图论解决渡河问题

图论解决渡河问题

农夫，狼，羊，草渡河问题，是一道很经典的问题。讲述的是农夫，狼，羊，草渡河，但只有一艘船，而且每次渡河农夫都只能带一个上船。同时，在农夫不在的情况下，狼与羊不能在一起，羊与草不能在一起。求要用怎样方式渡河，才能保证农夫不受到任何损失。

一、将实际问题转换成数学问题

每次渡河，必然是由一个渡河的状态转变成为另一个状态，在每个状态之间都有渡河的可能。由此，可以作出一幅有向图。并且，会有一个起点与终点，由起点到终点之间的连线，就能找出一个合适的渡河方法。

二、数学问题的实现

1、列出所有岸边状态：

由于只要知道任意的一岸的情况，便能推导出当前的渡河状态，所以只列出起始岸边的情况。

起始岸边人狼羊草

V0 1 1 1 1

V1 1 1 1 0

V2 1 1 0 1

V3 1 0 1 1

V4 1 0 1 0

V5 0 1 0 1

V6 0 1 0 0

V7 0 0 1 0

V8 0 0 0 1

V9 0 0 0 0

图0

因为条件的限制，所以起始岸边只存在这十种情况。其中V0为起始状态，V9为渡河结束。其中，当人的状态为1时，表示的在起始岸，0则为对岸。

2、列出所有渡河状态：

因为每次渡河必须要有人的存在，所以所有的渡河情况为：

人狼羊草

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 0 0

图1

3、生成有向图的邻接矩阵：

从图0和图1，可以生成一个渡河的有向图。

已知从起始岸到对岸必定是2个成员渡河，而起始岸到对岸则可以单独一人，或者两个成员。

生成的有向图的邻接矩阵如下：

V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9

V0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

V1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

V2 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0

V3 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

V4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1

V5 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

V6 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

V7 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0

V8 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

V9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

图3

4、从邻接矩阵中找出渡河路径：

先将通过的点列入路径的集合里，已知起始位置为V0，则通过路径的集合为{V0}，下一状态则为V5，集合变为{V0，V5}。再从V5开始寻找下一状态，当遇到路径集合里有的点后，跳过寻找下一个点，如果不存在下一点路径则将此元素去除路径集合，重新在上一状态寻找。

直到找到V9为止。

路径寻找状态如下表

路径集合是否存在下一点路径

V0 1

V0,V5 1

V0,V5,V2 1

V0,V5,V2,V6 1

V0,V5,V2,V6,V1 1

V0,V5,V2,V6,V1,V7 1

V0,V5,V2,V6,V1,V7,V3 1

V0,V5,V2,V6,V1,V7,V3,V8 0

V0,V5,V2,V8,V3,V7,V3 0

V0,V5,V2,V8,V3,V7,V4 1

V0,V5,V2,V8,V3,V7,V4,V9

图 4

由此，渡河路径为：V0 --> V5 --> V2 --> V6 --> V1 --> V7 --> V4 -->V9.

根据渡河路径，则可以求出每次渡河的情况。

1、人，羊渡河

2、人回来

3、人，草渡河

4、人，羊回来

5、人，狼渡河

6、人回来

7、人，羊渡河

总结：利用图论解决渡河问题主要是依靠将渡河状态归为有向图，并通过有向图的邻接矩阵而求出所需的渡河方式。