方程与不等式综合复习(基础)
中考总复习：方程与不等式综合复习（基础）教师版
考点一、一元一次方程
1.方程 含有未知数的等式叫做方程.
2.方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.
3.等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.
4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程
）
为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤 整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).
6.列一元一次方程解应用题 (1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
(2)画图分析法：多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.
要点诠释：列方程解应用题的常用公式：
(1)行程问题： 距离=速度×时间 时间距离速度=
速度距离时间=； (2)工程问题： 工作量=工效×工时 工时工作量工效= 工效
工作量工时=； (3)比率问题： 部分=全体×比率 全体部分比率= 比率
部分全体=； (4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；
(5)商品价格问题： 售价=定价·折·10
1 ，利润=售价-成本， %100?-=成本成本售价利润率； (6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，
S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abc ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=3
1πR 2h. 考点二、一元二次方程
1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式)0(02
≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.
3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.
（2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式222
2()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.
（3）公式法 公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.
一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的求根公式：21,2(40)2b x b ac a -=-≥ （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.
4.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?.
5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a
c x x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
要点诠释：
一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.
考点三、分式方程
1.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：
①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；
③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.
3.分式方程的特殊解法
换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.
要点诠释： 解分式方程时，求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值围，可能产生增根.
考点四、二元一次方程（组）
1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是
ax+by=c(a ≠0，b ≠0).
2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.
3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.
6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程 把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.
（2）三元一次方程组 由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.
（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
考点五、不等式（组）
1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.
（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
3.一元一次不等式1）一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.
4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.
（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.
要点诠释：
用符号“＜”“＞”“≤”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.
【典型例题】
类型一、方程的综合运用
例1．如图所示，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于
,
y ax b
y kx
=+
?
?
=
?
的二元一次方
程组的解是________．
【思路点拨】两图象的交点就是方程组的解.【答案】
4,
2
x
y
=-
?
?
=-
?
【解析】由图象可知y＝ax+b与y＝kx的交点P的
坐标为(-4，-2)，所以二元一次方程组
,
y ax b
y kx
=+
?
?
=
?
的解为
4,
2.
x
y
=-
?
?
=-
?
【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透，平时
应加强这方面的练习与思考．
【变式】已知关于x 的一元二次方程()0312
=-+--m x m x ． （1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2
的图象的一个交点的横坐标为2，求关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x 的解．
【答案】 （1）证明：()[]()3412----=?m m 124122+-+-=m m m 1362+-=m m
()432+-=m ∵不论m 取何值时，()032≥-m ∴()0432
>+-m ，即0>?∴不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根..（2）将2=x 代入方程()0312
=-+--m x m x ，得3=m 再将3=m 代入，原方程化为022=-x x ，解得2,021==x x ．
例2．已知: 关于x 的一元一次方程kx =x +2 ①的根为正实数，二次函数y =ax 2
-bx +kc （c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值； （2）求代数式akc
ab b kc +-22)(的值； （3）求证: 关于x 的一元二次方程ax 2-bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根.
【思路点拨】（1）根据一元一次方程及根的条件，求k 的值；（2）把交点坐标代入二次函数的解析式求出值；
（3）根据根的判别式和一元一次方程的根为正实数得出x 有两不相等的实数根．
【答案与解析】（1）解：由 kx =x +2，得(k -1) x =2.依题意 k -1≠0.∴ 1
2-=k x . ∵ 方程的根为正整数，k 为整数, ∴ k -1=1或k -1=2. ∴ k 1= 2, k 2=3.
（2）解：依题意，二次函数y=ax 2-bx+kc 的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a . ∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()(=.12
2-=--a ab ab a （3）证明：方程②的判别式为 Δ=(-b)2-4ac= b 2-4ac. 由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.
( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b 2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b 2-4ac= (a+kc)2-4ac=a 2+2kac+(kc)2-4ac =
a 2-2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1). ∵ 方程kx=x+2的根为正实数， ∴ 方程(k-1) x=2的根为正实数.
由 x>0, 2>0, 得 k-1>0. ∴ 4ac(k-1)>0.∵ (a-kc)2≥0, ∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不
相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax 2-bx+kc 与x 轴有交点, ∴ Δ1=(-b)2-4akc =b 2-4akc ≥0.
(b 2-4ac)-( b 2-4akc)=4ac(k-1). 由证法一知 k-1>0, ∴ b 2-4ac> b 2-4akc ≥0.
∴ Δ= b 2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.
【总结升华】方程与函数综合题. 中考所考知识点的综合与相互渗透.
【变式】已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22
=+---m m x m x .
（1）若x=－2是这个方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根；
（2）求证：对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根.
【答案】 （1）解：把x =－2代入方程，得0)2()2()1(24=+--?--m m m ，
即022=-m m .解得01=m ，22=m .
当0=m 时，原方程为022=+x x ，则方程的另一个根为0=x .
当2=m 时，原方程为0822=+-x x ，则方程的另一个根为4=x .
（2）证明：[][])2(4)1(22
+-?---m m m 482+=m ， ∵对于任意实数m ，02≥m ， ∴0482>+m .
∴对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根.
类型二、解不等式（组）
例3．解不等式组3(1)54,121,23x x x x +>+???--≤??①② 并将解集在数轴上表示出来．
【思路点拨】此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况，看看属于哪种情况．
【答案与解析】解不等式①得：12x <-． 解不等式②得：x ≥-1． 所以不等式组的解集为-1≤x ＜12
-． 其解在数轴上表示为如图所示：
【总结升华】注意解不等式组的解题步骤. 【变式】解不等式组20512112
3x x x -???+-+≥??＞①② 并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解不等式①，得2x <．解不等式②，得1x -≥．所以，不等式组的解集是12x -<≤．
类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用
例4．如果关于x 的方程22124x m x x +=--的解也是不等式组12,22(3)8
x x x x -?>-???-≤-?的一个解， 求m 的取值围．
【思路点拨】解方程求出x 的值（是用含有m 的式子表示的），再解不等式组求出x 的取值围，最后方程的解与不等式组的解结合起来求m 的取值围.
