝34×34×3412B B C S △；…，∴11n n n B B C S +-△＝3

(1)4

3333

4444n -????1

442443个相乘

…12B B C S △＝1

34n -??

???

12B B C S △．∵12B

B C S △＝21212CB B B ??

＝1122?

S n ＝1

34n -??

?

??

【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的性质；勾股定理

二、选择题（每题3分，满分30分）

11．（2018黑龙江省龙东地区，11，3分） 下列各运算中，计算正确的是（ ）

A ．a 12÷a 3＝a 4

B ．（3a 2）3＝9a 6

C ．（a －b ）2＝a 2－ab ＋b 2

D ．2a ·3a ＝6a 2 【答案】D ．

【解析】对于A ，a 12÷a 3＝a 9；对于B ，（3a 2）3＝27a 6；对于C ，（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2；选项D 正确．故选D ． 【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方；积的乘方；完全平方公式 12．（2018黑龙江省龙东地区，12，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C ．

【解析】选项A 是中心对称图形，但不是轴对称图形；选项B 是轴对称图形，但不是中心对称图形；选项C 既是轴对称图形，又是中心对称图形；选项D 是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选C ． 【知识点】轴对称图形；中心对称图形 13．（2018黑龙江省龙东地区，13，3分） 右图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，

则组成这个几何体的小正方体的个数不可能是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

主视图左视图

【答案】D

【解析】通过画俯视图，可以清晰地反映出这个几何体的组成情况：

1

2

112

1

111

2

2

11

1

2

由此可知，组成这个几何体的小正方体的个数可能是5个或4个或3个，不可能是6个．故选D ． 【知识点】三视图 14．（2018黑龙江省龙东地区，14，3分） 某学习小组的五名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、

90分、94分、74分，则下列结论正确的是（ ） A ．平均分是91 B ．中位数是90 C ．众数是94 D ．极差是20 【答案】C

【解析】先确定众数是94，选项C 正确，故选C ．此外，这组数据的平均数是90；中位数是94；极差是24． 【知识点】平均数；中位数；众数；极差 15．（2018黑龙江省龙东地区，15，3分） 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 【答案】C

【解析】设有x 个班级参赛，依题意列方程得1(1)152

x x -=，解得x 1＝－5（舍去），x 2＝6，∴有6个班级参赛． 【知识点】一元二次方程的实际应用

16．（2018黑龙江省龙东地区，16，3分）已知关于x 的分式方程2

11

m x -=+的解是负数，

则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤3 B ．m ≤3且m ≠2

C ．m ＜3

D ．m ＜3且m ≠2

【答案】D 【解析】解

2

11

m x -=+得x ＝m －3，∵方程的解是负数，∴m －3＜0，∴m ＜3，∵当x ＋1＝0即x ＝－1时方程有增根，∴m －3≠－1，即m ≠2．∴m ＜3且m ≠2．故选D ． 【知识点】分式方程的解法；分式方程的增根 17．（2018黑龙江省龙东地区，17，3分） 如图，平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC ∥x 轴，分别

交3y x =

（x ＞0），k

y x

=（x ＜0）的图象于B 、C 两点，若△ABC 的面积为2，则k 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．1

2

-

D ．12

【答案】A

【解析】如图，连接OB ，OC ，设BC 与y 轴交于点D ，∵BC ∥x 轴，∴S △OBC ＝S △ABC ＝2，∵点B 在反比例函数3y x =

的图象上，∴S △OBD ＝32，∴S △OCD ＝2－32＝12，又∵点C 在反比例函数k

y x

=的图象上，∴|k |＝1，k ＝±1．

∵反比例函数k

y x

=

的图象经过第二象限，∴k ＜0，∴k ＝－1．故选A ．

【知识点】反比例函数的性质；反比例函数中|k |的几何意义；等积变换 18．（2018黑龙江省龙东地区，18，3分） 如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC ＝5，∠DAB ＝∠DCB ＝90°，

