三角函数的应用

情境引入一、回顾与思考

1、直角三角形中，三边的关系？两个锐

角的关系？边与角的关系？

2、30°、45°、60°角的三角函数值是

多少？

二、创设情境、引入课题

请同学们欣赏动画影片《船要触礁

了》

引导学生复习

刚才大家欣赏了动画

影片《船要触礁了》，

大家看到了什么？有

什么感受？引导学生

交流，并提出本节课

要探究的课题.板书

课题：§1.5三角函

数的应用

引入新课

回答问题

1、欣赏动画

影片《船要

触礁了》.

2、回答老师

提出的问

题.

从学生熟知

的现实情景

入手，既增

强了趣味

性，一下子

抓住学生的

注意力；又

能使课题蕴

含其中，使

学生体会数

学就在我们

身边，也合

理地揭示了

学习新知识

的必要性，

从而激发学

生探究的积

极性.

自主合作探究发现三、引导探究，合作交流

（一）探究一：船是否有触礁

如图，海中有一个小岛A，该岛四周

10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航

行，开始在A岛南偏西55°的B处，往

东行驶20海里后，到达该岛的南偏西

25°的C处，之后，货轮继续往东航行，

你认为货轮继续向东航行途中会有触礁

的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交

流.

（详细解答过程见课件展示）

----仅提供参考

（二）探究二：塔有多高

小明想测量塔CD的高度.他在A处仰

望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向

前进50m至B处,测得仰角为60°,那么

该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果

精确到1m)

（详细解答过程见课件展示）

1、在绝大部分学生解

答完毕的情况下，小

组内推选较好的学生

黑板板书自己的解答

过程，供全班同学交

流、讨论，达到互通

有无、查缺补漏的作

用.

2、教师对学生解答过

程中闪光点给予肯定

和表扬----比如在用

三角函数时能指出所

涉及的直角三角形，

供其他学生们学习.

3、鼓励学生从不同角

度思考，用不同的方

法进行求解.

1、让学生在规定时间

内完成并展示（投影）

成果.

2、巡回指导，对学生

画出的示意图中出现

的问题予以纠正，及

时提醒学生应注意的

问题.

1、同学们对

此问题独立

思考，能确

定解答的方

案，不理解

的地方要积

极地和同

学、教师交

流，从而释

惑解疑.

2、学生把自

己的解决方

案记录在纸

上，为黑板

上展示自己

的解答过程

做好准备.

3、学生讲述

解题思路，

画图（抽象

成数学问

题），整理再

现过程，展

示成果（板

演）

交流合作，

将问题转化

为数学问

题，画出示

意图.

----仅提供参考

教学环节教学内容教师活动设计

学生

活动设计

自主合作探究（三）探究三：楼梯加长了多少

深圳东门某商场准备改善原有楼梯

的安全性能,把倾角由原来的40°减至

35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的

楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地

面?(结果精确到0.01m)

（详细解答过程见课件展示）

----仅提供参考

四、解决问题，共同提升

（一）问题一：钢缆问题

一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地

面成40°夹角,且DB=5m.现再在CD上方

2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的

长度为多少?(结果精确到0.01m) .

1、继续引导学生分组

探究下列问题，并推

选该组的学生到黑板

进行展示自己的解答

过程，也可以利用投

影仪展示出来，以备

各组相互评价.

2、询问部分学生的解

答思路.指导部分学

生：如果缺少数据，

可以巧设未知数，起

到解答的辅助作用.

3、重点指导第二个问

要求学生独立完成，

把解答过程写到课堂

练习本上．挑选三名

1、分组进行

探究活动，

每位同学要

积极的参与

到思考和交

流中，使自

己的解答过

程得以顺利

进行，并能

勇敢的到黑

板上代表自

己的小组展

示解答成果.

2、每位同学都

应具有认真读

题、认真审题

的习惯和能

力.

踊跃的拿出

发

现

（详细解答过程见课件展示）

----仅提供参考同学到讲台前说出答

案并讲述自己的思

路.

练习本，迅

速的解答起

来．深化认

识、使自己

又好又快的

做完这些

题.

教学设计教学内容教师活动设计学生

活动设计

自主合作探究发现（二）问题二：大坝问题

如图，水库大坝的截面是梯形ABCD,

坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠

ADC=135°.

(1)求坡角∠ABC的大小;

(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝

共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ) .

（详细解答过程见课件展示）

1、引导学生展开合

作，交流.

2、选择具有代表性的

解答方法投影展示.

1、在老师的

引导下展开

设想讨论.

