四种命题四种命题间相互关系

四种命题四种命题间的相互关系

1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.(重点)

2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.(难点)

3.利用命题真假的等价性解决简单问题.(难点、易错点)

教材整理1 四种命题

阅读教材P4～P6，完成下列问题.

1.四种命题的概念

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.

2.四种命题的形式

原命题：若p，则q.

逆命题：若q，则p.

否命题：若﹁p，则﹁q.

逆否命题：若﹁q，则﹁p.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)有的命题没有逆命题.()

(2)四种命题中，原命题是固定的.()

(3)“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.()

解:(1)只要原命题确定了，它的逆命题就确定了，故(1)错.

(2)四种命题中原命题具有相对性，故(2)错.

(3)“对顶角相等”的否命题为“若两个角不是对顶角，则这两个角不相等”，故(3)错.

答案:(1)×(2)×(3)×

教材整理2 四种命题间的相互关系

阅读教材P6～P8，完成下列问题.

1.四种命题之间的相互关系

2.四种命题的真假关系

(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况

原命题逆命题否命题逆否命题

真真真真

真假假真

假真真假

假假假假

(2)四种命题的真假性之间的关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题都没有.()

(2)两个互逆命题的真假性相同.()

(3)命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数有3个.()

解:(1)若原命题为假命题，则其逆否命题为假命题，逆命题和否命题可都为假命题，故(1)对.

(2)两个互逆命题的真假性无关，故(2)错.

(3)原命题和逆否命题正确，否命题和逆命题错误，故(3)错.

答案:(1)√(2)×(3)×

小组合作探究

四种命题的概念

例1、写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题：

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x＞10，那么x＞0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.

根据四种命题的结构写出所求命题.

自主解答：(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线.

(2)逆命题：如果x＞0，那么x＞10；

否命题：如果x≤10，那么x≤0；

逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.

(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；

否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；

逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.

1.写出一个命题的其他三种命题的步骤

(1)分析命题的条件和结论；

(2)将命题写成“若p，则q”的形式；

(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.

注意：如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变.

2.常见词语的否定

[再练一题]

1.(1)命题“若m＞n，则m－1＞n－2”的逆否命题为________.

(2)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：

①正数的平方根不等于0；

②若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0.

解：(1)若m－1≤n－2，则m≤n.

(2)①逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；

否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；

逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数.

②逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0(x，y∈R)；

否命题：若x2＋y2≠0(x，y∈R)，则x，y不全为0；

逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0(x，y∈R).

四种命题真假的判断

例2、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：

(1)正偶数不是素数；

(2)平行于同一条直线的两条直线平行.

把命题改写成“若p，则q”的形式→

依据定义写出

另外三种命题→判断真假

自主解答：(1)原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题；

逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题；

否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题；

逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题.

(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题.

逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题.

否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题.

逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题.

在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假.

[再练一题]

2.下列命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题.

其中是真命题的是________.

解：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题.所以真命题是①②③.

答案：①②③

探究共同研讨

等价命题的应用

探究1我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？

【提示】可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.

探究2根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假，是哪种证明方法的理论基础？

【提示】是反证法的理论基础.

例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假.

法一：分析已知命题→写出逆否命题→利用Δ求a的范围→判断命题真假

法二：判断原命题真假→判断逆否命题真假

【自主解答】法一：原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集.

真假判断如下：

∵抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，

若a<1，则4a－7<0.

即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点.

所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集.

故原命题的逆否命题为真.

法二：先判断原命题的真假.

因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，

即4a－7≥0，解得a≥7

4.

因为a≥7

，所以a≥1，所以原命题为真.

4

又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真.

这种问题的解决通常有两种方法：一是直接法，先写出逆否命题，后判断，如法一；二是间接法，不写逆否命题，从判断原命题的真假证明逆否命题的真假，如法二.

[再练一题]

3.证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－

a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

解：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，

则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b).”

∵当a＋b＜0时，a＜－b，b＜－a，

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a).

∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，

即逆否命题为真命题.∴原命题为真命题.

1.命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()

A.“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”

B.“若一个数的相反数是正数，则它是负数”

C.“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”

D.“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”

解：若原命题记作“若p，则q”，则A为“若p，则﹁q”；B为“若q，则p”；C为“若﹁p，则﹁q”；D为“若﹁q，则﹁p”.故B正确.

答案：B

2.命题“如果x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()

A.如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1

B.如果－1＜x＜1，则x2＜1

C.如果x＞1或x＜－1，则x2＞1

D.如果x≥1或x≤－1，则x2≥1

解：“－1＜x＜1”的含义是“x＞－1且x＜1”，故“－1＜x＜1”的否定是“x≥1或x≤－1”，故选D.

答案：D

3.已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

解：由题意可判断原命题为真命题，故逆否命题也为真命题，其逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”，为假命题，所以否命题也为假命题，故四个命题中，真命题的个数为2.

答案：B

4.有下列四个命题：

①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；

③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；

④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题.

其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号).

解：④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题. 答案：①②③

5.判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假.

解：(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4＞0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.