则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．15 B ．12．5 C ．14．5 D ．17

A

C

B

D

【答案】B

【解析】延长CB至点M，使BM＝DC，连接AM．∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴∠ADC＋∠ABC＝360°－（∠DAB ＋∠DCB）＝180°，∵∠ABC＋∠ABM＝180°，∴∠ADC＝∠ABM．∵AB＝AD，∴△ADC≌△ABM，∴AC＝AM，∠DAC＝∠BAM，∵∠DAC＋∠CAB＝90°，∴∠BAM＋∠CAB＝90°，即∠CAM＝90°，∵AC＝5，∴AM＝

5，∴S△ACM＝1

2

×5×5＝

25

2

．∵△ADC≌△ABM，∴S△ADC≌S△ABM，∴S四边形ABCD＝S△ACM＝

25

2

＝12.5．故选B．

M

A

C

B

D

【知识点】全等三角形的判定和性质；三角形的面积；四边形的内角和

19．（2018黑龙江省龙东地区，19，分值）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种

【答案】B

【思路分析】先确定问题中的已知量和未知量，再找到它们之间的相等关系，进一步确定：①篮球和排球都要购买；②两种球的个数均为整数个；③资金恰好用完．

【解题过程】解：设购买篮球x个，排球y个，依题意列方程得120x＋90y＝1200，化简得4x＋3y＝40，∵x，y

均为正整数，∴

7

4

x

y

=

?

?

=

?

或

4

8

x

y

=

?

?

=

?

或

1

12

x

y

=

?

?

=

?

，∴共有3种购买方案，故选B．

【知识点】二元一次方程；不定方程的整数解

20．（2018黑龙江省龙东地区，20，5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠

BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝1

2

BC＝1．则下列结论：①∠CAD＝30°；

②BD

S平行四边形ABCD＝AB·AC；④OE＝

1

4

AD；⑤S△APO

，正确的个数是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

D

B E

【答案】D

【思路分析】由于条件和结论较多，需要逐条分析、综合思考、分层落实．由已知条件容易得到的结论首先是：∠BAD＝120°，∠BAE＝60°，∠ABE＝60°，AB＝DC＝1，BC＝AD＝2，OA＝OC，OB＝OD；然后得到的结论是：

△ABE是等边三角形，AB＝AE＝BE＝EC，OE是△ABC的中位线，OE∥AB，OE＝

1

2

AB；进一步得到的结论是：OP＝

1

2

BP＝

1

3

OB＝

1

6

BD，∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAC＝90°．分析到这个程度后，问题自然就获解了．

【解题过程】解：对于①，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∵∠ADC＝60°，∴∠BAD＝120°，∠ABC＝60°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形，又∵AB＝

1

2

BC＝1，∴AB＝AE＝BE＝EC＝1，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠

CAD＝30°，故①正确；

对于②，∵BD＝2BO，BO，AO

＝

1

2

AC，AC

，∴BD

对于③，S平行四边形ABCD＝AB·AC刚好符合平行四边形的面积公式，故③正确；

对于④，OE＝

1

2

AB，AB＝

1

2

AD，∴OE＝

1

4

AD，故④正确；

对于⑤，由③得S

平行四边形ABCD

＝AB·AC BE＝EC，AO＝OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，OE

＝

1

2

AB，∴OP＝

1

2

BP＝

1

3

OB＝

1

6

BD，∴S△APO＝

1

6

S△ABD＝

1

12

S平行四边形ABCD

【知识点】平行四边形的性质；等边三角形的判定和性质；等腰三角形的判定和性质；三角形的中位线；比例线段；相似三角形的性质；勾股定理；三角形的面积公式；平行四边形的面积公式

三、解答题（本大题共8小题，满分60分）

21．（2018黑龙江省龙东地区，21，5分）先化简，再求值：

2

22

1

(1)

21

a a

a a a a

-

-÷

+++

，其中a＝sin30°．

【思路分析】先化简分式，再求a的值，最后把a的值代入计算即可．

【解题过程】解：原式＝

22

22

(1)

()

(1)(1)

a a a a

a a

a a a a

++

-

+-

++

g＝

22

(1)