2、动手操

作.

----仅提供参考探

究

发现小结让语言组织能力强的

学生代表归纳小结.

学生讨论，

交流，合作.

布置作业1、必做题：习题1.6第1题、第2题.

2、选做题：习题1.6第3题、第4题.

教师提出要求独立完成

板书设计

§1.5三角函数的应用

一、回顾与思考

二、创设情境、引入课题

三、引导探究，合作交流

（一）探究一：船是否有触礁板演区一板演区二（二）探究二：塔有多高

（三）探究三：楼梯加长了多少

四、解决问题，共同提升

（一）问题一：钢缆问题

（二）问题二：大坝问题

教学说1、本节课是应用课，根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：回顾思考——情景引入——三个探究——二个问题解决——方法归纳————课堂小结——布置作业七部分，这一流程体现了知识间的转化、升华、应用、巩固提高发展的过程，让学生体会到观察、猜想、转化、验证、归纳的思想和数形结合的思想，其中探究一要进行重点引导，激发学生多思考，弄清楚如何将生活

三角函数公式大全81739

三角函数公式大全三角函数定义函数关系倒数关系：商数关系：平方关系：．诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：

公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数

名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．以诱导公式二为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

《三角函数的应用》综合练习1(视角、方位角)

三角函数的应用（视角、方位角） ◆随堂检测 1、若从A点看B点时，B点在A点的北偏东35°的方向上，那么从B点看A点时，A 点在B点的________． 2、如图1，在离铁塔140m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，?已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=_________（根号保留）． (图1) (图2) (图3) 3、如图2，从树顶A望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，?已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（）． A．200m B．C．D．100）m 4、如图3，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房基间的水平距离BD?为100m，? 塔高CD m，则下面结论中正确的是（）． A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30° 5、轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西65°，那么同时从B?处观测到轮船的方向是（）． A．南偏西65°B．东偏西65°C．南偏东65°D．西偏东65° ◆典例分析《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边25m处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5s．（1）试求该车从A点到B点的平均速度;（2）试说明该车是否超过限速．解：（1）在Rt△AOC中，AC=OC·tan∠AOC=25×tan60°，在Rt△BOC中，BC=OC．tan∠BOC=25×tan30°= 3m， ∴AB=AC-BC= 3 （m）．

三角函数公式及图像

锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

最全高中数学三角函数公式

定义式） ct 函数关系倒数关系：；；商数关系：；．平方关系：；；．诱导公式

公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：

记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．以诱导公式二为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

三角函数在物理学中的应用

三角函数的应用高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，三角函数在物理学中的应用最为广泛。借助物理知识渗透考查数学能力是高考和自主招生命题的永恒主题。高考物理考试大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。下面对三角函数的应用做一小总结。公式总结 1．利用二倍角公式求极值正弦函数二倍角公式 θθθcos sin 22sin = 如果所求物理量的表达式可以化成 θθcos sin A y = 则根据二倍角公式，有 θ2sin 2 A y = 当 0 45=θ时，y 有最大值 2 max A y = 2．利用和差角公式求物理极值三角函数中的和差角公式为 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± 在力学部分求极值或讨论物理量的变化规律时，这两个公式经常用到，如果所求物理量的表达式为θθcos sin b a y +=，我们可以通过和差角公式转化为 )cos sin ( 2 2 2 2 22θθb a b b a a b a y ++++= 令 φcos 2 2 =+b a a ， φsin 2 2=+b a b 则 )sin(22φθ++= b a y 当 0 90=+φθ时，y 有最大值 22max b a y += 3．利用求导求物理极值 4．三角函数中的半角公式 2cosa -12a sin = 2 cosa 12cos +=a

a a a a a cos 1sin sin cos 1cos 1cosa -12a tan +=-=+= a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cosa 12a cot +=-=-+= 典型例题解析： 1、一间新房即将建成时要封顶，考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地流离房顶，要设计好房顶的坡度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦地运动，那么图1所示四种情况中符合要求的是（）【解析】雨滴沿房顶做初速度为零的匀加速直线运动，设房顶底边长为L ，斜面长为S ，倾角为θ，根据运动学公式2at 21S = 有θθsin gt 2 1cos 2L 2?=，解得θ θθ2s i n gL 2cos sin gL t = ?= ，当0 45=θ时，t 有最小值．【答案】C 2、如图2所示,一辆1/4圆弧形的小车停在水平地面上。一个质量为m 的滑块从静止开始由顶端无摩擦滑下，这一过程中小车始终保持静止状态，则滑块运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？【解析】设圆弧半径为R ，滑块运动到半径与竖直方向成θ角时，静摩擦力最大，且此时滑块速度为v ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，应有 2 2 1cos mv mgR = ?θ ① R v m mg N 2 cos =-θ ② 由①②两式联立可得滑块对小车的压力 θcos 3mg N = 而压力的水平分量为 θθθθ2sin 2 3 cos sin 3sin mg mg N N x = ?=?= 设地面对小车的静摩擦力为f ，根据平衡条件，其大小 θ2sin 2 3 mg N f x = = 从f 的表达式可以看出，当θ=450 时，θ2sin =1有最大值，则此时静摩擦力的最大值图2 图1

