正态分布讲解(含标准表)
2．4正态分布
复习引入：
总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
总体密度曲线
b
单位
O
频率/组距
a
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．
观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：
2
2
()
2
,
1
(),(,)
2
x
x e x
μ
σ
μσ
ϕ
πσ
-
-
=∈-∞+∞
式中的实数μ、)0
(>
σ
σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,
()x
μσ
ϕ
的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．
讲解新课：
一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足
,()()b
a
P a X B x dx μσϕ<≤=⎰,
则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2
σ
μN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .
经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．
说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．
2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2
σ
μN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布
通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响
3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线
的作图，书中没有做要求，教师也不必补上曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质
4．正态曲线的性质：
（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交
（2）曲线关于直线x=μ对称
（3）当x=μ时，曲线位于最高点
（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近
（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定
σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：
五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学
5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是
2
221)(x e
x f -
=
π
，（-∞＜x ＜+∞）
其相应的曲线称为标准正态曲线
标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标
准正态分布的概率问题
讲解范例：
例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
（１）
),(,21)(2
2+∞-∞∈=
-
x e
x f x π
（２）
),(,221
)(8
)1(2
+∞-∞∈=
--
x e
x f x π
（３）
2
2(1)(),(,)x f x x -+=
∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5
例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率． 解：利用等式
)()(12x x p Φ-Φ=有
)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p
=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．
1.标准正态总体的概率问题:
对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率， 即 )()(00x x P x <=Φ，
其中00
>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <
只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中
不难发现:当00 2.标准正态分布表 标准正态总体 )1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态 分布表”．在这个表中，对应于 x 的值 ) (0x Φ是指总体取值小于 x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ． 若 00 利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间 ),(21x x 内取值的概率，即直线 1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)( ) (σ μ -Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后 查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的 转化 4.小概率事件的含义 发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生 假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析 假设检验方法的操作程序，即“三步曲” 一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体； 二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)； 三是作出判断 讲解范例： 例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32 =Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率： (1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2 ）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）； Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)2 1 3( -Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σ μ σμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σ μ σμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997 对于正态总体),(2 σ μN 取值的概率： 在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的 一部分 例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为 π 21，求总体落入区间（－ 1.2，0.2）之间的概率 