【答案与解析】解方程22124
x m x x +
=--，得x ＝-m-2． 因为24(4)x m m -=+， 所以m ≠-4且m ≠0时，有240x -≠． 所以方程22124x m x x +=--的解为x ＝-m-2． 其中m ≠-4且m ≠0． 解不等式组12,22(3)8,
x x x x -?>-???-≤-?得x ≤-2． 由题意，得-m-2≤-2，解得m ≥0． 所以m 的取值围是m ＞
0 1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1 5-4- 3-
0．
【总结升华】方程与不等式的综合题，是中考考查的重点之一．
【变式】如果不等式组2223
x a x b ?+???-
【答案】解不等式组得：34-22b a x +≤＜，因为不等式组2223
x a x b ?+???-
a b =???+=?? 解得21a b =??=-?所以1a b +=. 例5． 某采摘农场计划种植B A 、两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题：
(1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为46000O 元，那么B A 、两种草莓各种多少亩?
(2)若要求种植A 种草莓的亩数不少于种植B 种草莓的一半，那么种植A 种草莓多少亩时，可使该农场每年草
莓全部被采摘的总收入最多? 【思路点拨】（1）根据等量关系：总收入=A 地的亩数×年亩产量×采摘价格+B 地的亩数×年亩产量×采摘价格，列方程求解；（2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，根据题意确定自变量的取值围，由函数y 随x 的变化求出最大利润．
【答案与解析】设该农场种植A 种草莓x 亩，B 种草莓)6(x -亩 依题意，得：
460000)6(200040120060=-?+?x x 解得：5.2=x , 5.36=-x (2)由)6(2
1x x -≥，解得2≥x 设农场每年草莓全部被采摘的收入为y 元，则： 4800008000)6(200040120060+-=-?+?=x x x y ∴当2=x 时，y 有最大值为464000 答：(l)A 种草莓种植2.5亩, B 种草莓种植3.5亩．
(2)若种植A 种草莓的亩数不少于种植B 种草莓的一半，那么种植A 种草莓2亩时，可使农场每年草莓全
部被采摘的总收入最多.
【总结升华】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y 随x 的变化，结合自变量的取值围确定最值．
【变式】某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，
或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须 满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．
（1）设用x 辆车装甲种苹果，y 辆车装乙种苹果，求y 与x 之间的函数关系式，并写 出自变量x 的取值围；
（2
设此次运输才能使运输利润W
最大，并求出最大利润．
【答案】（1）∵ 81011(10)100x y x y ++--=， ∴ y 与x 之间的函数关系式为 310y x =-+．
∵ y ≥1，解得x ≤3．∵ x ≥1，10x y --≥1，且x 是正整数，∴ 自变量x 的取值围是x =1或x =2
或x =3．
（2）80.22100.2111(10)0.20.1421W x y x y x =?+?+--?=-+．
因为W 随x 的增大而减小，所以x 取1时，可获得最大利润，
此时20.86W =（万元）．
获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果．
类型四、用不等式（组）解决决策性问题
例6．为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；
造型
甲 乙 A
90盆 30盆 B 40盆 100盆
综合上述信息，解答下列问题：
(1)符合题意的搭配方案有哪儿种? (2)若搭配一个A 种造型的成本为1000元，搭配一个B 种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?
【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．
【答案与解析】解：(1)设搭配x 个A 种造型，则需要搭配(50-x)个B 种造型，由题意，得
9040(50)3600,30100(50)2900,
x x x x +-≤??+-≤? 解得30≤x ≤32． 所以x 的正整数解为30，31，32． 所以符合题意的方案有3种，分别为：A 种造型30个，B 种造型20个；A 种造型31个，B 种造型19个； A 种造型32个，B 种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.
所以第三种方案成本最低．
【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．
【变式】某商场“家电下乡”指定型号冰箱，彩电的进价和售价如下表所示：
（1）按国家政策，购买“家电下乡”产品享受售价13％的政府补贴.若到该商场购买了冰箱，彩电各一台，可以享
受多少元的补贴？
(2)为满足需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱，彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量
的56
.①请你帮助该商场设计相应的进货方案；②用哪种方案商场获得利润最大？（利润=售价-进价），最大利润是多少？
【答案】（1）（2420+1980）×13％=572（元）
（2）①设冰箱采购x 台，则彩电采购（40-x ）台，
解不等式组得231821117
x ≤≤，因为x 为整数，所以x =19、20、21，
方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台，
方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台，
方案一：冰箱购买21台，彩电购买19台.
②设商场获得总利润为y 元，则y =(2420-2320)x +(1980-1900)(40-x )=20x +3200
∵20＞0，∴y 随x 的增大而增大， ∴当x =21时，y 最大=20×21+3200=3620（元）.
【巩固练习】
1. 关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）
A ．1
B ．1-
C ．1或1-
D ．0.5
2．如果关于x 的方程 kx 2 -2x -1=0有两个不相等实数根，那么k 的取值围是（ ）
A ．1k ≥
B ．1k > C.10k k ≥-≠且 D ．10k k >-≠且
3．已知相切两圆的半径是一元二次方程x 2-7x+12＝0的两个根，则这两个圆的圆心距是( )
A ．7
B ．1或7
C ．1
D ．6
4．若,αβ是方程2220070x x +-=的两个实数根，则2
3ααβ++的值 （ ） A ．2007 B ．2005 C ．－2007 D ．4010
5．已知方程组2,231y x m y x m -=??