(1)(1)(1)

a a

a a a a

+

++-

g＝

1

a

a-

．

当a＝sin30°＝

1

2

时，原式＝－1．

【知识点】分式的化简求值；特殊角的锐角三角函数值；平方差公式；完全平方公式

22．（2018黑龙江省龙东地区，22，6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(1，1)，C(3，1)．

（1）画△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）画△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；

（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．

【思路分析】先按要求作图，再分析线段BC扫过的面积．将BC扫过的面积如答图1和答图2进行转化，在答图1中，S阴影＝

22

22

OB C OBC

COC BOB

S S S S

+--

△△

扇形扇形

＝

22

COC BOB

S S

-

扇形扇形

，在答图2中，S阴影＝

2

COC MON

S S

-

扇形扇形

＝2

MCC N

S

扇环

，由此可以得到结论：一条线段绕一点旋转，其扫过的面积等于一个扇环的面积．进一步地，可以得到一个解法：求一条线段绕一点旋转后扫过的面积，就是求一个扇环的面积，而求一个扇环的面积，就是用较大的扇形的面积减去较小的扇形的面积．

【解题过程】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形；

（3）∵OC OB

∴S＝22

1

()

4

OC OB

π-＝2π．

答图1 答图2

【知识点】轴对称作图；旋转作图；扇形的面积公式

23．（2018黑龙江省龙东地区，23，6分）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝－2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2:3的两部分，请直接写出P点坐标．

【思路分析】对于（1），根据点A 坐标可求c 的值，根据对称轴直线可求b 的值；对于（2），先确定点C 和点B 的坐标，计算出△ABC 的面积，再根据直线CP 分△ABC 面积之比确定点P 存在的可能性有两种，结合两种情况，分别确定点P 的位置即可． 【解题过程】解：（1）∵点A （0，2）在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴c ＝2，∵抛物线对称轴为直线x ＝－2，∴

221

b

-

=-?，∴b ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋4x ＋2． （2）点P 的坐标为（－5，0）或（－13，0），理由如下：

∵抛物线对称轴为直线x ＝－2，BC ∥x 轴，且BC ＝6，∴点C 的横坐标为6÷2－2＝1，把x ＝1代入y ＝x 2＋4x

＋2得y ＝7，∴C （1，7），∴△ABC 中BC 边上的高为7－2＝5，∴S △ABC ＝12

×6×5＝15．令y ＝7，得x 2＋4x ＋2＝7，解得x 1

＝1，x 2＝－5，∴B （－5，7），∴AB ＝CP 交AB 于点Q ，∵直线CP 将△

ABC 面积分成2:3的两部分，∴符合题意的点P 有两个，对应的点Q 也有两个．

①当AQ 1：BQ 1＝2:3时，作Q

1M 1⊥y 轴，Q 1N 1⊥BC ，则AQ 1＝

Q 1M 1＝2，BQ 1＝Q 1N 1＝3，Q 1(－2，

4)，∵C （1，7），∴直线CQ 1的解析式为y ＝x ＋5，令y ＝0，则x ＝－5，∴P 1（－5，0）； ②当BQ 2：AQ 2＝2:3时，作

Q 2M 2⊥y 轴，Q 2N 2⊥BC ，则AQ 2＝

Q 2M 2＝3，BQ 2＝Q 2N 2＝2，Q 2(－3，

5)，∵C （1，7），∴直线CQ 2的解析式为y ＝12

x ＋13

2

，令y ＝0，则x ＝－13，∴P 2（－13，0） 综上，点P 的坐标为（－5，0）或（－13，0）．

【知识点】待定系数法；二次函数的性质；一次函数的性质；三角形的面积公式；平行线分线段成比例

24．（2018黑龙江省龙东地区，24，7分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动．现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如下的两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题：

（1）直接写出a的值，a＝________，并把频数分布直方图补充完整；

（2）求扇形B的圆心角度数；

（3）如果全校有2000名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有多少人？

【思路分析】根据E组频数和该组对应的扇形圆心角度数，可求得样本容量，再根据各组频数可求得C组频数，根据D组频数和样本容量可求得D组所占百分比，根据样本中获得优秀奖的学生人数和样本容量，可以估计获得优秀奖的学生人数．

【解题过程】解：（1）依题意得7210

360

=

样本容量

，∴样本容量＝50，即一共调查了50人．

15

30%

50

=，∴a＝30，C组频数为50－5－7－15－10＝13，补充频数直方图如下：

（2）依题意得

7

=

36050

B

?