解：正态分布的概率密度函数是 ),(,21)(2 22)(+∞-∞∈= -- x e x f x σμσ π，它是偶函数，说明μ＝ 0， )(x f 的最大值为)(μf ＝ σ π21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 教学反思： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成： 22 ()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞， （σ＞0） 由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2 σ μN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两 个方向都是以x 轴为渐近线的 4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难 N （0，1），其他的正态分布都可以通过 )( )(σ μ -Φ=x x F 转化为 N （0，1），我们把N （0，1）称为标准正态分布，其密度函数为 22 121)(x e x F -= π ，x ∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化。结合正态曲线的图形特征， 归纳正态曲线的性质了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质。 附表 附表1. 标准正态分布表 x0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 0.500 0 0.539 8 0.579 3 0.617 9 0.655 4 0.691 5 0.725 7 0.758 0 0.788 1 0.815 9 0.841 3 0.864 3 0.884 9 0.903 2 0.919 2 0.504 0 0.543 8 0.583 2 0.621 7 0.659 1 0.695 0 0.729 1 0.761 1 0.791 0 0.818 6 0.843 8 0.866 5 0.886 9 0.904 9 0.920 7 0.508 0 0.547 8 0.587 1 0.625 5 0.662 8 0.698 5 0.732 4 0.764 2 0.793 9 0.821 2 0.846 1 0.868 6 0.888 8 0.906 6 0.922 2 0.512 0 0.551 7 0.591 0 0.629 3 0.666 4 0.701 9 0.735 7 0.767 3 0.796 7 0.823 8 0.848 5 0.870 8 0.890 7 0.908 2 0.923 6 0.516 0 0.555 7 0.594 8 0.633 1 0.670 0 0.705 4 0.738 9 0.770 3 0.799 5 0.826 4 0.850 8 0.872 9 0.892 5 0.909 9 0.925 1 0.519 9 0.559 6 0.598 7 0.636 8 0.673 6 0.708 8 0.742 2 0.773 4 0.802 3 0.828 9 0.853 1 0.874 9 0.894 4 0.911 5 0.926 5 0.523 9 0.563 6 0.602 6 0.640 4 0.677 2 0.712 3 0.745 4 0.776 4 0.805 1 0.835 5 0.855 4 0.877 0 0.896 2 0.913 1 0.927 9 0.527 9 0.567 5 0.606 4 0.644 3 0.680 8 0.715 7 0.748 6 0.779 4 0.807 8 0.834 0 0.857 7 0.879 0 0.898 0 0.914 7 0.929 2 0.531 9 0.571 4 0.610 3 0.648 0 0.684 4 0.719 0 0.751 7 0.782 3 0.810 6 0.836 5 0.859 9 0.881 0 0.899 7 0.916 2 0.930 6 0.535 9 0.575 3 0.614 1 0.651 7 0.687 9 0.722 4 0.754 9 0.785 2 0.813 3 0.838 9 0.862 1 0.883 0 0.901 5 0.917 7 0.931 9 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.90.933 2 0.945 2 0.955 4 0.964 1 0.971 3 0.977 2 0.982 1 0.986 1 0.989 3 0.991 8 0.993 8 0.995 3 0.996 5 0.997 4 0.998 1 0.934 5 0.946 3 0.956 4 0.964 8 0.971 9 0.977 8 0.982 6 0.986 4 0.989 6 0.992 0 0.994 0 0.995 5 0.996 6 0.997 5 0.998 2 0.935 7 0.947 4 0.957 3 0.965 6 0.972 6 0.978 3 0.983 0 0.986 8 0.989 8 0.992 2 0.994 1 0.995 6 0.996 7 0.997 6 0.998 2 0.937 0 0.948 4 0.958 2 0.966 4 0.973 2 0.978 8 0.983 4 0.987 1 0.990 1 0.992 5 0.994 3 0.995 7 0.996 8 0.997 7 0.998 3 0.938 2 0.949 5 0.959 1 0.967 2 0.973 8 0.979 3 0.983 8 0.987 4 0.990 4 0.992 7 0.994 5 0.995 9 0.996 9 0.997 7 0.998 4 0.939 4 0.950 5 0.959 9 0.967 8 0.974 4 0.979 8 0.984 2 0.987 8 0.990 6 0.992 9 0.994 6 0.996 0 0.997 0 0.997 8 0.998 4 0.940 6 0.951 5 0.960 8 0.968 6 0.975 0 0.980 3 0.984 6 0.988 1 0.990 9 0.993 1 0.994 8 0.996 1 0.997 1 0.997 9 0.998 5 0.941 8 0.952 5 0.961 6 0.969 3 0.975 6 0.980 8 0.985 0 0.988 4 0.991 1 0.993 2 0.994 9 0.996 2 0.997 2 0.997 9 0.998 5 0.943 0 0.953 5 0.962 5 0.970 0 0.976 2 0.981 2 0.985 4 0.988 7 0.991 3 0.993 4 0.995 1 0.996 3 0.997 3 0.998 0 0.998 6 0.944 1 0.953 5 0.963 3 0.970 6 0.976 7 0.981 7 0.985 7 0.989 0 0.991 6 0.993 6 0.995 2 0.996 4 0.997 4 0.998 1 0.998 6 x0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 30.998 70.999 00.999 30.999 50.999 70.999 80.999 80.999 90.999 9 1.000 0 标准正态分布（英语：standard normal distribution，德语Standardnormalverteilung），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。 