+=+?的解x 、y 满足2x +y ≥0，则m 的取值围是（ ） A ．m ≥－43 B ．m ≥43 C ．m ≥1 D ．－43
≤m ≤1 6．已知x 是实数，且
-(x 2+3x)=2，那么x 2+3x 的值为（ ） A.1 B.-3或1 C.3 D.-1或3
7．已知关于x 的一元二次方程222(1)230x m x m m -++--=的两个不相等的实根中，有一个根是0，则m 的值
为 .
8．若不等式组112x x a
-≤≤??
10．当a=________时，方程会产生增根.
11．当m ____________时，关于x 的一元二次方程0152=+-+-m x x 的两个实根一个大于3，另一个小于3.
12．已知关于x 的方程
32
2=-+x m x 的解是正数，则m 的取值围为____ __． 13．用换元法解方程：22322x x x x +-=+． 14. 已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22
(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第
三边BC 的长为5，试问：k 取何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？
15．已知关于x 的一元二次方程022=++c bx ax （0>a ）①. （1）若方程①有一个正实根c ，且02<+b ac .求b 的取值围；
（2）当a =1 时，方程①与关于x 的方程0442=++c bx x ②有一个相同的非零实根，
求 c b c
b +-2288 的值.
16. 五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游；现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客
车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元，若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金，请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B ；【解析】方程的解必满足方程，因此将0x =代入，即可得到210a -=，注意到一元二次方程二次项系数不为0，故应选B.
2.【答案】D ；【解析】方程有两个实数根，说明方程是一元二次方程，因此有0k ≠，其次方程有两个不等实根，故有2
40b ac ->.故应选D.
3.【答案】B ；【解析】解一元二次方程x 2-7x+12＝0，得x 1＝3，x 2＝4，两圆相切包括两圆切和两圆外切． 当两圆切时，d ＝x 2-x 1＝1；当两圆外切时，d ＝x 1+x 2＝7．
4.【答案】B ；【解析】因为,αβ是方程2220070x x +-=的两个实数根，则220072αα=-， 把它代入原式得2007232007ααβαβ-++=++，再利用根与系数的关系得2αβ+=-，所以原式
=2005.
5.【答案】A ；【解析】由题意，可求出752,71m y m x +=-=
，代入2x +y ≥0，解得m ≥－43
．或者也可整体求值，把第(2)式乘以4减去第(1)式直接得43147+=+m x y ，得07432>+=+m y x ，解得m ≥－43． 6.【答案】A ；【解析】设x 2+3x=y, 则原方程可变为
-y=2, 即y 2+2y-3=0. ∴y 1=-3, y 2=1.经检验都是原方程的解. ∴ x 2+3x=-3或1.因为x 为实数，所以要求x 2+3x=-3和x 2+3x=1有实数解.当x 2+3x=-3时，即是
x 2+3x+3=0，此时Δ=32-4×1×3<0，方程无实数解，即 x 不是实数，与题设不符，应舍去；当x 2+3x=1时，即是x 2+3x-1=0，此时Δ=32-4×1×(-1)>0，方程有实数解，即x 是实数，符合题设，故x 2+3x=1. 正确答案：选A.
7．【答案】3m =；【解析】Q x=0是原方程的根, ∴2230m m --=.解得 123,1m m ==-.
又[]2
2242(1)4(23)b ac m m m -=-+---=16m +16Q 方程有两个不等的实根,∴240b ac ->,得16160,m +>得 1.m >-故应舍去1m =-,得3m =为所求.
8．【答案】a ＞-2；【解析】画出草图，两个不等式有公共部分.9．【答案】1≤k ＜2；10．【答案】3；
【解析】先去分母，再把x=3代入去分母后的式子得a=3.
11．【答案】5m >-； 【解析】设方程的两个实根分别为x 1、x 2,因为两个实根一个大于3，另一个小于3， 所以（x 1-3）（x 2-3）＜0，化简为x 1x 2-3（x 1+x 2）+9＜0，由根与系数关系解得5m >-.
12．【答案】 64m m >-≠-且； 【解析】去分母解得x=m+6,解为正数得m ＞-6，由x ≠2得m ≠-4.故64m m >-≠-且.
13.【答案与解析】 解：22322
x x x x +-=+，222322x x x x +-=+． 设22x y x +=，则32y y -=，整理，得2
230y y --=． 解得y 1＝3，y 2＝-1． 当y ＝3时，223x x +=，2320x x -+=， 解得x 1＝2，x 2＝1； 当y ＝-1时，221x x
+=-，220x x ++=， △＝1-8＝-7＜0，此方程没有实数根． 经检验：x 1＝2，x 2＝1是原方程的根． ∴ 原方程的根是x 1＝2，x 2＝1．
14.【答案与解析】 解：设边AB ＝a ，AC ＝b ． ∵ a 、b 是22
(23)320x k k k -++++=的两根，
∴ a+b ＝2k+3，a ·b ＝k 2+3k+2．又∵ △ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，且BC ＝5，
∴ 2225a b +=，即2()225a b ab +-=．∴ 23100k k +-=，∴ 15k =-或22k =． 当k ＝-5时，方程为27120x x ++=．解得13x =-，24x =-．（舍去） 当k ＝2时，方程为x 2
-7x+12＝0．
解得x 1＝3，x 2＝4． ∴ 当k ＝2时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．
15.【答案与解析】 解：（1）∵ c 为方程的一个正实根（0>c ），∴ 022=++c bc ac ∵0>c ,∴ 012=++b ac ，即12--=b ac .∵ 02<+b ac ，∴ 0)12(2<+--b b .解得 3
2-
>b ．又0>ac （由0>a ，0>c ）．∴ 012>--b ． 解得 21-
∴ 022=++c bm m ③0442=++c bm m ④
④－③得 0232=+bm m .
整理，得 0)23(=+b m m .
∵m ≠0，
∴023=+b m .