三角函数在实际生活中的应用

三角函数在实际生活中的应用目录摘要：1 关键词：3 1引言3 1.1三角函数起源3 2三角函数的基础知识4 2.1下列是关于三角函数的诱导公式5 2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式7 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式7 3.三角函数与生活7 3.1火箭飞升问题7 3.2电缆铺设问题8 3.3救生员营救问题9 3.4足球射门问题10 3.5食品包装问题10 3.6营救区域规划问题11 3.7住宅问题12 3.8最值问题13 4 总结14 Abstract

Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems. Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要：三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，

三角函数公式知识点及应用

三角函数公式 ? 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。基本信息 ?中文名称三角函数 ?外文名称

三角函数综合应用 (1)

第 1 页共 4 页 1. 三角函数的综合应用班级__________姓名____________ ___年____月____日内容要求 A B C 三角函数综合两角和与差的正弦余弦和正切公式 √ 同角三角函数的基本关系式；二倍角公式；正弦定理和余弦定理 √ 三角函数的图象和性质 √ 1.理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理； 2.能运用它们解决有关三角函数的综合问题．【教学过程】一、知识梳理： 1. 同角三角函数的基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin α cos α . 2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式 sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos (α±β)＝cos αcos βsin αsin β，tan (α±β)＝ tan α±tan β 1tan αtan β . 3. 二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2 α，tan2α＝2tan α1－tan 2α . 4. 三角函数的图象和性质 5. 正弦定理和余弦定理 (1) 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝2R(R 为三角形外接圆的半径)． (2) 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，cosA ＝ b 2＋ c 2－a 2 2bc . 二、回归教材 1.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝c sinC ，那么A ＝________． 2. △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，则角B 等于________． 3. 若a ，b ，c 是△ABC 中A ，B ，C 的对边，A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则可判断△ABC 的形状一定为________．(按边分类)

三角函数公式应用及原理解说

三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具 ⑴。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。常见的三角函数包括正弦函数（sin ）、余弦函数（cos ）和正切函数（tan 或者tg ）。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数［2］。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。直角三角形中的定义右直供二闻张中仅苕期伙水左画90至力间的录）二角藝的宦义［叩?络匡F 锐甬机可以滋出一牛直集二角形，庚再其申的一个内芻是和设連个三甬殛孔9旳对匹需也和得世长度 g afliSE 是更迎弓痔辺的毗面冋百?: &抽余弦是澤边与斜辺的乂道；| ft H 制正切灵对迥与糾盅柏"■宜伽 e ￥ b &的余切是嘟边2舛边的比■包co tfi = - q &闌正甥足斜辺弓押辺的比朗 ; &的余割是斜边与对边的比值！宀诃二2 a 标系中的奩义【姗＜ iftH 吟F 】是平面直角H 标菇咕的一牛知声是欖轴正向程时计疑術I 励方向驱aeiJS, F = C +扌A 礎序順点涮柜离?刚砒林三 JB 曲隸定义为【口 12#可?帅7血划腹圧駆定三三角血也雪主意知:也LL 却宦汩頤左定＞朮自盍買的时僕成立-比如逋当■ = &的时僂.世和二自漲由盍乩遞说朗对丹幢正花；B 口 0—1.正切； -■耀h

(完整版)三角函数图像公式大全,推荐文档

幂函数的图形指数函数的图形对数函数的图形三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号 sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的性质函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R ｛x｜x∈R且 x≠kπ+ 2 π ,k∈Z｝｛x｜x∈R且 x≠kπ,k∈Z｝值域［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时 y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max=1 x=2kπ+π时y min=-1 R 无最大值无最小值 R 无最大值无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ］上都是增函数；在［2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π］上都是减函数(k∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ，kπ+ 2 π )内都是增函数(k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)