扇形的圆心角

，∴扇形B的圆心角为50．4°．

（3）10

2000

50

?＝400，答：估计获得优秀奖的学生有400人．

【知识点】频数分布直方图；扇形统计图；用样本估计总体

25．（2018黑龙江省龙东地区，25，8分）某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米．制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务．乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y（吨）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图（1）所示；未加工大米w（吨）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图（2）所示．请结合图象回答下列问题：

（1）甲车间每天加工大米________吨，a＝________；

（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间的函数关系式；

（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？

图1 图2

【思路分析】本题重在理解题意和读懂图象：

对于图1，应理解以下含义：

120吨大米

220吨大米

对于图2，应理解以下含义：

185吨减少到165吨

220吨减少到185吨

对于（1），读懂图象即可求解；

对于（2），根据两个点的坐标，用待定系数法即可求解；

对于（3），根据题意列一元一次方程即可求解．

【解题过程】解：（1）根据题意，由图2可得，甲车间每天加工大米185165

21

-

-

＝20（吨），

乙车间每天加工大米220－185－20＝15（吨），故填：20，15．

（2）如图，设直线AB解析式为y＝kx＋b，

由（1）知，a＝15，∴A（2，15），

又∵B（5，120），

代入y＝kx＋b得

215 5120

k b

k b

+=

?

?

+=

?

，

解得

35

55

k

b

=

?

?

=-

?

，

∴乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间的函数关系式为y＝35x－55（2≤x≤5）．

（3）①设加工m天装满第一节车厢，

依题意列方程得20m＋15×1＋35（m－2）＝55，解得m＝2．

②设再加工n天恰好装满第二节车厢，

依题意列方程得20n＋35n＝55，解得n＝1．

答：加工2天装满第一节车厢，再加工1天恰好装满第二节车厢．

【知识点】一次函数的实际应用；待定系数法；一元一次方程的实际应用

26．（2018黑龙江省龙东地区，26，8分）如图，在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，BC＝BD，点A在CB的延长线上，且BA＝BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．

（1）当点E在线段BD上移动时，如图1所示，求证：BC－DE

；

（2）当点E在直线BD上移动时，如图2、图3所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

图1 图2 图3

【思路分析】由BC＝BD很容易发现：BC－DE＝BE，因此，此题事实上就是去判断BE与DF的数量关系，因

此有两种基本思路，一是将DF向BE靠拢，二是将

BE向DF的数量关系，因此在“靠

拢”的过程中要思考构造等腰直角三角形的几何模型．

思路1：根据前面的思考，结合∠ABD＝90°，因此考虑在AB上取一点G，使BG＝BE，如答图1，连接

EG，则

BE EG，接下来证明EG＝DF即可．

思路2：根据前面的思考，结合∠BDC＝45°，其对顶角也是45°，因此考虑过点F作BD的垂线，构造等腰直角

三角形

DFG，则FG DF，接下来证明FG＝BE即可．答图2，答图3，答图4，答图5都体现了这种思路．

此外，从相似三角形的角度也可以解决此题．

【解题过程】解：（1）证法1：如答图1，在AB上取一点G，使BG＝BE，连接EG，∵∠CBD＝90°，∴∠ABD ＝90°，∴△GBE是等腰直角三角形，∠BGE＝45°，∴∠AGE＝135°．∵BC＝BD，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC＝45°，∴∠EDF＝135°，∴∠AGE＝∠EDF．∵BC＝BD，BC＝BA，∴BA＝BD，∴AG＝E D．∵∠AEF ＝90°，∴∠FED＋∠AEB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠GAE＋∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠EAG，∴△FED≌△EAG，