解得 3
2b m -=. 把32b m -=代入方程③得 0)3
2(2)32(2=+-+-c b b b . ∴09
82
=+-c b ，即c b 982=. 当c b 982=时，
5
48822=+-c b c b .
16.【答案与解析】
解：单租42座客车：2.942385≈÷，故应租10辆.共需租金320010320=?（元）
单租60座客车：4.660385≈÷，故应租7辆，共需租金32207460=?（元）.
设租用42座客车x 辆，则60座的客车租)x 8(-辆.
由题意得???≤-+≥-+3200
)x 8(460x 320385)x 8(60x 42 解之得：1855x 733≤≤ ∵x 只能取整数，故x=4，5
当x=4时，租金为：312044604320=?+?（元） 当5x =时，租金为：298034605320=?+?（元）
答：租用42座客车5辆，60座客车3辆时，所用租金最少.
方程与不等式教案
专题五 一元一次方程 复习目的： 1、了解等式的概念，掌握等式的基本性质。 2、了解方程、方程的解及解方程的概念。 3、了解一元一次方程，二元一次方程组及其标准形式、最简形式。 4、会列一元一次方程解应用题，并根据应用题的实际意义检验求值是否合理。 5、能正确地列二元一次方程组解应用题。 考点透视 1、方程的相关概念 例1如果2x =是方程 1 12 x a +=-的根，那么a 的值是（ ）A 、0 B 、2C 、2- D 、6- 变式训练：已知关于x 的方程223=+a x 的解是1-=a x ,则=a 。 2、一元一次方程的解法 1）等式的性质：①等式两边同时加上（减去）同一个整式，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个数（除数不能为0），等式仍然成立。 2）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 例2、1）（2008自贡）方程063=+x 的解的相反数是（ ） A 、2 B 、－２ C 、3 D 、－3 2）（2008武汉）如果05.205.2002005-=-x ，那么x 等于（ ） A 、1814.55 B 、1824.55 C 、1774.55 D 、1784.45 3）解方程：①12223x x x -+-=-；②2 (1) 0.4(1)3430.24 x x -+-=- 3、一元一次方程的应用 1）列一元一次方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③找出相等关系；④列出方程；
⑤解方程；⑥检验作答。 2）列一元一次方程解应用题的常见题型：①等积变形问题，注意变形前后的面积（体积）关系；②比例问题，通常设每份数为未知数；③利润率问题，数量关系复杂，要特别注意，常用的相等关系是利润的两种不同表示方法，即利润=售价-进价=进价×利润率；④数字问题，注意数的表示方法；⑤工程问题，注意单位“1”的确定；⑥行程问题，分为相遇、追击、水流问题；⑦年龄问题等。 1、二元一次方程（组）及解的概念 二元一次方程：含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为1，化成标准形式 )0,0(0≠≠=++b a c by ax 的整式方程。二元一次方程的解具有不定性。 例1、1）( 2008杭州) 已知?? ?-==1 1 y x 是方程32=-ay x 的解, 则a 的值是( ) A 、1 B 、3 C 、3- D 、1- 2）（2009桂林市）已知21x y =??=?是二元一次方程组7 1ax by ax by +=??-=? 的解，则a b -的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ． 2 D ．3 2、解二元一次方程组 例2、1）解方程组 ①? ??=-=+13234 2y x y x ②312523-=+=+x y y x 2）若方程1,3=-=+y x y x 和02=-my x 有公共解，则m 的取值为 。 3、二元一次方程组的应用 某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格：可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元。学校花去捐款96000元，正好可供2300人临时居住。 ①求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷； ②学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有哪几种方案？
第3讲 方程不等式综合(word版)
第3讲方程与不等式综合 【学习目标】 1.回顾参数的处理方法 2.学习方程与不等式综合专题 【专题分类】 1、利用不等式解决含参方程（组）问题： 2、利用方程解决含参不等式（组）问题： 3、实际应用： 模块一利用不等式解决含参方程（组）问题基础夯实 【练1】（1）已知方程 2 34 x y m x y m +=+ ? ? -=- ? 的解满足2x-y>0，求m的取值范围. （2）已知关于x，y的方程组 23311 3271 x y a x y a +=+ ? ? +=- ? 的解满足不等式x+y<3，求a的取值范围. （3）关于x，y的方程组 5331 x y x y p += ? ? +-= ? 的解是正整数，是整数p的值为多少.