标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。 标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。 附表标准正态分布表 正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数：标准差为1的正态分布（见下图中绿色曲线）。 特点 密度函数关于平均值对称 平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。 函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。 标准偏差 深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%，根据正态分布，两个标准差之内的比率合起来为95%；三个标准差之内的比率合起来为99%。 在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”或“经验法则”。 正态分布（2） 教学目的： 1利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率 2．掌握正态分布与标准正态分布的转换 3．了解正态总体的分布情况，简化正态总体的研究问题 教学重点：利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率教学难点：非标准正态总体在某区间内取值的概率及总体在（－∞，ａ）(0a <）的概率求法 内容分析： 1．标准正态分布是正态分布研究的重点，各式各样的正态分布可以通过 )( )(σ μ -Φ=x x F 转换成标准正态曲线， 转换后正态分布的各项性质保持不变，而标准正态分布的概率又可以通过查表求得，因而标准正态分布表的使用是本节课 的重点之一 2．介绍《标准正态分布表》的查法 表中每一项有三个相关的量：x 、y 、P ，x 是正态曲线横轴的取值，y 是曲线的高度，P 是阴影部分的面积 )()(00x x P x <=Φ 3．标准正态曲线关于y 轴对称 因为当00>x 时，)()(00x x P x <=Φ；而当 0 2．4正态分布 复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积． 观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 22 ()2,1(),(,)2x x e x μσμσ?πσ --=∈-∞+∞ 式中的实数 μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσ? 的图象为 正态分布密度曲线,简称正态曲线． 讲解新课： 一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,()()b a P a X B x dx μσ?<≤=?, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2 σ μN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位． 说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计． 2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2 σ μN ）是由均值μ 和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响 标准正态分布： 标准正态分布（英语：standard normal distribution，德语Standardnormalverteilung），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。 定义： 标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。 标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。 正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数：标准差为1的正态分布（见下图中绿色曲线）。 特点： 密度函数关于平均值对称 平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。 函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。 标准偏差： 深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%，根据正态分布，两个标准差之内的比率合起来为95%；三个标准差之内的比率合起来为99%。 在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”或“经验法则”。 第六章正态分布 一、基本概念 1、正态分布 连续性随机变量中重要的分布是钟型概率分布，就是正态分布（normal distribution），也称为常态分布，是一种连续型随机变量的概率分布。学生的身高、体重、成绩等都是正态分布常见的例子，很高、很矮的都比较少，多数处于正常身高；很胖、很瘦的也较少，多数是正常体重；成绩很高和很低的是少数，多数同学属于中等成绩。 2、标准正态分布 在正态分布中，随机变量X是以μ和σ为参数，当μ和σ取值固定，μ=0，σ=1时， 随机变量X的概率密度变为： 2 2 2 1Z e y- = π，(,) Z∈-∞+∞，相应的正态分布N(0,1)称为 标准正态分布。标准正态分布是正态分布的特殊情况，由于μ和σ取值固定，不依赖于参数μ和σ，而是固定的、唯一的。 3、Z值 Z值又称为标准分数，它是以平均数为参照点，以标准差为单位的描述原始数据在总体中相对位置的量数。我们可以通过计算Z值将一般正态分布转换为标准正态分布。例如某个数值的Z值为－1.5，则说明这个数值低于均值1.5倍的标准差。 二、基本方法 1、Z值的计算 Z值的计算公式为：Z=（X—μ）/σ。 假设 ) , ( ~2 σ μ N X，根据Z值计算公式转换后，Z= () σ μ - X ~N（0,1），这样就将一 般正态分布转换成标准正态分布。 某班同学平均体重为50公斤，标准差为10，某同学同学为70，将这个分数转化为Z 值。 Z=（X—μ）/σ=（70—50）/10= 2 表明这个同学的体重在分布中高于均值2个标准差。 2、标准正态分布表使用方法 标准正态分布表是根据标准正态分布中随机变量与其概率的对应关系绘制的，表中数值是变量值X所对应的分布函数ф（x）的数值表。 首先只根据Z值公式将正态分布转化为标准正态分布，就可以通过查表得到对应的概率值。 对于负的变量值，转化：ф（—x）=1—ф（x） 一般情况下，设X~(0,1)，则有： P（X 正态分布概念及图表 正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的多面有着重大的影响力。 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 若随机变量X服从一个数学期望为μ、差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。 目录 1历史发展 2定理 3定义 ?一维正态分布 ?标准正态分布 4性质 5分布曲线 ?图形特征 ?参数含义 6研究过程 7曲线应用 ?综述 ?频数分布 ?综合素质研究 ?医学参考值 历史发展 正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。 