∴DF＝GE．在Rt△

BEG中，由勾股定理得BE GE，∵BE＝BD－DE＝BC－DE，∴

BC－DE DF．

证法2：如答图2，作FG⊥BD，交BD延长线于点G，连接EC，则EA＝EC，∠BAE＝∠BCE，∵ABE＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEG＝90°，∴∠FEG＝∠BCE，∵BC＝BD，∴∠BCD＝45°，∴∠BDC＝45°，∴∠FDG＝45°，∴∠ECD＝45°－∠BCE，∠EFD＝45°－∠FEG，∴∠ECD＝∠EFD，∴

EC＝EF，∴AE＝EF，∴△ABE≌△EGF，∴BE＝GF，在Rt△

DFG中，由勾股定理得GF DF，∵BE＝BD

－DE＝BC－DE，∴BC

－DE DF．

方法3：如答图3，取点F关于BD轴对称的点H，作FG⊥BD，交BD延长线于点G．类比方法2，问题可证．方法4：如答图4，连接AD，作EH⊥BD，交AD于点H，作FG⊥BD，交BD延长线于点G．先证明△AHE≌△FDE，得AE＝EF，再证明△ABE≌△EGF，问题可证．

方法5：作FG⊥BD，交BD延长线于点G．∵∠EAB＝∠FEG，∠ABE＝∠EGF＝90°，∴△ABE∽△EGF，∴

BE GF AB EG =，∵AB ＝BD ，DG ＝GF ，∴BE DG BD EG =，即BE DG

BE ED ED DG

=

++，∴BE DG ED ED =，∴BE ＝DG ，∴BE ＝GF ，在Rt △DFG 中，由勾股定理得GF

DF ，∵BE ＝BD －DE ＝BC －DE ，∴BC －DE

DF ． （2）图2中，猜想DE －BC

DF ．图3中，猜想BC ＋DE

DF ．

答图1 答图2

答图3

答图4 答图5

【知识点】全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理 27．（2018黑龙江省龙东地区，27，10分） 为了落实党的“精准扶贫”政策，A 、B 两城决定向C 、D 两乡运送肥

料以支持农村生产．已知A 、B 两城共有肥料500吨，其中A 城肥料比B 城少100吨．从A 城往C 、D 两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B 城往C 、D 两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C 乡需要肥料240吨，D 乡需要肥料260吨． （1）A 城和B 城各有多少吨肥料？

（2）设从A 城运往C 乡肥料x 吨，总运费为y 元，求出最少总运费．

（3）由于更换车型，使A 城运往C 乡的运费每吨减少a （0＜a ＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？ 【思路分析】对于（1），用一元一次方程或二元一次方程组的知识即可求解；对于（2），要先理顺从A 、B 两城向C 、D 两乡调运肥料的吨数，再根据运费标准即可写出总运费与x 的相等关系，根据问题的实际意义得到自变量x 的取值范围，最后确定最少总运费即可；对于（3），解题的基本思路与（2）相同，但由于介入了参数a ，所以要通过分类讨论分别确定各种情况下的最少总运费．

x )

300200260

240

D 乡C 乡B 城A 城

【解题过程】解：（1）设A 城有m 吨肥料，B 城有n 吨肥料， 依题意列方程组得500100m n m n +=??

+=?，解得200

300m n =??=?

，

∴A 城有200吨肥料，B 城有300吨肥料．

（2）依题意得y ＝20x ＋25(200－x )＋15(240－x )＋24[300－(240－x )]＝4x ＋10040， ∵0

20002400300(240)0

x x x x ≥??-≥??-≥??--≥?，∴0≤x ≤200．

又∵4＞0，∴y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝0时，y 最小＝10040（元）． 答：最少总运费为10040元．

（3）设减少运费后，总运费为w 元，

w ＝(20－a )x ＋25(200－x )＋15(240－x )＋24[300－(240－x )]＝(4－a )x ＋10040（0≤x ≤200） ①当0＜a ＜4时，4－a ＞0，w 随x 的增大而增大， ∴当x ＝0时，w 最小＝10040元； ②当a ＝4时，w ＝10040元，