【拓1】若()2 2120 a b a b x +++--≤，其中a，b均非正，求x的取值范围. 【拓2】已知：2a-3x+1=0，3b-2x-16=0，且a≤4 2014年中考数学总复习专题测试试卷（方程与不等式） 一、选择题 1．点 A(m 4，1 2m) 在第三象限，那么 m 值是（ ）。 1 Ｂ． m 4 1 m 4 Ｄ． m 4 Ａ． m Ｃ． 2 2 2．不等式组 x 3 ）。 x 的解集是 x> a ，则 a 的取值范围是（ a Ａ． a ≥3 B ． a =3 Ｃ． a >3 Ｄ． a <3 2x 1 3．方程 x 2－4 －1＝ x ＋ 2 的解是（ ）。 Ａ．－ 1 B ． 2 或－ 1 Ｃ．－ 2 或 3 Ｄ． 3 2-x x-1 4．方程 3 - 4 = 5 的解是（ ）。 Ａ． 5 B ． - 5 Ｃ． 7 Ｄ． - 7 5．一元二次方程 x 2 -2x-3=0 的两个根分别为（ ）。 A ．x 1=1，x 2 =-3 B ．x 1=1，x 2 =3 C ．x 1=-1 ， x 2=3 D ．x 1=-1 ，x 2=-3 a 2b ， 3 m 则 a b 的值为（ 6．已知 a ， b 满足方程组 ）。 2a b m ， 4 Ａ． 1 Ｂ． m 1 Ｃ． 0 Ｄ． 1 7． 若方程组 3x 5y m 2 2x 3 y m 的解 x 与 y 的和为 0，则 m 的值为（ ）。 Ａ．－ 2 B ．0 Ｃ． 2 Ｄ． 4 8．在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的 面积是 5400cm 2 ，设金色纸边的宽为 xcm ， 那么 x 满足的方程是（ ）。 A ．x 2+130x-1400=0 B ． x 2 +65x-350=0 C ．x 2-130x-1400=0 D ． x 2 -65x-350=0 2x m ＋1 x ＋1 9．若解分式方程 x －1 －x 2＋ x ＝ x 产生增根，则 m 的值是（ ）。 Ａ．－ 1 或－ 2 B ．－ 1 或 2 Ｃ． 1 或 2 Ｄ． 1 或－ 2 二、填空题 10．不等式 (m-2)x>2-m 的解集为 x<-1 ，则 m 的取值范围是 __________________。 11．已知关于 x 的方程 10x 2－(m+3)x+m － 7=0，若有一个根为 0，则 m=_________，这时方程的另一个根是 _________。 12．不等式组 x 2m 1 x m 的解集是 x ＜ m －2，则 m 的取值应为 _________。 2 三解答题 13．解方程： (1) (2x – 3) 2 = (3x – 2) 2 一、应用题 1. （1）购进C 种玩具套数为：50x y --（或41147510 x y - -） （2）由题意得 405550(50)2350x y x y ++--= 整理得230y x =-． （3）①利润＝销售收入－进价－其它费用 508065(50)2350200P x y x y ∴=++---- 整理得15250P x =+． ②购进C 种电动玩具的套数为：50803x y x --=-． 根据题意列不等式组，得 10 2301080310 x x x ?? -? ?-? ≥≥≥，解得70203x ≤≤． ∴x 的范围为2023x ≤≤，且x 为整数． ∵P 是x 的一次函数，150k =>， ∴P 随x 的增大而增大． ∴当x 取最大值23时，P 有最大值，最大值为595元．此时购进A 、B 、C 种玩具分别为23套、16套、11套． 2. 解：（1）设原计划购买彩电x 台，冰箱y 台，根据题意，得 2000180025000x y +=，化简得：109125x y +=． 由于x y 、均为正整数，解得85x y ==，． （2）该批家电可获财政补贴为2500013%3250()?=元．由于多买的冰箱也可获得13%的财政补贴，实际负担为总价的87%． 3250(113%)3735.621800÷-?≈≥， ∴可多买两台冰箱． 答：（1）原计划购买彩电8台和冰箱5台； （2）能多购买两台冰箱．我的想法：可以拿财政补贴款3250元，再借350元，先购买两台冰箱回来，再从总价3600元冰箱的财政补贴468元中拿出350元用于归还借款，这样不会增加实际负担． 3. 解： （1）依题意得：1(2100800200)1100y x x =--=， 方程与不等式组知识点总结 方程与方程组 一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，( ) 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b 是常数项。 二、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式( ) 它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中( )叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如( )的一元二次方程。根据平方根的定义可知，( )是b的平方根，当( )时，( ) ，( )，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式( )，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有( )。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程( )( )的求根公式：( ) 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 四、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程( )中，( ) 叫做一元二次方程( )的根的判别式，通常用“( )来表示，即( ) 五、一元二次方程根与系数的关系 如果方程( )的两个实数根是( )( )，，那么( )，( )。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 六、分式方程 1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： 专题24：方程、不等式和函数的综合 一、选择题 1. （2012福建龙岩4分）下列函数中，当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大的有【 】 ①y=x ②y=－2x ＋1 ③1y=x - ④2y=3x A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 【答案】B 。 【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的性质。 【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质作出判断： ①∵y=x 的k ＞0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大； ②∵y=－2x ＋1的k ＜0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小； ③∵1y=x -的k ＜0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大； ④∵2y=3x 的a ＞0，对称轴为x=0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小。 ∴正确的有2个。故选B 。 2. （2012四川广元3分） 已知关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=有唯一实数解，且反比 例函数 1b y x +=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】 A. 3y x =- B. 1y x = C. 2y x = D. 2y x =- 【答案】D 。 【考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。 【分析】关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=化成一般形式是：2x 2＋（2－2b ）x ＋（b 2 －1）=0， ∵它有唯一实数解， ∴△=（2－2b ）2－8（b 2－1）=－4（b ＋3）（b －1）=0，解得：b=－3或1。 ∵反比例函数1b y x += 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大， ∴1+b＜0。∴b＜－1。∴b=－3。 ∴反比例函数的解析式是13y x -=，即2y x =-。故选D 。 方程与不等式之无理方程经典测试题及答案解析 一、选择题 1．方程11x -=的根是x =______. 【答案】2． 【解析】 【分析】 方程两边乘方，得整式方程，求解，检验即可. 【详解】 ∵11x -= ∴x-1=1 ∴x=2， 经检验，x=2是原方程的根， 所以，原方程的根是x=2. 故答案为：2. 【点睛】 本题考查了解无理方程，注意别忘记检验哟! 2．如果关于x 的方程 的一个根为3，那么a= ． 【答案】3 【解析】 【分析】 根据方程的解的意义，把x=3代入原方程，然后解关于a 的方程，解答后，一定要验根. 【详解】 ∵关于x 的方程2x a x +=的一个根为3， ∴x=3一定满足关于x 的方程2x a x +=， ∴63a +=， 方程的两边同时平方，得 6+a=9，解得a=3； 检验： 将a=3代入原方程得， 左边=2333?=， 右边=3， ∴左边=右边， ∴a=3符合题意， 故填：3. 3．