其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差”之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差（近似地）服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一（算术平均的优良性，误差的正态性）为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。 定理 由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x 的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。 为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。 若 服从标准正态分布，通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）围的面积比例）。 标准正态分布对照表 摘要： 一、标准正态分布的定义与性质 1.标准正态分布的定义 2.标准正态分布的概率密度函数 3.标准正态分布的累积分布函数 二、标准正态分布对照表的应用 1.对照表的构成与意义 2.对照表的使用方法 3.对照表在实际问题中的应用举例 三、标准正态分布与其他分布的关系 1.标准正态分布与正态分布的关系 2.标准正态分布与t 分布的关系 3.标准正态分布与卡方分布的关系 四、标准正态分布在统计学中的重要性 1.描述性统计分析中的应用 2.推断性统计分析中的应用 3.概率论与数理统计的基础知识 正文： 标准正态分布，又称为高斯分布（Gaussian distribution），是一种连续型概率分布。它具有对称的钟形曲线，其分布的均值（μ）为0，标准差（σ）为 1。标准正态分布广泛应用于统计学、概率论、工程学等领域，其对照表是研究和解决实际问题的关键工具。 一、标准正态分布的定义与性质 标准正态分布的定义可以追溯到19 世纪初，德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）对这一分布的深入研究。标准正态分布的概率密度函数为： f(x) = (1 / (√(2π))) * e^(-(x^2) / 2) 其累积分布函数为： F(x) = 1 / (√(2π)) * ∫[e^(-(t^2) / 2), t ≤ x] dt 二、标准正态分布对照表的应用 标准正态分布对照表是一个重要的工具，它可以帮助我们快速查找标准正态分布在一定置信水平下的临界值。对照表通常包括正态分布的累积分布函数值、z 分数（Z-score）以及对应的概率。使用对照表时，我们可以根据实际问题中所给的置信水平，找到对应的z 分数，从而求解问题。 例如，在产品质量控制中，我们希望确定一个产品的合格率。已知过去经验表明，合格率约为95%。我们可以使用对照表查找标准正态分布在95% 置信水平下的z 分数，得到±1.96。然后，将这个z 分数代入到正态分布的累积分布函数中，得到产品的合格率。 三、标准正态分布与其他分布的关系 标准正态分布与其他常见的概率分布有着紧密的关系。当正态分布的均值为μ，标准差为σ时，我们可以通过标准化（Z-score）方法将其转化为标准正态分布。具体地，对于一个随机变量X，我们可以计算其Z-score： 正态分布的概念及表和查表方法 (总16页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 正态分布概念及图表 正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。 目录 1历史发展 2定理 3定义 ▪一维正态分布 ▪标准正态分布 4性质 5分布曲线 ▪图形特征 ▪参数含义 6研究过程 7曲线应用 ▪综述 ▪频数分布 ▪综合素质研究 ▪医学参考值 历史发展 正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（）在一篇论文中正式提出了这个学说。 其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差” 之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差（近似地）服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一（算术平均的优良性，误差的正态性）为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。 定理 由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x 的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。 为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。 若 4.正态分布 (1)正态分布的定义 态变量概率密度曲线的函数表达式为22 ()2() x f x μσ--= ，x ∈R ，其中μ，σ是参数， 且0σ>，μ-∞<<+∞． 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． (2)正态曲线的性质 ①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值 1 σ2π ； ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ 1. 正态分布的概念 随机变量X 的概率密 度 22 ()2(),()x f x x μσ--=-∞<<+∞，称X 服从正态分布记作 ),(~2 σμN X 。 标准正态分布(0,1)N ，其概率密度 22 1 (),()x x e x ϕ-=-∞<<+∞ ，分布函数为 22 1 ()t x x e dt φ--∞ = ⎰ 。 2. 设),(~2σμN X ，那么{}x P X x μφσ -⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ ， {}b a P a X b μμφφσσ--⎛⎫⎛⎫ <≤=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，()x φ的数值有表可查， 特 别 有 (0)0.5,()1,()1()x x φφφφ=+∞=-=-。 3. 设 ) ,(~2σμN X ， 那么 2 (),()E X D X μσ==。 4. 设),(~2 σμN X ，那么),(~2 2 σ μb b a N bX a Y ++=) 0(≠b 。 假设),(~2 1 1 σμN X ，),(~2 2 2 σμN Y ，X 与Y 相互独 立，那么 ) ,(~2 22121σσμμ+++N Y X 。 假设1 2 ,, ,n X X X 相互独立， ) ,,2,1)(,(~2n i N X i i i =σμ， 那么 ∑∑∑===n i n i n i i i i n i i i c c c c c N X c 1 1 21221)(,(~为常数） ，，， σμ 5. 二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，记作），，，，（），（γσσμμ22 2 1 2 1 ~N Y X ，其中 12(),() E X E Y μμ==，22 12(),() D X D Y σ σ==，(,)r R X Y =。 设(,)X Y 服从二维正态分布，那么X 与Y 相互独立的充分必要条件是0r =。 6. 当n 充分大时，独立同分布的随机变量1 2 ,, ,n X X X 的和1 n i i X =∑近似服从正态分标准正态分布函数表
正态分布详解
正态分布讲解[含标准表]
标准正态分布函数表
第六章 正态分布
正态分布的概念及表和查表方法
标准正态分布对照表
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布知识点总结
正态分布知识点