反三角函数的图形反三角函数的性质名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义 y=sinx(x∈〔- 2 π , 2 π 〕的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsiny y=cosx(x∈〔0,π〕) 的反函数，叫做反余弦函数，记作 x=arccosy y=tanx(x∈(- 2 π , 2 π )的反函数，叫做反正切函数，记作 x=arctany y=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作 x=arccoty 理解 arcsinx表示属于［- 2 π , 2 π ］且正弦值等于x的角 arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角 arctanx表示属于 (- 2 π , 2 π )，且正切值等于x的角 arccotx表示属于(0， π)且余切值等于x 的角性质定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞) 值域［- 2 π ， 2 π ］［0，π］(- 2 π ， 2 π ) (0，π)单调性在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减函数在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减函数奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arcco sx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccot x 周期性都不是同期函数恒等式 sin(arcsinx)=x(x∈［-1， 1］)arcsin(sinx)=x(x∈ ［- 2 π , 2 π ］) cos(arccosx)=x(x∈ ［-1,1］) arccos(cosx)=x(x∈ ［0,π］) tan(arctanx)=x(x∈ R)arctan(tanx)=x（x∈ (- 2 π , 2 π )） cot(arccotx)=x(x∈ R) arccot(cotx)=x(x∈ (0,π)) 互余恒等式arcsinx+arccosx= 2 π (x∈［-1,1］) arctanx+arccotx= 2 π (X∈R)

三角函数定义及其三角函数公式大全

三角函数定义及其三角函数公式汇总 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得由B A 邻边 A C A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得由B A

6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据： ①边的关系：2 22c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角铅垂线水平线视线视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度( 坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 sin （α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin （α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos （α＋β）＝cosαcosβ－s inαsinβ cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ 三角函数公式汇总1 :i h l =h l α

高考冲刺三角函数公式及应用(提高)

高考冲刺三角函数公式及应用编稿：孙永钊审稿：张林娟【高考展望】高考对三角恒等式部分的考查仍会是中低档题，无论是小题还是大题中出现都是较容易的．主要有三种可能：（1）以小题形式直接考查：利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简；（2）以小题形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式；（3）以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查，对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题，主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力复习时，要注重对问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，还要重视相关的思想方法，如数形结合思想、特值法、构造法、等价转换法等的总结和应用，这有利于缩短运算程序，提高解题效率【知识升华】 1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在（1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；（2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围（3）证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等 2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如 tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+， 2 21cos 1cos cos ,sin 2 222 α ααα +-= = 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式；三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。 3.三角函数恒等变形的基本策。 ①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx 2cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。如分拆项：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+;

三角函数在实际中的应用

专题3 锐角三角函数在实际中的应用解题技巧： 1．如果图形不是直角三角形，一定要考虑添加适当的辅助线（作平行线或作垂线），构造直角三角形，然后选择恰当的三角函数（正弦、余弦或正切）； 2．在求线段长度的时候，如果不能直接求出长度，可以考虑列方程求值。一仰角、俯角问题 1．某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7） 2．如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从B处或C处挖掘，从B处挖掘时，最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°，且BC=20m，若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离．（参考数据：sin56°=0.83，tan56°≈1.48，≈1.73，结果保留整数）

3．(2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB. 4.一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为45°，向前走6m 到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°，（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度．（结果精确到1m） 5.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离，飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，已知岛屿两端A、B的距离541.91米，求飞机飞行的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）

三角函数公式大全

三角函数公式大全三角函数定义锐角三角函数任意角三角函数图形直任角三角形意角三角函数正弦（sin）余弦（cos）正切（tan 或tg）余切（cot 或ctg）正割（sec）余割（csc）函数关系倒数关系：商数关系：平方关系：．诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．以诱导公式二为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

1.5 三角函数的应用(1)

1.5 三角函数的应用（仰俯角）一、学习目标 1、理解什么是仰角、俯角，能区别仰角与俯角； 2、能够利用解直角三角形的知识，解决与仰角、俯角有关的简单实际问题。二、交流预习：仰角------当从地处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。俯角------当从高处观测低处的目标视线与水平线所成的锐角称为俯角。三、探究新知：引例某中学在数学课上用测倾器测量一棵树的高度，已知测倾器的杆高DC=1.2米，测得树顶的仰角为28°，用皮尺测得到树的水平距离20米，求树AB的高度？ (tan28°=0.53，sin28°=0.47，cos28°=0.88) 例题：以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为62°,树的底部B的俯角位32°,问距离B处8米远的文物是否在危险区内?sin32°≈0.5cos32°≈0.8 tan32°≈0.6 sin62°≈0.8 cos62°≈0.5 tan62°≈1.7 四、巩固训练 1．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AE＝CF=30 米，两楼间的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为32°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m) 参考数据：sin32°≈0.5 cos32°≈0.8 tan32°≈0.6 1 2