方程的解为 ． 【答案】3． 【解析】 首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x 的值． 解：两边平方得：2x+3=x 2 ∴x 2﹣2x ﹣3=0， 解方程得：x 1=3，x 2=﹣1， 检验：当x 1=3时，方程的左边=右边，所以x 1=3为原方程的解， 当x 2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2=﹣1不是原方程的解． 故答案为3． 4．方程(x 30-=的解是______． 【答案】x=2 【解析】 【分析】 求出x 0=，求出即可． 【详解】 解：(x 30-=Q ， 2x 0∴-≥， x 2∴≤， x 30∴-≠， 0=Q ， x 2=， 故答案为：x 2=． 【点睛】 0=是解此题的关键． 5．如果关于x x =有实数根2，那么k =________． 【答案】1- 【解析】 【分析】 把x=2代入方程中进行求解即可得. 【详解】 ， 2-2k=4， 解得：k=-1， 经检验k=-1符合题意，所以k=-1， 方程与不等式应用题（习题）例题示范 例1：现要把228 吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18 辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16 吨/辆和10 吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 运往地 车型 甲地（元/辆）乙地（元/辆） 大货车720800 小货车500650 （1）求这两种货车各用多少辆． （2）如果安排 9 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地．设前往甲地的大货车为a 辆，前往甲、乙两地的总运费为w 元，求出w 与 a 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于 120 吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 【思路分析】 1．理解题意，梳理信息． 运往地车型 9 甲地（元/辆） 9 乙地（元/辆） 载重量 大货车8720 a800 8-a16 小货车10500 9-a650 a+110 2．建立数学模型 （1）结合题中信息“用大、小两种货车共18 辆，恰好能一次性运完这批物资”，考虑方程模型； （2）结合题中信息“自变量的取值范围”，考虑建立不等式模型，寻找题目中的不等关系（显性和隐性）； （3）结合题中信息“运费最少的货车调配方案”，考虑建立函数模型．3．求解验证，回归实际． ? ? 【过程书写】 解：（1）设大货车用 x 辆，则小货车用（18-x ）辆，根据题 意得，16x +10(18-x )=228 解得，x =8 即大货车用 8 辆，小货车用 10 辆． （2）由题意得， w 720 a 800(8 a ) 500(9 a ) 650[10 (9 a )] 70 a 11550 a ≥ 0 8 a ≥ 0 ∵ 9 a ≥ 0 10 (9 a ) ≥ 0 ∴ 0 ≤ a ≤ 8 ，且 a 为整数 ∴ w 70 a 11550（ 0 ≤ a ≤ 8 ，且a 为整数） （3）由题意得，16 a 10(9 a ) ≥120 解得， a ≥ 5 ∵ 0 ≤ a ≤ 8 ，且 a 为整数 ∴ 5 ≤ a ≤ 8 ，且 a 为整数在 w 70 a 11550 中 ∵ 70 0 ∴w 随 a 的增大而增大 ∴当 a =5 时， w min 11900（元） 即 最优方案为： 甲地 乙地 大货车 5 3 小货车 4 6 第二章 方程式与不等式 一、考点综述 考点内容： 1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念 2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用 3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程 4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用 5、一元二次方程根的判别式及应用 6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集 7、不等式的基本性质 8、一元一次不等式（组）的解法及应用 二、例题精析 题型一：计算 例1解方程： ． 【解题思路】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可． 原方程变形为方程两边都乘以，去分母并整理得，解这个方程得．经检验，是原方程的根，是原方程的增根．∴原方程的根是． 【答案】． 【规律总结】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少． 例2． 【解题思路】解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法． 由方程①可得， ∴.它们与方程②分别组成两个方程组： 224111 x x x x -=-+-) 1)(1(4121-+=+--x x x x x )1)(1(-+x x 022=--x x 1,221-==x x 2=x 1-=x 2=x 2=x ?????=+-=-. 03,04222xy x y x ?????=+-=-②xy x ①y x .03,04222()()022=-+y x y x 02,02=-=+y x y x 或???=+-=+04022xy x y x ? ??=+-=-04022xy x y x （易错题精选）初中数学方程与不等式之分式方程综合训练 一、选择题 1．为保证某高速公路在2019年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用30天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意可以列出的方程是（） A． 111 103020 += --+ x x x B． 111 103020 += ++- x x x C． 111 103020 -= ++- x x x D． 111 102030 += -+- x x x 【答案】B 【解析】 【分析】 设规定的时间为x天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务， 列方程为 111 103020 += ++- x x x . 【详解】 设规定时间为x天，则 甲队单独一天完成这项工程的 1 10 + x ， 乙队单独一天完成这项工程的 1 30 x+ ， 甲、乙两队合作一天完成这项工程的 1 20 x- . 则 111 103020 += ++- x x x . 故选B. 【点睛】 此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程. 2．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程( ) A．24002400 8 (120%) x x -= + B． 24002400 8 (120%)x x -= + C． 24002400 8 (120%)x x -= - D． 24002400 8 (120%) x x -= - 【答案】A 《方程与不等式》测试题 （时间60分钟，满分100分） 班级__________ 学号______ 姓名__________ 成绩________ 一、选择题（本题有10个小题, 每小题3分, 满分30分 ,下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的. ） 1．不等式组2030 x x ->- B. 3x < C. 23x << D. 无解 2．解集在数轴上表示为如图1所示的不等式组是（ ） A ．32x x >-?? ?≥ B ．3 2x x <-??? ≤ C ．32x x <-?? ?≥ D ．3 2 x x >-???≤ 3．若关于x 的方程1011 --=--m x x x 有增根，则m 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1 4．分式223 1 x x x +--的值为0，则x 的取值为（ ） A 、3x =- B 、3x = C 、3x =-或1x = D 、3x =或1x =- 5．一元二次方程2 440x x --=的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 6．用配方法解方程2620x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．2 (3)11x -= B ．2 (3)7x += C ．2 (3)9x -= D ．2 (3)7x -= 7．已知三角形两边长分别为3和6，第三边是方程2 680x x -+=的解，则这个三角形 的周 长是（ ） A ．11 B ．13 C ．11或13 D ．11和 13 图1 8．若2X ++42++Y X =0，则X Y 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．-2 9．二元一次方程组3 20x y x y -=-?? +=? 的解是：（ ） A ． 1 2x y =-?? =? B ． 12x y =??=-? C ．1 2x y =-??=-? D ．21x y =-??=? 10．