∴各种方案费用一样多，均为10040元；

③当4＜a ＜6时，4－a ＜0，此时，x 越大，w 越小， ∴当x ＝200时，总运费最少，

调运方案为：从A 城运往C 乡200吨，从A 城运往D 乡0吨，从B 城运往C 乡40吨，从B 城运往D 乡260吨． 【知识点】一元一次方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用；一次函数的性质 28．（2018黑龙江省龙东地区，28，10分） 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B

坐标（－3，0），点C 在y 轴正半轴上，且sin ∠CBO ＝4

5

．点P 从原点O 出发，以每秒一个单位长度的速

度沿x 轴正方向移动，移动时间为t （0≤t ≤5）秒，过点P 作平行于y 轴的直线l ，直线l 扫过四边形OCDA 的面积为S ． （1）求点D 坐标；

（2）求S 关于t 的函数关系式；

（3）在直线l 移动过程中，l 上是否存在一点Q ，使以B 、C 、Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，

直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路分析】对于（1），根据点B 坐标和锐角三角函数值可求OC 和BC 的长，得到点C 的坐标，根据菱形的性质得到CD 的长，从而得到点D 的坐标；对于（2），分两种情况，第一种，直线l 扫过的图形是矩形，利用矩形面积公式即可求解，第二种，直线l 扫过的图形是矩形和梯形的组合图形，分别利用面积公式即可求解；对于（3），分三种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质，求解过程用全等三角形的判定和性质即可．

【解题过程】解：（1）∵点B 坐标（－3，0），∴OB ＝3，∵sin ∠CBO ＝4

5

，∴OC ＝4，BC ＝5，C （0，4）．∵

菱形ABCD ，∴CD ＝BC ＝BA ＝5，CD ∥BA ，∴D （5，4）． （2）依题意知OP ＝t ，由（1）知OC ＝4，OA ＝BA －OB ＝2． ①当0≤t ≤2时，如答图1，S ＝OP ×OC ＝4t ；

②当2＜t ≤5时，如答图2，AP ＝OP －OA ＝t －2，∵BC ∥AD ，∴∠CBO ＝∠SAP ，∴△CBO ∽△SAP ，∴

SP AP

CO BO

=

，∴

243SP t -=

，∴SP ＝4833t -，∴S △APS ＝12AP SP ??＝148(2)()233t t ?--＝2288

333

t t -+，∴S OASRC ＝S 矩形

OPRC

－S △APS ＝4t －（2288333t t -+）＝22208

333t t -+-．

综上，S 关于t 的函数关系式为S ＝24(02)2208

(25)

3

33t

t t t t ≤≤??

?-+-<≤??．

答图1

答图2

（3）点Q 的坐标为（1

2

，12

）或（1，－3）或（4，1）．

①如答图3，当BQ ＝CQ 时，延长PQ 交CD 于点M ，∵∠BQC ＝90°，∴∠BQP ＋∠CQM ＝90°，∵∠CQM ＋∠

QCM＝90°，∴∠BQP＝∠QCM，∴△BQP≌△QCM，∴CM＝QP，QM＝BP，又∵CM＝OP，∴OP＝QP

＝t，∴QM＝PM－QP＝4－t，BP＝BO＋OP＝3＋t，∴4－t＝3＋t，∴t＝1

2

，∴Q1（

1

2

，

1

2

）．

②如答图4，当BQ＝BC时，∵∠CBQ＝90°，∴∠CBO＋∠PBQ＝90°，∵∠PBQ＋∠BQP＝90°，∴∠CBO＝∠

BQP，∴△CBO≌△BQP，∴BP＝CO＝4，PQ＝OB＝3，∴OP＝BP－OB＝1，∴Q2（1，－3）．

③如答图5，当CB＝CQ时，∵∠BCQ＝90°，∴∠BCO＋∠OCQ＝90°，∵∠OCQ＋∠QCM＝90°，∴∠BCO＝

∠QCM，∴△BCO≌△QCM，∴CM＝CO＝4，MQ＝OB＝3，∴PQ＝MP－MQ＝1，∴Q3（4，1）．

综上，点Q的坐标为（1

2

，

1

2

）或（1，－3）或（4，1）．

答图3 答图4 答图5 【知识点】解直角三角形；全等三角形的判定和性质；菱形的性质；相似三角形的判定和性质