? 15?20A B C D E 2.某小区有一朝向为正南方向的一楼，该一楼的一楼是高5米的小区超市，超市以上是居民区，在该楼的前面20米处要改一栋高16米的甲楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角32°时： 1）超市以上的居民区住房采光是否受影响？为什么？ 2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？参考数据：sin32°≈0.5 con32°≈0.8 tan32°≈0.6 3.如图，小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶，测得仰角为32°，再往塔的方向前进50m 至B 处.测得仰角为62°.那么该塔有多高?(结果精确到1 m) sin32°≈0.5 con32°≈0.8 tan32°≈0.6 sin62°≈0.8 con62°≈0.5 tan62°≈2 五、感悟与收获本节课你都学到了那些知识和解决问题的方法？还存在着那些困惑？六、课堂检测：如图，一勘测人员从B 点出发，沿坡角为15°的坡面以5千米/时的速度行至D 点，用了12分钟，然后沿坡角为20°的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点，用了10分钟.求山高（即AC 的长度）及A 、B 两点的水平距离（即BC 的长度）（精确到0.01千米）. sin20°≈0.34，cos20°≈0.94 ,tan20°≈0.36 sin15°≈0.26 cos15°≈0.97 ,tan15°≈0.27

三角函数公式应用大全

三角函数定义把角度θ作为自变量，在直角坐标系里画个半径为1的圆（单位圆），然后角的一边与X轴重合，顶点放在圆心，另一边作为一个射线，肯定与单位圆相交于一点。这点的坐标为(x,y)。 sin(θ)=y; cos(θ)=x; tan(θ)=y/x; 三角函数公式大全两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos2 A--Sin2 A=2Cos2A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3;

cos3A = 4(cosA)3 -3cosA tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a) 半角公式 sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} ? tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 和差化积 sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差 sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(π/2-a) = cos(a) cos(π/2-a) = sin(a) sin(π/2+a) = cos(a) cos(π/2+a) = -sin(a) sin(π-a) = sin(a) cos(π-a) = -cos(a) sin(π+a) = -sin(a) cos(π+a) = -cos(a) tgA=tanA = sinA/cosA

三角函数的二倍角公式及应用

三角函数的二倍角公式及应用一．考点要求 1、熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能灵活应用； 2、领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美 3、公式应用的方法与技巧。二、公式再现； 1、二倍角公式； sin2a= 2sinacosa 。 cos2a =22cos sin αα- = 2 2cos 1 α-= 21sin α- tan2a= 2 2tan 1tan αα - 2、降幂公式； 2 2cos 1sin , 22cos 1cos 2 2 α αα α-= += 三；闯关训练 A 、类型一公式逆用逆用公式，换个角度豁然开朗，逆过来看茅塞顿开，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现； 1、求下列各式的值 ()；??cos15sin15 1 ()8 s i n 8 c o s 22 2 π π - () ? -?5.22tan 15.22tan 32 ； ()15.22cos 242 -? B 、、类型二----公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感

知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的。 2、已知(),5 3sin - =-απ求α 2cos 的值。 3、已知? ? ? ??∈-=ππααα,2,sin 2sin ，求αtan 的值。 C 、、类型三----化简 ()()()2 4 4 41sin cos ;2cos sin a a θθ +-、四．能力提升； 1，已知,128,5 48cos παπα <<- =求4 tan ,4 cos ,4 sin α α α 的值 2、已知,2 4,1352sin π απα<<= 求ααα4tan ,4cos ,4sin 的值。 3、化简 ()() 111sin cos cos 2;2; 1tan 1tan x x x θ θ - -+ 4. x x - 5. 求值：（1）0000sin13cos17cos13sin 17+ （2） 00 1tan 751tan 75 +- （3）2 2 cos sin 8 8 π π - 6.已知a ，β都是锐角，cosa=17 ，cos ()αβ+=1114 -，求cos β的值。 7、已知tan()3,tan()5αβαβ+=-=求tan2a 及tan 2β的值。 8、求值000 tan 70tan 1070tan 10 -- 9、.已知函数2cos cos x x x +，求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间。五；高考链接

三角函数解题技巧和公式(已整理)

浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于α αααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道 )cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θ θθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ

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