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表： 捐款（元） 1 2 3 4 人 数 6 7 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款2元的有x 名同学,捐款3元的有y 名同学,根据题意,可得方程组 A 、272366x y x y +=??+=? B 、27 23100x y x y +=??+=? C 、27 3266x y x y +=??+=? D 、 27 32100x y x y +=?? +=? 二、填空题 (本题有6个小题,每小题3分, 共18分) 11．方程()412 =-x 的解为 12．已知一元二次方程01322 =--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x 13．方程01)1(42 =+++x k x 的一个根是2，那么_____=k ，另一根是 14．代数式 x 241+的值不大于2 8x -的值，那么x 的正整数解是 15. 已知关于x 的方程2(2)x k x +=-的根小于0，则k 的取值范围是 16．某公司成立3年以来，积极向国家上缴利税，由第一年的200万元增长到800万元，则 平均每年增长的百分数是 三、解答题(本大题有4小题, 共52分，解答要求写出文字说明, 证明过程或计算步骤) 17．解下列方程（每题6分，共12分） 方程与不等式应用题综合测试（三）（通用版） 试卷简介:训练目标：检测学生在不同背景下辨识使用方程或不等式，挖掘关键词，关注隐含条件，梳理信息，理解题意，求解验证。 一、单选题(共10道，每道10分) 1.某班组织20名同学去春游,计划同时租用A,B两种型号的车辆,已知A车每辆有8个座位,B 车每辆有4个座位.若要求租用的车辆不留空座,也不能超载,则下列方案可行的是( ) A.A车0辆,B车5辆 B.A车1辆,B车3辆 C.A车3辆,B车0辆 D.A车2辆,B车2辆 答案：B 解题思路：设租用A车x辆，B车y辆， 根据题意得，8x+4y=20， 整理得，2x+y=5． ∵x，y都是正整数， ∴只有x=1，y=3；x=2，y=1两种情况成立． 结合选项只能选B． 注意：由于是同时租用两种型号的车辆，所以两种车都需要租用，辆数为正整数． 试题难度：三颗星知识点：不定方程 2.自6月1日起,某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋,每只售价分别为1元、2元和3元,这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤.6月7日,小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米,则他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市( )元. A.7 B.8 C.9 D.10 答案：B 解题思路：设售价分别为1元、2元、3元的环保购物袋分别有x，y，只， 那么，解得． ∵x，y是非负整数， ∴x只能取0，y只能取0，1． 当时，，，应付3×3=9元； 当时，，，应付1×2+2×3=8元． 所以至少应付给超市8元． 试题难度：三颗星知识点：不等式应用题 3.整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一.根据国家《药品政府定价办法》,某省有关部门规定:市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%.根据相关信息解决下列问题: (1)降价前,甲、乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元.经过若干中间环节,甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元,乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍,两种药品每盒的零售价格之和为33.8元.那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元?( ) A.3,3.6 B.15.8,18 C.18,15.8 D.3.6,3 答案：B 解题思路：题目中的等量关系为， 甲出厂价+乙出厂价=6.6；甲零售价+乙零售价=33.8． 设甲种药品每盒的出厂价格为x元，乙种药品每盒的出厂价格为y元． 根据题意可列方程组， 解得， ∴5×3.6-2.2=18-2.2=15.8（元），6×3=18（元）， 即降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元，18元． 试题难度：三颗星知识点：二元一次方程组的应用 4.(上接第3题)(2)降价后,某药品经销商将上述甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院,医院根据实际情况决定:对甲种药品每盒加价15%,对乙种药品每盒加价10%后零售给患者.实际进药时,这两种药品均以每10盒为1箱进行包装.近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱,其中乙种药品不少于40箱,销售这批药品的总利润不低于900元.请问购进时有哪几种搭配方案?若设购进甲种药品a箱,根据题意,下列不等式组正确的是( ) A. B. C. 2011年中考复习二轮材料 函数、方程、不等式综合应用专题 一、专题诠释 函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。 这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。 二、解题策略和解法精讲 函数与方程、函数与不等式密不可分，紧密联系。 利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题，利用Δ与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等。等式与不等式是两种不同的数量关系，但在一定条件下又是可以转化的，如一元二次方程有实数根，可得不等式Δ≥0等。 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－b/a，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；?直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解． 一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解： （1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2． （3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．在复习中，本专题应抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系，以期在综合运用中灵活把握。 三、考点精讲 考点一：函数与方程（组）综合应用 例1．（2010广西梧州）直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b ＝0的解是x＝______ 【分析】∵直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则x＝2时，y＝0，∴关于x的方程2x+b＝0的解是x＝2。 《方程与不等式》测试题 班级__________ 姓名__________ 成绩________ 一、选择题（本题有10个小题, 每小题3分, 满分30分 . ） 1．不等式组2030 x x ->- B. 3x < C. 23x << D. 无解 2．解集在数轴上表示为如图1所示的不等式组是（ ） A ．32x x >-?? ?≥ B ．3 2 x x <-???≤ C ．32x x <-???≥ D ．32x x >-??? ≤ 3．若关于x 的方程 1011 --=--m x x x 有增根，则m 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1 4．分式223 1 x x x +--的值为0，则x 的取值为（ ） A 、3x =- B 、3x = C 、3x =-或1x = D 、3x =或1x =- 5．一元二次方程2 440x x --=的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 6．用配方法解方程2620x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．2 (3)11x -= B ．2 (3)7x += C ．2 (3)9x -= D ．2 (3)7x -= 7．已知三角形两边长分别为3和6，第三边是方程2 680x x -+=的解，则这个三角形的周 长是（ ） A ．11 B ．13 C ．11或13 D ．11和13 8．若2X ++42++Y X =0，则X Y 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．-2 9．二元一次方程组3 20 x y x y -=-?? +=?的解是：（ ） A ． 1 2 x y =-?? =? B ． 12x y =??=-? C ．1 2 x y =-?? =-? D ．21x y =-??=? 10．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表： 2 3 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款2元的有x 名同学,捐款3元的有y 名同学,根据题意,可得方程组 A 、27 2366x y x y +=??+=? B 、27 23100x y x y +=??+=? C 、273266x y x y +=??+=? D 、27 32100x y x y +=??+=? 二、填空题 (本题有7个小题,每小题3分, 共21分) 11．方程()412 =-x 的解为 12．已知一元二次方程01322 =--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x 13．方程01)1(42=+++x k x 的一个根是2，那么_____=k ，另一根是 14．代数式 x 241+的值不大于2 8x -的值，那么x 的正整数解是 15. 已知关于x 的方程2(2)x k x +=-的根小于0，则k 的取值范围是 16．某公司成立3年以来，积极向国家上缴利税，由第一年的200万元增长到800万元，则平均 每年增长的百分数是 17．若关于x 的分式方程 3 11x a x x --=-无解，则a = ． 三、解答题(本大题有4小题, 共69分) 18．解下列方程（每题5分，共20分） （1）x 2＋3＝3(x ＋1) （2）34 11x x -=- 图1 不等式与方程应用题--讲义 不等式与方程应用题 主讲教师:傲德 重难点易错点辨析 列不等式解应用题 题一: 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分,小明得分要超过90分,他至少要答对多少道题？ 不等式与方程综合解应用题 题二：有红、白两种颜色的小球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的个数的2倍比红球多；若给每个白球都写上数字“2",给每个红球都写上数字“3”（每个小球只能写上一个数字)，结果所有小球写的数字总和为60,那么白球和红球各是多少个？ 金题精讲 题一：若干名学生合影留念，需交照像费20元(有两张照片）,如果另外加洗一张照片，又需收费1.5元，要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像？ 题二:某单位要购买一批电脑,甲公司的标价是每台5800元,优惠条件是购10台以上,第11台起可按标价的七折付款；乙公司的标价是每台5800元,优惠条件是每台均按标价的八五折付款。若两个公司所售电脑的品牌、质量、售后服务等完全相同，该单位购买哪个公司的电脑合算？请说明理由. 题三：为响应市政府“创建国家森林城市”的号召,某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A 种树苗每棵80元,B种树苗每棵60元。 （1)若购进A、B两种树苗刚好用去1220元,问购进A、B两种树苗各多少棵？ (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用。 思维拓展 题一：某企业人事招聘工作中，共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分,未通过不得分,此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分,其中最低分3分,而且至少有3人得4分,则得5分的共有多少人？ 不等式与方程应用题 讲义参考答案 重难点易错点辨析 题一:13。题二：9个白球，14个红球. 金题精讲 题一:7.题二：当购买电脑小于20台时，乙合算；当购买电脑等于20台时,甲、乙一样；当购买电脑大于20台时，甲合算。题三:（1）A:10棵，B:7棵;(2) A：9棵,B:8棵,所需费用:1200元。 思维拓展 题一:22。 B、方程与不等式 1、方程与方程组 一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指 数是1，这样的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除 以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的 方程叫做二元一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一 个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方 程 1）一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二 次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次 方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了 2）一元二次方程的解法 大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也 有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解 (1）配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 (2)分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候 也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解 (3)公式法 这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={- b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a 4）解一元二次方程的步骤： （1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时 加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤： 把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这 里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形 式 (3)公式法 就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a， 一次项的系数为b，常数项的系数为c 方程和不等式综合专题 一、单选题 1．已知且x＋y＝3，则z的值为() A．9 B．－3 C．12 D．不确定 【答案】B 2．若关于x 的方程kx2﹣（k+1）x+1＝0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】C 3．关于x的方程x2﹣2mx+4=0有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于3，则实数m的取值范围为（） A．m＞B．m＜﹣C．m＜﹣2 或 m＞2D．m＞ 【答案】A 4．如果关于x的分式方程-2=有正整数解，且关于x的不等式组无解，那么符合条件的所有整数a的和是（） A．B．C．D． 【答案】D 5．某超市推出如下优惠方案: (1)一次性购物不超过100元不享受优惠; (2)一次性购物超过100元,但不超过300元一律9折; (3)一次性购物超过300元一律8折. 李明两次购物分别付款80元,252元.如果李明一次性购买与这两次相同的物品,则应付款() A．288元B．332元 C．288元或316元D．332元或363元 【答案】C 6．对于两个实数，，用表示其中较大的数，则方程的解是（） A．，B．，C．，D．， 【答案】C 7．已知关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，那么的值是（） A．5 B．-1 C．5或-1 D．-5或1 【答案】B 8．已知、、都是实数，且，则 A．只有最大值B．只有最小值 C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值 【答案】C 9．将个数、、、排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．若，则的值为（） A．B．C．D． 【答案】A 10．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x=5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业.同学们，你能补出这个常数吗？它应该是 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 11．使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的分式方程+=-8的解为正数的所有整数a的值之和为（） A．11 B．15 C．18 D．19 【答案】C 12．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程=1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（） A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18 【答案】B 13．若方程组的解满足x＜1，且y＞1，则整数k的个数是( ) A．4B．3 C．2D．1 【答案】A 14．已知三个非负数a、b、c满足若，则的最小值为（）A．B．C．D．－1 【答案】B 15．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，方程与不等式专题测试试卷.docx
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